内蒙古巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

**基本信息** 高二年级9月月考数学卷注重基础与能力结合，涵盖直线倾斜角、椭圆方程、圆的位置关系等核心知识，解答题如空间几何证明（第18题）、圆的轨迹与定值探究（第19题），体现逻辑推理与数学建模，适配高二学段学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线倾斜角、点到直线距离、椭圆方程|基础概念辨析，如第4题结合充分必要条件考查直线平行| |多选题|3/18|正方体线面关系、圆的切线|多角度能力考查，如第11题综合切线长与四边形面积| |填空题|3/15|椭圆焦距、圆的切线方程|分层设空，如第14题含轨迹方程与最值两问| |解答题|5/77|垂直平分线方程、圆的标准方程、空间几何、轨迹证明|综合应用突出，如第18题三问递进考查线面平行、二面角、存在性问题，第19题结合圆与直线探究轨迹及定值，体现数学思维与表达|

巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年第一学期9月月考 高二年级 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．点到直线的距离等于（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的焦点在轴上，经过点，，则其标准方程为（ ） A． B． C． D． 4．设，已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.已知直线与圆相切，则圆和圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 6.已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 7．若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8.已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知点，且点在直线上，则（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 的最小值为 D. 若，则的最小值为1 10.已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（   ） A．直线与直线所成的角为90° B．直线与平面所成角的余弦值为 C．平面 D．点到平面的距离为 11.已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆M的切线，切点分别是A、B，下列说法正确的有（   ） A．圆M上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长的最小值为1 C．四边形面积的最小值为1 D．直线恒过定点 3、 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知椭圆的焦距为2，则 ． 13.过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线方程是 14.已知点是直线与直线的交点，则点的轨迹方程为 ；（3分）若点是圆上的动点，则的最大值为 （2分） 4、 解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分）已知顶点、、. (1)求边的垂直平分线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程. 16．（15分）已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求经过点且与圆相切的直线方程. 17.（15分）已知圆，直线. （1）求证：直线l与圆C恒有两个交点； （2）若直线l与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 18.(17分)如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，，.    （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由. 19.（17分）已知圆分别与轴正半轴交于两点，为圆上的动点. （1）若线段上有一点，使得,求点的轨迹方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）若为圆上异于的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 高二数学试题 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年第一学期9月月考 高二年级 数学答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A C C A B D BC ABC BCD 8.【解答过程】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 9.【解析】对于A：设，若时，此时的斜率不存在， 与不垂直，同理时与不垂直， 当且时， 若，则， 去分母整理得，方程无解，故与不垂直，故A错误； 对于B：设，若， 则，即， 由，所以方程有解， 则存在点，使得，故B正确； 对于C：如图设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以， 当且仅当三点共线时取等号（在线段之间），故C正确： 对于D，因为， 当时等号成立，所以的最小值为1，故D错误. 故选：BC. 10.【解答过程】在正方体，以为原点，分别为如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，， ∵，∴，∴A选项正确； ∵，，设平面的一个法向量为， 则，令，解得，即， 设直线与平面所成角为， 则， ∴，∴B选项正确； ∵，∴平面，∴C选项正确； 点到平面的距离，∴D选项错误. 故选：ABC. 11.【解答过程】对于A，由圆，可知圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 圆上的点到直线的最小和最大距离分别为和， 由于，圆上有两个点到直线的距离距离为，故A错误； 对于B，由圆的性质可得切线长， 所以当最小时，有最小值，又， ，故B正确； 对于C，因为四边形面积为， 所以四边形面积的最小值为1，故C正确； 对于D，设，由题可知点，，在以为直径的圆上，又， 所以，即， 又圆，即， 两式子相减得：直线的方程为：，即， 由，得，即直线恒过定点，故D正确． 故选：BCD. 2、 填空题 12. 5或7 13. 14. （3分） （2分） 3、 解答题 15.【解答过程】（1）由、可知中点为，且，.....................2分 设边的垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线斜率满足，即， .............................................4分 所以边的垂直平分线的方程为，即；...............6分 （2）当直线过坐标原点时，其斜率，此时直线方程为，符合题意；..............8分 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，................................9分 由过点，则，解得， ..........................................................10分 所以直线方程为， ..................................................................12分 综上所述，直线的方程为或................................................13分 16.【详解】（1）线段的中点，直线的斜率， ..................2分 则线段的中垂线方程为，即，.......................................3分 由，解得，，.......................................5分 因此圆的圆心，半径，.........................................6分 所以圆的标准方程为；.................................7分 （2）点到直线的距离为2，即直线与圆相切；..........................9分 当切线斜率存在时，设切线方程为，即，.....................10分 由，解得，因此方程为，...................................13分 所以经过点且与圆相切的直线方程为或................................15分 17.【详解】（1）因为直线可变形为， 所以，解得， 故直线经过的定点为................................................................................3分 将点代入圆的方程有，.....................................5分 所以点在圆C的内部，所以直线l与圆C恒有两交点. ..............................7分 （2）由（1）知，因为，................................8分 所以当时，面积最大，..................................9分 此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径...............11分 此时点C到直线l的距离，， 所以可以取到， 所以，解得或............................................14分 故所求直线l的方程为或.........................................15分 18.【详解】（1）因为平面平面，平面平面，，平面, 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是正方形， 所以， 因为，平面，平面， 所以平面........................................................................................5分 （2）由（1）得平面，因为平面，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴、 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.    因为，， 所以，. 则，，,，， 所以，，........................................................7分 设平面的一个法向量为， 则，取得，...............................9分 因为平面，所以为平面的一个法向量，， 所以，.................................11分 设平面与平面夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值．...................................12分 （3）线段上存在点，点为中点，满足平面，证明如下： 设， 因为， 所以， ......................................................15分 由（2）知平面的一个法向量为， 因为平面，所以，解得， 所以线段上存在点，点为中点，满足平面..............................................17分 19. 学科网（北京）股份有限公司 $