第一章 特殊平行四边形全章综合检测卷（暑假预习举一反三单元自测）新九年级数学上册新教材北师大版

**基本信息** 北师大版初中数学特殊平行四边形单元综合卷，全面覆盖矩形、菱形、正方形的性质与判定，通过折叠、旋转、动态问题及综合实践题，考查几何直观、推理能力与创新意识，适配暑假复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|矩形判定（第1题）、中点四边形（第4题）、折叠问题（第3题）|结合图形变换考查概念辨析| |填空题|5/15|正方形角度计算（11题）、菱形与坐标系（13题）|融入数形结合思想| |解答题|9/75|格点作图（16题）、菱形性质证明（17题）、动态问题（22题）、综合实践（24题）|综合实践题（24题）通过不规则四边形分割拼正方形，体现创新意识与应用能力|

第一章 特殊平行四边形（全章综合检测卷） 【新教材北师大版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．给出下列判断，正确的是（     ） A．四个角相等的四边形是菱形 B．四条边相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 2．小张学习了四边形内容后，梳理了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图，如图所示，给出下列条件，其中对应序号填写正确的有几个（     ）   ；；；； A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（    ） A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 5．如图，在菱形中，交于点O，，，于点E，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 6．如图，正方形的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为，以为边构造菱形，点E在x轴上，将菱形与正方形组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点F的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 7．如图，正方形的边长为，为正方形边上的动点，沿的路径匀速移动．设点经过的路径长为，的面积是，则下列图象能反映与之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（     ） A．①② B．②③④ C．②③ D．①④ 9．如图，在矩形中，四边形和四边形都是正方形，对角线交，于点，，连接交于点，连接交于点，连接，，可形成“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样．若要确定图中“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样的面积，只需知道（   ） A．四边形的面积 B．四边形的面积 C．四边形的面积 D．四边形的面积 10．如图，在正方形纸片中，对角线相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中结论正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②④⑤ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．两个正方形按如图所示位置摆放，若，则_______． 12．如图，把放置到数轴上，使直角顶点落在数轴上表示的点处，斜边的中点恰好也落在数轴上，点在点的右侧．若，，则点表示的数为____________． 13．如图，在平面直角坐标系中，菱形的，两点的坐标分别为，，点在轴上，将直线沿轴向右平移个单位长度．若平移后的直线恰好平分菱形的面积，则的值是______． 14．如图，在中，，，点，分别是边、上一点，且，则四边形的形状可能是________．（填序号：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形） 15．如图，把矩形沿对折，使点B与点D重合，折痕交于G，P为上一个动点，若，则的最小值为___________． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分） 16．（6分）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，点A，B均为格点（网格线的交点），我们把顶点落在格点上的四边形称为格点四边形．请在给定的网格中用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图①中画一个以为对角线的格点正方形； （2）在图②中画一个格点菱形，且四边形不是正方形； （3）在图③中画一个格点平行四边形，且面积为12． 17．（6分）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形面积． 18．（6分）如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）当 时，四边形是正方形． 19．（8分）如图，四边形中， ，点O是、的交点，且点O为的中点． （1）求证； （2）若E为的中点，F为的中点，当，时，四边形是否为正方形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 20．（8分）如图，点E、F分别在矩形的边和上，和相交于点O，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21．（10分）如图所示，矩形的对角线与相交于点，点为的中点，连接并延长至点，使得，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的周长为，平行线与之间的距离为，求矩形的周长． 22．（10分）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，连接，，．设点，的运动时间为． （1）当为何值时，四边形是矩形？ （2）当为何值时，四边形是菱形？ 23．（10分）如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接，的两条外角平分线、交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，求点B的坐标． 24．（11分）综合与实践 【情境】有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图1所示，已知，，，，现要把每块木板都只分割一次，将其拼成正方形（说明：木板拼接不重叠，无缝隙，无剩余）； 【操作】选取其中一块四边形木板拼成一个正方形，如图2，嘉嘉过点分别作于点，交的延长线于点，并说：“沿进行分割，得到能与完全重合的，即可拼得正方形．” （1）求证：； （2）求的长； 【拓展】将两块四边形木板拼成一个大正方形，淇淇说：“如图3，将每一块四边形都沿同一条分割线进行分割，即可拼成两个等腰直角三角形，最终拼得一个大正方形．” （3）在图3中画出一条分割线，并直接写出这条分割线的长． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 特殊平行四边形（全章综合检测卷） 【新教材北师大版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．给出下列判断，正确的是（     ） A．四个角相等的四边形是菱形 B．四条边相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】根据正方形、矩形、菱形的判定方法逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 四边形内角和为，四个角相等时每个角都为，∴四个角相等的四边形是矩形，A选项错误； ∵ 四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，∴B选项错误； ∵ 对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴C选项错误； ∵ 矩形的判定定理为对角线相等的平行四边形是矩形，∴D选项正确； 故选：D． 2．小张学习了四边形内容后，梳理了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图，如图所示，给出下列条件，其中对应序号填写正确的有几个（     ）   ；；；； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，邻边相等的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形判断即可． 【详解】解：四边形中，，不能判定四边形是平行四边形，故①错误； 平行四边形中， ∵， 四边形是矩形，故②正确； 平行四边形中， ∵， 四边形是矩形，不是菱形，故③错误； 矩形中， ∵， 四边形是正方形，故④正确； 菱形中， ∵， 四边形是正方形，故⑤正确； 综上，正确的有②④⑤共3个． 故选：C． 3．如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设，则，在中，，解得，，故． 【详解】解：如图，连接，由折叠知，， 设，则， 在中，， 化简得，，即， 解得，， ． 故选：A． 4．如图，分别是四边形四条边的中点，要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是（    ） A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到四边形一定是平行四边形，再推出一个角是直角，即可求解，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：要使四边形为矩形，四边形应具备的条件是对角线互相垂直，理由如下： 根据三角形的中位线定理得： ，，，， ∴，， ∴四边形一定是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 故选：C． 5．如图，在菱形中，交于点O，，，于点E，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质求出对角线的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形， ，，， ， ， 在中，，，， ， ， ， 在中，为的中点， ． 故选：C． 6．如图，正方形的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为，以为边构造菱形，点E在x轴上，将菱形与正方形组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点F的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】每4次旋转为一个循环，，即第2026次旋转结束时，点的坐标与第2次旋转结束时点的坐标相同，由题可得，点与点F关于原点对称，再通过正方形和菱形的性质求解即可． 【详解】解：， ∴每4次旋转为一个循环，，即第2026次旋转结束时，点的坐标与第2次旋转结束时点的坐标相同， 由题可得，点与点F关于原点对称，连接， ， ∴由正方形可得， ． 四边形是菱形， ， ， ∴点F的对应点的坐标为． 故选：B． 7．如图，正方形的边长为，为正方形边上的动点，沿的路径匀速移动．设点经过的路径长为，的面积是，则下列图象能反映与之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，当点P在上运动时， 不存在；再分别求出点P在上运动（不包含点D）、点P在上运动（不包含点C）、点P在上运动（不包含点B）时y与x的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：当点P在上运动，即时，此时不存在； 当点P在上运动（不包含点D）时，即时，， 则； 当点P在上运动（不包含点C），即时， 则， 当点P在上运动（不包含点B），即时，， 则， ∴四个函数图象中，只有B选项中的函数图象符合题意． 故选：B． 8．如图，利用几个全等的直角三角板（含角）拼摆成如下的四边形，其中是菱形但不是正方形的有（     ） A．①② B．②③④ C．②③ D．①④ 【答案】C 【分析】设全等直角三角板的短直角边为，长直角边为，斜边为，根据图形特征逐一判断四边形的边长关系及角度即可． 【详解】解：设全等直角三角板的短直角边为，斜边为 ， 长直角边为， 图①，为斜边，为长直角边， ，， ， 四边形不是菱形； 图②，四条边均为直角三角形的斜边， 四条边长度均为， 四边形是菱形， 又 对角线长分别为和，不相等， 四边形不是正方形，符合题意； 图③，为斜边，长度为， 由图可知由两段短直角边拼接而成， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 四边形不是正方形，符合题意； 图④，四条边均为直角三角形的斜边， 四条边长度均为， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形，不符合题意； 综上所述，是菱形但不是正方形的有②③． 故选：C． 9．如图，在矩形中，四边形和四边形都是正方形，对角线交，于点，，连接交于点，连接交于点，连接，，可形成“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样．若要确定图中“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样的面积，只需知道（   ） A．四边形的面积 B．四边形的面积 C．四边形的面积 D．四边形的面积 【答案】D 【分析】设，根据正方形和矩形的性质可得，可证明，，则，再由可得答案． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴若要确定图中“回力镖镖翼”状的阴影几何纹样的面积，只需知道四边形的面积． 故选：D． 10．如图，在正方形纸片中，对角线相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中结论正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】①由四边形是正方形，可得，又由折叠的性质，可求得的度数；②由，可得；③由，可得的面积的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，易得是等腰三角形，即可证得，易证得四边形是菱形；⑤由菱形性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可得． 【详解】解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质可得： 故，故①正确． 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ，故②错误． ， ，与同高， ，故③错误． ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， 故四边形是菱形，故④正确． 四边形是菱形， ， ， ， ， 同理可得．故⑤正确． 综上，正确的结论有①④⑤． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．两个正方形按如图所示位置摆放，若，则_______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质和角之间的关系，计算即可求解． 【详解】解：如图， 两个正方形， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 12．如图，把放置到数轴上，使直角顶点落在数轴上表示的点处，斜边的中点恰好也落在数轴上，点在点的右侧．若，，则点表示的数为____________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理和已知条件求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质算出的长度，最后结合数轴上点的位置，求出点表示的数． 【详解】解：设，则， 在中，， ，即， 解得， ，， 为中点， ， 落在数轴上表示的点处，且点在点的右侧， 点表示的数为． 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，菱形的，两点的坐标分别为，，点在轴上，将直线沿轴向右平移个单位长度．若平移后的直线恰好平分菱形的面积，则的值是______． 【答案】3 【分析】根据菱形的对称中心是对角线交点，过中心的直线平分面积，先求出中心坐标，写出平移后直线解析式，再将点P坐标代入解析式，最后算出． 【详解】解：连接、交于点，如图： ∵四边形是菱形， ∴点是的中点， ∵，， ∴， ∵直线沿轴向右平移个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， ∵平移后的直线恰好平分菱形的面积， ∴直线经过点， ∴， 解得：． 故答案为：3． 14．如图，在中，，，点，分别是边、上一点，且，则四边形的形状可能是________．（填序号：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形） 【答案】①②③ 【分析】先得出四边形是平行四边形，再根据矩形、菱形和正方形的判定逐个分析即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； 若，则四边形是矩形， 此时， ∴， ∵， ∴，点在边上，符合题意； 若， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， 即当时，四边形是菱形； 要使平行四边形是正方形，则，且， 由上可知，， ∴，， ∴，这与矛盾， ∴平行四边形不可能是正方形； 综上，四边形的形状可能是①②③． 故答案为：①②③． 15．如图，把矩形沿对折，使点B与点D重合，折痕交于G，P为上一个动点，若，则的最小值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查了轴对称的性质，矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，得出点P的位置是解答本题的关键． 连接交于点P，由轴对称的性质可知此时的值最小．证明得，先由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可求出的最小值． 【详解】解：如图， 连接交于点P， 由折叠知，点E与点F关于对称， ∴， ∴，即此时的值最小． ∵矩形中，， ∴， ∴． 由折叠知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分） 16．（6分）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，点A，B均为格点（网格线的交点），我们把顶点落在格点上的四边形称为格点四边形．请在给定的网格中用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图①中画一个以为对角线的格点正方形； （2）在图②中画一个格点菱形，且四边形不是正方形； （3）在图③中画一个格点平行四边形，且面积为12． 【分析】（1）连接，使，再依次连接，则四边形即为所求； （2）根据菱形的判定解答，使； （3）以为底边，以4为高线，可得平行四边形． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：如图所示，四边形即为所求； （3）解：如图所示，四边形即为所求． 17．（6分）如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形面积． 【分析】（1）由菱形的性质可得，结合，，命题得证； （2）根据矩形和菱形的性质可得，，从而计算出菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 18．（6分）如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）当 时，四边形是正方形． 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，三线合一定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知矩形和正方形的判定定理是解题的关键． （1）可证明，则可证明四边形是平行四边形，由三线合一定理得到，据此可证明结论； （2）当时，可证明是等腰直角三角形，得到，则可证明矩形是正方形． 【详解】（1）证明：∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：当时，四边形是正方形，证明如下： 由（1）可得，且四边形是矩形， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形． 19．（8分）如图，四边形中， ，点O是、的交点，且点O为的中点． （1）求证； （2）若E为的中点，F为的中点，当，时，四边形是否为正方形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【分析】（1）先证，得到，即可求证四边形是平行四边形；得到； （2）先证得四边形是平行四边形，再证得，可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质求得，根据等腰三角形的性质进一步求得即可． 【详解】（1）证明：， ； 点O为的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； ； （2）解：四边形是正方形； 由（1）可知：，， ∵E为的中点，F为的中点， ∴， 四边形是平行四边形； ， ， 四边形是菱形； ，， ， ， 是等腰直角三角形； ， ， 四边形是正方形． 20．（8分）如图，点E、F分别在矩形的边和上，和相交于点O，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【分析】（1）根据矩形及全等三角形的判定和性质得出，，再由平行线的性质确定，得出，再由菱形的判定证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，确定，利用勾股定理得出，再由菱形的性质确定，设，则．，根据勾股定理得出的长为5．再次使用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴即， ∵，， ∴， ∴， 设，则．， 在中， ， 解得，即的长为5． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 21．（10分）如图所示，矩形的对角线与相交于点，点为的中点，连接并延长至点，使得，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的周长为，平行线与之间的距离为，求矩形的周长． 【分析】（1）通过，，证明四边形是平行四边形，再利用四边形是矩形，得出，即可求证； （2）证明是直角三角形，得出．再利用，得出，求出，再利用中位线的性质得即可求出，即可求解矩形的周长． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，且周长为， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 设平行线与之间的距离为h，则， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形的周长为． 22．（10分）如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，连接，，．设点，的运动时间为． （1）当为何值时，四边形是矩形？ （2）当为何值时，四边形是菱形？ 【分析】（1）当四边形是矩形时，由，据此求解得出的值即可； （2）当四边形是菱形时，得，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴，，，， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∵点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的运动速度都是，设点，的运动时间为， ∴此时， 解得：． 答：当时，四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形为菱形． 设秒后，，四边形为菱形， 根据勾股定理得：， 即， 解得：． 答：当时，四边形是菱形． 23．（10分）如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接，的两条外角平分线、交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，求点B的坐标． 【分析】（1）先证明四边形是矩形，过点作，根据角平分线的性质定理得到，即可得证； （2）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的定义求出，将绕点旋转，得到，证明，得到，可知，设，正方形的边长为，则，点坐标为，根据勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）证明：∵过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D， ∴， ∴四边形为矩形， 过点作， ∵的两条外角平分线、交于第一象限的点P，， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵的两条外角平分线、交于第一象限的点P， ∴， ∴， ∴， 将绕点旋转，得到， ∴，， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，正方形的边长为， 则，点坐标为， ∵， ∴， 即， 在中，， 由勾股定理：， 且， ∴， 解得， ∴． 24．（11分）综合与实践 【情境】有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图1所示，已知，，，，现要把每块木板都只分割一次，将其拼成正方形（说明：木板拼接不重叠，无缝隙，无剩余）； 【操作】选取其中一块四边形木板拼成一个正方形，如图2，嘉嘉过点分别作于点，交的延长线于点，并说：“沿进行分割，得到能与完全重合的，即可拼得正方形．” （1）求证：； （2）求的长； 【拓展】将两块四边形木板拼成一个大正方形，淇淇说：“如图3，将每一块四边形都沿同一条分割线进行分割，即可拼成两个等腰直角三角形，最终拼得一个大正方形．” （3）在图3中画出一条分割线，并直接写出这条分割线的长． 【分析】（1）根据证明即可； （2）先证明四边形是正方形，则，而，再进行等量代换求解即可； （3）将四边形沿着剪开，再将拼接到的位置即可，连接，过点作交的延长线于点，证明，得到是等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）解：如图，分割线即为所求； 将四边形沿着剪开，再将拼接到的位置即可， 连接，过点作交的延长线于点， ∴ ∴ ∵在四边形中， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $