精品解析：内蒙古包头市景泰高级中学2025-2026学年高二上学期一月月考数学试卷

内蒙古包头市景泰高级中学2025-2026学年高二上学期一月月考数学试卷 考试时间：2026年1月 考试时长：90分钟 总分100分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若数列的前项和，则（ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 【答案】D 【解析】 分析】由可得，代入项数后即可求解. 【详解】根据题意，， 故选：D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程先求出斜率，再根据倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，， 直线的斜率为，即，所以. 故选：C 3. 已知空间向量，若，则（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量数量积求解. 【详解】， ，得， 故选：A 4. 双曲线的其中一条渐近线的斜率为，则离心率的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线斜率得到，利用即可求解离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 所以由题可知，所以双曲线的离心率为. 故选：D. 5. 记为等差数列的前项和.若，则（ ） A. 50 B. 44 C. 40 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列性质计算可得，得出首项和公差，再由等差数列前项和公式计算即可, 【详解】根据题意可知， 又，可得， 所以公差，可知首项； . 故选：B. 6. 设为坐标原点，为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义，结合两点间距离公式求解. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为，设点，则， 由，得，解得，所以. 故选：D 7. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加、减法和数乘运算法则求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D. 8. 已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长. 【详解】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 已知等差数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 当且仅当时，取最小值 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】列等式求出等差数列的公差d，首项，再据此逐一分析各项即可． 【详解】对于AB，设等差数列的公差为，由，得， 解得，所以， 则，故AB正确； 对于C，令，得，且，所以当或时，取最小值，故C错误； 对于D，因为，故D正确． 故选：ABD． 10. 抛物线的焦点为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，设为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项A，B，求出焦点，求出过焦点且倾斜角为的直线方程，此直线与抛物线联立方程组，得到关于的一元二次方程，设，根据根与系数的关系求出，将代入，得到，求出，利用数量积公式求出.对于选项C，将代入，得到的一元二次方程，根据根与系数的关系求出，利用公式求出，对于选项D，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离为，则代入数值得解. 【详解】 对于选项A，B，抛物线的焦点的坐标为， 倾斜角为的直线的斜率为， 过焦点且倾斜角为的直线方程为， 整理为， 代入得到， 即， 设，则，A正确； 在上， ，， ，错误. 对于选项C，将代入，得到 ， 整理为，则， ，， ， ，C错误； 对于选项D，点到直线的距离为， ，故D正确. 故选：AD. 11. 双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论. 【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一 M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以在双曲线的左支， ，， ，设，由即，则， 选A 情况二 若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支， 所以，， ，设， 由，即，则， 所以，即， 所以双曲线的离心率 选C [方法二]：答案回代法 特值双曲线 ， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点都在左支,， ， 则， 特值双曲线， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点在左右两支，在右支，， ， 则， [方法三]： 依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为， 若分别在左右支， 因为，且，所以在双曲线的右支， 又，，， 设，， 在中，有， 故即， 所以， 而，，，故， 代入整理得到，即， 所以双曲线的离心率 若均在左支上， 同理有，其中为钝角，故， 故即， 代入，，，整理得到：， 故，故， 故选：AC. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共15分） 12. 已知双曲线的焦距为，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】由题知，，再根据的关系求解即可. 【详解】解：根据题意，，， 所以，解得. 故答案为：4 13. 过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】联立两直线方程求交点坐标，再结合直线截距式求直线方程. 【详解】由，解得，则两直线交点. 由题意所求直线在两坐标轴上截距相等， ①当截距为0时，则过点的直线方程为，即； ②当截距不等于0时，设直线方程为 将点坐标代入，得，解得 故答案为：或. 14. 如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据几何体特征可证明平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系并求出平面法向量，由线面角的向量求法计算可得结果. 【详解】如下图，连接，因为为BC中点， 所以，又平面底面， 平面底面平面， 所以平面， 又因平面，所以，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图： 设，可得 由，可得， 所以， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，得， 设直线与平面夹角为，则， 所以直线与平面夹角的余弦值为. 故答案为： 四、解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 的三个顶点分别是． （1）求边BC所在直线的方程； （2）求外接圆的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据点斜式直接计算即可； （2）根据圆的一般式方程，列方程组求解即可． 【小问1详解】 根据题意，，则边BC所在的直线方程为，整理得． 【小问2详解】 设圆的一般方程为， 可列表达式为，解得， 则圆方程为或． 16. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差后，借助等差数列求和公式与基本量计算即可得； （2）借助等差数列求和公式与作差法计算即可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，有，即， 由，有，将代入得， 则或，又数列的公差不为， 故，则， 故数列的通项公式； 【小问2详解】 ， 则，又，故使成立的的最大值为. 17. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若，点在棱上，，求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据面面垂直性质定理证明平面，再根据线面垂直证线线垂直即可； （2）取的中点，过作与交于点，则两两垂直，进而建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【小问1详解】 证明：因为为BD的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面，又平面， 所以； 【小问2详解】 解：取的中点，因为为正三角形，所以， 过作与交于点，则，所以两两垂直， 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 因为点在棱上，，所以， 因为平面，故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，， 所以，得， 令，则，故， 设二面角的大小为， 所以， 根据图像可知二面角为锐角，故， 所以二面角-的大小为. 19. 设F为抛物线H：的焦点，点P在H上，点，若． （1）求H的方程； （2）过点F作直线l交H于A、B两点，直线AO（O为坐标原点）与H的准线交于点C，过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D，直线CB与AD交于点G，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由得点的横坐标，再利用抛物线的定义即可得解； （2）联立直线与抛物线的方程，得到，再根据题意依次求得点与点的坐标，从而将转化为关于的表达式，从而得解. 【小问1详解】 依题意，点的坐标为， 又，，所以点的横坐标为， 由拋物线的定义得，所以， 所以拋物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知点的坐标为，设直线的方程为， 联立，消去，得，易知， 设，则，故， 易得直线的方程为，抛物线的准线方程为:， 所以点的坐标为， 因为，所以，即点， 所以直㦱平行于轴，则直线的斜率为， 所以直线的斜率为，其方程为， 因为点的纵坐标为， 所以点的横坐标为， 所以 ， 因为，则，所以， 即的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古包头市景泰高级中学2025-2026学年高二上学期一月月考数学试卷 考试时间：2026年1月 考试时长：90分钟 总分100分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若数列的前项和，则（ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，若，则（ ） A B. C. D. 6 4. 双曲线其中一条渐近线的斜率为，则离心率的值为（　　） A. B. C. D. 5. 记为等差数列的前项和.若，则（ ） A. 50 B. 44 C. 40 D. 36 6. 设为坐标原点，为抛物线焦点，点在抛物线上.若，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 7. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 已知等差数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 当且仅当时，取最小值 D. 10. 抛物线的焦点为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，设为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 11. 双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ） A B. C. D. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共15分） 12. 已知双曲线的焦距为，则______. 13. 过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 14. 如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为______. 四、解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 的三个顶点分别是． （1）求边BC所在直线的方程； （2）求外接圆的方程． 16. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的的最大值． 17. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若，点在棱上，，求二面角的大小. 19. 设F为抛物线H：的焦点，点P在H上，点，若． （1）求H的方程； （2）过点F作直线l交H于A、B两点，直线AO（O为坐标原点）与H的准线交于点C，过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D，直线CB与AD交于点G，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $