精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025-2026学年第一学期上学期 高二数学 本试卷共150考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的简单几何性质计算可得； 【详解】解：因为椭圆方程为，焦点在轴上，且，，因为，所以，所以焦点坐标为、 故选：A 2. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，然后由垂直可得答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为双曲线的两条渐近线互相垂直， 所以，解得或（舍去）， 故选：B 3. 设圆：和圆：交于A，B两点，则四边形的面积为（ ） A. 12 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两圆的位置关系计算公共弦及其弦长，结合点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由题意可知：， 因为圆：和圆：交于A，B两点， 所以直线AB的方程为， 所以到直线AB的距离， 所以， 又， 所以． 故选：C． 4. 平行六面体中.则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先表达出，两边平方后，利用空间向量数量积运算法则得到，从而求出模长. 【详解】由题意得， 故 ， 故. 故选：A 5. 经过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于A，B两点（非顶点），为右焦点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的定义求解. 【详解】椭圆即，所以椭圆的长半轴， 由椭圆的定义可得，且， 则的周长为. 故选：A. 6. 已知为双曲线的右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，交：于点.若，，则双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线第二定义和三角形相似，求出即可求得离心率的值. 【详解】由题意得，即双曲线的右准线. 如图，过，作右准线的垂线，垂足为，，轴与右准线的交点为. 因为，所以是的中点，, 由双曲线第二定义可得，可得， 又由相似三角形可得， 所以，所以， 因为，所以，，， 又由相似三角形可得， 因为，，， 所以综上可化为， 解得，所以. 故选：C. 7. 若直线与连接的线段总有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可得直线过定点，则数形结合可得或即可求出. 【详解】可得直线的斜率为，且过定点， 则由图可得，要使直线与线段总有公共点，需满足或， ，或， 或. 故选：B. 8. 下列图中能表示直线l的倾斜角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倾斜角的概念直接判断即可. 【详解】由倾斜角的定义，直线向上的方向与x轴正向之间所成角为倾斜角， 可知只有选项A中的表示直线l的倾斜角. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若，则向量，的夹角是锐角 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理即可判断B；根据，得到，即可判断A；根据判断四点共面即可判断C；异面直线的平行线即可判断D. 【详解】对A，若，则，则向量，的夹角可以为0不是锐角,故 A错误； 对B，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确. 对C，因为，且，所以四点共面,故C正确. 对D，分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是异面直线的平行线可以共面，故D错误. 故选：BC. 10. 下列结论中正确的有（ ） A. 过点且与直线平行的直线的方程为 B. 过点且与直线垂直的直线的方程为 C. 若直线与直线平行，则的值为3 D. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由互相平行直线特点直接写出方程，化简对比即可；对于B，由互相垂直直线的特点直接写出方程，化简对比即可；对于C，由直线平行的充要条件列出方程，解方程对比即可,注意检验；对于D，注意到当截距均为0时，也是有可能的，故可以判断D错误. 【详解】对于A，过点且与直线平行的直线的方程为，化简得，故A正确； 对于B，过点且与直线垂直的直线的方程为，化简得，故B正确； 对于C，因为直线与直线平行， 所以，解得或， 注意到当时，两直线重合，所以，故C正确； 对于D，注意到点在直线上，且该直线在两坐标轴上的截距均为0，即该直线截距相等，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知圆：与圆：相交于A，B两点，则下列判断正确的是（ ） A. 两圆相交弦所在直线方程为 B. 两圆的公共弦长为 C. 经过A，B两点，且过原点的圆的方程为 D. P为上任意一点，Q为上任意一点，则PQ的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得两圆的相交弦所在直线方程判断选项A；求得两圆的公共弦长判断选项B；求得经过A，B两点，且过原点的圆的方程判断选项C；求得PQ的最大值判断选项D. 【详解】选项A：由两圆与的方程相减可得，即， 则两圆的相交弦所在直线方程为.判断正确； 选项B：：的圆心，半径为5， 到直线的距离为， 则两圆的公共弦长为.判断错误； 选项C：经过A，B两点的圆的方程可设为 ， 又此圆过原点，则有，解之得， 则， 则经过A，B两点，且过原点的圆的方程为.判断正确； 选项D：：的圆心，半径为5， 圆：的圆心，半径为， P为上任意一点，Q为上任意一点， 则PQ的最大值为.判断正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为4，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先将椭圆方程化为标准式，即可得到、，根据焦距求出. 【详解】椭圆即，焦点在轴上，所以， 所以，又椭圆的焦距为4，所以，解得． 故答案为： 13. 已知对任意正实数m，n，p，q，有如下结论成立：若，则有成立，现已知椭圆上存在一点P，，为其焦点，在中，，，则椭圆的离心率为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合题意，列出方程，代入数据，化简即可得答案. 【详解】由题意得：， 所以，所以， 解得. 故答案为： 14. 两直线，若的倾斜角是，则的斜率是___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的斜率，再借助垂直关系求出的斜率. 【详解】由的倾斜角是，得直线的斜率，由于， 所以的斜率. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知三个顶点，求： （1）边上的高所在直线的方程； （2）外接圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出AB边上的高的斜率为﹣1，可得AB边上的高所在直线的方程； （2）利用待定系数法求△ABC外接圆方程． 【小问1详解】 直线的斜率，那么边上的高的斜率就是， 所以方程是，整理为：． 【小问2详解】 设外接圆方程是， 代入三个点的坐标， 外接圆的方程为 16. 已知直线和直线在轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又知直线过点．如果点到直线的距离为1，求的方程． 【答案】或． 【解析】 【分析】根据题意，设出直线的方程，结合点到直线的距离公式列出方程，再将点的坐标代入直线的方程，联立方程，即可得到结果. 【详解】由题意，可设直线的方程为，即， 点到直线的距离为1，，① 又直线的方程为，且直线过点，．② 由①②，得，两边平方整理得，解得或． 当时，代入②，得，此时直线的方程为； 当时，代入②，得，此时直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，侧棱底面ABCD，点E是PD的中点，，.求平面EAC与平面PAB夹角的余弦值. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，分别求出平面EAC的法向量与平面PAB的法向量，利用空间向量中平面夹角的计算公式求解即可. 【详解】因为平面ABCD，AB，平面ABCD，所以，， 由于四边形ABCD是矩形，所以， 由此，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面EAC的一个法向量为，则，即， 取，则，所以是平面EAC的一个法向量， 又，又因为平面， 所以平面.所以是平面的一个法向量. 设平面EAC与平面的夹角为，则， 所以平面EAC与平面夹角的余弦值为. 18. 已知，，. （1）求直线的方程及的面积； （2）求的外接圆的方程. 【答案】（1）；9 （2） 【解析】 【分析】（1）由两点式即可求出直线方程，求出及点到直线的距离，即可求的面积； （2）设的外接圆的方程，将，，代入即可求. 【小问1详解】 直线的方程为，即， 因为， 点到直线的距离为， 所以的面积为. 【小问2详解】 设的外接圆的方程为， 由题意，解得， 所以的外接圆的方程为：. 19. 设点到直线的距离，且点是直线上的任意一点，是直线的一个法向量． （1）写出点到直线的距离公式，并要有详细推导过程； （2）已知点关于直线的对称点为点，求点到直线的距离． 【答案】（1），证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先得到点到直线的距离公式，再求出直线的一个单位方向向量，以及，再由计算可得. （2）求出点到直线的距离即可得解. 【小问1详解】 点到直线的距离， 直线的一个法向量，则直线的一个单位方向向量为， 又点是直线上任意一点， 所以，则，， 所以点到直线的距离 ， 又，即，所以. 【小问2详解】 因为点关于直线的对称点为点， 所以点到直线的距离与点到直线的距离相等， 即为，即点到直线的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期上学期 高二数学 本试卷共150考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 设圆：和圆：交于A，B两点，则四边形的面积为（ ） A. 12 B. C. 6 D. 4. 平行六面体中.则=（ ） A. B. C. D. 5. 经过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于A，B两点（非顶点），为右焦点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 4 6. 已知为双曲线的右焦点，过点的直线交双曲线的右支于，两点，交：于点.若，，则双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 7. 若直线与连接的线段总有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 下列图中能表示直线l的倾斜角的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确是（ ） A. 若，则向量，的夹角是锐角 B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 D. 若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 10. 下列结论中正确的有（ ） A. 过点且与直线平行的直线的方程为 B. 过点且与直线垂直的直线的方程为 C. 若直线与直线平行，则值为3 D. 过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 11. 已知圆：与圆：相交于A，B两点，则下列判断正确的是（ ） A. 两圆的相交弦所在直线方程为 B. 两圆的公共弦长为 C. 经过A，B两点，且过原点的圆的方程为 D. P为上任意一点，Q为上任意一点，则PQ的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆焦点在轴上，若椭圆的焦距为4，则的值为________． 13. 已知对任意正实数m，n，p，q，有如下结论成立：若，则有成立，现已知椭圆上存在一点P，，为其焦点，在中，，，则椭圆离心率为______ 14. 两直线，若的倾斜角是，则的斜率是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知的三个顶点，求： （1）边上的高所在直线的方程； （2）外接圆的方程. 16. 已知直线和直线在轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又知直线过点．如果点到直线的距离为1，求的方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，侧棱底面ABCD，点E是PD的中点，，.求平面EAC与平面PAB夹角的余弦值. 18. 已知，，. （1）求直线的方程及的面积； （2）求外接圆的方程. 19. 设点到直线的距离，且点是直线上的任意一点，是直线的一个法向量． （1）写出点到直线的距离公式，并要有详细推导过程； （2）已知点关于直线的对称点为点，求点到直线的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $