第10讲 一元二次方程的根与系数的关系（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材苏科版

第10讲 一元二次方程的根与系数的关系（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+2个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 一元二次方程的根与系数的关系 同学们，在前面的学习中，我们已经掌握了一元二次方程的解法.面对任何一个方程，只要代入求根公式，我们总能算出它的两个根.但是，大家有没有想过这样一个问题：方程的根是由它的系数a、b、c决定的，既然系数能决定根，那么反过来，根与系数之间会不会也隐藏着某种神秘的联系呢？ 为了寻找这个联系，我们先来做一组“热身游戏”.请大家快速解出方程-5+6=0的两个根，并分别计算它们的和与积.大家很容易就能算出，两根分别是2和3，两根之和是5，两根之积是6. 现在，请大家仔细观察这个方程的系数：二次项系数是1，一次项系数是-5，常数项是6.你们有没有发现，两根之和5恰好是一次项系数-5的相反数，而两根之积6恰好等于常数项6？ 这仅仅是一个巧合吗？如果我们把方程换成2-7+3=0，这个规律还成立吗？经过计算，两根分别是3和，两根之和是-，两根之积是.我们发现，两根之和恰好等于负的二次项系数除以一次项系数，两根之积恰好等于常数项除以二次项系数. 从这些特例中，我们似乎捕捉到了一个极其优美的数学规律.那么，对于一般形式的一元二次方程a+b+c=0，这个规律是否普遍成立呢？今天，就让我们化身数学家，用严谨的代数推导来验证这个猜想，揭开隐藏在根与系数之间的终极奥秘——韦达定理. 【知识点 一元二次方程根与系数的关系】 1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，． 例如：方程的两根为，，则，． 上述根与系数的关系也称为韦达定理. 2. 一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值． （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值． （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值． （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题． 3. 判断根的正负性：在的条件下，我们有如下结论： （1）当时，方程的两根必一正一负． ①若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若，则此方程的正根小于负根的绝对值． （2）当时，方程的两根同正或同负． ①若，则此方程的两根均为正根；②若，则此方程的两根均为负根． 注意：（1）若，则方程必有实数根． （2）若，方程不一定有实数根． 【题型1 由根与系数关系求代数式的值】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：， ，； （2）解：， ，； （3）解：， ，． 【变式1-1】（25-26九年级上·海南海口·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两根为和，求的值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记，是解决本题的关键． 先求得，，再将变形，代入与的值求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴ ． 故选A． 【变式1-2】一元二次方程的两根为，，利用两根与系数的关系，求下列式子的值： (1)，； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，求解代数式的值，熟记根与系数的关系是解本题的关键； （1）利用根与系数的关系，可得出，即可． （2）把化为，再整体代入计算即可； （3）由，再整体代入计算即可； （4）由，再整体代入计算即可； 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，； （2）； （3）； （4）． 【变式1-3】已知方程，记两根为，求的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，先根据二次根式的性质将化为，再利用完全平方公式变形，最后将代入计算即可． 【详解】解：∵方程的两根是、 ∴， ∵， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键． 【题型2 一元二次方程的解与根与系数关系直接求值】 【例2】（2025九年级上·广东深圳·专题练习）已知和是方程的两个解，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，由一元二次方程的解的定义可得，根据根与系数的关系可得的值，并将所求表达式变形为利用已知等式求解即可得出结果，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26九年级上·四川·期中）若，是方程的两根，则___________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式的求值，灵活运用这些知识是解题的关键．把代入方程得，即，由根与系数的关系得，，代入化简即可． 【详解】解：∵，是方程的根， ∴，即， ，， ∴ 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义及根与系数的关系，将所求式变形后，利用和整体代入即可求值． 【详解】解：因为，是方程的两个实数根， 所以，， 则． 故答案为：． 【变式2-3】（2025·四川成都·一模）已知，a，b是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，，并利用方程变形简化表达式． 【详解】解：由根与系数的关系，得，． 由于a是方程的根，故，即， 所以． 因此，（，由 知）． 原式． 代入，得． 故答案为：4． 【题型3 一元二次方程的解与根与系数关系降次求值】 【例3】（25-26九年级上·四川成都·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 _________ ． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义和代数式求值，熟知方程解的定义、灵活应用整体思想是关键． 由m是方程的根，得，进而表示m³，并利用方程变形得到，代入求值． 【详解】解：因为m是一元二次方程的一个根，所以，即． 则． 因此，． 由， 两边除以，得， 即． 所以，原式 ． 故答案为：2024． 【变式3-1】（2026八年级下·全国·专题练习）设，是一元二次方程的两根，则等于_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，利用根与系数的关系得到 ，并将 和 用一次项表示，再利用整体代入法求代数式的值． 【详解】解： ， 是方程 的根， ，， 、是一元二次方程的根， ，， 整理可得：，， ， 又 ， ， 又 ， ， ， 原式 ． 故答案为：. 【变式3-2】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）若一元二次方程的两根为、，则的值为______． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系．先根据题意得到，，则，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2025． 【变式3-3】（25-26九年级上·四川成都·期中）设、是方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系．根据方程的解得到，根据根与系数的关系得到，然后将表达式进行变形，利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：因为α是方程的实数根， 所以， 即． 因为α，β是方程的两个实数根， 所以根据根与系数的关系，． ∴ 故答案为：． 【题型4 判断根的正负性】 【例4】已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为、，若，求k的值． (3)方程的一个根大于1，另一个根小于1，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根可得，利用一元二次方程，即可求解； （2）利用根与系数的关系可得：，，代入即可求解； （3）根据一个根大于1，另一个根小于1，可得，将，代入即可得出k的取值范围； 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 整理得：， 解得： ∴实数k的取值范围是； （2）∵方程的两个实数根分别为、， ∴，， ∵， ∴， 即：， 解得： ∴的值为； （3）∵方程的一个根大于1，另一个根小于1， ∴， 即：， 将，代入， ， 解得： ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与的关系是解决本题的关键． 【变式4-1】已知方程，为实数，且，证明： （1）这个方程有两个不相等的实数根； （2）一个根大于1，另一个根小于1. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了． （2）利用根与系数的关系以及（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1，确定两个根的取值情况． 【详解】解：证明：（1）把（x-1）（x-2）=k2化简，得x2-3x+2-k2=0， ∵有两个不相等的实数根，a=1，b=-3，c=2-k2， ∴△=b2-4ac=（-3）2-4×1×（2-k2）=1+4k2＞0， ∴方程两个不相等的实数根； （2）设方程有两个根为x1和x2， ∴（x1-1）（x2-1）=x1x2-（x1+x2）+1=2-k2-3+1=-k2， ∵k为实数且k≠0， ∴-k2＜0， ∴x1-1和x2-1异号， ∴方程的一个根大于1，另一个根小于1. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，以及一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是将问题转化为=（x1-1）（x2-1）＜0. 【变式4-2】（24-25九年级上·湖南怀化·期末）一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围． (1)两个根的平方和为12； (2)两个根均大于； (3)． 【答案】(1)或2 (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，再代入，进行解方程，即可作答． （2）先得出，再结合一元二次方程两个根均大于2，则，即可作答． （3）先得出，再因为 ，解得：， ，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的根的平方和为12， ∴， ∴， 解得或2， （2）解：∵一元二次方程， ∴ ∴方程总有两个不相等的实数根， ∵一元二次方程两个根均大于2， ∴且 即 而 且 解得： 综上 （3）解： ， 则 解得： 整理得： ∴． 【变式4-3】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根． (1)若这个方程有一个根为-1，求m的值； (2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m的取值范围； (3)已知Rt△ABC的一边长为7，x1，x2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m的值． 【答案】(1)m的值为1或-2 (2)-2＜m＜1 (3)m＝或m＝ 【分析】（1）把x=-1代入方程，列出m的一元二次方程，求出m的值； （2）首先用m表示出方程的两根，然后列出m的不等式组，求出m的取值范围； （3）首先用m表示出方程的两根，分直角△ABC的斜边长为7或2m+3,根据勾股定理求出m的值. 【详解】（1）解：∵x1，x2是一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根，这个方程有一个根为-1， ∴将x＝-1代入方程x2-4mx+4m2-9＝0，得1+4m+4m2-9＝0． 解得m＝1或m＝-2． ∴m的值为1或-2． （2）解：∵x2-4mx+4m2＝9， ∴(x-2m)2＝9，即x-2m＝±3． ∴x1＝2m+3，x2＝2m-3． ∵2m+3＞2m-3， ∴ 解得-2＜m＜1． ∴m的取值范围是-2＜m＜1． （3）解：由(2)可知方程x2-4mx+4m2-9＝0的两根分别为2m+3，2m-3． 若Rt△ABC的斜边长为7， 则有49＝(2m+3)2+(2m-3)2． 解得m＝±． ∵边长必须是正数， ∴m＝． 若斜边为2m+3，则(2m+3)2＝(2m-3)2+72． 解得m＝． 综上所述，m＝或m＝． 【点睛】本题主要考查了根的判别式与根与系数的关系的知识，解答本题的关键是熟练掌握根与系数关系以及根的判别式的知识，此题难度一般. 【题型5 由两根关系式求参数的值】 【例5】（2024·甘肃陇南·模拟预测）若方程的两根互为相反数，则_______，若两根互为倒数，则_______． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，由两根互为相反数，可得，由两根互为倒数，可得，再进一步可得答案； 【详解】解：若两根互为相反数， 则， ∴； 若两根互为倒数， 则， ∴， 故答案为：1；． 【变式5-1】（2025·广东惠州·一模）已知关于的两个实数根，满足两根之和等于4，两根之积等于，求的值_____． 【答案】8 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，两根之和，两根之积，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，得到，求出，代入计算即可得解． 【详解】解：设为方程的两个实数根， 则，即， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】（2026·陕西安康·模拟预测）已知关于的一元二次方程的两根分别为，．若满足，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，结合根与系数的关系得到，将其代入已知等式变形求解，即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别为，， ，， ， ， ， 整理得：， ，解得． 【变式5-3】（2026·四川成都·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为________． 【答案】5 【分析】利用根与系数的关系和根的定义，将已知条件转化为关于的方程． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， 又是方程的根， ， 将代入已知条件中， 得，即， 将代入上式，得， 整理得， 因为， 所以， 解得． 【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】 【例6】（2026·江苏镇江·二模）已知实数、满足，且，则_____． 【答案】 【分析】由已知条件可得，是一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系得到与的值，再将所求代数式变形后代入计算即可求解． 【详解】解：实数，满足，，且． ，可看作一元二次方程的两个不相等的实数根． 由根与系数的关系得：，． ． ． 同理可得：． ∴． 【变式6-1】（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）已知m，n满足，（m，n是实数，且），则的值为______． 【答案】 【详解】解：由m，n满足，（m，n是实数，且），可知：把m，n看作是一元二次方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：． 【变式6-2】（2026·山东德州·二模）两个非零实数，（）满足，，则的值为_________． 【答案】 【分析】可判断，是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求出和的值，再将所求代数式变形代入计算即可求解． 【详解】解：，满足，， ，是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系得：，， ． 【变式6-3】（2025·福建三明·一模）已知实数、、，且满足，． (1)求证：的值是定值； (2)若，同号，求的取值范围； (3)当、同号时，设，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，，为关于的方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系即可求解； （2）由（1）的一元二次方程根与系数的关系得，由，同号，解得：，再根据方程有两个不相等的实数根得到，解得，由此即可求解； （3）由（1）、（2）得，，得出，确定，然后结合（2）中结果确定取值范围即可． 【详解】（1）证明：，， ，为关于的方程的两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得，， 的值为定值． （2）解：由（1）得， ，同号， ， 解得：， 又， ， ． （3）由（1）、（2）得，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【题型7 根与系数关系中的新定义问题】 【例7】（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则一元二次方程的两根的和为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的关系，再根据根与系数的关系计算所求方程两根的和，代入计算即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴， 整理得， 设一元二次方程的两根为，， 根据根与系数的关系得，， 将代入，得， ， ． 【变式7-1】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）定义：我们把关于的一元二次方程与称作一对“友好方程”．如的“友好方程”是．那么一元二次方程的“友好方程”的两根之和为__________． 【答案】 【分析】根据友好方程的定义得到目标一元二次方程，再利用根与系数的关系计算两根之和即可． 【详解】解：根据“友好方程”的定义，可得的“友好方程”为， 设该方程的两个根为，， ∴． 【变式7-2】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）对于任意实数，，定义：．若方程的两根记为、，则______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系，根据新定义运算将原方程化为一般式，利用根与系数的关系求出和的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵方程的两根记为、， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式7-3】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）定义：如果一元二次方程(，，为常数，且)的两个实数根，满足，那么称这样的方程为“倒数方程”．已知关于的一元二次方程(为常数)是“倒数方程”，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，得到方程两根之和与两根之积，代入倒数方程的条件，得到关于的方程，求解并验证判别式即可． 【详解】解：设方程的两个根为和， 根据根与系数的关系，有： 由倒数方程的定义， 代入得： 解得：， 经检验是原方程的解，且当时，原方程为，，原方程有两个实数根 故答案为：． 【题型8 根与系数关系与几何图形的综合】 【例8】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，，分别以为横坐标、为纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的根序点． （1）直接写出方程的根序点的坐标为_____； （2）若关于的一元二次方程有根序点，且该根序点在直线上，则的值为_____． 【答案】 1或 【分析】（1）解方程得，根据根序点定义得到点的坐标为； （2）先确定方程有两个不相等的实数根，，由根序点在直线上，满足直线方程：，整理得：，再根据根与系数的关系列方程求解检验即可． 【详解】解：（1）解方程得， ∴根据根序点定义：，横坐标：，纵坐标：， ∴根序点的坐标为； （2）方程有根序点， 该方程有两个不相等的实数根， ， 根序点在直线上， 满足直线方程：，整理得：， 对于方程，由根与系数的关系得：， ， 整理得：， 解得：， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求， 的值为1或． 【变式8-1】（2026·广东河源·二模）已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（     ） A．16 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，验证三边满足三角形三边关系后，即可计算出周长． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵a，b，4分别是三角形三边的长， ∴，且， ∴三边满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴ 三角形的周长为． 【变式8-2】（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知一个直角三角形的两条直角边的和是14，面积是24，则较长直角边的长为（   ） A．6 B．8 C．7 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；设两条直角边分别为a和b（），根据条件列出方程，利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：设较长直角边为a，较短直角边为b，（）， 由题意得：， ∴， ∵把a和b看作是一元二次方程的两个根， ∴解方程得：， ∵a是较长直角边， ∴； 故选：B． 【变式8-3】（25-26八年级上·上海宝山·期中）阅读材料：如图是用4个相同的长方形与1个小正方形镶嵌成的大正方形，我们用、表示小长方形的两边长（不妨设），以为两根的一元二次方程称为这个大正方形的“伴随方程”． 在这个图形中，大正方形的“伴随方程”是，那么这个图形中小正方形的面积为___________．（用含有的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数，完全平方公式与图形面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，观察图中性质，得大正方形的面积为，小正方形的面积为，再结合大正方形的“伴随方程”是，则，，然后分别代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，大正方形的面积为，四个小长方形的面积为， 则小正方形的面积为， ∵大正方形的“伴随方程”是， ∴，， 则， 即这个图形中小正方形的面积为， 故答案为： 模块三 课后作业 1．（25-26九年级下·四川南充·期中）一元二次方程两根之积为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为,，利用计算即可． 【详解】解：一元二次方程中，， 则方程的两根之积为． 2．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个相等的实数根且两根同号 C．有两个不相等的实数根且两根异号 D．没有实数根 【答案】C 【分析】先将方程整理为一元二次方程一般形式，通过根的判别式判断根的个数，再根据两根之积判断两根符号，即可得出结论． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得 因此方程有两个不相等的实数根 设方程的两根为， 因此方程的两根异号 因此方程有两个不相等的实数根且两根异号． 4．（25-26八年级下·安徽·期中）已知实数、分别满足，，则的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．6或2 【答案】C 【分析】分两种情况：当时，实数、是方程的两个解，由一元二次方程根与系数的关系可得，；当时，分别计算即可得出结果． 【详解】解：当时， ∵实数、分别满足，， ∴实数、是方程的两个解， ∴，， ∴ ； 当时，； 综上所述，的值为或2． 5．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，电路中有三个定值电阻，，，且，的阻值（单位:Ω）满足方程，．若闭合开关S后，电流表的读数为，则电源的电压是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得，然后根据电路中的电阻、电流及电压关系式进行求解即可． 【详解】解：∵，的阻值（单位:Ω）满足方程， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得：， 则有， ∴， ∴电路中的总电阻为， ∴． 6．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）已知1，m是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】由根与系数的关系可得，据此可得答案． 【详解】解：∵1，m是方程的两个实数根， ∴， ∴ 7．（25-26八年级下·安徽六安·期中）已知是一元二次方程的两个根，则_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式及其转化等知识点．根据一元二次方程根与系数的关系，代入对应系数得出根的和与积，根据完全平方公式转化得到，继而得到． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， 在一元二次方程中，，，， ∴，， ∴， ∴. 8．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）关于的方程有两个不相等的实根和，则的最大值是_____． 【答案】 8 【分析】根据根与系数的关系得到方程系数之间的关系式，代入所求代数式后，利用配方法化简即可得到最大值． 【详解】解：因为关于的方程有两个不相等的实数根，. 可得，由根与系数的关系得： ， 即， 将代入得： 化简得： 将代入得： ， ， 故的最大值为． 9．（25-26九年级下·山东淄博·期中）设为一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】2026 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，对所求代数式降次化简，再结合根与系数的关系得到的值，代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的实数根， ，即， 对所求代数式变形：， 是一元二次方程的两个实数根， 根据根与系数的关系可得， 代入得原式． 10．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知，是一元二次方程的两个根，若，则的值为______． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根的定义、根与系数的关系可得，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 解得：， ∴的值为． 11．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求实数k应满足的条件． (2)当k取最大整数时，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知其判别式大于0，据此列出关于k的不等式，求解不等式即可得到k的取值范围； （2）先根据（1）中k的取值范围确定k的最大整数值，再将其代入原方程，最后利用根与系数的关系求出的值． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得． （2）解：的最大整数为， ， ∴，， 则． 12．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求的值和它的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)当时，方程的另一个根为；当时，方程的另一个根为 【分析】（1）根据证明即可． （2）利用一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵一元二次方程，且 ∴ ， 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：设是方程的两个根， 则，， 不妨设， ∴把代入方程得：， 故， 整理，得， 或， 当时，， 解得，此时方程的另一个根为； 当时， 解得， 此时方程的另一个根为． 13．（25-26九年级下·山东烟台·期中）定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得， ，是“和积方程”． (1)方程______（填是或不是）“和积方程”； (2)关于的方程是“和积方程”，则______； (3)若关于的一元二次方程是“和积方程”，求的值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)或或 【分析】（1）求出方程两根，计算与，根据“和积方程”定义判断； （2）先因式分解求出方程两根，再根据列等式求解； （3）先用根的判别式确定取值范围，再由韦达定理表示、，根据求解． 【详解】（1）解：，因式分解得， 解得，， ，，， 方程不是“和积方程”． （2）解：对于方程，其判别式恒成立， 故方程总有两个实数根， ，因式分解得， 解得，， 由“和积方程”定义得：， 或， 解得或． （3）解：方程有两个实数根， ， 展开得，即， 解得， 由韦达定理得：，， 又方程是“和积方程”， 则， 即 ， ， 分两种情况： ， 化简得 ，解得或， ，舍去，符合； ， 整理得 ， 由求根公式得 ， ，均符合条件， 综上，的值为或或． 14．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围． (2)若，求的值． (3)若 ，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据一元二次方程根的判别式列出关于的不等式解答即可求解； （）由一元二次方程根和系数的关系可得，，进而由可得，，再代入计算即可求解； （）利用因式分解由已知可得 或 ，又由一元二次方程根的定义及根和系数的关系可得 ，即得到 或，再分情况解答即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元一次方程根和系数的关系，一元二次方程根的定义等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴ ， 解得； （2）解：∵一元二次方程有两个实数根和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ， ∴ 或 ， ∵是方程的根， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴ 或， 当 时，解得， ∵，不符合， ∴不合题意，舍去； 当时，解得， ∵，符合， ∴符合题意； 综上，的值为． 15．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)记该方程的两个实数根为，求代数式的值； (3)若，，比较与的大小． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解． （3）判断的正负即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 总有两个不相等的实数根； （2）该方程的两个实数根为，， ， ； （3）由（2）知，， ， ， ． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 一元二次方程的根与系数的关系（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+2个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 一元二次方程的根与系数的关系 同学们，在前面的学习中，我们已经掌握了一元二次方程的解法.面对任何一个方程，只要代入求根公式，我们总能算出它的两个根.但是，大家有没有想过这样一个问题：方程的根是由它的系数a、b、c决定的，既然系数能决定根，那么反过来，根与系数之间会不会也隐藏着某种神秘的联系呢？ 为了寻找这个联系，我们先来做一组“热身游戏”.请大家快速解出方程-5+6=0的两个根，并分别计算它们的和与积.大家很容易就能算出，两根分别是2和3，两根之和是5，两根之积是6. 现在，请大家仔细观察这个方程的系数：二次项系数是1，一次项系数是-5，常数项是6.你们有没有发现，两根之和5恰好是一次项系数-5的相反数，而两根之积6恰好等于常数项6？ 这仅仅是一个巧合吗？如果我们把方程换成2-7+3=0，这个规律还成立吗？经过计算，两根分别是3和，两根之和是-，两根之积是.我们发现，两根之和恰好等于负的二次项系数除以一次项系数，两根之积恰好等于常数项除以二次项系数. 从这些特例中，我们似乎捕捉到了一个极其优美的数学规律.那么，对于一般形式的一元二次方程a+b+c=0，这个规律是否普遍成立呢？今天，就让我们化身数学家，用严谨的代数推导来验证这个猜想，揭开隐藏在根与系数之间的终极奥秘——韦达定理. 【知识点 一元二次方程根与系数的关系】 1. 由求根公式可得当时，一元二次方程的两根分别为，,则，． 例如：方程的两根为，，则，． 上述根与系数的关系也称为韦达定理. 2. 一元二次方程根与系数的关系的应用 （1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值． （2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值． （3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值． （4）与根的判别式相结合，解决一些综合题． 3. 判断根的正负性：在的条件下，我们有如下结论： （1）当时，方程的两根必一正一负． ①若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若，则此方程的正根小于负根的绝对值． （2）当时，方程的两根同正或同负． ①若，则此方程的两根均为正根；②若，则此方程的两根均为负根． 注意：（1）若，则方程必有实数根． （2）若，方程不一定有实数根． 【题型1 由根与系数关系求代数式的值】 【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积． (1)； (2)； (3)． 【变式1-1】（25-26九年级上·海南海口·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两根为和，求的值是（   ） A． B． C． D．1 【变式1-2】一元二次方程的两根为，，利用两根与系数的关系，求下列式子的值： (1)，； (2)； (3)； (4)． 【变式1-3】已知方程，记两根为，求的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【题型2 一元二次方程的解与根与系数关系直接求值】 【例2】（2025九年级上·广东深圳·专题练习）已知和是方程的两个解，则的值为______． 【变式2-1】（25-26九年级上·四川·期中）若，是方程的两根，则___________． 【变式2-2】（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【变式2-3】（2025·四川成都·一模）已知，a，b是一元二次方程的两个根，则______． 【题型3 一元二次方程的解与根与系数关系降次求值】 【例3】（25-26九年级上·四川成都·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 _________ ． 【变式3-1】（2026八年级下·全国·专题练习）设，是一元二次方程的两根，则等于_______． 【变式3-2】（25-26九年级上·四川宜宾·期末）若一元二次方程的两根为、，则的值为______． 【变式3-3】（25-26九年级上·四川成都·期中）设、是方程的两个实数根，则的值为_______． 【题型4 判断根的正负性】 【例4】已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为、，若，求k的值． (3)方程的一个根大于1，另一个根小于1，求k的取值范围． 【变式4-1】已知方程，为实数，且，证明： （1）这个方程有两个不相等的实数根； （2）一个根大于1，另一个根小于1. 【变式4-2】（24-25九年级上·湖南怀化·期末）一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围． (1)两个根的平方和为12； (2)两个根均大于； (3)． 【变式4-3】已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2-9＝0的两实数根． (1)若这个方程有一个根为-1，求m的值； (2)若这个方程的一个根大于-1，另一个根小于-1，求m的取值范围； (3)已知Rt△ABC的一边长为7，x1，x2恰好是此三角形的另外两边的边长，求m的值． 【题型5 由两根关系式求参数的值】 【例5】（2024·甘肃陇南·模拟预测）若方程的两根互为相反数，则_______，若两根互为倒数，则_______． 【变式5-1】（2025·广东惠州·一模）已知关于的两个实数根，满足两根之和等于4，两根之积等于，求的值_____． 【变式5-2】（2026·陕西安康·模拟预测）已知关于的一元二次方程的两根分别为，．若满足，则的值为________． 【变式5-3】（2026·四川成都·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为________． 【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】 【例6】（2026·江苏镇江·二模）已知实数、满足，且，则_____． 【变式6-1】（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）已知m，n满足，（m，n是实数，且），则的值为______． 【变式6-2】（2026·山东德州·二模）两个非零实数，（）满足，，则的值为_________． 【变式6-3】（2025·福建三明·一模）已知实数、、，且满足，． (1)求证：的值是定值； (2)若，同号，求的取值范围； (3)当、同号时，设，求的取值范围． 【题型7 根与系数关系中的新定义问题】 【例7】（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则一元二次方程的两根的和为______． 【变式7-1】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）定义：我们把关于的一元二次方程与称作一对“友好方程”．如的“友好方程”是．那么一元二次方程的“友好方程”的两根之和为__________． 【变式7-2】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）对于任意实数，，定义：．若方程的两根记为、，则______． 【变式7-3】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）定义：如果一元二次方程(，，为常数，且)的两个实数根，满足，那么称这样的方程为“倒数方程”．已知关于的一元二次方程(为常数)是“倒数方程”，则的值为________． 【题型8 根与系数关系与几何图形的综合】 【例8】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，，分别以为横坐标、为纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的根序点． （1）直接写出方程的根序点的坐标为_____； （2）若关于的一元二次方程有根序点，且该根序点在直线上，则的值为_____． 【变式8-1】（2026·广东河源·二模）已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（     ） A．16 B．11 C．9 D．7 【变式8-2】（25-26九年级上·福建厦门·期中）已知一个直角三角形的两条直角边的和是14，面积是24，则较长直角边的长为（   ） A．6 B．8 C．7 D．10 【变式8-3】（25-26八年级上·上海宝山·期中）阅读材料：如图是用4个相同的长方形与1个小正方形镶嵌成的大正方形，我们用、表示小长方形的两边长（不妨设），以为两根的一元二次方程称为这个大正方形的“伴随方程”． 在这个图形中，大正方形的“伴随方程”是，那么这个图形中小正方形的面积为___________．（用含有的代数式表示） 模块三 课后作业 1．（25-26九年级下·四川南充·期中）一元二次方程两根之积为（    ） A． B． C．2 D． 2．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个相等的实数根且两根同号 C．有两个不相等的实数根且两根异号 D．没有实数根 4．（25-26八年级下·安徽·期中）已知实数、分别满足，，则的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．6或2 5．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，电路中有三个定值电阻，，，且，的阻值（单位:Ω）满足方程，．若闭合开关S后，电流表的读数为，则电源的电压是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）已知1，m是方程的两个实数根，则的值为__________． 7．（25-26八年级下·安徽六安·期中）已知是一元二次方程的两个根，则_____． 8．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）关于的方程有两个不相等的实根和，则的最大值是_____． 9．（25-26九年级下·山东淄博·期中）设为一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 10．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知，是一元二次方程的两个根，若，则的值为______． 11．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求实数k应满足的条件． (2)当k取最大整数时，求的值． 12．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求的值和它的另一个根． 13．（25-26九年级下·山东烟台·期中）定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得， ，是“和积方程”． (1)方程______（填是或不是）“和积方程”； (2)关于的方程是“和积方程”，则______； (3)若关于的一元二次方程是“和积方程”，求的值． 14．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围． (2)若，求的值． (3)若 ，求的值． 15．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）已知关于的方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)记该方程的两个实数根为，求代数式的值； (3)若，，比较与的大小． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $