第14讲 规律探索（暑假预习举一反三专项训练）新七年级数学上册新教材苏科版

第14讲 规律探索（暑假预习专项训练） 【新教材苏科版】 【题型1 数字变化类的规律探索】 1．（25-26九年级下·云南昭通·期中）观察下列式子：，则第（为正整数）个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别从式子的符号、系数、字母的指数三个部分寻找规律，归纳得到第个式子的表达式即可． 【详解】解：符号规律：第1个式子为正，第2个为负，第3个为正，第4个为负 ∴可得符号为 ； 系数规律：第1个式子系数为1，第2个为2，第3个为3，第4个为4 ∴可得系数为； 的指数规律，第1个式子为，第2个为4，第3个为6，第4个为8 ∴可得第个式子中的指数为， ∴第（为正整数）个式子是． 2．四个同学研究一列数：，…照此规律，他们得出第n个数分别如下，你认为正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察可知，先不看符号，这一列数是从1开始排列的奇数，再看符号可知奇数项为正，偶数项为负，据此求解即可． 【详解】解：第1个数为 ， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为 … ∴可以得到第n个数为， 故选D． 【点睛】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到数字间的规律是解题的关键． 3．（24-25七年级上·全国·单元复习）已知下列一组数：1，，，，，…，则用式子表示第个数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了数字变化规律，根据已知分别得出分子与分母的变化规律是解题关键．根据数字规律，分母是连续数字平方，分子是连续奇数，进而得出答案． 【详解】解：∵ ∴分母是： 分子是：   第n个数为：， 故选：B． 4．对于每个正整数，设表示的末位数字．例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字），则的值为________． 【答案】4050 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值；根据题意，可以写出前几个式子的值然后即可发现式子的变化特点，从而可以求得所求式子的值； 【详解】∵表示的末位数字， 的结果每5个循环一次， 故答案为：4050． 5．（25-26九年级下·云南·期中）按一定规律排列的代数式：，其中第个代数式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察可知，单项式的系数：分母为从2开始，连续的偶数，分子为从3开始连续的奇数，单项式的次数是从1开始连续的整数，据此进行求解即可. 【详解】解：观察可知，单项式的系数：分母为从2开始，连续的偶数，分子为从3开始连续的奇数，单项式的次数是从1开始连续的整数， ∴第个代数式为. 6．我们把分子为1的分数叫做理想分数，如，，，…任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如；；；________；根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数（n是不小于2的整数），那么______．（用含n的式子表示）． 【答案】 【分析】根据题意，得出等号左边分母上的数比等号右边第一个分母上数大1，且这两个数分母上的数相乘等于最后一个数的分母，即可得出，进而分析可得在，有（2+1）2=3+6；在，有（3+1）2=4+12，进而得出a+b的值． 【详解】∵；；， ∴， ∵,有3+6=(2+1)2; ,有4+12=(3+1)2； ∴如果理想分数,那么a+b=. 故答案为 【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，解题的关键是读懂题意，得到规律. 7．（25-26七年级上·全国·期中）若一列数中的任意三个相邻数之和都是40，已知，则____． 【答案】14 【分析】本题考查了数字规律，由任意三个相邻数之和为40，推导出序列具有周期性，周期为3，根据确定的值，再利用求出，最后再列式求出的值，即可作答． 【详解】解：∵ 任意三个相邻数之和为40， ∴， 两式相减得， ∴ 两式相减得， 同理得， 故序列以为周期循环， ∵， ∴， 即， ∵， 则， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， 即 故答案为：14． 8．已知整数a1，a2，a3，a4，满足下列条件：a1=0，a2=﹣|a1+1|，a3=﹣|a2+2|，a4=﹣|a3+3|，，依次类推，则a2014的值为_____________． 【答案】-1007 【分析】根据条件求出前几个数的值，再分n是奇数时，结果等于-，n是偶数时，结果等于-，然后把n的值代入进行计算即可得解． 【详解】解：a1=0， a2=-|a1+1|=-|0+1|=-1， a3=-|a2+2|=-|-1+2|=-1， a4=-|a3+3|=-|-1+3|=-2， a5=-|a4+4|=-|-2+4|=-2， …， 所以，n是奇数时，an=-，n是偶数时，an=-， a2014=-=-1007． 故答案为:-1007. 【点睛】本题是对数字变化规律的考查，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键． 9．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）一根1米长的绳子第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，剪第六次后，剩下的绳子的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：第一次后剩下的绳子的长度为， 第二次后剩下的绳子的长度为米； 第三次后剩下的绳子的长度为米； ； ∴第六次后剩下的绳子的长度为米． 10．观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（   ） A．3 B．9 C．7 D．1 【答案】A 【分析】先观察得出3的幂次的末位数字的循环规律，再通过计算余数确定的末位数字． 【详解】解：观察已知算式可得，3的幂次的末位数字按3、9、7、1的顺序循环，每4个数为一个循环周期， ，余数为1， 则的末位数字与第一个循环项的末位数字相同，是3． 11．（25-26七年级上·河南新乡·期末）观察下列数据：，，，，，…根据以上数据中的规律，你认为第11个数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字类规律题，正确找到规律是解题的关键． 拆分数据的符号、分子、分母分别寻找规律，推导第n项的表达式后，代入计算第11个数字即可． 【详解】解：观察数列可得： 1. 符号规律：奇数项为负，偶数项为正，可用表示（n为项数）， 2. 分母规律：第n项的分母为n， 3. 分子规律：第n项的分子为（如第1项分子，第2项分子，以此类推）， 则第n项的表达式为 当时， 故选：C． 12．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期的规律．先根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期，据此求解可得． 【详解】解：由题意知，第1次输出的结果为10， 第2次输出的结果为5， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为， 第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为， …… 这列数除前2个数外，每4个数为一个周期， ∵， ∴第2026次计算输出的结果是， 故选：D． 13．（25-26七年级上·广东深圳·期末）取整符号表示不超过有理数的最大整数，如．在一列数，…中，已知，且当时，．则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查数字类型规律探究问题，观察题干并归纳出一般规律是解题关键． 通过计算这列数的前几项发现其以5为周期循环，再计算2026在周期中的位置即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， 由此可得这列数的周期为5，循环节为1，2，3，4，5， ∵， ∴． 故选：A 14．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）在数学探究课上，老师在数轴上标记了一列点，并告诉同学们：这些点按照某种特殊规律排列在数轴上，对应的数分别是，则点表示的数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字变化规律问题，关键是用代数式表示数字的变化规律；先分析数列的符号规律与绝对值的变化规律，再根据规律计算第项对应的数． 【详解】解：∵观察数列， ∴符号规律：奇数项为正，偶数项为负， 绝对值规律：第项的绝对值为， ∵第项是偶数项，符号为负， ∴第项的绝对值为， ∴表示的数是：． 故选：C． 15．（25-26七年级上·山东滨州·期末）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数应标在（   ） A．第个正方形的左下角 B．第个正方形的右上角 C．第个正方形的右上角 D．第个正方形的左下角 【答案】B 【分析】本题考查了图形数字规律探究，关键是观察每个正方形四个顶点数字的循环规律，按“左上、右上、右下、左下”的顺序循环排列，确定左下角位置数字的表达式，再确定第个数所在的位置． 【详解】解：观察图形可知，每个正方形包含4个数字，且左下角为4的倍数，即第个图形左下角的数字为， ∵， ∴在第个图形中，然后按照左上、右上的顺序前进两个数， ∴在第个正方形的右上角． 故选：B． 16．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）将一列有理数，2，，4，，6，…如图所示有序排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置是有理数4，那么“峰5”中峰顶的位置是有理数______，应排在A，B，C，D，E中的______位置．其中两个空格依次为（    ） A．24，C B．24，B C．25，B D．，E 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化规律探究，观察出每个峰有个数，并且“峰n”中峰顶的位置是有理数，是解答的关键．观察发现规律：每个峰排列个数，根据，得出答案即可． 【详解】解：观察发现：“峰1”中峰顶的位置是有理数4， “峰2”中峰顶的位置是有理数， “峰3”中峰顶的位置是有理数， …… “峰n”中峰顶的位置是有理数， ∴“峰5”中峰顶的位置是有理数； ∵， ∴应排在“峰”的第2个数，在位置， 故选：B． 17．按一定规律排列的多项式：，，，，，，…，根据上述规律，则第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数字的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． 从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，再根据规律进行解答便可． 【详解】解：按一定规律排列的多项式：， ， ， ， …， 则第n个多项式是， 故选B． 18．有一个多项式为，按这样的规律加下去，第项是______；第项是______． 【答案】 ； 【分析】本题考查了数字类规律变化，由多项式得，符号的规律为：为奇数时，项的符号为负号，为偶数时，项的符号为正号；系数的绝对值的规律为：第个对应的系数的绝对值是；指数的规律为：第个对应的指数是，据此解答即可求解，找到项的变化规律是解题的关键． 【详解】解：有一个多项式为，按这样的规律加下去，第项是；第项是， 故答案为：，． 19．观察下列各多项式：，，，，，根据你发现的规律，第6个多项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查多项式．观察每个多项式中各项的系数与次数，从而得出规律，进而解决此题． 【详解】解：每个多项式的第一项，底数为，指数为序号，系数为序号的2倍； 第二项，底数为，指数为序号的2倍减1，序号为奇数时，系数为1；序号为偶数时，系数为； 所以第六个多项式为． 故选：B． 20．有一个多项式，按照此规律写下去，这个多项式的第八项是_____. 【答案】 【分析】此题考查的是对多项式的规律，通过对多项式的观察可得出答案．由多项式的特点可知，该多项式是加减替换，a从最高次方向最低次方递减，b从最低次方到最高次方递增．由此可知第八项是． 【详解】解：因为a的指数第一项为8，第二项为7，第三项为6… 所以第八项为1； 又由于两个字母指数的和为8，偶数项为负， 所以第8项为． 故答案为：． 21．（24-25七年级上·福建南平·期中）观察下列单项式，探究其规律：，，，，，，…，按照上述规律，第2024个单项式是______，第n个单项式______． 【答案】 【分析】本题考查了规律型数字的变化类、单项式，解决本题的关键是观察单项式后找到规律． 根据题目中的单项式，可以发现单项式的系数是从1开始的一些连续的奇数，且符号是奇负偶正，字母的指数幂是从1开始的一些连续的整数，从而可以写出第n个单项式，然后即可得到第2024个单项式． 【详解】解：观察关于x的单项式可知： … 发现规律： 第n个单项式为：， 所以第2024个单项式是：． 故答案为：，． 22．（24-25七年级上·河北邢台·期中）观察下列单项式的规律：，，，，…．照此规律，第6个单项式为______，第个单项式为______． 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律探究，根据符号的规律：为奇数时，单项式为负号，为偶数时，符号为正号；系数的绝对值的规律：第个对应的系数的绝对值是．字母都是，的指数都是，的指数是从开始的连续的整数，据此即可求解． 【详解】解：，，，，…，． 照此规律，第6个单项式为，第个单项式为． 故答案为：；． 23．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）如图所示，各正方形中的四个数之间都具有同一种规律，按此规律得出的值为_________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律；由题意易得每个正方形的左上角是按连续的正整数进行排列，右上角是按从3开始的连续整数进行排列，左下角是右上角数字的平方，右下角是每个正方形的其他三个数之和，由此问题可求解． 【详解】解：由题知， 右上角的数字依次为3，4，5，6，7，…， ∴． 左下角的数字依次为9，16，25，36，49，…， ∴． ∵，…， ∴， ∴． 故答案为：． 24．（1）正整数按图中的规律排列，数字2023在第a行，第b列，则______， （2）如图是一个三角形数阵，仔细观察排列规律，按照这个规律继续排列下去，在第c行第d列，则______． 【答案】 48 74 【分析】（1）找出规律：第一列的数为自然数的平方，而，则第行的第3列数为2023，从而完成解答． （2）由三角形数阵可得出，第n行的前面共有个分母，分别为连续的自然数，分子为连续奇数，且分母为偶数时为负数，由其特点求出第n行从左数第一个数，即可得出结果． 【详解】解：（1）观察图中知：每行的第一个数为该行行数的平方， 而，则第行的第3列数为2023； 即 故答案为：48； （2）由题意得：第n行的前面共有个分母，分别为连续的自然数，分子为连续奇数，且分母为偶数时为负数， ∴第n行从左数第1个数分母为：， 分子为：，且分母为偶数时为负， ∴第23行第1个数为：， ∴第23行第3个数是：． ∴， 故答案为：74． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，正确理解题意，找出数字之间的规律，利用规律解决问题．关键是找出每行第一个数的规律． 25．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察下列等式规律： ①，②，③，……， （1）请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式________； （2）________． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，解题的关键是根据所给的等式总结出存在的规律并灵活运用． （）观察给定等式，左边分母为连续两个奇数的乘积或类似形式，右边为差的一半，推广到第个等式； （）利用第（）问的规律，将每一项裂项为差的形式，求和时通过裂项相消简化计算． 【详解】解：∵， ， ， ， 根据等式规律，第个等式为 ， 故答案为： ， （）原式    ， 故答案为：． 【题型2 图形变化类的规律探索】 26．（25-26七年级上·甘肃张掖·期中）将形状相同的小五角星如图所示的规律摆放，据此规律，第99个图形有__________个五角星． 【答案】 【分析】此题考查了图形类规律题． 根据已知图形得到规律：第n个图形有个小五角星，据此即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：第1个图形有个小五角星； 第2个图形有个小五角星； 第3个图形有个小五角星； … 第n个图形有个小五角星． ∴第99个图形有个小五角星． 故答案为：． 27．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图所示是用棋子有规律连续摆出的图案． 按照这个规律，第________个图案所用的棋子数为2026． 【答案】506 【分析】本题考查了图形类规律题，找到规律是解题的关键． 根据题意，分别求出第1个图形、第2个图形、第3个图形棋子的个数，发现规律：后一个图形比前一个图形多4个棋子，即可求得第n个图案中棋子的个数为个，然后求解即可． 【详解】解：由题意，得第1个图形棋子为个， 第2个图形棋子为个， 第3个图形棋子为个， …… 发现规律：后一个图形比前一个图形多4个棋子， 则第n个图案中棋子的个数为个， 当所用的棋子数为2026时，可得， 解得， 所以，第506个图案所用的棋子数为2026． 故答案为：506． 28．观察下列四个图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律第10个图形共有多少_______个点． 【答案】28 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，通过观察发现规律是解题的关键． 观察可得出图形的排列规律，即第n个图形共有个点，然后利用规律即可解答． 【详解】解：由图可知： 第一个图形中共有1个点； 第二个图形中共有个点； 第三个图形中共有个点； 第四个图形中共有个点； … 则第n个图形共有个点． 所以第10个图形共有个点． 故答案为：28． 29．（25-26七年级上·湖北随州·期末）在一次模拟编程设计中，无人机群按如下规律组成方阵图形：图①有2架无人机，图②有8架无人机，图③有18架无人机，按此规律，图⑤有________架无人机；第n个图有________架无人机． 【答案】 50 【分析】本题考查了图形变化的规律，代数式求值．根据前3个图案无人机的数量，推算出第n个图案无人机的数量为架，再将代入，即可求解． 【详解】解：第①个图案无人机的数量为（架）， 第②个图案无人机的数量为（架）， 第③个图案无人机的数量为（架）， …… 第n个图案无人机的数量为架， 当时，（架）． 故答案为：50；． 30．（25-26七年级上·山东滨州·期末）观察如图所示的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形中黑点的个数为_____． 【答案】45 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类；熟练掌握图形中●的个数和图形序号的关系，是解决本题的关键． 分别求出第1个、第2个、第3个图形中●的个数，可得变化规律，得到第4个图形中●的个数，进而得到第5个图形中●的个数． 【详解】解：第1个图形中有3个●， 第2个图形中有个●， 第3个图形中有个●， 第4个图形中有个●， 第5个图形中有个●． 故答案为：45． 31．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）观察下列图形它们是按一定规律构造的，依照此规律，第50个图形中共有________个三角形． 【答案】 【分析】本题考查了探究规律—图形类，找出规律是解题的关键．第个图形有个三角形，据此即可求解． 【详解】解：第个图形有个三角形， 第个图形有个三角形， 第个图形有个三角形， 第个图形有个三角形， 则第50个图形中共有个三角形， 故答案为：． 32．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）如图，是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，则第100个图形中圆的个数是（   ） A．301 B．300 C．200 D．100 【答案】A 【分析】本题考查了图形规律探究，找出规律是解题的关键．先列出前几个图形中圆的个数，然后推论出第n个图形中圆的个数为，最后把代入求解即可． 【详解】解：第1个图形中有个圆， 第2个图形中有个圆， 第3个图形中有个圆， … 第n个图形中有个圆， 当时，有个圆 ． 故选：A． 33．（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）如图，下列图案都是由同样大小的按一定的规律组成的，其中图案①中有2个，图案②中有4个，图案③中有8个，……．按此规律，图案⑧中的个数是（   ） A．10 B．64 C．128 D．256 【答案】D 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，找到图形的排列规律是解决本题的关键． 根据图形得出第个图形中圆的个数是进行解答即可． 【详解】解：第1个图案中有2个圆，； 第2个图案中有4个圆，； 第3个图案中有8个圆，； ……， 第8个图案中圆的个数为． 故选：D． 34．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，用正方形和等边三角形按下面的规律摆图案．按这样的规律摆，第（  ）幅图案需要37个等边三角形． A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形变化的规律．根据所给图形，依次求出图形中等边三角形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1幅图案需要的等边三角形个数为：； 第2幅图案需要的等边三角形个数为：； 第3幅图案需要的等边三角形个数为：； ， 所以第幅图案需要的等边三角形个数为个． 由得， ， 所以第12幅图案需要的等边三角形个数为37个． 故选：B． 35．（25-26七年级上·广东广州·期中）下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，按此规律，第（8）个图形中面积为1的正方形的个数为（　　） A．43 B．44 C．42 D．41 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，解题的关键是找出图形规律． 根据图形规律求出图形的个数即可． 【详解】解：根据给出的示例图形可得， 第（8）个图形中面积为1的正方形的个数为， 故选：B． 36．（25-26七年级上·河南周口·期末）观察下列图形规律：第1个图形有4个小正方形，第2个图形有7个小正方形，第3个图形有10个小正方形……依此规律，第n个图形的小正方形个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型——图形的变化类，根据图形的变化寻找规律即可． 【详解】解：第1个图形有4个小正方形，， 第2个图形有7个小正方形，， 第3个图形有10个小正方形，， ⋯， 依此规律，第n个图形中有个小正方形， 故选：B． 37．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第m个图形中的点数是64，则（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了图形变化规律的问题，找出第n个图形点数的表达式是解题的关键． 确定第1，2，3，4个图形的点数，按此规律，找出第n个图形点数的表达式，即可解答． 【详解】解：第1个图形的点数为：， 第2个图形的点数为：， 第3个图形的点数为：， 第4个图形的点数为：， …… 第n个图形的点数为：． ∵第m个图形中的点数是64， ∴， 解得． 故选D． 38．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有14个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 根据第①个图案中有6个黑色圆点，第②个图案中有10个黑色圆点，第③个图案中有14个黑色圆点，则可以推出第6个图形中黑色圆点的个数． 【详解】第①个图案中有6个黑色圆点， 第②个图案中有10个黑色圆点， 第③个图案中有14个黑色圆点， 第④个图案中有18个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是26个， 故选：B． 39．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）用黑白两种三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色三角形，第②个图案中有7个黑色三角形，第③个图案中有10个黑色三角形，第④个图案中有13个黑色三角形，…，依此规律排下去，则第⑨个图案中黑色三角形的个数为（    ）       … A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】A 【分析】本题考查了图形类规律问题．找出规律，进而作答即可． 【详解】解：由图可知，第①个图案中有个黑色三角形， 第②个图案中有个黑色三角形， 第③个图案中有个黑色三角形， 第④个图案中有个黑色三角形， …… 可知第个图案中有个黑色三角形， 则第⑨个图案中黑色三角形的个数为． 故选：A． 40．（25-26七年级上·广东东莞·阶段检测）用边长相等的等边三角形按一定规律摆放成的图案（如图所示），第1个图案中有4个三角形，第2个图案中有7个三角形，第3个图案中有10个三角形…照此规律摆下去：第2025个图案中三角形的个数是（    ） A．6070 B．6073 C．6076 D．6079 【答案】C 【分析】本题考查图形类规律探究． 观察可知，后一个图形比前一个图形多3个三角形，进而推出第个图形中三角形的个数，即可作答． 【详解】解：观察可知，后一个图形比前一个图形多3个三角形， ∴第个图形中三角形的个数为， ∴第2025个图案中三角形的个数为； 故选：C． 41．（25-26七年级上·陕西安康·期末）2025年12月31日，中国在文昌发射场用长征七号改火箭成功发射实践二十九号卫星A星、B星．某校科技小组用形状大小相同的基本图形“”按照如图所示的规律拼接得到火箭模型，拼第1个图案需要1个基本图形，拼第2个图案需要5个基本图形，拼第3个图案需要9个基本图形，…，依此规律，则用821个基本图形可以拼成（   ） A．第208个图案 B．第207个图案 C．第206个图案 D．第205个图案 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的变化类，由已知图形得出第n个图案中的基本图形有个，根据题意列方程可得解． 【详解】解：第1个图案中基本图形个数， 第2个图案中基本图形个数， 第3个图案中基本图形个数， … ∴第n个图案中的基本图形有个， ∴， 解：， 所以，用821个基本图形可以拼成206个图案． 故选：C． 42．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段检测）用同样大小的正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有个黑色正方形．第②个图案中有个黑色正方形，第③个图案中有个黑色正方形，第④个图案中有个黑色正方形，第⑤个图案中有个黑色正方形，，按此规律排列下去，则第⑩个图案中黑色正方形个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形变化的规律问题，根据所给图形依次求出黑色小正方形的个数，可得第个图案中黑色小正方形的个数可表示为，据此解答即可求解，根据所给图形发现黑色小正方形个数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第①个图案中黑色小正方形的个数为， 第②个图案中黑色小正方形的个数为， 第③个图案中黑色小正方形的个数为， 第④个图案中黑色小正方形的个数为， 第⑤个图案中黑色小正方形的个数为， ， ∴第个图案中黑色小正方形的个数可表示为， 当，即时，， ∴第⑩个图案中黑色小正方形的个数为个， 故选：． 43．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼出下列图案，其中第①个图案用了11根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了21根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律下去，第⑨个图案用的木棍根数是（   ） A．51根 B．50根 C．47根 D．49根 【答案】A 【分析】本题考查了图形类规律的探究．根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案． 【详解】解：第1个图案用了根木棍， 第2个图案用了根木棍， 第3个图案用了根木棍， 第4个图案用了根木棍， 第5个图案用了根木棍， 第6个图案用了根木棍， ……， 第个图案用了根木棍， 第个图案用了根木棍， 当时，解得， ∴第9个图案用的木棍根数是根， 故选：A． 44．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图是由相同的菱形按一定规律摆放而成，第1个图形有3个菱形，第2个图形有7个菱形，第3个图形有13个菱形，按此规律排列下去，第12个图形的菱形个数为（   ） A．157 B．127 C．91 D．51 【答案】A 【分析】本题考查了图形类变化规律，根据题意得到第个图形中菱形的个数为，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵第一个图形中菱形的个数为：， 第二个图形中菱形的个数为：， 第三个图形中菱形的个数为：， ， 第个图形中菱形的个数为：， ∴第12个图形的菱形个数为：， 故选：A． 45．如图是一组有规律的图案．第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，按照这个规律排列，由2020个基础图形组成的图案的序号是（     ） A．671 B．672 C．673 D．674 【答案】C 【分析】观察不难发现，后一个图案比前一个图案多3个基础图形，第n个图案的基础图形的个数是，，再把2020代入进行计算即可得解． 本题主要考查了规律图形变化．解决问题的关键是熟练掌握变化部分的变化规律 “后一个图案比前一个图案多3个基础图形”，是解决问题的关键． 【详解】第1个图案基础图形的个数：； 第2个图案基础图形的个数：； 第3个图案基础图形的个数：； …； 第n个图案基础图形的个数就应该为：， 解得，． 故选：C． 46．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1列第1排，第二颗棋子摆放的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排……，按此规律摆放在第16列第8排的是第（    ）颗棋子． A．85 B．86 C．87 D．88 【答案】B 【分析】从第3列起每2列的排数相同，列表探究排数与偶数列数的关系为，求出当n=16时前16列棋子总颗数，偶数列箭头是从下往上的，把总颗数减1即得． 【详解】偶数列数与排数表： 偶数列数 排数 2 2 4 3 6 4 8 5 … … n ∴当n=16时，排数为：， ∴前16列共有棋子：（颗）， ∴第16列第8排的棋子位次是：87-1=86． 故选B． 【点睛】本题考查了图形中点的排列规律，解决此类问题的关键是探究排数与偶数列数存在的关系，用探究得到的规律关系解答． 47．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）用长度相同的小棒按一定的规律拼成的图形如图所示，拼第1个图形需要7根小棒，拼第2个图形需要13根小棒…．依此规律，拼第11个图形需要___________根小棒． 【答案】157 【分析】本题主要考查了图形类规律的探索，列代数式，解题的关键是找出图形的规律． 根据给出的图形得出小棒的个数代数式为，然后代入求值即可． 【详解】解：拼第1个图形需要根小棒， 拼第2个图形需要根小棒， 拼第3个图形需要根小棒， 拼第4个图形需要根小棒 …… 拼第个图形需要根小棒， 当时，（根）， 故答案为：157． 48．将黑色棋子按照一定规律排列成一系列如图所示的图案，按照此规律，第n个图案中黑色棋子的个数是_____． 【答案】5n+3 【分析】根据图形的变化先写出前几个图案中黑色棋子的个数，从中发现规律，总结规律即可． 【详解】解：观察图形的变化可知： 第1个图案中黑色棋子的个数是8＝5×1+3； 第2个图案中黑色棋子的个数是13＝5×2+3 第3个图案中黑色棋子的个数是18＝5×3+3 … 发现规律： 第n个图案中黑色棋子的个数是5n+3． 故答案为：5n+3． 【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律，总结规律． 49．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第1000个图形中黑色棋子的个数是___________． 【答案】3001 【分析】第1个图形中黑色棋子的个数是个，第2个图形中黑色棋子的个数是个，第3个图形中黑色棋子的个数是个，第n个图形中黑色棋子的个数是个，计算时的代数式的值即可． 【详解】解：根据题意，得第n个图形中黑色棋子的个数是个， 当时，． 50．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，第1个图最外圈有4个阴影小正方形，第2个图最外圈有个阴影小正方形，第3个图最外圈有个阴影小正方形，按照此规律，第个图的最外圈有________个阴影小正方形． 【答案】 【分析】本题考查图形的规律，代数式求值，找出规律是解题的关键． 根据前面3个图形，得出第n个图最外圈有个阴影小正方形，再将代入求值即可． 【详解】第1个图最外圈有(个）阴影小正方形， 第2个图最外圈有(个）阴影小正方形， 第3个图最外圈有(个）阴影小正方形， …… 第n个图最外圈有个阴影小正方形． ∴第个图的最外圈包含(个）阴影小正方形． 故答案为． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 规律探索（暑假预习专项训练） 【新教材苏科版】 【题型1 数字变化类的规律探索】 1．（25-26九年级下·云南昭通·期中）观察下列式子：，则第（为正整数）个式子是（   ） A． B． C． D． 2．四个同学研究一列数：，…照此规律，他们得出第n个数分别如下，你认为正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·单元复习）已知下列一组数：1，，，，，…，则用式子表示第个数（    ） A． B． C． D． 4．对于每个正整数，设表示的末位数字．例如：（的末位数字），（的末位数字），（的末位数字），则的值为________． 5．（25-26九年级下·云南·期中）按一定规律排列的代数式：，其中第个代数式为（   ） A． B． C． D． 6．我们把分子为1的分数叫做理想分数，如，，，…任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如；；；________；根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数（n是不小于2的整数），那么______．（用含n的式子表示）． 7．（25-26七年级上·全国·期中）若一列数中的任意三个相邻数之和都是40，已知，则____． 8．已知整数a1，a2，a3，a4，满足下列条件：a1=0，a2=﹣|a1+1|，a3=﹣|a2+2|，a4=﹣|a3+3|，，依次类推，则a2014的值为_____________． 9．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）一根1米长的绳子第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，剪第六次后，剩下的绳子的长度为（   ） A． B． C． D． 10．观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（   ） A．3 B．9 C．7 D．1 11．（25-26七年级上·河南新乡·期末）观察下列数据：，，，，，…根据以上数据中的规律，你认为第11个数字是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·安徽宿州·期末）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去，第2026次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26七年级上·广东深圳·期末）取整符号表示不超过有理数的最大整数，如．在一列数，…中，已知，且当时，．则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）在数学探究课上，老师在数轴上标记了一列点，并告诉同学们：这些点按照某种特殊规律排列在数轴上，对应的数分别是，则点表示的数是（   ）． A． B． C． D． 15．（25-26七年级上·山东滨州·期末）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数应标在（   ） A．第个正方形的左下角 B．第个正方形的右上角 C．第个正方形的右上角 D．第个正方形的左下角 16．（25-26七年级上·河南平顶山·期末）将一列有理数，2，，4，，6，…如图所示有序排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置是有理数4，那么“峰5”中峰顶的位置是有理数______，应排在A，B，C，D，E中的______位置．其中两个空格依次为（    ） A．24，C B．24，B C．25，B D．，E 17．按一定规律排列的多项式：，，，，，，…，根据上述规律，则第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 18．有一个多项式为，按这样的规律加下去，第项是______；第项是______． 19．观察下列各多项式：，，，，，根据你发现的规律，第6个多项式为（   ） A． B． C． D． 20．有一个多项式，按照此规律写下去，这个多项式的第八项是_____. 21．（24-25七年级上·福建南平·期中）观察下列单项式，探究其规律：，，，，，，…，按照上述规律，第2024个单项式是______，第n个单项式______． 22．（24-25七年级上·河北邢台·期中）观察下列单项式的规律：，，，，…．照此规律，第6个单项式为______，第个单项式为______． 23．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）如图所示，各正方形中的四个数之间都具有同一种规律，按此规律得出的值为_________ ． 24．（1）正整数按图中的规律排列，数字2023在第a行，第b列，则______， （2）如图是一个三角形数阵，仔细观察排列规律，按照这个规律继续排列下去，在第c行第d列，则______． 25．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察下列等式规律： ①，②，③，……， （1）请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式________； （2）________． 【题型2 图形变化类的规律探索】 26．（25-26七年级上·甘肃张掖·期中）将形状相同的小五角星如图所示的规律摆放，据此规律，第99个图形有__________个五角星． 27．（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图所示是用棋子有规律连续摆出的图案． 按照这个规律，第________个图案所用的棋子数为2026． 28．观察下列四个图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律第10个图形共有多少_______个点． 29．（25-26七年级上·湖北随州·期末）在一次模拟编程设计中，无人机群按如下规律组成方阵图形：图①有2架无人机，图②有8架无人机，图③有18架无人机，按此规律，图⑤有________架无人机；第n个图有________架无人机． 30．（25-26七年级上·山东滨州·期末）观察如图所示的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形中黑点的个数为_____． 31．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段检测）观察下列图形它们是按一定规律构造的，依照此规律，第50个图形中共有________个三角形． 32．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）如图，是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，则第100个图形中圆的个数是（   ） A．301 B．300 C．200 D．100 33．（25-26七年级上·湖南邵阳·期中）如图，下列图案都是由同样大小的按一定的规律组成的，其中图案①中有2个，图案②中有4个，图案③中有8个，……．按此规律，图案⑧中的个数是（   ） A．10 B．64 C．128 D．256 34．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，用正方形和等边三角形按下面的规律摆图案．按这样的规律摆，第（  ）幅图案需要37个等边三角形． A．11 B．12 C．13 D．14 35．（25-26七年级上·广东广州·期中）下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，按此规律，第（8）个图形中面积为1的正方形的个数为（　　） A．43 B．44 C．42 D．41 36．（25-26七年级上·河南周口·期末）观察下列图形规律：第1个图形有4个小正方形，第2个图形有7个小正方形，第3个图形有10个小正方形……依此规律，第n个图形的小正方形个数为（   ） A． B． C． D． 37．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第m个图形中的点数是64，则（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 38．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有14个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 39．（25-26七年级上·河南平顶山·期中）用黑白两种三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色三角形，第②个图案中有7个黑色三角形，第③个图案中有10个黑色三角形，第④个图案中有13个黑色三角形，…，依此规律排下去，则第⑨个图案中黑色三角形的个数为（    ）       … A．28 B．29 C．30 D．31 40．（25-26七年级上·广东东莞·阶段检测）用边长相等的等边三角形按一定规律摆放成的图案（如图所示），第1个图案中有4个三角形，第2个图案中有7个三角形，第3个图案中有10个三角形…照此规律摆下去：第2025个图案中三角形的个数是（    ） A．6070 B．6073 C．6076 D．6079 41．（25-26七年级上·陕西安康·期末）2025年12月31日，中国在文昌发射场用长征七号改火箭成功发射实践二十九号卫星A星、B星．某校科技小组用形状大小相同的基本图形“”按照如图所示的规律拼接得到火箭模型，拼第1个图案需要1个基本图形，拼第2个图案需要5个基本图形，拼第3个图案需要9个基本图形，…，依此规律，则用821个基本图形可以拼成（   ） A．第208个图案 B．第207个图案 C．第206个图案 D．第205个图案 42．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段检测）用同样大小的正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有个黑色正方形．第②个图案中有个黑色正方形，第③个图案中有个黑色正方形，第④个图案中有个黑色正方形，第⑤个图案中有个黑色正方形，，按此规律排列下去，则第⑩个图案中黑色正方形个数是（  ） A． B． C． D． 43．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼出下列图案，其中第①个图案用了11根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了21根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律下去，第⑨个图案用的木棍根数是（   ） A．51根 B．50根 C．47根 D．49根 44．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图是由相同的菱形按一定规律摆放而成，第1个图形有3个菱形，第2个图形有7个菱形，第3个图形有13个菱形，按此规律排列下去，第12个图形的菱形个数为（   ） A．157 B．127 C．91 D．51 45．如图是一组有规律的图案．第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，按照这个规律排列，由2020个基础图形组成的图案的序号是（     ） A．671 B．672 C．673 D．674 46．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1列第1排，第二颗棋子摆放的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排……，按此规律摆放在第16列第8排的是第（    ）颗棋子． A．85 B．86 C．87 D．88 47．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）用长度相同的小棒按一定的规律拼成的图形如图所示，拼第1个图形需要7根小棒，拼第2个图形需要13根小棒…．依此规律，拼第11个图形需要___________根小棒． 48．将黑色棋子按照一定规律排列成一系列如图所示的图案，按照此规律，第n个图案中黑色棋子的个数是_____． 49．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第1000个图形中黑色棋子的个数是___________． 50．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，第1个图最外圈有4个阴影小正方形，第2个图最外圈有个阴影小正方形，第3个图最外圈有个阴影小正方形，按照此规律，第个图的最外圈有________个阴影小正方形． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $