河北唐山市第二中学2025-2026学年高一下学期6月月考数学试题

**基本信息** 以“出口新三样”新能源竞赛、菱形翻折等真实情境与几何问题为载体，通过复数、统计、立体几何、解三角形等模块，考查数学抽象、运算推理及空间观念，适配高一下学期学情。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|复数虚部、分层抽样、向量共线、解三角形|结合工厂生产、经济收入等实际背景，基础与中档题结合| |多选题|3|正四棱柱结构、三角形外心、正三棱锥性质|辨析立体几何概念，考查空间观念与推理意识| |填空题|3|四分位数、三角恒等变换、复数模范围|注重数据处理与数学抽象，如样本数据分位数计算| |解答题|5|向量夹角、统计直方图与方差、立体几何翻折、解三角形最值|16题以新能源竞赛为情境考查数据观念，17题翻折问题体现空间几何直观，19题结合面积最值考查运算能力|

2025-2026唐山第一中学高一下学期数学6月月考 一、单选题 1．若复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为件，为检验产品的质量，现用分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取90件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件数为（    ） A．15 B．18 C．27 D．30 3．已知向量，若反向共线，则实数的值为（    ） A． B．3 C．3或 D．或7 4．已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ） A． B． C． D． 5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 6．某地区某村的前三年的经济收入分别为万元，其统计数据的中位数为，平均数为；经过今年政府新农村建设后，该村经济收入在上年基础上翻番，则在这年里收入的统计数据中，下列说法正确的是 A．中位数为，平均数为 B．中位数为，平均数为 C．中位数为，平均数为 D．中位数为，平均数为 7．已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，其外接球的表面积为40π，则该正四棱台的高为（    ） A． B． C．或 D．或 8．在空间中，为两个定点，且，动点到直线的距离为，动点到直线的距离为，若二面角为，当，时，异面直线和所成角正切值为（ ） 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．正四棱柱的侧面都是正方形 B．棱台的侧棱延长后交于一点 C．正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形 D．四面体的每个侧面都是等边三角形 10．已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，O为的外心，，，的面积S满足.若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．如图，在正三棱锥中，，分别是棱的中点，是棱上的任意一点，则下列结论中正确的是（    ）    A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C．的最小值为 D．三棱锥内切球的半径是 三、填空题 12．已知一组样本数据7，9，10，5，6，11，8，12，4，10，则该组数据的下四分位数为________. 13．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则______． 14．已知复数、分别满足：，，其中i为虚数单位，则的取值范围为________. 四、解答题 15．已知向量，且与的夹角为. (1)求； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16．出口“新三样”指的是电动载人汽车、锂离子蓄电池和太阳能电池，这些产品在中国外贸出口中扮演着重要角色，成为展现中国制造迈向高端化、智能化、绿色化的崭新名片．某学校组织了400名学生参加新能源知识竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示． (1)由频率分布直方图估计样本中学生分数的中位数； (2)已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数； (3)已知样本中男生与女生的比例是3∶1，男生样本的平均数为70，方差为10，女生样本的平均数为80，方差为12，请计算出总体的方差． 17．如图1，在菱形中，是边长为2的等边三角形，将沿对角线翻折至的位置，得到图2所示的三棱锥.    (1)证明：； (2)若二面角的平面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 18．已知正三棱柱的棱长均为，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 (3)求点到平面的距离． 19．如图，内角的对边分别为，为边上一点，且，.    (1)已知.（ⅰ）求的值；（ⅱ）若，求的面积； (2)求的最小值. 试卷第4页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026唐山第一中学高一下学期数学6月月考 一、单选题 1．若复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故选：B 2．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为件，为检验产品的质量，现用分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取90件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件数为（    ） A．15 B．18 C．27 D．30 【答案】A 【分析】利用分层抽样的方法计算即可. 【详解】由题意可知丙产量占全部的比重为， 所以抽取90件有丙产品件. 故选：A 3．已知向量，若反向共线，则实数的值为（    ） A． B．3 C．3或 D．或7 【答案】A 【分析】利用平面向量的坐标运算以及共线的坐标表示计算即可. 【详解】因为，所以. 因为共线，所以，解得或. 又反向共线，代入验证可知时为同向，舍去. 而满足条件，所以. 故选：. 4．已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件的概率关系即可计算求解. 【详解】由事件互斥，且都不发生为，则， 又，所以，解得，， 所以. 故选：C. 5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由正弦定理可得， 且，则 ,故 或 . 6．某地区某村的前三年的经济收入分别为万元，其统计数据的中位数为，平均数为；经过今年政府新农村建设后，该村经济收入在上年基础上翻番，则在这年里收入的统计数据中，下列说法正确的是 A．中位数为，平均数为 B．中位数为，平均数为 C．中位数为，平均数为 D．中位数为，平均数为 【答案】C 【分析】先求得前三年的中位数和平均数，求得第四年的收入，然后求得新的中位数和平均数，由此得出正确选项. 【详解】依题意，前三年中位数，平均数，第四年收入为万元，故中位数为，平均数为，故选C. 【点睛】本小题主要考查中位数和平均数的计算，考查实际生活的数学案例，属于基础题. 7．已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，其外接球的表面积为40π，则该正四棱台的高为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由正四棱台的结构与正方形的性质，可得上下底面的外接圆半径，由球的表面积公式求得外接球的半径，根据勾股定律，可得答案. 【详解】易知正四棱台上下底面为正方形，则外接圆的半径分别为，， 设外接球的半径为，正四棱台的高为，可得，解得， 易知或. 故选：D. 8．在空间中，为两个定点，且，动点到直线的距离为，动点到直线的距离为，若二面角为，当，时，异面直线和所成角正切值为（ ） 【答案】D 【详解】将平移到共面，构成一个三角形，利用余弦定理可得，， 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．正四棱柱的侧面都是正方形 B．棱台的侧棱延长后交于一点 C．正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形 D．四面体的每个侧面都是等边三角形 【答案】BC 【分析】根据棱锥，棱柱，棱台的定义和性质判断选项. 【详解】正四棱柱的底面为正方形，侧棱垂直于底面，则其侧面为矩形，不一定为正方形，A错误； 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台，所以棱台的侧棱延长后交于一点，B正确； 正六棱锥的底面为正六边形，侧棱都相等，所以侧面都是全等的等腰三角形，C正确； 四面体的每个侧面都是三角形，不一定为等边三角形，D错误. 10．已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，O为的外心，，，的面积S满足.若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用余弦定理与三角形的面积公式判断AB，利用平面向量的数量积运算和外心的性质判断CD． 【详解】对于A，由余弦定理知，， ，， ，即，， ，，， A选项正确； 对于B，， B选项错误； 对于D，为的外心，为中点，则，如图所示， 所以，同理 ， ①， ②， 由①②得，，，，D选项错误； 对于C，，C选项正确. 11．如图，在正三棱锥中，，分别是棱的中点，是棱上的任意一点，则下列结论中正确的是（    ）    A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C．的最小值为 D．三棱锥内切球的半径是 【答案】ACD 【分析】对于A，易知，，可证平面，再由线面垂直的性质定理即可得证；对于B，取中点，连接，，由，知即为异面直线和所成角，由，可推出，再由三角函数的知识即可求解；对于C，将平面和平面平铺展开，形成四边形，连接，交于点，此时是最小值，再结合二倍角公式与余弦定理即可求解；对于D，设内切球的球心为，点在平面内的投影为，为的重心，球与平面相切于点，设三棱锥内切球的半径为，由 相似于，即可求解. 【详解】对于A，如图1所示，连接，， 由正三棱锥的性质可知，， 因为为中点， 所以，， 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面 所以，故A正确； 对于B，如图①，取中点，连接，， 因为、分别为，的中点， 所以，， 所以即为异面直线和所成角或其补角， 因为、分别为，的中点， 所以， 由选项A知，，同理可得， 所以， 所以, 所以， 所以， 即异面直线和所成角的余弦值为，故B错误； 对于C，将平面和平面平铺展开，形成四边形， 如图②所示，连接，交于点，此时是最小值， 连接，则， 所以， 在中，由余弦定理知， ， 所以， 即的最小值是，故C正确； 对于D，如图③所示，设内切球的球心为，点在平面内的投影为，为的重心， 球与平面相切于点，则在上，且， 在中，， 在中，, 因为为的重心，所以， 在中，， 设三棱锥内切球的半径为， 由 相似于，得, 即，解得，故D正确； 故选：ACD.    【点睛】关键点点睛：本题考查了异面直线所成角、最短距离及内切球，解题关键是作出异面直线所成角、平面展开求最值以及通过相似三角形求内切球的半径. 三、填空题 12．已知一组样本数据7，9，10，5，6，11，8，12，4，10，则该组数据的下四分位数为________. 【答案】6 【详解】数据排序为4，5，6，7，8，9，10，10，11，12，项数， 下四分位数位置，向上取整为第3项， 下四分位数为6， 13．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则______． 【答案】 【分析】利用正弦定理进行角换边，再利用余弦定理和同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】由正弦定理知，所以， 则，又，所以. 故答案为：. 14．已知复数、分别满足：，，其中i为虚数单位，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】设复数、在复平面内对应的点为，，利用复数的几何意义得出点，的轨迹，将问题转化为两圆上动点间距离的最值 【详解】设复数、在复平面内对应的点为，， 表示点与复数对应点的距离为2， 因此点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆； 表示点与复数对应点的距离为1， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆. 又因为，表示点，之间的距离，    所以 ，即. 四、解答题 15．已知向量，且与的夹角为. (1)求； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用向量的坐标运算，结合夹角公式求出，进而求出及模. （2）由（1）的信息，利用向量线性运算的坐标表示，结合夹角公式及共线向量列式求解. 【详解】（1）由向量，得，且， 由与的夹角为，得，解得，则 ， 于是，所以. （2）由（1）知向量， 则， 由与的夹角为锐角，得且与不共线， 由，解得且， 所以实数的取值范围为. 16．出口“新三样”指的是电动载人汽车、锂离子蓄电池和太阳能电池，这些产品在中国外贸出口中扮演着重要角色，成为展现中国制造迈向高端化、智能化、绿色化的崭新名片．某学校组织了400名学生参加新能源知识竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示． (1)由频率分布直方图估计样本中学生分数的中位数； (2)已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数； (3)已知样本中男生与女生的比例是3∶1，男生样本的平均数为70，方差为10，女生样本的平均数为80，方差为12，请计算出总体的方差． 【答案】(1)72.5 (2)20人 (3)29.25 【分析】（1）在频率分布直方图，根据中位数左边和右边的直方图面积应该相等，即可求解； （2）先求分数在的频率，从而可求样本中分数在的人数，进而可知样本中分数在的人数，从而可求解； （3）根据分层总体的方差公式即可求解. 【详解】（1）在频率分布直方图，中位数左边和右边的直方图面积应该相等， 由于，．因此中位数落在之间． 设中位数为x，则有，解得， 所以样本中学生分数的中位数约为72.5． （2）由频率分布直方图知， 分数在的频率为， 样本中分数在的人数为（人）， 样本中分数在的人数为95人， 所以估计总体中分数在的人数为（人）， 总体中分数小于40的人数为人； （3）总样本的均值为， 所以总样本的方差为． 17．如图1，在菱形中，是边长为2的等边三角形，将沿对角线翻折至的位置，得到图2所示的三棱锥.    (1)证明：； (2)若二面角的平面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点为，连接、，即可证明平面，从而得证； （2）过点作于点，连接，即可证明平面，则为直线与平面所成角，再由（1）可知为二面角的平面角，求出相应线段的长度，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）取的中点为，连接、，由为菱形，所以，， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以；    （2）过点作于点，连接， 由（1）平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 由（1）可知，， 所以为二面角的平面角， 所以， 在中，，，所以， 又，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18．已知正三棱柱的棱长均为，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面 (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (3) 【详解】（1）连接交于点，连接， 则正三棱柱中是平行四边形， 所以为的中点，又为的中点， 所以，平面，平面，所以平面.    （2）证明平面即可； （3）过作，垂足为，由题意可得，，， 所以，所以， 所以的面积， 因为正三棱柱中平面平面， 又平面平面，平面，且， 所以平面， 即到平面的距离为， 又的面积， 所以，又， 所以，解得， 所以点到平面的距离为.    19．如图，内角的对边分别为，为边上一点，且，.    (1)已知. （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求的面积； (2)求的最小值. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2) 【分析】（1）（ⅰ）根据化简，结合角的关系及倍角公式即可得解； （ⅱ）先求出，进而可求出，即可求出，再结合（ⅰ）中结论即可得解； （2）先利用正弦定理化边为角，再根据化简，结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）（ⅰ）由题意得， ， 因为，， 所以， ， 所以， 所以； （ⅱ）由（ⅰ）得， 在中，， 所以， 又，所以， 所以； （2）由正弦定理得， 由（1）得， 故， 令， 因为，所以，所以， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 试卷第4页，共15页 试卷第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $