第十二章定义、命题、证明 同步培优讲义 2025-2026学年苏科版七年级数学下册

本讲义聚焦初中数学“定义、命题、证明”核心知识点，系统梳理定义的严谨性、命题的构成与真假判断、逆命题及互逆命题的关系，以及定理与证明的逻辑推理步骤，构建从概念理解到推理应用的完整学习支架。 资料以11大题型为核心，通过解题技巧口诀化、典例与变式结合设计，培养学生推理意识与抽象能力。如“写出命题的已知求证”题型强化逻辑表达，过关检测覆盖全知识点，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与语言表达能力。

第十二章 定义、命题、证明 （知识点+11大题型+过关检测） 【题型1 定义】 1 【题型2 判断是否是命题】 4 【题型3 写出命题的题设与结论】 5 【题型4 判断命题的真假】 7 【题型5 举例说明假（真）命题】 8 【题型6 写出命题的逆命题】 10 【题型7 判断是否为互逆命题】 11 【题型8 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 13 【题型9 以几何为背景的推理与论证】 18 【题型10 定理与证明】 21 【题型11互逆定理】 23 1. 理解定义的概念，掌握定义的严谨性与必要性 2. 理解命题的概念，能区分命题的题设与结论 3. 能判断命题的真假，会举反例说明假命题 4. 理解逆命题与互逆命题的概念，能写出命题的逆命题 5. 理解定理与证明的意义，掌握几何证明的基本步骤与格式 03 知识•梳理 ★ 知识点1：定义 1. 概念：对名称或术语的含义进行描述或作出规定 2. 特征：严密、精确、唯一，无歧义 • 禁止使用"大概""差不多"等模糊词语 • 必须抓住概念的本质特征 3. 作用：几何推理的依据，既可当性质也可当判定 ★ 例："同一平面内不相交的两条直线叫平行线" ★ 知识点2：命题 1. 概念：判断一件事情的陈述句 2. 两要素：①是陈述句 ②能判断真假 • ❌ 疑问句、祈使句、感叹句都不是命题 3. 结构：题设（已知事项）+ 结论（推出事项） • 标准形式："如果……，那么……" • "如果"后是题设，"那么"后是结论 4. 分类：真命题（判断正确）、假命题（判断错误） ★ 知识点3：逆命题与互逆命题 1. 逆命题：将原命题的题设与结论互换 • 原命题：如果A，那么B • 逆命题：如果B，那么A 2. 互逆命题：两个命题的题设与结论互相交换 3. 重要性质：原命题为真，逆命题不一定为真 • 例："对顶角相等"为真，其逆命题为假 ★ 知识点4：定理与证明 1. 基本事实（公理）：公认的真命题，不需证明 2. 定理：经过证明的真命题，可作为推理依据 3. 互逆定理：如果一个定理的逆命题也是真命题 4. 证明：从条件出发，依据定义、公理、定理推导出结论 5. 证明三步骤：①写出已知、求证 ②画出图形 ③写出推理过程 6. 证明要求：每一步推理都要有依据，步步有据 04 题型•汇总 【题型1 定义】 解题技巧： ①判断标准：是否对概念作出精确、唯一、无歧义的描述 ②好定义三要素：抓本质特征、语言严谨、无模糊词 ③错误定义特征：用比喻、含"大概"、循环定义、特征不全 ④验证：能否根据定义准确判断某对象是否属于该概念 ★口诀：精确唯一无歧义，本质特征要抓齐 【典例1】．下列描述属于定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．垂线段最短吗 D．含有未知数的等式叫做方程 【答案】D 【详解】解：选项A、两点确定一条直线，不是定义，不符合题意； 选项B、对顶角相等，不是定义，不符合题意； 选项C、垂线段最短吗，不是定义，不符合题意； 选项D、含有未知数的等式叫做方程，是定义，符合题意． 【变式1】．下列句子中，是定义的是（    ） A．在正数前面加上符号“”的数是负数 B．，两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【答案】A 【分析】定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：在正数前面加上符号“”的数是负数，描述了负数的本质，是定义，符合题意； 对于选项B：“，两条直线平行吗”是疑问句，不是定义，不符合题意； 对于选项C：“画一个角等于已知角”是描述操作的句子，不是定义，不符合题意； 对于选项D：“过一点画已知直线的垂线”是描述操作的句子，不是定义，不符合题意． 【变式2】．下面各个命题中，定义为（ ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在正数前加上符号“”的数叫做负数 D．今天的天气很好 【答案】C 【详解】解：A、两点之间，线段最短，是性质不是定义，不符合题意； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是性质不是定义，且原说法错误，不符合题意； C、在正数前加上符号“”的数叫做负数，是定义，符合题意； D、今天的天气很好，不是定义，不符合题意． 【变式3】．下列语句中不是定义的是（    ） A．只有符号不同的两个数互为相反数 B．大于的数叫作正数 C．对顶角相等 D．几个单项式的和叫作多项式 【答案】C 【分析】定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：“只有符号不同的两个数互为相反数”，描述了相反数的定义，不符合题意； 对于选项B：“大于0的数叫作正数”，描述了正数的定义，不符合题意； 对于选项C：“对顶角相等”是命题，不是定义，符合题意； 对于选项D：“几个单项式的和叫作多项式”，描述了多项式的定义，不符合题意． 【题型2 判断是否是命题】 解题技巧： ①第一步：看句式——必须是陈述句 ②第二步：看功能——必须作出了判断（肯定/否定） ③排除法：疑问句、祈使句、感叹句、作图指令都不是命题 ④特殊：错误的判断也是命题（假命题） ★例："画线段AB=CD"不是命题；"相等的角是对顶角"是命题 【典例2】．下列语句中不是命题的是（    ） A．垂线段最短 B．对顶角相等 C．画直线 D．直角都相等 【答案】C 【分析】根据“判断一件事情的语句叫做命题”的定义，判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A选项：“垂线段最短”，对垂线段的性质做出了判断，是命题； B选项：“对顶角相等”，对对顶角的性质做出了判断，是命题； C选项：“画直线”，只是操作指令，没有对任何事情做出判断，不是命题； D选项：“直角都相等”，对直角的性质做出了判断，是命题． 【变式1】．下列语言叙述是命题的是（   ） A．赶紧写作业！ B．你喜欢陇南吗？ C．画一条端点为A的射线 D．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 【答案】D 【分析】命题是对某一事件作出判断的语句，据此对各选项逐一判断即可. 【详解】解：A、赶紧写作业！是祈使句，未对事件作出判断，不是命题； B、你喜欢陇南吗？是疑问句，未对事件作出判断，不是命题； C、画一条端点为A的射线，是操作指令，未对事件作出判断，不是命题； D、《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军，对该事件作出了明确判断，是命题. 【变式2】．下列语句中：①墙是白色的；②2加3等于5；③不是负数；④化简，其中不是命题的是____________． 【答案】④ 【详解】解：根据命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题， ①对墙的颜色作出判断，是命题； ②对的运算结果作出判断，是命题； ③对的取值性质作出判断，是命题； ④仅为化简操作的指令，未对任何事情作出判断，不是命题． 【变式3】．判断下列句子是不是命题（填“是”或“不是”） ①对顶角相等；（       ） ②画一个角等于已知角；（       ） ③两直线平行，同位角相等；（       ） ④a，b两条直线平行吗？（       ） 【答案】是，不是，是，不是 【分析】本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题是可以用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，分析每个句子是否符合这一定义即可． 【详解】解：①“对顶角相等”是陈述句，且可以判断真假（真），因此是命题； ②“画一个角等于已知角”是动作描述，不是陈述句，无法判断真假，因此不是命题； ③“两直线平行，同位角相等”是陈述句，且可以判断真假（真），因此是命题； ④“a，b两条直线平行吗？”是疑问句，不是陈述句，无法判断真假，因此不是命题； 故答案为：是，不是，是，不是． 【题型3 写出命题的题设与结论】 解题技巧： ①方法一：改写成"如果……，那么……"形式 ②"如果"后面的内容=题设（条件） ③"那么"后面的内容=结论 ④方法二：缩句法，"谁怎么样"，"谁"是题设，"怎么样"是结论 ⑤隐含命题：如"对顶角相等"→"如果两个角是对顶角，那么它们相等" 【典例3】．命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 【答案】D 【分析】先将原命题改写为“如果…那么…”的形式，区分出完整题设和结论，再判断“内错角”的属性 【详解】解：将原命题改写为“如果两直线平行，那么内错角相等”， 命题中，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论， ∵ 完整题设为“两直线平行”，完整结论为“内错角相等”， ∴ “内错角”只是结论中的部分名词，既不是完整题设，也不是完整结论， 因此选D 【变式1】．命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（   ） A．两条直线平行于同一条直线 B．三条直线平行 C．两条直线平行 D．两条直线垂直 【答案】A 【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知条件，将原命题改写为“如果…那么…”的形式，即可拆分出题设． 【详解】解：将原命题改写为“如果…那么…”的形式：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行． ∵“如果”引出的已知条件部分是命题的题设， ∴该命题的题设是“两条直线平行于同一条直线”． 【变式2】．“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 【答案】 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【分析】找出原命题的题设与结论，明确“如果”后接题设，“那么”后接结论即可完成改写． 【详解】解：原命题“同角的余角相等”中，题设为两个角是同一个角的余角，结论为这两个角相等， 因此可得：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 【变式3】．将命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____，那么______． 【答案】 两个角是邻补角 这两个角互补 【详解】解：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项， 因此将命题“邻补角互补”改写为“如果……那么……”的形式为：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补． 【题型4 判断命题的真假】 解题技巧： ①真命题：题设成立时，结论一定成立（无一例外） ②假命题：题设成立时，不能保证结论总是成立 ③判断真命题：需要逻辑推理证明 ④判断假命题：只需举出一个反例即可 ★关键：真命题要"永远成立"，假命题找"一个反例" 【典例4】．下列命题是真命题的是（     ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【详解】解：A、∵两直线平行，同旁内角互补，不是相等，∴原命题是假命题，不符合要求； B、∵根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴原命题是真命题，符合要求； C、∵直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，不是垂线段本身，∴原命题是假命题，不符合要求； D，∵同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项未说明同一平面，∴原命题是假命题，不符合要求． 【变式1】．下列命题是真命题的是（     ） A．同位角相等 B．一对邻补角的角平分线互相垂直 C．垂直于同一直线的两直线互相平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【详解】解：选项A，只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，原命题未说明两直线平行，所以A是假命题，不符合题意； 选项B，一对邻补角的和为，角平分线将两个邻补角各分为一半，两个半角的和为，即两条角平分线夹角为直角，互相垂直，所以B是真命题，符合题意； 选项C，只有在同一平面内，垂直于同一直线的两直线才互相平行，原命题未限定同一平面，所以C是假命题，不符合题意； 选项D，只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出已知直线的平行线，原命题未限定点的位置，所以D是假命题，不符合题意． 【变式2】．命题“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行”是__________命题．（填“真”或“假”） 【答案】 假 【分析】根据平行公理，同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题未对该点的位置进行限制，据此判断命题真假即可． 【详解】解：平行公理为，同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 若原命题中的点在已知直线上，则不存在过该点且与已知直线平行的直线，因此原命题不成立，是假命题． 【变式13】．命题“等角的补角相等”是一个_______________（填“真命题”或“假命题”）． 【答案】真命题 【分析】根据补角的性质判断命题的真假即可． 【详解】解：设这两个角分别为和，且； 根据等式的性质可得，即等角的补角相等， 故原命题是真命题． 【题型5 举例说明假（真）命题】 解题技巧： ①说明假命题：构造反例——满足题设，但不满足结论 ②反例三要素：具体、简单、直观（如画图、举数值） ③说明真命题：写出完整推理过程，每步有依据 ④反例技巧：找特殊情况（0、1、负数、等腰、直角等） 【典例5】．对于命题“如果，，那么”，下面四组值中，能说明这个命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：A、，，则，不能说明这个命题是假命题； B、，，则，能说明这个命题是假命题； C、，不符合条件，不能说明这个命题是假命题； D、，，不符合条件，不能说明这个命题是假命题． 【变式1】．下列选项中，能够说明“若是有理数，则”，是假命题的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找到满足题设“”，但不满足结论“”的反例，结合绝对值的性质判断各选项即可. 【详解】解：∵当时，是有理数， 又∵， ∴，满足题设，不满足结论，能说明原命题是假命题； 对于B选项，当时，，符合结论，不能说明原命题为假命题； 对于C选项，当时，，符合结论，不能说明原命题为假命题； 对于D选项，是无理数，不满足题设“”，不能作为反例说明原命题为假命题 【变式2】．要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例： ________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】只需找出满足题设，但不满足结论的的值即可解题． 【详解】解： 当时，，但不满足，因此可作为该假命题的反例． 故答案为（答案不唯一）． 【变式3】．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为________，________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只需找到满足，但不满足的一组实数即可． 【详解】解：当，时，满足条件， 此时，，可得，不满足， 因此，可以说明该命题是假命题． 【题型6 写出命题的逆命题】 解题技巧： ①第一步：先把原命题改写成"如果A，那么B"形式 ②第二步：交换题设与结论→"如果B，那么A" ③第三步：适当调整语序，使语句通顺 ④注意：逆命题与原命题的真假没有必然联系 ★口诀：题设结论换位置，语句通顺就完事 【典例6】．下列命题： ①线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等； ②全等三角形的周长相等； ③在同一个三角形中，大边对大角； ④同旁内角互补，两直线平行； 其逆命题为真命题的是（     ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】先写出每个命题的逆命题，再根据初中几何定理判断逆命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：①原命题：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等；逆命题：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；该逆命题为真命题； ②原命题：全等三角形的周长相等；逆命题：周长相等的三角形是全等三角形；举例：边长为，，的三角形和边长为，，的三角形周长都是，但二者不全等，因此该逆命题为假命题； ③原命题：在同一个三角形中，大边对大角；逆命题：在同一个三角形中，大角对大边；该逆命题为真命题； ④原命题：同旁内角互补，两直线平行；逆命题：两直线平行，同旁内角互补；该逆命题为真命题； 综上，逆命题为真命题的是①③④， 故选：A． 【变式1】．关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（     ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补” C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补” 【答案】A 【分析】先找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换得到逆命题，再和选项对比得到答案． 【详解】解：原命题“同旁内角互补，两直线平行”中，条件为“同旁内角互补”，结论为“两直线平行”. ∵逆命题的定义是将原命题的条件与结论互换得到新命题， ∴该命题的逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”. 对照选项可知A正确． 【变式2】．已知命题“等腰三角形的两个底角相等”，其逆命题是_____． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】将原命题的条件与结论互换，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：由题意得，原命题的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【变式3】．已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 【答案】 对应边相等的两个三角形全等 【分析】本题考查逆命题的概念，找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“全等三角形对应边相等”中，条件为“两个三角形全等”，结论为“两个三角形对应边相等”，将条件和结论互换，得到逆命题为：对应边相等的两个三角形全等. 故答案为对应边相等的两个三角形全等． 【题型7 判断是否为互逆命题】 解题技巧： ①分别写出两个命题的题设和结论 ②检查：命题1的题设=命题2的结论，且命题1的结论=命题2的题设 ③注意：互逆是两个命题之间的关系，成对出现 ④易错："互逆"≠"等价"，真假可不同 【典例7】．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 【变式1】．下列命题的逆命题正确的是(     ) A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等 【答案】B 【分析】先分别写出第个选项的逆命题，再判断其是否正确． 【详解】解：A的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题； B的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题； C的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题； D的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了学生对逆命题以及真假命题的定义的理解，要求学生对常用的基础知识牢固掌握，比较简单． 【变式2】．题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 【答案】 互逆命题 逆命题 【解析】略 【变式3】．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题． 【答案】互逆 【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题， 故答案为：互逆 【点睛】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键． 【题型8 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 解题技巧： ①已知：抄命题中的题设部分 ②求证：抄命题中的结论部分 ③画图：根据题意画出几何图形，标注字母 ④证明：从已知出发，每步写依据，推导出结论 ⑤格式：∵（条件），∴（结论）（依据） ★要求：步步有据，逻辑连贯，书写规范 【典例8】．如图，①，②，③，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题， (1)正确的命题有 个． (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】(1)3 (2)解：如图： 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．（三选一即可） 【分析】（1）利用平行线的判定和性质，进行判定即可； （2）利用平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】（1）解：从①，②，③请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题，共可组成三个命题，均为真命题， 即正确的命题有3个； （2）略 【变式1】．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)真 【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）根据题意，直接写出结论． 【详解】（1）解：已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． （2）证明：平分 平分， ， ， ； （3）通过（2）的推理证明，此命题是真命题． 【变式2】．一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 【答案】①；②；③；④垂直的定义；⑤；⑥；⑦两直线平行，同位角相等；⑧；⑨；⑩垂直的定义 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，根据得到，再由，得到，即可证明． 【详解】已知：如图，在同一平面内直线，①． 求证：②． 证明：∵（已知）， ∴③（④垂直的定义）． ∵⑤（已知）， ∴⑥（⑦两直线平行，同位角相等）， ∴⑧（等式的基本事实）， ∴⑨（⑩垂直的定义）． 【变式3】．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 【详解】解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 【题型9 以几何为背景的推理与论证】 解题技巧： ①审题：标注已知条件在图上 ②分析：从结论倒推需要什么条件（分析法） ③书写：从已知顺推，步步衔接（综合法） ④常用依据：平行线性质/判定、对顶角相等、角平分线定义等 ⑤辅助线：必要时添加，用虚线，写清作法 【典例9】．填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 【答案】对顶角相等；等式的基本事实；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明： ∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． 【变式1】．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 【变式2】．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 【题型10 定理与证明】 解题技巧： ①定理判定：必须同时满足：是真命题 + 经过严格证明 ②定理与命题关系：定理一定是真命题，但真命题不一定是定理 ③证明的依据只能是：定义、基本事实、已证定理 ④证明常用方法：直接证明、反证法（七年级了解即可） ★易错："正确的命题"≠"定理"，定理需被公认和证明 【典例10】．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据命题、定理、基本事实的概念，逐一判断四个说法的正误即可解答． 【详解】解：∵基本事实是经过实践检验公认的真命题， ∴①正确； ∵定理是依据基本事实、定义等，经过推理证明得到的真命题， ∴②正确； ∵并不是所有真命题都是基本事实，只有公认的作为推理依据的真命题才是基本事实， ∴③错误； ∵只有经过证明，可作为推理依据的真命题才是定理，并非所有真命题都是定理， ∴④错误； 综上，正确的说法有2个． 【变式1】．下列命题中错误的是（　　） A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题可能是真命题 C．一个定理不一定有逆定理 D．任何一个定理都有逆定理 【答案】D 【分析】根据命题、逆命题、定理、逆定理的基本概念，逐一判断各选项正误即可得到答案． 【详解】将原命题的题设与结论互换即可得到逆命题，因此任何命题都有逆命题，A选项说法正确； 真命题的逆命题真假性不确定，可能为真也可能为假， 例如“同位角相等，两直线平行”的原命题和逆命题都是真命题，B选项说法正确； 只有定理的逆命题本身也是真命题时，原定理才有逆定理，否则没有，因此一个定理不一定有逆定理，C选项说法正确； 不是所有定理的逆命题都是真命题，例如“对顶角相等”是定理，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，因此这个定理没有逆定理，所以“任何一个定理都有逆定理”的说法错误，D选项说法错误． 【变式2】．下列说法中，正确的是（   ） A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【分析】本题考查命题与逆命题的基本概念．命题由条件和结论组成，交换条件和结论即可得到逆命题，因此所有命题都有逆命题．但定理的逆命题不一定成立，真命题的逆命题不一定为真，假命题的逆命题不一定为假． 【详解】解：A、任何命题都可以通过交换条件和结论得到逆命题，即所有的命题都有逆命题，选项正确； B、定理的逆命题不一定为真，如“全等三角形对应角相等”的逆命题不成立，即不是所有定理都有逆定理，选项错误； C、真命题的逆命题可能为假，如“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假，选项错误； D、假命题的逆命题可能为真，如“若两个角相等，则它们是对顶角”的逆命题“若两个角是对顶角，则它们相等”为真，选项错误； 故选：A． 【变式3】．下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（  ） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 【答案】B 【分析】本题考查基本事实与定理的概念辨析，关键是明确两者的定义与区别：基本事实是经过长期实践检验、公认为正确的真命题，无需证明；定理是经过演绎推理证明为正确的真命题，二者都可作为推理论证的依据． 【详解】解：A选项：基本事实是公认的真命题，定理是经过严格演绎推理证明的真命题，因此两者都是真命题，该选项说法正确； B选项：基本事实是无需证明的公认的真命题，定理是需要经过演绎推理证明的真命题，二者概念不同，该选项说法错误； C选项：在数学推理论证过程中，基本事实和已被证明的定理都可以作为推理的依据，该选项说法正确； D选项：基本事实的正确性是通过长期的实践检验得以确认的，定理的正确性是通过演绎推理的方式证明得到的，该选项说法正确． 故选：B． 【题型11互逆定理】 解题技巧： ①判断条件：原命题是定理 + 逆命题也是真命题 ②两步验证法： 第一步：验证原命题是否为定理 第二步：写出逆命题并验证是否为真 ③性质：互逆定理都是真命题，可双向使用 ④例："两直线平行，同位角相等"与"同位角相等，两直线平行" 【典例11】．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．等边对等角 D．全等三角形对应边相等 【答案】A 【分析】本题考查逆定理的概念．一个定理的逆命题不一定为真命题，若其逆命题为假命题，则称该定理没有逆定理．解题时，需写出各选项的逆命题，并判断其真假． 【详解】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，假命题，故该选项符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意； C、等边对等角的逆命题是等角对等边，是真命题，故该选项不符合题意； D、全等三角形的对应边相等的逆命题是三边对应相等的三角形是全等三角形，是真命题，故该选项不符合题意； 故选∶A． 【变式1】．下列说法正确的是（    ） A．任何定理都有逆定理 B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理 C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题 D．定理的逆命题都是真命题 【答案】B 【分析】本题考查定理与逆定理的概念．定理的逆命题不一定是真命题，只有当逆命题为真时，才能称为逆定理．选项A错误，因为并非所有定理都有逆定理；选项C错误，因为原命题与逆命题的真假无必然联系；选项D错误，因为定理的逆命题不一定为真． 【详解】解：∵定理的逆命题不一定是真命题， ∴只有当逆命题为真时，才有逆定理， ∴选项B正确． ∵选项A任何定理都有逆定理，但如定理“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”为假命题，故无逆定理， ∴A错误． ∵选项C原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题，但原命题是真命题时逆命题可能是假命题（如“对顶角相等”）， ∴C错误． ∵选项D定理的逆命题都是真命题，但如上例逆命题为假命题， ∴D错误． 故选B． 【变式2】．下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（） A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 【答案】B 【分析】本题考查了逆命题与逆定理，根据已知，把各选项条件与结论互换写出逆命题，再判定结果是否是真命题即可． 【详解】解：A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，故该选项正确，不符合题意； B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形全等”，是假命题，故该选项不正确，符合题意； C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行”，故该选项正确，不符合题意； D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【变式3】．关于定理和逆定理，下列说法正确的是（   ） A．定理的逆命题一定是定理 B．定理的逆命题如果正确，就是逆定理 C．每个真命题都有逆定理 D．所有定理都有逆定理 【答案】B 【分析】本题考查定理与逆定理的概念．定理的逆命题不一定为真，因此不一定是定理；只有逆命题为真时，才是逆定理． 【详解】解：∵定理的逆命题不一定为真，∴ A错误； ∵定理的逆命题如果为真，就是逆定理，∴ B正确； ∵真命题的逆命题不一定为真，∴ 不一定有逆定理，∴ C错误； ∵并不是所有的定理都有逆定理，∴ D错误， 故选B． 05 过关•检测 1．下列命题是真命题的是（     ） A．若，则 B．等角的补角相等 C．同旁内角互补 D．如果直线，，那么 【答案】B 【详解】解：对于选项A，取反例，，满足，但，因此A是假命题； 对于选项B，设两个相等的角为，它们的补角分别为和，， ，即等角的补角相等，因此B是真命题； 对于选项C，只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，命题缺少前提条件，因此C是假命题； 对于选项D，若，，则，不是，因此D是假命题． 2．下列命题中，是真命题的是（） A．若，则， B．若，则， C．若，则且 D．若，则或 【答案】D 【分析】根据有理数乘法的符号法则和乘积为0的性质，逐一判断各命题真假即可． 【详解】解：根据有理数乘法法则：两个非零数相乘，同号得正，异号得负，若乘积为0，则至少有一个因数为0， 当时，，但，A不是真命题； 若，则异号，即一个为正一个为负，并非都小于0，B不是真命题； 当时，，但，C不是真命题； 若，根据乘法性质可得至少一个因数为0，即或，D是真命题． 3．对命题“同位角相等”的描述正确的是（    ） A．题设：两个角是同旁内角 B．结论：同位角相等 C．是真命题 D．不是定理 【答案】D 【分析】先将命题改写为“如果那么”的形式，明确题设与结论，再结合平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：将命题“同位角相等”改写为“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”由此可得题设为“两个角是同位角”，结论为“这两个角相等” ∵只有两直线平行时，同位角才相等，原命题未限定平行条件，因此原命题是假命题， 又∵定理是经过证明的真命题，原命题为假命题，因此它不是定理，再逐项判断选项： 、题设应为两个角是同位角，本选项错误； 、结论应为“这两个角相等”，本选项错误； 、原命题是假命题，本选项错误； 、原命题是假命题，因此不是定理，本选项正确． 4．已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（    ） 甲同学：“该命题是真命题．” 乙同学：“该命题的结论是．” 丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．” A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据命题的结构和真假命题的定义，依次判断三位同学的说法，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：∵当，时，满足，但， ∴原命题是假命题，甲同学判断错误． “若题设，则结论”是命题的标准形式，该命题的结论为， ∴乙同学判断正确． 添加条件都大于零后，命题变为“若且，则”， ∵两个正数的平方相等，正数本身必然相等， ∴该命题是真命题，丙同学判断正确． 综上，正确的判断共有个． 5．要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：选项A：，，满足，且，满足结论，不是反例； 选项B：，，满足，且，满足结论，不是反例； 选项C：，，满足，但，不满足结论，是符合要求的反例； 选项D：，，满足，且，满足结论，不是反例． 6．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a、b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解题关键．能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，据此逐项分析即可． 【详解】解：A、当，时，，且，此时命题是真命题，选项错误； B、当，时，，不满足命题的已知条件，选项错误； C、当，时，，不满足命题的已知条件，选项错误； D、当，时，，但，此时命题是假命题，选项正确； 故选：D 7．下列说法： ①一个数的平方根是它本身，则这个数是0； ②过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④对顶角相等的逆命题是真命题． 其中正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查平方根概念垂线性质平行线性质及逆命题真假判断，逐一分析每个说法即可得到正确个数． 【详解】解：①一个数的平方根是它本身，则这个数是0，∴①正确． ②只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，题目未说明同一平面，∴ ②错误． ③只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，题目未说明两直线平行，∴③错误． ④“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，∵相等的角不一定是对顶角，例如两个直角相等但不一定是对顶角，∴逆命题是假命题，④错误． 综上，正确的说法只有个，故选A． 8．下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 【答案】D 【分析】本题考查基本事实、定理、命题与定义的概念辨析，关键是明确基本事实是无需证明的公认真命题，定理是经过逻辑推理证明的真命题，定义是对概念的准确描述且属于真命题． 【详解】解：选项A：基本事实是经过长期实践公认的真命题，而真命题包含基本事实、定理等，该说法正确； 选项B：定义是对概念的明确表述，是能够判断真假的陈述句，且表述内容正确，该说法正确； 选项C：“两点之间，线段最短”是初中几何中的基本事实，该说法正确； 选项D：“两点之间，线段最短”是无需证明的基本事实，并非经过推理证明的定理，该说法错误． 故选：D． 9．下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了公理，公理是不需要证明的基本命题，在初中数学中，“同位角相等，两直线平行”通常作为平行线的判定公理，而其他选项均为定理，可由公理推导． 【详解】解：公理是数学体系中公认的基本事实，无需证明； 选项A“对顶角相等”可通过等角的补角相等证明，是定理； 选项B“同角的余角相等”可通过角的定义和等量代换证明，是定理； 选项C“三角形两边之和大于第三边”可由“两点之间线段最短”公理证明，是定理； 选项D“同位角相等，两直线平行”在初中教材中作为平行线的判定公理使用，是公理． 故选：D． 10．对于命题“任何一个角的补角都大于这个角”，请你举出一个反例说明这个命题是假命题，这个角的度数可以是________． 【答案】 (答案不唯一，大于等于即可) 【分析】要说明原命题为假命题，只需找到一个角，使得它的补角不大于这个角即可，根据补角的定义可知，只要选取的角大于等于，即可满足反例的要求． 【详解】解：根据补角的定义，若两个角的和为，则这两个角互为补角， 当这个角的度数为时， 它的补角为：， ，即该角的补角小于这个角， “任何一个角的补角都大于这个角”是假命题． 11．下列命题中：①对顶角相等；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补．真命题有_______个． 【答案】3 【分析】根据对顶角的性质，平行线的判定与性质，逐个判断每个命题的真假，统计真命题的个数即可． 【详解】解：①对顶角相等，是真命题； ②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题未说明两条直线平行，是假命题； ③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题； ④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补，是真命题． 综上，真命题共有个． 12．命题“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”的题设为：________． 【答案】两条直线都与第三条直线平行 【分析】命题可改写为“如果…，那么…”的形式，“如果”引出的部分为命题的题设，“那么”引出的部分为命题的结论．据此确定该命题的题设即可． 【详解】解：∵该命题“如果”引出的部分为“两条直线都与第三条直线平行”， ∴题设为：两条直线都与第三条直线平行． 13．命题“如果，那么”是_____命题（“填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】当，时，满足，但，据此可得答案． 【详解】解：命题“如果，那么”是假命题，例如当，时，满足，但． 14．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是___________． 【答案】到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【分析】交换原命题的题设与结论，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”中， 题设为“点在线段的垂直平分线上”，结论为“该点到线段两端的距离相等”， 交换题设与结论后，得到逆命题为：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 15．把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为________． 【答案】如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等． 【分析】先找出该命题的条件与结论，再将条件放在“如果”之后，结论放在“那么”之后即可完成改写． 【详解】解：命题“等角的余角相等”中，题设为两个角相等，结论为这两个角的余角相等，因此改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等． 16．如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交． 证明：假设与不相交，则______________________． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交___________． 与___________． 【答案】，，不成立，必相交 【分析】本题考查反证法，根据反正法假设结论成立，推出与已知矛盾，进行作答即可． 【详解】证明假设与不相交，则． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交不成立． 与必相交． 17．大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 【答案】见解析 【分析】本题考查了命题、平行线的判定与性质，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．证明小明说的命题：如图1（见解析），先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据平行线的判定即可得证；小丽说的命题，通过画图举出反例即可得． 【详解】解：命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题． 已知：如图1，，， 求证：， 证明：作直线分别于直线、、相交， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题， 如图2，，，而． 18．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 【答案】；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；已知；假设；直线与不平行 【分析】本题主要考查了反证法，平行线的性质，熟知反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法首先假设所求证的结论不成立，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】已知：如图，直线被直线所截，． 求证：直线与不平行． 证明：假设所求证的结论不成立，即， 则（两直线平行，同旁内角互补） 这与矛盾，故假设不成立． 所以直线与不平行． 19．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截． 求证：． 证明：假设　　． ∵， ∴　　． ∵　　， ∴，这和　　矛盾， ∴假设　　不成立，即． 【答案】；；；平角为；． 【分析】根据反证法的一般步骤、平行线的性质、平角的定义证明． 【详解】证明：假设． ∵， ∴． ∵， ∴，这与平角为矛盾， ∴假设不成立，即． 故答案为：；；；平角为；． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 20．数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等” 老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下： 小贴士 反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法． 如图1，我们想要证明“如果直线被直线所截，，那么” 如图2 假设，过点O作直线，使， 依据基本事实______． 可得． 这样过点O就有两条直线，都平行于直线，这与基本事实______矛盾， 说明的假设是不对的，于是有． 【答案】同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】直接利用反证法的基本步骤以及结合平行线的性质分析得出答案． 【详解】解：假设，过点O作直线，使，依据基本事实同位角相等，两直线平行， 可得． 这样过点O就有两条直线，都平行于直线， 这与基本事实过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾， 说明的假设是不对的，于是有． 故答案为：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的基本步骤是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 定义、命题、证明 （知识点+11大题型+过关检测） 【题型1 定义】 1 【题型2 判断是否是命题】 4 【题型3 写出命题的题设与结论】 5 【题型4 判断命题的真假】 7 【题型5 举例说明假（真）命题】 8 【题型6 写出命题的逆命题】 10 【题型7 判断是否为互逆命题】 11 【题型8 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 13 【题型9 以几何为背景的推理与论证】 18 【题型10 定理与证明】 21 【题型11互逆定理】 23 1. 理解定义的概念，掌握定义的严谨性与必要性 2. 理解命题的概念，能区分命题的题设与结论 3. 能判断命题的真假，会举反例说明假命题 4. 理解逆命题与互逆命题的概念，能写出命题的逆命题 5. 理解定理与证明的意义，掌握几何证明的基本步骤与格式 03 知识•梳理 ★ 知识点1：定义 1. 概念：对名称或术语的含义进行描述或作出规定 2. 特征：严密、精确、唯一，无歧义 • 禁止使用"大概""差不多"等模糊词语 • 必须抓住概念的本质特征 3. 作用：几何推理的依据，既可当性质也可当判定 ★ 例："同一平面内不相交的两条直线叫平行线" ★ 知识点2：命题 1. 概念：判断一件事情的陈述句 2. 两要素：①是陈述句 ②能判断真假 • ❌ 疑问句、祈使句、感叹句都不是命题 3. 结构：题设（已知事项）+ 结论（推出事项） • 标准形式："如果……，那么……" • "如果"后是题设，"那么"后是结论 4. 分类：真命题（判断正确）、假命题（判断错误） ★ 知识点3：逆命题与互逆命题 1. 逆命题：将原命题的题设与结论互换 • 原命题：如果A，那么B • 逆命题：如果B，那么A 2. 互逆命题：两个命题的题设与结论互相交换 3. 重要性质：原命题为真，逆命题不一定为真 • 例："对顶角相等"为真，其逆命题为假 ★ 知识点4：定理与证明 1. 基本事实（公理）：公认的真命题，不需证明 2. 定理：经过证明的真命题，可作为推理依据 3. 互逆定理：如果一个定理的逆命题也是真命题 4. 证明：从条件出发，依据定义、公理、定理推导出结论 5. 证明三步骤：①写出已知、求证 ②画出图形 ③写出推理过程 6. 证明要求：每一步推理都要有依据，步步有据 04 题型•汇总 【题型1 定义】 解题技巧： ①判断标准：是否对概念作出精确、唯一、无歧义的描述 ②好定义三要素：抓本质特征、语言严谨、无模糊词 ③错误定义特征：用比喻、含"大概"、循环定义、特征不全 ④验证：能否根据定义准确判断某对象是否属于该概念 ★口诀：精确唯一无歧义，本质特征要抓齐 【典例1】．下列描述属于定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．垂线段最短吗 D．含有未知数的等式叫做方程 【变式1】．下列句子中，是定义的是（    ） A．在正数前面加上符号“”的数是负数 B．，两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【变式2】．下面各个命题中，定义为（ ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在正数前加上符号“”的数叫做负数 D．今天的天气很好 【变式3】．下列语句中不是定义的是（    ） A．只有符号不同的两个数互为相反数 B．大于的数叫作正数 C．对顶角相等 D．几个单项式的和叫作多项式 【题型2 判断是否是命题】 解题技巧： ①第一步：看句式——必须是陈述句 ②第二步：看功能——必须作出了判断（肯定/否定） ③排除法：疑问句、祈使句、感叹句、作图指令都不是命题 ④特殊：错误的判断也是命题（假命题） ★例："画线段AB=CD"不是命题；"相等的角是对顶角"是命题 【典例2】．下列语句中不是命题的是（    ） A．垂线段最短 B．对顶角相等 C．画直线 D．直角都相等 【变式1】．下列语言叙述是命题的是（   ） A．赶紧写作业！ B．你喜欢陇南吗？ C．画一条端点为A的射线 D．《飞驰人生3》是2026年春节档电影票房冠军 【变式2】．下列语句中：①墙是白色的；②2加3等于5；③不是负数；④化简，其中不是命题的是____________． 【变式3】．判断下列句子是不是命题（填“是”或“不是”） ①对顶角相等；（       ） ②画一个角等于已知角；（       ） ③两直线平行，同位角相等；（       ） ④a，b两条直线平行吗？（       ） 【题型3 写出命题的题设与结论】 解题技巧： ①方法一：改写成"如果……，那么……"形式 ②"如果"后面的内容=题设（条件） ③"那么"后面的内容=结论 ④方法二：缩句法，"谁怎么样"，"谁"是题设，"怎么样"是结论 ⑤隐含命题：如"对顶角相等"→"如果两个角是对顶角，那么它们相等" 【典例3】．命题“两直线平行，内错角相等”中的“内错角”（   ） A．是题设 B．既是题设，也是结论 C．是结论 D．既不是题设，也不是结论 【变式1】．命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（   ） A．两条直线平行于同一条直线 B．三条直线平行 C．两条直线平行 D．两条直线垂直 【变式2】．“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 【变式3】．将命题“邻补角互补”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____，那么______． 【题型4 判断命题的真假】 解题技巧： ①真命题：题设成立时，结论一定成立（无一例外） ②假命题：题设成立时，不能保证结论总是成立 ③判断真命题：需要逻辑推理证明 ④判断假命题：只需举出一个反例即可 ★关键：真命题要"永远成立"，假命题找"一个反例" 【典例4】．下列命题是真命题的是（     ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式1】．下列命题是真命题的是（     ） A．同位角相等 B．一对邻补角的角平分线互相垂直 C．垂直于同一直线的两直线互相平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【变式2】．命题“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行”是__________命题．（填“真”或“假”） 【变式13】．命题“等角的补角相等”是一个_______________（填“真命题”或“假命题”）． 【题型5 举例说明假（真）命题】 解题技巧： ①说明假命题：构造反例——满足题设，但不满足结论 ②反例三要素：具体、简单、直观（如画图、举数值） ③说明真命题：写出完整推理过程，每步有依据 ④反例技巧：找特殊情况（0、1、负数、等腰、直角等） 【典例5】．对于命题“如果，，那么”，下面四组值中，能说明这个命题是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】．下列选项中，能够说明“若是有理数，则”，是假命题的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．要说明命题“若，则”是假命题，请举出一个反例： ________． 【变式3】．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为________，________． 【题型6 写出命题的逆命题】 解题技巧： ①第一步：先把原命题改写成"如果A，那么B"形式 ②第二步：交换题设与结论→"如果B，那么A" ③第三步：适当调整语序，使语句通顺 ④注意：逆命题与原命题的真假没有必然联系 ★口诀：题设结论换位置，语句通顺就完事 【典例6】．下列命题： ①线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等； ②全等三角形的周长相等； ③在同一个三角形中，大边对大角； ④同旁内角互补，两直线平行； 其逆命题为真命题的是（     ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【变式1】．关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（     ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补” C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补” 【变式2】．已知命题“等腰三角形的两个底角相等”，其逆命题是_____． 【变式3】．已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 【题型7 判断是否为互逆命题】 解题技巧： ①分别写出两个命题的题设和结论 ②检查：命题1的题设=命题2的结论，且命题1的结论=命题2的题设 ③注意：互逆是两个命题之间的关系，成对出现 ④易错："互逆"≠"等价"，真假可不同 【典例7】．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【变式1】．下列命题的逆命题正确的是(     ) A．对顶角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．全等三角形的对应角相等 D．全等三角形的面积相等 【变式2】．题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 【变式3】．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题． 【题型8 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 解题技巧： ①已知：抄命题中的题设部分 ②求证：抄命题中的结论部分 ③画图：根据题意画出几何图形，标注字母 ④证明：从已知出发，每步写依据，推导出结论 ⑤格式：∵（条件），∴（结论）（依据） ★要求：步步有据，逻辑连贯，书写规范 【典例8】．如图，①，②，③，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题， (1)正确的命题有 个． (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【变式1】．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【变式2】．一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 【变式3】．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【题型9 以几何为背景的推理与论证】 解题技巧： ①审题：标注已知条件在图上 ②分析：从结论倒推需要什么条件（分析法） ③书写：从已知顺推，步步衔接（综合法） ④常用依据：平行线性质/判定、对顶角相等、角平分线定义等 ⑤辅助线：必要时添加，用虚线，写清作法 【典例9】．填写证明依据：如图，已知，．求证：． 证明：∵（已知），（__________）， ∴（__________）． ∴（__________）． ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）． ∴（__________）． ∴（__________）． 【变式1】．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【变式2】．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【题型10 定理与证明】 解题技巧： ①定理判定：必须同时满足：是真命题 + 经过严格证明 ②定理与命题关系：定理一定是真命题，但真命题不一定是定理 ③证明的依据只能是：定义、基本事实、已证定理 ④证明常用方法：直接证明、反证法（七年级了解即可） ★易错："正确的命题"≠"定理"，定理需被公认和证明 【典例10】．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．下列命题中错误的是（　　） A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题可能是真命题 C．一个定理不一定有逆定理 D．任何一个定理都有逆定理 【变式2】．下列说法中，正确的是（   ） A．所有的命题都有逆命题 B．所有的定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【变式3】．下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（  ） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 【题型11互逆定理】 解题技巧： ①判断条件：原命题是定理 + 逆命题也是真命题 ②两步验证法： 第一步：验证原命题是否为定理 第二步：写出逆命题并验证是否为真 ③性质：互逆定理都是真命题，可双向使用 ④例："两直线平行，同位角相等"与"同位角相等，两直线平行" 【典例11】．下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．等边对等角 D．全等三角形对应边相等 【变式1】．下列说法正确的是（    ） A．任何定理都有逆定理 B．只有定理的逆命题是真命题时，它才有逆定理 C．只有原命题是真命题时，它的逆命题才是真命题 D．定理的逆命题都是真命题 【变式2】．下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（） A．“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 B．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 C．“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D．“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 【变式3】．关于定理和逆定理，下列说法正确的是（   ） A．定理的逆命题一定是定理 B．定理的逆命题如果正确，就是逆定理 C．每个真命题都有逆定理 D．所有定理都有逆定理 05 过关•检测 1．下列命题是真命题的是（     ） A．若，则 B．等角的补角相等 C．同旁内角互补 D．如果直线，，那么 2．下列命题中，是真命题的是（） A．若，则， B．若，则， C．若，则且 D．若，则或 3．对命题“同位角相等”的描述正确的是（    ） A．题设：两个角是同旁内角 B．结论：同位角相等 C．是真命题 D．不是定理 4．已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（    ） 甲同学：“该命题是真命题．” 乙同学：“该命题的结论是．” 丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．” A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a、b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 7．下列说法： ①一个数的平方根是它本身，则这个数是0； ②过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直； ③两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ④对顶角相等的逆命题是真命题． 其中正确的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 8．下列说法中，错误的是（  ） A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实 B．定义是命题，并且是真命题 C．“两点之间，线段最短”是基本事实 D．“两点之间，线段最短”是定理 9．下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行 10．对于命题“任何一个角的补角都大于这个角”，请你举出一个反例说明这个命题是假命题，这个角的度数可以是________． 11．下列命题中：①对顶角相等；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补．真命题有_______个． 12．命题“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”的题设为：________． 13．命题“如果，那么”是_____命题（“填“真”或“假”）． 14．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是___________． 15．把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为________． 16．如图，在同一平面内，已知直线于点与直线相交（且不垂直）于点．求证：与必相交． 证明：假设与不相交，则______________________． 这与与直线不垂直相矛盾． 假设与不相交___________． 与___________． 17．大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 18．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 19．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截． 求证：． 证明：假设　　． ∵， ∴　　． ∵　　， ∴，这和　　矛盾， ∴假设　　不成立，即． 20．数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等” 老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下： 小贴士 反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法． 如图1，我们想要证明“如果直线被直线所截，，那么” 如图2 假设，过点O作直线，使， 依据基本事实______． 可得． 这样过点O就有两条直线，都平行于直线，这与基本事实______矛盾， 说明的假设是不对的，于是有． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $