精品解析：河北邢台市质检联盟2025-2026学年高一下学期6月测评数学试题

高一数学测评 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第十章10.1． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 底面半径为1，高为的圆柱的侧面展开图是（ ） A. 一个边长为的正方形 B. 一个边长为的正方形 C. 一个长为，宽为的矩形 D. 一个长为，宽为的矩形 3. 学校举办运动会，小明仅参加了两场比赛，下列事件中与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的是（ ） A. 小明只有一场比赛获奖 B. 小明两场比赛均获奖 C. 小明至多一场比赛获奖 D. 小明两场比赛均未获奖 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 两条没有公共点的直线平行 B. 圆心与圆上两点确定一个平面 C. 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 D. 过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直 5. 在平行四边形中，是任意一点，则=（ ） A. B. C. D. 6. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，，则到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 设小于10的质数构成的集合为，若，均为中任意选取的一个元素，则函数的定义域为的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 在正三棱柱中，，以为球心，为半径的球与侧面相交于曲线，则曲线的长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则（） A. B. 的虚部为 C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 是方程的复数根 10. 如图，在半圆台中，是半圆的直径，是半圆的直径，是弧的中点，且，，则（ ） A. 半圆台的体积为 B. 半圆台的表面积为 C. 直线与所成的角为 D. 直线与所成角的正切值为 11. 甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录骰子每次出现的点数，根据这四名同学的统计结果，可以判断该同学掷得的点数一定有6的是（ ） A. 甲：极差为4，平均数为4.4 B. 乙：中位数为3，平均数为3.4 C. 丙：平均数为3，方差不小于4 D. 丁：中位数为2，方差大于2.5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 水平放置的的斜二测直观图如图所示，且，，则=_____． 13. 已知某时钟的时针、分针的长度分别为3 cm，，若时钟上的时间如图所示，则时针的针尖与分针的针尖之间的距离为______cm． 14. 若两个非零向量与的夹角为，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正方体中，过的截面与底面交于，，分别为，的中点． （1）证明：； （2）若为的中点，证明：平面平面． 16. 邢麦43是邢台市农业科学研究院选育的半冬性、高产抗病、中强筋小麦新品种，是冀中南水地区域主推优质高产品种之一、某研究机构对A地100亩邢麦43的亩产量（单位：）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出频率分布直方图，如图所示． （1）求的值． （2）估计A地100亩邢麦43的亩产量的70%分位数． （3）若某地100亩邢麦43的平均亩产量不低于，则认为该地是邢麦43的优秀种植地．请估计A地100亩邢麦43的平均亩产量，并以此为依据，判断A地是否是邢麦43的优秀种植地．（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） 17. 如图，在三棱锥中，是圆的直径，在圆上，侧面是边长为2的正三角形，，． （1）证明：平面平面． （2）求二面角的正切值． 18. 已知的内角，，的对边分别为，，，为钝角，且，． （1）证明：． （2）求． （3）若的中线，求的面积． 19. 如图，十面体的下底面是边长为的正六边形．四边形，，，，，均是全等的梯形．四边形，，均是全等的菱形，且，，，，． （1）证明：平面． （2）求该十面体的体积． （3）若是菱形内（包括边界）的一个动点，设直线与平面所成的角为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学测评 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第十章10.1． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以的共轭复数为. 2. 底面半径为1，高为的圆柱的侧面展开图是（ ） A. 一个边长为的正方形 B. 一个边长为的正方形 C. 一个长为，宽为的矩形 D. 一个长为，宽为的矩形 【答案】C 【解析】 【详解】底面半径为1，高为的圆柱的侧面展开图是一个长为，宽为的矩形. 3. 学校举办运动会，小明仅参加了两场比赛，下列事件中与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的是（ ） A. 小明只有一场比赛获奖 B. 小明两场比赛均获奖 C. 小明至多一场比赛获奖 D. 小明两场比赛均未获奖 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用对立事件的定义判断即可. 【详解】小明仅参加了两场比赛，情况如下： ①两次都获奖；②只有一次获奖；③两次均未获奖， 所以与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的事件是“小明两场比赛均未获奖”. 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 两条没有公共点的直线平行 B. 圆心与圆上两点确定一个平面 C. 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 D. 过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，两条没有公共点的直线可能平行也可能异面，A错误； 对于B，当圆上两点连线经过圆心时无法确定一个平面，B错误； 对于C，过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，C错误； 对于D，过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直，D正确. 5. 在平行四边形中，是任意一点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量加减法运算即可. 【详解】在平行四边形中，， 所以. 6. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，，则到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由等体积法可得到平面的距离. 【详解】连接，交于点，连接，则为的中点. 因为平面，平面， 所以. 所以， 所以. 所以， 所以的面积为. 因为平面，， 所以. 设到平面的距离为， 由，得. 7. 设小于10的质数构成的集合为，若，均为中任意选取的一个元素，则函数的定义域为的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定集合的元素得到总基本事件数，再结合对数定义域要求与二次函数恒正条件得出，计数满足条件的基本事件数后用古典概型公式求解. 【详解】小于的质数为，，，，故集合， 由于，是从M中任意选取的元素，可重复选取，因此总基本事件数为， 函数的定义域为， 等价于对任意，恒成立， 故 ，即， 若，则可为、；若，则可为、、； 若或，则可为、、、； 共符合要求的基本事件总数为， 故函数的定义域为的概率为. 8. 在正三棱柱中，，以为球心，为半径的球与侧面相交于曲线，则曲线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先找出侧面截球所得截面圆的圆心，再求出曲线所对的圆心角，根据弧长公式求解. 【详解】因为正三棱柱的底面是边长为2的正三角形，取的中点， 连接，则；又侧棱底面，所以，， 所以平面，所以为截面圆的圆心，且. 设侧面截球所得的小圆半径为，由球的截面性质， 得. 设球与三棱柱的棱的交点分别为，因为为截面圆的圆心， 根据对称性，则， 所以， 所以曲线为以点为圆心，圆心角为，半径的圆弧， 则弧长为，所以曲线的长度为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则（） A. B. 的虚部为 C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 是方程的复数根 【答案】AC 【解析】 【详解】. 选项A：，正确. 选项B：的虚部为，不是，错误. 选项C：在复平面内对应点为，位于第四象限，正确. 选项D：将代入方程可得： ，故不是该方程的根，错误. 10. 如图，在半圆台中，是半圆的直径，是半圆的直径，是弧的中点，且，，则（ ） A. 半圆台的体积为 B. 半圆台的表面积为 C. 直线与所成的角为 D. 直线与所成角的正切值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，由圆台体积，表面积公式可判断选项正误； 对于C，由平面可判断选项正误； 对于D，由，可得与所成角为，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，由题干数据结合圆台体积公式可得半圆台体积为：，其中， 则，故A正确； 对于B，由题干数据，半圆台表面积为：， 其中， ， 则，故B错误； 对于C，由题可得，又平面，， 则平面，结合平面，可得， 从而与所成角为，故C正确； 对于D，因，则与所成角为.如图，作平面. 由题可得，则， ，又易得，则， 从而，故D正确． 11. 甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录骰子每次出现的点数，根据这四名同学的统计结果，可以判断该同学掷得的点数一定有6的是（ ） A. 甲：极差为4，平均数为4.4 B. 乙：中位数为3，平均数为3.4 C. 丙：平均数为3，方差不小于4 D. 丁：中位数为2，方差大于2.5 【答案】AC 【解析】 【分析】根据极差，中位数的定义，假设5个数据不含6，确定固定的数，其余数字按平均数或方差构造合理数字检验假设是否成立. 【详解】选项A，假设没有6，则必有1，5，平均数为4.4，所以其余三个数之和应为16，所以假设不成立； 选项B，当5个数字为2，2，3，5，5时，中位数为3，平均数为3.4，满足条件； 选项C，假设没有6，方差最大时5个数字为1，1，3，5，5时， 平均数是3，方差为，假设不成立； 选项D， 当五个数字为1，2，2，5，5时，中位数是2，平均数3， 方差为，满足题意. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 水平放置的的斜二测直观图如图所示，且，，则=_____． 【答案】 【解析】 【详解】由直观图可知，在轴上，在轴上，且（或）. 所以原图形中，在轴上，且； 在轴上，且. 所以，即. 所以 . 13. 已知某时钟的时针、分针的长度分别为3 cm，，若时钟上的时间如图所示，则时针的针尖与分针的针尖之间的距离为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据时钟显示的时间确定时针与分针的夹角，构造三角形，利用余弦定理计算两针尖之间的距离. 【详解】设时针的长度为，分针的长度为， 时针针尖与分针针尖之间的距离为， 由图可知，时钟显示的时间为， 此时分针指向数字，时针指向数字与的正中间， 因为时钟表盘上相邻两个数字之间的圆心角为， 所以时针与分针的夹角， 在由时针、分针及两针尖连线构成的三角形中， 由余弦定理可得：， 故时针的针尖与分针的针尖之间的距离为cm. 14. 若两个非零向量与的夹角为，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】设出向量与的模，将用向量与的模表示出来，通过换元，转化为函数求解. 【详解】设，向量与的夹角为， 则， 令（即），代入得， 所以，令， 则， 令，则，所以. 所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正方体中，过的截面与底面交于，，分别为，的中点． （1）证明：； （2）若为的中点，证明：平面平面． 【答案】（1）在正方体中，平面， 所以平面， 又为过的截面与底面的交线， 所以平面， 所以. （2）因为，由（1）得， 在中，F为的中点，所以E为的中点， 又M为中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 平面，所以平面, 又因为分别为的中点，所以, 平面，所以平面， ，平面， 所以平面平面. 【解析】 【分析】 （1）利用线面平行的性质直接得到线线平行； （2）利用线面平行证明面面平行. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 邢麦43是邢台市农业科学研究院选育的半冬性、高产抗病、中强筋小麦新品种，是冀中南水地区域主推优质高产品种之一、某研究机构对A地100亩邢麦43的亩产量（单位：）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出频率分布直方图，如图所示． （1）求的值． （2）估计A地100亩邢麦43的亩产量的70%分位数． （3）若某地100亩邢麦43的平均亩产量不低于，则认为该地是邢麦43的优秀种植地．请估计A地100亩邢麦43的平均亩产量，并以此为依据，判断A地是否是邢麦43的优秀种植地．（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） 【答案】（1） （2） （3）平均亩产量为kg，地是邢麦的优秀种植地 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图所有矩形面积和为1，列出等式求出即可； （2）先根据各组频率判断70%分位数落在，设70%分位数为，建立频率为的等量关系，即可求出70%分位数； （3）求平均亩产量即求出加权平均数，从而判断A地是否是邢麦43的优秀种植地. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图所有矩形面积和为1可得，， 解得； 【小问2详解】 由（1）知，则的频率为， 的频率为，的频率为， 的频率为，又， ，所以70%分位数落在内， 设70%分位数为，则，又，代入得， 解得，所以70%分位数为； 【小问3详解】 各组区间中点值分别为：，，，， 由（2）知各组的频率分别为：，，，， 则平均亩产量， 因为，所以A地是邢麦43的优秀种植地. 17. 如图，在三棱锥中，是圆的直径，在圆上，侧面是边长为2的正三角形，，． （1）证明：平面平面． （2）求二面角的正切值． 【答案】（1）因为圆O直径，则， 又，，平面， 则平面，结合平面，则平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，结合题设可完成证明； （2）取中点为，连接DF，再作，由题可得为二面角平面角，据此可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点为，连接，因是正三角形，则， 又平面平面．平面平面，平面， 则平面，结合平面，可得. 如图，作，因，平面，则平面， 结合平面，可得，从而可得为二面角平面角. 因正三角形边长为2，则.因，则, 作，则，注意到，为AC中点，从而. 又易得，则. 18. 已知的内角，，的对边分别为，，，为钝角，且，． （1）证明：． （2）求． （3）若的中线，求的面积． 【答案】（1），， . ，均为的内角，且为钝角，则为锐角，得； . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由和，得到；根据为钝角，则为锐角，确定的范围，进而得到； （2）根据，得到，代入，整理得；根据为钝角，，确定的大小； （3）根据中线长定理，得到，再结合余弦定理求出各边长度，最后利用三角形面积公式计算面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，则， ， ， 为钝角， ，即； 或，解得或， 当时，，符合题意， 当时，，此时，不符合题意， 综上所述，. 【小问3详解】 由（2）得，， ， ， ， ， 为的中线， ，得， 由正弦定理得， 得， ， ， ，解得，. ， ，， ， 的面积为. 19. 如图，十面体的下底面是边长为的正六边形．四边形，，，，，均是全等的梯形．四边形，，均是全等的菱形，且，，，，． （1）证明：平面． （2）求该十面体的体积． （3）若是菱形内（包括边界）的一个动点，设直线与平面所成的角为，求的最小值． 【答案】（1）证明：由四边形、四边形均是菱形，得，则， 而平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理得证. （2）利用割补法，结合柱体、锥体的体积公式求解. （3）利用面面垂直的判定性质求出点点到平面的距离，再求出的最大值，进而求出的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别延长到点，使得， 在梯形、梯形中，，而平面， 则平面，依题意，， ，则都垂直于平面， 且，又六边形为正六边形， 则六棱柱为正六棱柱，正六边形的面积， 连接，令，则是的中点，令点到平面的距离为 作交平面于点，则平面， 于是，解得，，， 三棱锥的高为，其体积为， 正六棱柱的体积为， 三棱锥、三棱锥、三棱锥的体积相等，均为， 所以该十面体的体积. 【小问3详解】 由（2）知平面，而平面，则，又， 平面，于是平面，又平面， 因此平面平面，又平面平面， 则平面内点到平面的距离等于点到直线的距离， 在直角梯形中，， 在中，，由余弦定理得， 在直角梯形中，， 延长交于点，则， 因此直角三角形斜边上的高， 由图知的最大值等于中最大的，而， 则，，此时锐角最小， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $