精品解析：内蒙古包头市景泰高级中学2025-2026学年高二上学期一月月考数学试卷

内蒙古包头市景泰高级中学2025-2026学年高二上学期一月月考数学试卷 考试时间：2026年1月 考试时长：90分钟 总分100分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若数列的前 项和 ，则 （ ） A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 2. 直线 的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 6 4. 双曲线的其中一条渐近线的斜率为，则离心率 的值为（　　） A. B. C. D. 5. 记为等差数列的前 项和.若 ，则 （ ） A. 50 B. 44 C. 40 D. 36 6. 设 为坐标原点， 为抛物线 的焦点，点 在抛物线 上.若 ，则 （ ） A. 3 B. 4 C. D. 7. 如图，空间四边形 中，，点 在 上，且 ，点 为 中点，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线 的离心率为，C的一条渐近线与圆 交于A，B两点，则 （ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 已知等差数列的前 项和为，且满足 ，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 当且仅当 时，取最小值 D. 10. 抛物线 的焦点为 ，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，设 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共15分） 12. 已知双曲线 的焦距为，则 ______. 13. 过直线 与直线 的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 14. 如图，三棱锥 中， ，且平面 与底面 垂直， 为 中点，，则直线 与平面 夹角的余弦值为______. 四、解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 的三个顶点分别是． （1）求边BC所在直线 的方程； （2）求 外接圆 的方程． 16. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的 的最大值． 17. 已知椭圆 的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点 的直线l交C于 两点， 为坐标原点.若 的面积为，求 ． 18. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点. （1）证明： ； （2）若 ，点 在棱 上， ，求二面角 的大小. 19. 设F为抛物线H：的焦点，点P在H上，点，若 ． （1）求H的方程； （2）过点F作直线l交H于A、B两点，直线AO（O为坐标原点）与H的准线交于点C，过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D，直线CB与AD交于点G，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 内蒙古包头市景泰高级中学2025-2026学年高二上学期一月月考数学 试卷 考试时间：2026年1月 考试时长：90分钟 总分100分 一、 单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.若数列{a}的前n项和S。=n+7m,则4=() A.18 B.16 C.14 D.12 【答案】D 【解析】 【分析1由，-S,=a,之2刃可得S-S=4,代入项数后即可求解 【详解】根据题意，a=8-S2=30-18=12 故选：D. 2.直线3x-5y-10=0的领斜角为() 元 5π 交 2π A.6 B.6 C.3 D.3 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程先求出斜率，再根据倾斜角与斜率的关系求解即可 【详解】设直线的倾斜角为9,8∈[0，). 百我3x-5-10-0哈为=5-5.m如0=5.所他0=号 第1页/共23页 命学科网命组卷网 故选：C 3.已知空间向量a=(-2,4),6=化，-4,2），若a-6=-2,则6F（) A.2V6 B.2V万 c.3v2 D.6 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积求解。 【i详解】a=(-12,4),b=化，-4,2)，a6=-2 a-6=-t=-2,得1=2，bV22+(-4)2+22=26 故选：A x2 y 2W5 4双曲线云京=l(α>0，b>0)的其中一条近线的斜率为等，则离心率e的值为(） 5 4v5 3v5 A.2 B.5 c.5 D.5 【答案】D 【解析】 b25 ,b2 【分析】根据双曲线的渐近线斜率得到。5，利用=1+京即可求解离心率 【保解】双街线云京-10>06>0的近线方提为=± x2 y2 b a b 25 5，所以双曲线的离心率为e=C 62 03V5 所以由题可知a a 1+ 5-5 故选：D. 5.记S为等差数列{a,.}的前n项和若4+a,=10,a,4=45,则，=（) A.50 B.44 C.40 D.36 【答案】B 第2页/共23页 6学科网6组卷网 【解析】 【分析】利用等差数列性质计算可得4=5,4=9 ，得出首项和公差，再由等差数列前”项和公式计算即 可， 【详解】根据题意可知4+a,=2a,=10,a,=5 又04-45 可得49 d=s-a4=1 所以公 4,可知首项4=a4-3d=5-4=2: 88-d=8a,+28d=4 Ss =8a,+ 2 故选：B. 6设O为坐标原点，F为抛物线C:y=4r的焦点，点M在抛物线C上若MF=6,则OM=( A.3 B.4 c.4v2 D.3V5 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义，结合两点间距离公式求解 【详解1抛物线C:少=4红的焦点F(,0),准线方程为x=-1,设点M(o,W）,则=4红 由MF=6,得X,+1=6,解得，=5，所以OM=V号+片=V52+4x5=3V5 故选：D 如图，空间四边形OABC中，OA=aOB=6,0C=c,点M在OA上，且OM=M 2 ,点N为 BC中点，则M等于() 第3页/共23页 6学科网命组卷网 a+5+c 1 1,1 1 -a+二b+一C A.322 B.322 2..1 1 11 1 a+-b+-C C.3 a+。b+二c 2 D.3 2 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加、减法和数乘运算法则求解 【详解】因为 OM-1MA 2 OM÷2OA ，所以 所 MN-ON-08-(08+0c) 2 2 2 故选：D 8口知双曲线C:元-京=1(a>0,6>0的离心率为√5，C的一条渐近线与圆(x-2}+y-3)2=1交 于A,B两点，则 ABF() √5 2W5 3v5 45 A. 5 B.5 c.5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长， 第4页/共23页 6学科网命组卷网 c2 a2+b2 2 【详解】由e=V5,则==1+ =s b=2 解得a, 所以双曲线的渐近线为'=士2x 当渐近线为v=一2x时，圆心(2.，3)到该渐近线的距离4=文2+3！7V5 V22+15 21,不合题惠： 当近线为y=2x时，则网心2,3)到骑近线的距离d-12X2-3引5 V22+15, 故选：D 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.己知等差数列{a}的前n项和为S,且满足4，=-4，S,=-40,则下列说法中正确的是《) A.90=6 B.Si0=-30 C.当且仅当n=6时 Sn取最小值 D.a+a6+a+a+g,=0 【答案】ABD 【解析】 【分析】列等式求出等差数列的公差山，首项，再据此逐一分析各项即可. 第5页/共23页 6学科网6组卷网 a1+4d=-4 .5×4d=-40: 【详解】对于A品，设等若数列口，}的公荟为。由。=-45，=40得5a+2 解有4=-12，d=2,所以9，=2n-148-2+20-1490=㎡-13n 2 则40=2×10-14=6，S。=102-13×10=-30,故AB正确： 对于C,令4，=2n-14≤0，得n≤7，且4=0，所以当1=6欧n=7时，S取最小值，故C错误： 对于D,因为a+a+a,+a+a,=5a=0 故D正确. 故选：ABD, r 10.抛物线y2=8x的焦点为F,过焦点且倾斜角为3的直线交抛物线于A,B两点，设 A(x,),B(x,),D为坐标原点，则下列结论正确的是《） A.为2=-16 B.O4.OB=-8 C.14B1 16W5 3 D.Son 3 【答案】AD 【解析】 π 【分析】对于选项A,B,求出焦点F,求出过焦点且倾斜角为3的直线方程，此直线与抛物线联立方程 组，得到关于y的一元二次方程，设1(，乃)，B(少）， 根据根与系数的关系求出，将 48K人发，相其 8,求出xx2,利用数量积公式求出OA.OB对 第6页/共23页 命学科网命组卷网 于选项C,将)=V(x-2)代入广=8x,得到x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出+名，利 用公式M=M+B+戈+P求出lAB,对于选项D,利用点到直线的距离公式求出点O到直线 刀=5（红-2g距高为d,则5a4d代 ”代入数值得解 【详解】 对于选项A,B,抛物线广=8x的焦点F的坐标为2,0，P=4, k=tanC=√3 倾斜角为3的直线的斜率 3 ∴过焦点且倾斜角为3的直线方程为y=V3(x-2), y y=8x整理为=8， 首代入y=-2习到5司g-2】 即V3y2-8y-16V3=0 设A(5,h),B(5,5),则4男=-16 3 =-16,A正确： :4kB6在=苦L 第7页/共23页 命学科网 命组卷网 ..X= .5=片-0-16=4 8 886464 OA.0B=xx+y%2=4-16=-12,B错误 对于选项c,将y=V5(x-2)代入y2=8x,得到[5(x-2]=8x, 20 整理为3r2-20x+12=0,则+=3， y2=8xp=4 M5=+号BF=x+号 2 +432 BF+x+p-20 3 3,C错误： 对于选项D,点。到直线y=V3(x-2)的距离为d=、23 =V5 V3+1 mh04×号5-16 3 ,故D正确 故选：AD. 11.双曲线C的两个焦点为 ,B,以C的实销为直径的圆记为D,过5作D的切线与C交于M,N两点， 且cos∠F5 5,则C的离心率为() 5 V13 V17 A.2 B.2 C.2 D.2 【答案】AC 【解析】 第8页/共23页 学科网命组卷网 【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过片作圆D的切线切点为G,利用正弦定理结合三角变换、 2b=30或a=2b,即可得解，注意就M,在双支上还是在单支上分类讨论 MN 双曲线的定义得 【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 A 情况一 F M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过F作圆D的切线切点为B, 所以OB LEN,丙cos∠NF=5之0，所以N在双曲线的左支， 3 sina=4 OB=a,lor=c,EB=b,设∠E5,=&,由即osa=5,则 [NAl-alNEJ-a NF-NF=2a 0-0-2-2 2b=a..e= 5 2 选A 情况二 第9页/共23页 6学科网命组卷网 B 若M、N在双曲线的两支，因为 osZFNE-3>0 5 ,所以N在双曲线的右支， 所以OB=a,OF=c,EB=b,设∠NE,=a, 山cw∠2-ama- ina=4 5,则 5, [NA-oJNEJ- NF-NF =2a 20+265 =2a, b3 所以2b=3a,即a2, b2 V13 所以双曲线的离心率e= 1+ a d= 2 选C [方法二]：答案回代法 A选项e= 2 特值双曲线 第10页供23页 6学科网命组卷网 年y=1(5.0(5.0 过且与圆相切的一条直线为y=2(x+V5). 两交点都在支.N号5号5】 ∴NE=5,NE=1,EE2=25 则mG-号， C选项e=3 2 符拉风建至号-1(E.0(o)】 过5且与圆相切前条直货为y+例】 两交在丙支.N右支，N侣压，管丽 (13 ∴NE=5,NF=9,EE=2W13 则 cos∠NF2=5 [方法三]： 依腿意不妨设双曲线焦点在转，设过作圆D的切线切点为G, 第11页/共23页 命学科网组卷网 M,N 分别在左右支， 3 因为0G1M5,且os∠FW=亏>0， ,所以N在双曲线的右支， 又OG=a.lOF=clGE=b 设∠RN5=a.∠EEN=B INF NF 2c 在△FNE,中，有sinB sin(a+B)sina, NF-NE 2c 故sin(a+B)-sinB sina即sin(a+B)-sinB sina, a 所以sin a cos B+cosasin B-sin阝sina, cosa sin pacos 3 4 sina= C, c,故 5 b3 代入整理得到2b=3a,即a2,' b V13 所以双曲线的离心率e=。= a 3 1+ 2 F2 x 均在左支上， 第12页供23页 6学科网命组卷网 NENE 2c 同理有sin psin(a+月sina,其中B为钝角，枚cosB=-名 NF-NF 2c C sin B-sin(a+B)sina sin B-sina cos B-cosasin B sina f代入cosa=.sinB-a sina= 3 4 a 1 c. 5,整理得到：4b+2a4, 故=26 故e a 故选：AC 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共15分） C父-广m>0的焦距为20.则m■ 12.已知双曲线m+2m 【答案】4 【解析】 【分折】由题知a=m+2.6=m,2c=210,再根据4,6，c的关系求解即可 【详解】解：根据题意，a=m+2,b=m、2c=2V10 所以c=0,d+=2m+2=C2=10,解得m=4 故答案为：4 第13页/供23页 命学科网组卷网 -y+1=0 2x+y-4=0 13.过直线 与直线 的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为， 2x-y=0.x+y-3=0 【答案】 或 【解析】 【分析】联立两直线方程求交点坐标，再结合直线截距式求直线方程. x-y+1=0 x=1 【详解】由2x+y-4=0,解得y=2,则两直线交点PL,2) 由题意所求直线在两坐标轴上截距相等， ①当截距为0时，则过点的直线方程为 =2x2x-y=0 ,即 ②当截距不等于0时，设直线方程为x+y=a,a≠0 将点02 坐标代入1+2=a,得a=3, 解得*+y-3=0 2x-y=0x+y-3=0 故答案为： 或 14.如图，三棱锥A-BCD中，AB=BC=AC=DB=DC,且平面ABC与底面BCD垂直，E为 BC中点，=DA,则直线4D与平面4BF夹角的余弦值为 D B V14 【答案】4 【解析】 【分析】根据几何体特征可证明AE⊥平面BCD,以E为坐标原点，建立空间直角坐标系并求出平面 第14页/共23页 命学科网命组卷网 ABF的法向量，由线面角的向量求法计算可得结果， AE,DE AB=BC=AC=DB=DC,E 【详解】如下图，连接 ，因为 为BC中点， AE⊥BC,DE⊥BC ABC⊥ BCD 所以 ,又平面 底面 ABC∩BCD=BC,AEABC 平面 底面 广平面 所以AE⊥平面BCD, ED,EBC BCD AE⊥EB,AE⊥ED,ED,EB,EA 又因为 平面 ,所以 ,故 两两垂直， 以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图： 设4B=2,可得E(0,00),A0,0V3),D(3,0,0,B(01,0) 由EF=DA,可得FV3,0,V3). 所以4B=(0,L-V⑤，AD=(5,0-5,AF=(←V3,00 [i.AB=0[b-3c=0 设平面ABr的-个法向量为i=(ah,d)则n-AF-0即-5a=0· 令c=1,得i=0,5,) 设在线n与于国r夹角为则0-a(孤网 AD.n -32 AD列 2×√6 4. 所以直线AD与平百ABr夹角的余弦植为一sin0= 4 第15页/供23页 6学科网 命组卷网 14 故答案为：4 四、解答题（本题共5题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15△MBC的三个顶点分别是4(4,0)，B(0,2),C(3,1） (1)求边BC所在直线1的方程： (2)求△ABC外接圆G的方程. 【答案】(1)七+3y-6=0 (2)x+y+6y-16=0或x2+(0y+3}=25 【解析】 【分析】(1)根据点斜式直接计算即可： (2)根据圆的一般式方程，列方程组求解即可. 【小问1详解】 2-11 根据题意， 0-33,则边BC所在的直线方程 y-2=-0, 整理得x+3y-6=0。 【小问2详解】 设圆的一般方程为+y+Dx++F=0 16+4D+F=0 D=0 可列表达式为 4+2E+F=0 ,解得) E=6 10+3D+E+F=0 F=-16 则圆的方程为x+y2+6y-16=0或x2+(y+3)}2=25 16.记5是公差不为0的等差数列a,}的前n项和，若4，=S,4,a,=S, (1)求数列a}的通项公式a: 第16页/供23页 6学科网6组卷网 （2)求使5，<a成立的”的最大值。 【答案】(1)a,=2n-6 (2)5 【解析】 【分析】(1)设出公差后，借助等差数列求和公式与基本量计算即可得： (2)借助等差数列求和公式与作差法计算即可得. 【小问1详解】 设等差数列a}的公差为d,由4=8，有4+2d=5a+10d,即4=-2d, 由%a,=S,有a+d(a+3d)-4a+6d,将4=-2d代入得d2=2d, 则d=2或d=0,又数列a,}的公差不为0， 赦1=2，则4=-2d=4 故数列{a}的通项公式0，=-4+2(n-)=2n-6, 【小问2详解】 S.-a,=（4+2”-6)-n-(2n-6)=㎡-7n+6=(a-100a-6)<0 2 则1<n<6,又n∈N,赦使S,<a成立的”的最大值为5 C:2 √2 17已知椭园C:。+下=1a>b>0)的离心率为7，长轴长为4. (1)求C的方程： (2)过点0，-2 的直线交C于4B两 1B两点，0为坐标原点.若△0AB的面积为√2，求1B 【答案】(1)42 第17页/供23页 6学科网命组卷网 (2)v5 【解析】 【分析】(1)根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； (2)设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求〔的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 2 因为长轴长为4，故a=2,而离心率为2，故c=V2, x2y2 =1 故b=√2，故椭圆方程为：42 【小问2详解】 y B 由题设直线AB的斜率不为0，放设直线：x=(y+2),A(:,y),B(:,2) x=(y+2) 由1x2+2y2=4可得(+2)y2+412y+412-4=0, 故△=16-4+24-4)=4(8-42）>0即-V2<1<2, 42 412-4 且片+%=2+2%=P+2, -2折为-*对4西-2-5 t2+2 解得达6 3, 第18页/供23页 6学科网列组卷网 数4=i+F以-+景0+g广-4-厚 32-16× 03=5 3*2 18.如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点， (1)证明：OA⊥CD: (2)若OA=OC=CD=OD,点E在棱AD上，DE=2EA,求二面角E-BC-D的大小 【答案】(1)证明： AB=AD,O 因为 为BD的中点，所以A0⊥BD 又平面MBDL平面BCD,平面BDn平百BCD=D,1OC平面4BD, 所以AO⊥平面BCD,又CDC平面BCD, 所以AO⊥CD: (2)45 【解析】 【分析】(1)先根据面面垂直性质定理证明AO⊥平面BCD,再根据线面垂直证线线垂直即可： (2取OD的中点F,过0作OM/CF与BC交于点M,则OM,OD,O 两两垂直，进而建立空间直 角坐标系，利用坐标法求解即可. 【小问1详解】 略； 第19页/供23页 6学科网6组卷网 【小问2详解】 取OD的中点F,因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD, 过O作OM1CF与BC交于点M,则OML0D,所uOM,oD,0A 两两垂直， 如图，以点为坐标原点，分别以 OM,OD,OA 所在直线为轴，’轴，2轴建立空间直角坐标系， 令OA=OC=CD=OD=2, 则O0,0,0),B(0,-2,0),C(V5,1,0),D0,2,0,A0,0,2) 国为点E有技D上D5-24,我40号) 因为OA上平面BCD,故平面BCD的一个法向量为 A=(0,0,2) 设平面BCE的法向量为n=化，y,2), Bc=5,3.0.aE=0)】 [N3x+3y=0 nBC=0 所以 iBE=0'得y+4 2y+。z=0: 3 令x=V5,则y=-山z=2,故i=(5,-山，2)， 设二面角E-BC-D的大小为B, 第20页/共23页 6学科网命组卷网 所以cos0= cosi,O4 n.OA √2 2, 根据图像可知二面角E-BC-D为皖角，故0=45， 所以二面角B-BC.D的大小为45 g设F为抛物线4y=2p>0)的焦点，点P在H上，点M,0 若PF=|PM=5. (1)求H的方程： (2)过点F作直线1交H于A、B两点，直线AO(O为坐标原点)与H的准线交于点C,过点A作直线 GB CF的垂线与H的另一交点为D,直线CB与AD交于点G,求GC的取值范围. 【答案】(1)y=4x 【解析】 【分析】（山）先由PT=PM得点P的横坐标，再利用抛物线的定义即可得解， (2)联立直线'与抛物线H的方程，得到片+，少，，再根据题意依次求得点C与点G的坐标， GB 从而将GC转化为关于x的表达式，从而得解， 【小问1详解】 依题意，点F的坐标为 第21页/供23页 6学科网命组卷网 (o Pm=PM=5.以p的展标为+)-2p, 由抛物线的定义得 PF=2p+2=5 2,所以p=2, 所以抛物线H的方程为广=4x 【小问2详解】 由山知点F的坐标为，0)，设直线'的方程为=m+, x=my+l 联立y2=4x，消去x,得y2-4m-4=0:易知△>0 设Ax,y,B(x,为，则y+为=4m,2=-4,故巧=16=1 y=Mx 易得直线AO的方程为x，抛物线H的准线方程为x=-1, 所以点C的坐标为 -上=-4 因为y2=4x，所以x 片，即点C(l,%), 所以直我BC平行于x轴，则直线CF的斜率为 kr=- 2」 第22页/供23页 6学科网列组卷网 2 2 y-y=二(x-x) 所以直线AD的斜率为y2,其方程 因为点G的纵坐标为 所以点G的横坐标为名=+发-2三x+2x+2 22 1GB-+2x+2-为=+为2+2-x+x2+2x=+2x+1 所以1GC1x+2x2+2+1x+2x2+3x+2x62+3xx2+3x+2 =出+1 11 x+2x+2, 0<111, 因为x之0则x+22,所以213+2 GB 即|GC的取值范围是 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： (1)设直线方程，设交点坐标为：，)，（名，）」 (2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，注意△的判断： (3)列出韦达定理； (④)将所求间题或题中的关系转化为了+龙、（或片+少、少）的形式： (5)代入韦达定理求解. 第23页/共23页