第12章 定义 命题 证明 （10知识详解+16典例分析）2025-2026学年（苏科版）七年级数学下册同步讲义与测试

该初中数学讲义围绕“定义-命题-证明”单元，通过概念从属关系图、对比表格及多方法证明图示构建知识体系，系统梳理10个核心知识点，涵盖命题组成、真假判断、三角形与多边形内角和外角和及反证法，呈现清晰的知识脉络与内在逻辑。 讲义亮点在于16类典例分层设计，如“举反例说明假命题”“互逆命题转化”等题型，结合反证法步骤指导培养推理意识，通过多边形内角和多种证法渗透转化思想。基础题巩固概念，综合题提升论证能力，助力学生自主复习，为教师精准教学提供系统资源。

第12章 定义 命题 证明 （10知识详解+16典例分析） 【知识点01】定义 1.定义：对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义. 示例 定义 2.许多概念之间都是有关系的.如单项式都属于整式，整式都属于代数式.数学中常用如图所示的方法直观地表达这种从属关系. 【知识点02】命题 1. 命题：可以判断真假的陈述句叫作命题.命题的定义包含两层含义： （1）命题必须是一个完整的陈述句; （2）这个句子必须能对某件事情作出肯定或者否定的判断.二者缺一不可. 注意：判断可以是正确的，也可以是错误的. 2.命题的组成 命题一般都由条件和结论两部分组成,条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项． 示例 命题的组成 3.命题的表达形式 一般情况下,命题的条件用“如果”“若”等字样引出,命题的结论用“那么”“则” 等字样引出.若命题不具有“如果⋯⋯ ，那么……”的形式,则一般先将命题改写成“如果⋯⋯，那么……”的形式,再来确定命题的条件和结论． 【知识点03】真命题、假命题 1.真命题：有些命题,所作的判断都是正确的，像这样的命题叫作真命题.（如果条件成立,那么结论成立） 2.假命题：有些命题,所作的判断都是错误的，像这样的命题叫作假命题.（条件成立时,不能保证结论总是正确的,也就是说结论不成立） 3.反例：举出一个符合命题的条件，但命题结论不成立的例子来说明命题是假命题，这样的例子称为反例. 示例 假命题 【知识点04】互逆命题 如果两个命题正好互换了条件与结论的位置，那么我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个命题叫作原命题，另一个叫作原命题的逆命题. 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题. 示例 互逆命题 【知识点05】推理的必要性 数学中有各种各样的命题，判断命题的真假是数学的一个基本活动.生活经验告诉我们，“眼见不一定为实”.数学中一般不能仅仅凭借观察来判断一个命题的真假，必须一步一步、有理有据地进行推理. 示例 两条线段长的比较 【知识点06】证明、重点 1.证明： 从命题的条件出发，根据一些已知的事实（如概念的定义，基本性质，真命题等），用“因为⋯⋯，所以……”的形式一步一步推出命题的结论，从而确定这个命题为真命题的过程称为证明. 2.证明的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）根据条件、结论，写出已知、求证； （3）经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程. 3.证明使用的符号：在证明时，我们通常用符号“∵ ”表示“因为”，用符号“∴ ”表示“所以”. 4.“∵ ”“∴ ”的使用方法: （1）一组“∵ ”“∴ ”称为一个推理，证明过程通常包含几个推理. （2）有时“∴ ”后面会接着一个“∴”，这时前面的“∴ ”就是后面的条件，相当于“∵ ”. 【知识点07】三角形内角和定理及其推论 1.定理：一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理. 2.推论：由一个定理直接推出的重要结论叫作这个定理的推论. 3.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. 4.三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5.三角形内角和定理的证明思路： 证明三角形内角和定理的方法有很多,基本思路是：把三角形的三个内角“搬”到一起组成一个平角,以便利用平角的定义证明结论.为了实现这个基本思路,完成证明,需要添加辅助线.过某一顶点作该顶点所对的边所在直线的平行线是常用方法,通过作平行线,利用平行线的性质,将三个角合并成一个平角即可证明. 【知识点08】多边形的内角和定理 定理内容：n 边形的内角和等于(n−2)⋅180°. 证明 方法 图示 方法1:如图所示，从n 边形的一个顶点引出(n−3) 条对角线，这(n−3)条对角线把n 边形分成(n−2) 个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以n 边形的内角和为(n−2)⋅180°. 方法2：如图所示，在n 边形内任取一点P，连接，，⋯，，把n边形分成n 个三角形，这n 个三角形的内角和为n⋅180°，再减去一个周角的度数，即得n 边形的内角和为n×180°−360°=(n−2)⋅180°. 方法3：如图所示，在n 边形的一边上任取一点P 与各顶点相连，得(n−1)个三角形，n 边形内角和等于这(n−1) 个三角形的内角 和减去在点P 处的一个平角的度数，即得n 边形的内角和为(n−1)×180°−180°=(n−2)⋅180°. 多边形的内角和定理的应用 （1）已知边数，求内角和； （2）已知内角和，求边数； （3）正n 边形的各条边长都相等，各个内角都相等，其内角和为(n−2)⋅180°，故正n 边形的每个内角都为 . 说明：多边形的内角和公式的几种推导方法都是把多边形问题转化为三角形问题，这种转化思想是解决多边形问题的核心. 【知识点09】多边形的外角和定理 1.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角,叫作多边形的外角. 2.多边形的外角和概念：在多边形的每个顶点处分别取多边形的一个外角,这些外角的和叫作多边形的外角和. 示例 多边形的外角和 3.多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°. 4.多边形的外角和定理的推导：多边形的每个内角加上与它相邻的外角都等于180° ,所以n边形的外角和等于n 个平角减去多边形的内角和,即n⋅180°−(n−2)⋅180°=360°. 【知识点10】反证法 1.反证法：我们通过否定命题的结论，发现了矛盾，从而反过来肯 定命题结论成立的证明方法叫作反证法. 反证法是数学中一种基本的证明方法. 2.用反证法证明的一般步骤： （1）先假设命题的结论不成立. （2）从这个假设出发，经过若干步推理，得出矛盾. （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的结论成立. 【题型一】定义的概念 1．（2026七年级下·江苏·专题练习）下列描述属于定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．垂线段最短吗 D．含有未知数的等式叫做方程 【答案】D 【知识点】判断是否是命题 【详解】解：选项A、两点确定一条直线，不是定义，不符合题意； 选项B、对顶角相等，不是定义，不符合题意； 选项C、垂线段最短吗，不是定义，不符合题意； 选项D、含有未知数的等式叫做方程，是定义，符合题意． 2．（2026七年级下·江苏·专题练习）下列句子中，是定义的是（    ） A．在正数前面加上符号“”的数是负数 B．，两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【答案】A 【知识点】判断是否是命题、正负数的定义 【分析】定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：在正数前面加上符号“”的数是负数，描述了负数的本质，是定义，符合题意； 对于选项B：“，两条直线平行吗”是疑问句，不是定义，不符合题意； 对于选项C：“画一个角等于已知角”是描述操作的句子，不是定义，不符合题意； 对于选项D：“过一点画已知直线的垂线”是描述操作的句子，不是定义，不符合题意． 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）下列语句中不是定义的是（    ） A．只有符号不同的两个数互为相反数 B．大于的数叫作正数 C．对顶角相等 D．几个单项式的和叫作多项式 【答案】C 【知识点】对顶角的定义、多项式的判断、相反数的定义、判断是否是命题 【分析】定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：“只有符号不同的两个数互为相反数”，描述了相反数的定义，不符合题意； 对于选项B：“大于0的数叫作正数”，描述了正数的定义，不符合题意； 对于选项C：“对顶角相等”是命题，不是定义，符合题意； 对于选项D：“几个单项式的和叫作多项式”，描述了多项式的定义，不符合题意． 【题型二】判断是否是命题 4．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）下列语句是命题的是（  ） A．加 B．任何一个数的绝对值不小于零 C．过点A作直线l的平行线 D．直线a与b垂直吗？ 【答案】B 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查命题的概念，根据“可以判断真假的陈述句”逐一判断选项即可得到答案． 【详解】A选项没有对事情做出判断，不符合题意． B选项对任意数的绝对值与0的大小关系做出了判断，同时是陈述句，符合命题的定义． C选项是作图操作指令，没有做出判断，不符合题意． D选项是疑问句，不是陈述句，不符合题意． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）下列句子中，属于命题的是（    ） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 【答案】B 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题，据此判断即可求解，掌握命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、画一条线段等于已知线段不是命题，该选项不合题意； 、垂线段最短是命题，该选项符合题意； 、利用三角板画出的角不是命题，该选项不合题意； 、直角都相等吗？不是命题，该选项不合题意； 故选：． 6．（2026七年级下·江苏·专题练习）下列语句中，哪些是命题？ (1)过点作一条射线． (2)线段的长是吗？ (3)如果，那么． 【答案】(1)不是命题 (2)不是命题 (3)是命题 【知识点】判断是否是命题 【分析】判断一件事情的句子叫做命题． 【详解】（1）解：“过点作一条射线”是描述操作的句子，不是命题； （2）解：“线段的长是吗？”是疑问句，不是命题； （3）解：“如果，那么”是命题． 【题型三】写出命题的题设与结论 7．命题“如果，那么或”的结论是(    ) A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题主要考查了命题中题设与结论的判断；用到的知识点为：所有命题都可以写成“如果 ……，那么……”，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论． 根据命题中“如果”后面是题设，“那么”后面是结论即可得答案． 【详解】解：如果后面的部分是题设，那么后面的部分是结论． 命题“如果，那么或”的结论是或， 故答案为：C． 8．命题“同位角相等，两直线平行”的题设是（   ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】B 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查命题的组成，命题由题设和结论两部分构成，题设是命题中的已知条件，结论是由已知条件推出的结果，掌握命题题设与结论的区分方法是解题关键． 【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”可改写为“如果同位角相等，那么两直线平行”． ∴该命题的题设是“同位角相等”． 9．（25-26七年级下·江苏·单元测试）把命题“负数的绝对值是正数”写成“如果……，那么……”的形式：_____． 【答案】如果一个数是负数，那么这个数的绝对值是正数 【知识点】写出命题的题设与结论 【详解】解：把命题“负数的绝对值是正数”写成“如果……，那么……”的形式为：如果一个数是负数，那么这个数的绝对值是正数． 10．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）“垂直同一条直线的两条直线互相平行”这个命题的条件是______． 【答案】两条直线垂直于同一条直线 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了命题的改写，根据命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果那么”的形式即可，解题的关键是正确理解“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．任何一个命题都可以写成“如果那么”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论，在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意． 【详解】解：命题可以改写为：“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”． 条件是：两条直线垂直于同一条直线，结论是：这两条直线平行； 故答案为：两条直线垂直于同一条直线 11．（2026七年级下·江苏·专题练习）指出下列命题的条件与结论： (1)如果，那么的补角与的补角相等； (2)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行． 【答案】(1)条件为，结论为的补角与的补角相等； (2)条件为两条直线都平行于同一条直线；结论为这两条直线平行． 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】（1）如果后面为条件，那么后面为结论； （2）先可以用“如果…那么…”形式表述命题，则如果后面为条件，那么后面为结论． 【详解】（1）条件为； 结论为的补角与的补角相等； （2）条件为两条直线都平行于同一条直线； 结论为这两条直线平行． 【题型四】判断命题真假 12．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）下列命题中是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．若实数a，b满足，则 D．两直线平行，同位角相等 【答案】D 【知识点】判断命题真假、对顶角相等、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及对顶角概念，平行线的性质，平方的性质等初中知识点，逐一分析选项即可得到结论． 【详解】解：对于A选项，相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时同位角相等，但同位角不是对顶角，∴A是假命题； 对于B选项，只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上则不存在符合要求的平行线，∴B是假命题； 对于C选项，若，则或，例如满足但，∴C是假命题； 对于D选项，“两直线平行，同位角相等”是平行线的基本性质，是真命题． 13．（25-26七年级上·江苏南通·期末）下列四个命题，其中是真命题的是（   ） A．内错角相等 B．相等的角是对顶角 C．同旁内角相等，两条直线平行 D．垂线段最短 【答案】D 【知识点】垂线段最短、同位角、内错角、同旁内角、判断命题真假 【分析】本题考查平行线的性质与判定、对顶角的定义、垂线段的性质，逐一分析各命题的真假性即可． 【详解】解：∵内错角相等的前提是两直线平行，缺少该前提则结论不成立． ∴A是假命题． ∵相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但不是对顶角． ∴B是假命题． ∵同旁内角互补时两条直线才平行，并非相等． ∴C是假命题． ∵垂线段最短是基本几何事实． ∴D是真命题． 故选：D． 14．（2026七年级下·江苏·专题练习）命题“两直线平行，同位角相等”是 _______（填“真”或“假”）命题． 【答案】真 【知识点】两直线平行同位角相等、判断命题真假 【详解】解：由平行线的性质可知，“两直线平行，同位角相等”是真命题． 15．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）命题“若，则”是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【知识点】判断命题真假 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．利用可判断命题“如果，那么”是假命题． 【详解】解：命题“若，则”是假命题； 故答案为：假． 16．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流，流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如，等下列几个命题：是“回文数”；所有两位数中，有个“回文数”；所有三位数中，有个“回文数”；任意六位数的“回文数”是的倍数，其中，真命题有______（填序号）． 【答案】 【知识点】判断是否是命题、整式的加减运算 【分析】本题考查了命题与定理，整式的加减，根据“回文数”的定义进行分析即可求解，解题的关键是熟练掌握“回文数”的定义． 【详解】解：根据定义正读倒读都一样，故是“回文数”；是真命题； 两位数的“回文数”为：，，，，，，，，，合计个；是真命题； 三位数的“回文数”中，百位和个位是的为：，，，，，，，，，，合计个，同理百位和个位是的有个，依次类推，则三位数的“回文数”合计个；是真命题； 设任意六位数的“回文数”十万位，万位，千位，百位，十位，个位上的数字分别为，，，，，，则， 根据定义，，，， ∴， ∴是的倍数；是真命题； 故答案为：． 17．（2026七年级下·江苏·专题练习）说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 【答案】见解析 【知识点】列代数式、判断命题真假、整式的加减运算 【分析】根据题意写出已知和求证，再利用数的整除证明． 【详解】解：已知：能被3整除，其中，，，且都为整数． 求证：能被3整除． 证明： ， ∵，，，且都为整数， ∴能被3整除， 又∵能被3整除， ∴能被3整除， 即“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 18．（2026·江苏盐城·一模）判断命题“如果，，那么”的真假性？并证明你的结论． 【答案】真命题，证明见解析 【知识点】不等式的性质、判断命题真假 【分析】根据不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号方向不变 ,可得， ，由此即可判断命题的真假性． 【详解】证明： ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ 因此原命题是真命题． 【题型五】举例说明假（真）命题 19．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）下面四组的值，能说明命题“若，则”是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】此题考查了举例说明命题是假命题，正确理解命题的定义及正确运算是解题的关键．将各选项中的值代入计算即可． 【详解】解：A、，，此时，，不能说明命题“若，则”是假命题，不符合题意； B、，，此时，，不能说明命题“若，则”是假命题，不符合题意； C、，，此时，，能说明命题“若，则”是假命题，符合题意； D、，，此时，，不能说明命题“若，则”是假命题，不符合题意； 故选：C． 20．（24-25七年级下·江苏常州·期末）若要说明命题“如果，那么”是假命题，则可以举反例为(    ) A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题考查了举反例说明命题是假命题，要说明命题“如果|，那么”是假命题，找到满足但的例子． 【详解】解：A：，．此时，且，符合原命题，不能作为反例． B：，．计算得，，满足，但，符合反例要求． C：，．此时，且，符合原命题，不能作为反例． D：，．计算得，，不满足，不符合条件． 故选：B． 21．（25-26七年级下·江苏常州·期中）说明命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】只需要满足即可． 【详解】解：当时，满足，此时，不满足， 故反例可以是． 22．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）请举一个能说明命题“如果，那么”是假命题的x的值可以是_____． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题考查举反例，要说明命题是假命题，可取使题设成立，但结论不成立的x的值即可． 【详解】解：当时，成立，但不成立， ∴能说明命题“如果，那么”是假命题的x的值可以是． 故答案为： 23．（2026七年级下·江苏·专题练习）判断下列命题的真假．如果是假命题，请举出反例． (1)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)四边形的两条对角线相等； (3)若，则； (4)若两个有理数的和小于，则这两个有理数的积也小于． 【答案】(1)真命题 (2)假命题，反例见解析 (3)假命题，反例见解析 (4)假命题，反例见解析 【知识点】判断命题真假、举例说明假（真）命题 【详解】（1）解：“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”是真命题； （2）解：“四边形的两条对角线相等”是假命题，反例：普通的平行四边形（非矩形），对角线的长度不相等； （3）解：“若，则”是假命题，反例：当，时，，但，，此时； （4）解：“若两个有理数的和小于，则这两个有理数的积也小于”是假命题，反例：两个有理数和，它们的和为，而它们的积为． 【题型六】写出命题的逆命题 24．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）关于命题“对顶角相等”，下列说法正确的是(   ) A．原命题是真命题，逆命题是假命题 B．原命题是假命题，逆命题是真命题 C．原命题和逆命题都是真命题 D．原命题和逆命题都是假命题 【答案】A 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了逆命题，判断真假命题；原命题“对顶角相等”是真命题，其逆命题为“相等的角是对顶角”，需判断逆命题的真假． 【详解】解：对顶角的定义是两条直线相交形成的角中，互为反向延长线的两个角．根据几何基本定理，对顶角一定相等，因此原命题是真命题． 逆命题为“如果两个角相等，那么它们是对顶角”， 原命题的逆命题是假命题． 故选：A． 25．（23-24七年级下·江苏南京·期末）关于命题“如果，那么”，下列判断正确的是（    ） A．该命题及其逆命题都是真命题 B．该命题是真命题，其逆命题是假命题 C．该命题是假命题，其逆命题是真命题 D．该命题及其逆命题都是假命题 【答案】B 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假 【分析】本题考查了判断命题的真假，写命题的逆命题，写出逆命题并判断真假即可． 【详解】解：关于命题“如果，那么”，是真命题， 逆命题为：如果，那么，是假命题， 故选：B． 26．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如果，那么 的逆命题为_____________________ 【答案】 如果，那么 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“如果，那么”中，条件为，结论为， 交换条件与结论，可得逆命题为：如果，那么． 27．（2024·江苏宿迁·中考真题）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是_____ 【答案】同位角相等，两直线平行 【知识点】两直线平行同位角相等、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 28．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）（1）已知：如图，直线被直线所截，．求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 【答案】（1）见详解（2）见详解 【知识点】根据平行线判定与性质证明、判断命题真假、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，互逆命题，命题的真假，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合同位角相等，两直线平行，得，再由，得，故，所以，即可作答． （2）分析（1）的解题过程，得两个互逆的真命题：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．即可作答． 【详解】解：（1）∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结合（1）的过程，得同位角相等，两直线平行以及两直线平行，同位角相等， 即两个互逆的真命题：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 29．（2024七年级下·江苏·专题练习）（1）已知，如图在中，点在上，点在上，点、在上，，．求证：； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 【答案】（1）见解析；（2）两直线平行，同位角相等和同位角相等，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明、写出命题的逆命题 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，证明，根据两直线平行，同位角相等证明即可； （2）根据平行线的判定和性质、互逆命题的概念解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题是两直线平行，同位角相等和同位角相等，两直线平行． 【题型七】判断是否为互逆命题 30．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【知识点】判断是否为互逆命题 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 31．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题． 【答案】互逆 【知识点】判断是否为互逆命题 【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题， 故答案为：互逆 【点睛】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键． 32．（2026七年级下·江苏·专题练习）下面两个命题是互逆命题吗？ （1）如果是整数，那么是有理数； （2）如果是有理数，那么是整数． 【答案】是互逆命题 【知识点】判断是否为互逆命题 【分析】互逆命题是指两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．‌ 【详解】解：是互逆命题，理由如下： 命题（1）的条件为“是整数”，结论为“是有理数”； 命题（2）的条件为“是有理数”，结论为“是整数”； ∴这两个命题是互逆命题． 33．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段检测）（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【知识点】判断是否为互逆命题、判断命题真假、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断，则利用平行线的传递性得到，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【题型八】代数问题证明 34．（2026七年级下·江苏·专题练习）证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 【答案】见解析 【知识点】运用完全平方公式进行运算、代数问题证明 【分析】根据逆否命题以及完全平方公式进行判断即可． 【详解】证明：设整数个位数为5，可表示为， ∴， 因此，这个整数平方的个位数为5， ∴如果一个数的个位数是5，那么这个数的平方的个位数是5为真命题， ∴一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 35．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【知识点】不等式的性质、举例说明假（真）命题、代数问题证明 【分析】本题考查不等式的性质，命题的判定，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题； （3）设这三个自然数分别是，，，其中，将这三个自然数求和即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性）； 故答案为：，； （2）证明：， 不等式两边同加上，得， 不等式两边同时除以2，得； （3）解：真命题， 证明：设这三个自然数分别是，，，其中， ， 能被3整除， 这三个自然数的和能被3整除． 【题型九】写出一个命题的已知、求证及证明过程 36．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【知识点】写出一个命题的已知、求证及证明过程 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 37．实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 【答案】 不一定， 证明 【知识点】写出一个命题的已知、求证及证明过程 38．（23-24七年级下·江苏南京·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【答案】见解析 【知识点】写出一个命题的已知、求证及证明过程、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型． 写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：， 证明：， ． ， ， ， ． 39．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，①，②，③，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题， (1)正确的命题有 个． (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】(1)3 (2)解：如图： 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．（三选一即可） 【知识点】判断命题真假、写出一个命题的已知、求证及证明过程、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）利用平行线的判定和性质，进行判定即可； （2）利用平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】（1）解：从①，②，③请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题，共可组成三个命题，均为真命题， 即正确的命题有3个； （2）略 【题型十】已知证明过程填写理论依据 40．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【知识点】已知证明过程填写理论依据 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 41．（24-25七年级下·江苏南京·课后作业）有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 【答案】①②③④⑤⑦ 【知识点】已知证明过程填写理论依据 【分析】本题考查了定理与证明，熟练掌握定理与证明的特性是解题的关键； 先明确推理依据的定义，在逐项分析所给各项是否符合推理依据的要求，最后统计符合条件的个数即可. 【详解】解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等. ①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据； ②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据； ③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据； ④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据； ⑤不等式的性质： 不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等，是推理依据； ⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据； ⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据； ⑧正确的观察结果： 观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依据； ⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据； 故答案为：①②③④⑤⑦ ． 42．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【知识点】已知证明过程填写理论依据、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 【题型十一】以几何为背景的推理与论证 43．（23-24七年级下·江苏南京·二模）《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】D 【知识点】以几何为背景的推理与论证 【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想 故选：D． 【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解． 44．如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【答案】一样大，理由见解析 【知识点】以几何为背景的推理与论证 【分析】本题考查猜想和验证，求圆的周长，设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r，根据圆的周长公式进行计算，判断即可． 【详解】解：设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r， 则． 10个小圆周长，2个小圆周长． 所以它们的周长一样大． 【题型十二】以代数为背景的推理与论证 45．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如下图所示，由此可以推断丁同学的得分为（    ）        第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × √ √ √ × ？ A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】本题主要考查了简单的合情推理，属于基础题．先根据甲乙的总得分与判断的对错数相等推断出第3道题和第6道题的正确答案均为“×”，进而根据丙的判断可得这6道题目的正确答案是：，进而得出丁的分数． 【详解】解：知识测试共有6道题目，每题判断正确得1分，判断错误得0分，甲、乙的得分都是4分，则甲、乙至少有2道题目的结果相同且为正确答案，不难发现，甲、乙的第3道题和第6道题判断相同，所以第3道题和第6道题的正确答案均为“×”， 所以丙的第3道题和第6道题判断错误，而丙也得了4分，说明丙其余题目全部判断正确， 所以这6道题目的正确答案是：， 所以丁做对了3道，得了3分， 故选：D． 46．“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 【答案】2401 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知找到切入点，再推断求解即可． 【详解】解：由③可知，9、5、8、3四个数字都不正确， 即密码中没有9、5、8、3四个数字； 由④可知，0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确， 即密码中一定有0、1、2三个数字，且位置都不正确； 由①可知，7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； 即密码中数字1在第四位，另一个正确的数字为7在第一位或4在第二位； 若7在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位； 由②④可知，密码数字2不在第二位和第三位，即在第一位． 则数字0在第三位， 即正确的密码是2401， 故答案为：2401． 47．（23-24七年级上·江苏南京·阶段检测）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为． (1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上； (2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由． 【答案】(1)7 (2)14 【知识点】以代数为背景的推理与论证、有理数乘法的实际应用 【分析】（1）根据翻转的操作方法即可得出答案； （2）根据三种情况进行分析，进而得出答案． 【详解】（1）解：总变化量：， 次数（至少）：， 故答案为：7； （2）解：①两张由反到正，变化：； ②两张由正到反，变化：； ③一正一反变一反一正，变化， 要使所有纸牌正面向上，则总变化量仍为14， ∵14无法由4，，0相加得到， ∴不能全正，故不能所有纸牌全正； 故答案为：14． 【点睛】此题主要考查了推理与论证，此题解题的关键是要明确：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的正面向上，根据“奇数奇数偶数，偶数奇数奇数”进行解答即可． 【题型十三】定理与证明 48．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】定理与证明 【分析】根据命题、定理、基本事实的概念，逐一判断四个说法的正误即可解答． 【详解】解：∵基本事实是经过实践检验公认的真命题， ∴①正确； ∵定理是依据基本事实、定义等，经过推理证明得到的真命题， ∴②正确； ∵并不是所有真命题都是基本事实，只有公认的作为推理依据的真命题才是基本事实， ∴③错误； ∵只有经过证明，可作为推理依据的真命题才是定理，并非所有真命题都是定理， ∴④错误； 综上，正确的说法有2个． 49．（2023·江苏扬州·二模）数学巨著《几何原本》以基本事实和原始概念为基础，推演出更多的结论，体现了公理化思想．《几何原本》的作者是（    ） A．阿基米德 B．欧几里得 C．毕达哥拉斯 D．泰勒斯 【答案】B 【知识点】定理与证明 【分析】根据数学史，即可得到答案； 【详解】解：《几何原本》的作者是：欧几里得， 故选：B． 【点睛】本题考查了《几何原本》，早在公元前3世纪，希腊数学家欧几里得用由反复实践所证实而被认为不需要证明的少数命题为前提，用逻辑推理的方法，将前人在几何方面的研究成果整理成《几何原本》． 50．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）下列命题可以作定理的有_____个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【答案】2 【知识点】定理与证明 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理； ∴可以作定理的有2个 故答案为：2 【题型十四】互逆定理 51．定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是（   ） A．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等 B．对应角相等的两个三角形全等 C．对应边不相等的两个三角形不全等 D．全等三角形的对应边相等 【答案】A 【知识点】互逆定理 【分析】本题考查互逆定理． 将原定理的题设和结论互换，判断逆命题的真假，若逆命题为真命题，即为原定理的逆定理． 【详解】解：“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆命题为“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”， ∵“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”是真命题， ∴定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”． 故选：A． 52．（2023·江苏南京·一模）定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形． 【知识点】互逆定理 【详解】解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是有两个角互余的三角形是直角三角形． 53．“互逆定理”是指两个定理之间的关系，其中一个定理是另一个定理的_________． 【答案】逆定理 【知识点】互逆定理 【分析】本题考查了互逆定理．互逆定理是指两个定理之间，一个定理的题设和结论是另一个定理的结论和题设． 【详解】解：在初中数学中，互逆定理描述的是两个定理互为逆定理的关系，即第一个定理的题设是第二个定理的结论，第一个定理的结论是第二个定理的题设． 因此，其中一个定理是另一个定理的逆定理． 故答案为：逆定理． 54．（24-25七年级下·江苏南京·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三边对应相等的两个三角形全等． 【答案】(1)有，逆定理见解析； (2)有，逆定理见解析． 【知识点】互逆定理、判断命题真假、全等三角形的性质、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）先写出各命题的逆命题，在判断真假即可解答； （2）先写出各命题的逆命题，在判断真假即可解答． 【详解】（1）定理“同旁内角互补，两直线平行”有逆定理，逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”． （2）定理“三边对应相等的两个三角形全等”有逆定理，逆定理是“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三边对应相等．” 【点睛】本题考查平行线的性质与判定两直线平行的方法，熟记平行线的性质与判定方法是关键． 【题型十五】反证法证明中的假设 55．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）用反证法证明“一个三角形最多有一个钝角”时，应先假设在三角形中（   ） A．有一个钝角 B．有两个钝角 C．有三个钝角 D．有不止一个钝角 【答案】D 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查了反证法证明中的假设；反证法的第一步是假设原命题的结论不成立。原命题“一个三角形最多有一个钝角”的结论是“钝角数量不超过1个”，其反面应为“钝角数量超过1个”，即“有不止一个钝角”。 【详解】解：用反证法证明“一个三角形最多有一个钝角”时，应先假设在三角形中有不止一个钝角， 故选：D． 56．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．用反证法证明命题：四边形的外角中至多有3个钝角，第一步应假设（   ） A．四边形的外角中没有钝角 B．四边形的外角中有1个钝角 C．四边形的外角中有2个钝角 D．四边形的外角全部都是钝角 【答案】D 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 由于原命题结论“至多有3个钝角”的否定是“至少有4个钝角”，据此即可求解． 【详解】解：原命题结论“至多有3个钝角”的否定是“至少有4个钝角”，由于四边形的外角共有4个，即假设四边形的外角全部都是钝角， 故选：D． 57．（24-25七年级下·江苏南京·期末）用反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设______． 【答案】 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查的是反证法，熟练掌握反证法的步骤是解题关键． 根据反证法的步骤，即第一步是假设结论不成立，反面成立，即可求解． 【详解】解：反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设， 故答案为：． 58．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）用反证法证明“已知：是正整数，且是偶数．求证：是偶数”时，应先假设________． 【答案】不是偶数（或：是奇数） 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，即可求解． 【详解】解：反证法证明“已知：是正整数，且是偶数．求证：是偶数”时，应先假设不是偶数（是奇数）， 故答案为：不是偶数（是奇数）． 59．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知：四边形（如图）．求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角． 【答案】见解析 【知识点】多边形内角和问题、反证法证明中的假设 【分析】用反证法进行证明，即假设四边形四个角都是锐角，即四个中每个角都小于，推出与四边形内角和是相矛盾的结论即可． 【详解】证明：假设四边形四个角都是锐角，即四个中每个角都小于， 所以四边形四个内角的和小于， 这与四边形内角和是矛盾， 所以假设四边形四个角都是锐角，即四个角中每个角都小于是不正确的， 因此四边形中至少有一个角是钝角或直角． 60．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）已知实数满足，． (1)求证：； (2)若，为正整数，且为奇数，请用反证法证明：至少有一个为奇数． 【答案】(1) 证明：，， ， 任意实数的平方都大于等于，即， ， ． (2) 证明：假设结论不成立，即，都为偶数， 偶数的平方是偶数，两个偶数的和是偶数，偶数乘偶数是偶数， 是偶数，是偶数，因此是偶数， 又，因此是偶数， 是偶数， 这与已知条件“为奇数”矛盾， 假设不成立， ，至少有一个为奇数． 【知识点】运用完全平方公式进行运算、反证法证明中的假设 【分析】（1）利用完全平方公式的非负性：，展开后结合的代数式即可推导不等式； （2）反证法思路：先否定结论，假设全都为偶数，再结合，推导的奇偶性，推出与“是奇数”矛盾，从而证明原命题成立． 【题型十六】用反证法证明命题 61．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（　　） A． B．0 C．﹣1 D．﹣2 【答案】D 【知识点】用反证法证明命题 【分析】根据实数的大小比较法则、乘方法则解答． 【详解】解：﹣2＜1， ， ∴当n＝﹣2时，“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题， 故选：D． 【点睛】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握比较方法是解题的关键． 62．若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设__________． 【答案】 【知识点】用反证法证明命题 【分析】根据反证法的特点，假设结论的相反意义成立即可． 【详解】在中，若，则，则应假设， 故答案为：． 【点睛】此题考查了反证法，正确理解反证法的证明思想是解题的关键． 63．填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则，________________； ③假设不成立，所以一个三角形中________含有两个直角．（填“能”或“不能”） 【答案】 这与三角形内角和定理矛盾 不能 【知识点】三角形内角和定理的应用、用反证法证明命题 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 反证法通过假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明原命题成立．本题假设三角形有两个直角，导致内角和大于，与三角形内角和定理矛盾，故假设不成立． 【详解】解：假设中和都是直角， 则，，． 又， 则， 这与三角形内角和定理矛盾， 故假设不成立， 所以一个三角形中不能含有两个直角． 故步骤②填“这与三角形内角和定理矛盾”，步骤③填“不能”． 故答案为：这与三角形内角和定理矛盾，不能． 64．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）请用反证法证明：已知：，求证：． 【答案】见解析 【知识点】求一个数的绝对值、用反证法证明命题 【分析】本题考查了反证法的应用，解题的关键是熟练掌握反证法的证明步骤． 先假设，然后根据绝对值的性质推出矛盾，从而证明原命题成立． 【详解】假设， 当时，， 这与已知相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 65．（24-25七年级下·江苏南京·期末）证明：三角形中至少有一个内角小于或等于． 已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 【答案】三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 【知识点】三角形内角和定理的应用、用反证法证明命题 【分析】本题运用反证法证明三角形中至少有一个内角小于或等于，需先假设结论不成立，再根据假设推出与三角形内角和定理矛盾的结论，从而证明原结论成立． 【详解】证明：假设①三角形中所有角都大于， 所以，②． 这与“③三角形的内角和为”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于 故答案为：三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 定义 命题 证明 （10知识详解+16典例分析） 【知识点01】定义 1.定义：对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义. 示例 定义 2.许多概念之间都是有关系的.如单项式都属于整式，整式都属于代数式.数学中常用如图所示的方法直观地表达这种从属关系. 【知识点02】命题 1. 命题：可以判断真假的陈述句叫作命题.命题的定义包含两层含义： （1）命题必须是一个完整的陈述句; （2）这个句子必须能对某件事情作出肯定或者否定的判断.二者缺一不可. 注意：判断可以是正确的，也可以是错误的. 2.命题的组成 命题一般都由条件和结论两部分组成,条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项． 示例 命题的组成 3.命题的表达形式 一般情况下,命题的条件用“如果”“若”等字样引出,命题的结论用“那么”“则” 等字样引出.若命题不具有“如果⋯⋯ ，那么……”的形式,则一般先将命题改写成“如果⋯⋯，那么……”的形式,再来确定命题的条件和结论． 【知识点03】真命题、假命题 1.真命题：有些命题,所作的判断都是正确的，像这样的命题叫作真命题.（如果条件成立,那么结论成立） 2.假命题：有些命题,所作的判断都是错误的，像这样的命题叫作假命题.（条件成立时,不能保证结论总是正确的,也就是说结论不成立） 3.反例：举出一个符合命题的条件，但命题结论不成立的例子来说明命题是假命题，这样的例子称为反例. 示例 假命题 【知识点04】互逆命题 如果两个命题正好互换了条件与结论的位置，那么我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个命题叫作原命题，另一个叫作原命题的逆命题. 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题. 示例 互逆命题 【知识点05】推理的必要性 数学中有各种各样的命题，判断命题的真假是数学的一个基本活动.生活经验告诉我们，“眼见不一定为实”.数学中一般不能仅仅凭借观察来判断一个命题的真假，必须一步一步、有理有据地进行推理. 示例 两条线段长的比较 【知识点06】证明、重点 1.证明： 从命题的条件出发，根据一些已知的事实（如概念的定义，基本性质，真命题等），用“因为⋯⋯，所以……”的形式一步一步推出命题的结论，从而确定这个命题为真命题的过程称为证明. 2.证明的一般步骤： （1）分清命题的条件和结论； （2）根据条件、结论，写出已知、求证； （3）经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程. 3.证明使用的符号：在证明时，我们通常用符号“∵ ”表示“因为”，用符号“∴ ”表示“所以”. 4.“∵ ”“∴ ”的使用方法: （1）一组“∵ ”“∴ ”称为一个推理，证明过程通常包含几个推理. （2）有时“∴ ”后面会接着一个“∴”，这时前面的“∴ ”就是后面的条件，相当于“∵ ”. 【知识点07】三角形内角和定理及其推论 1.定理：一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理. 2.推论：由一个定理直接推出的重要结论叫作这个定理的推论. 3.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. 4.三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5.三角形内角和定理的证明思路： 证明三角形内角和定理的方法有很多,基本思路是：把三角形的三个内角“搬”到一起组成一个平角,以便利用平角的定义证明结论.为了实现这个基本思路,完成证明,需要添加辅助线.过某一顶点作该顶点所对的边所在直线的平行线是常用方法,通过作平行线,利用平行线的性质,将三个角合并成一个平角即可证明. 【知识点08】多边形的内角和定理 定理内容：n 边形的内角和等于(n−2)⋅180°. 证明 方法 图示 方法1:如图所示，从n 边形的一个顶点引出(n−3) 条对角线，这(n−3)条对角线把n 边形分成(n−2) 个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以n 边形的内角和为(n−2)⋅180°. 方法2：如图所示，在n 边形内任取一点P，连接，，⋯，，把n边形分成n 个三角形，这n 个三角形的内角和为n⋅180°，再减去一个周角的度数，即得n 边形的内角和为n×180°−360°=(n−2)⋅180°. 方法3：如图所示，在n 边形的一边上任取一点P 与各顶点相连，得(n−1)个三角形，n 边形内角和等于这(n−1) 个三角形的内角 和减去在点P 处的一个平角的度数，即得n 边形的内角和为(n−1)×180°−180°=(n−2)⋅180°. 多边形的内角和定理的应用 （1）已知边数，求内角和； （2）已知内角和，求边数； （3）正n 边形的各条边长都相等，各个内角都相等，其内角和为(n−2)⋅180°，故正n 边形的每个内角都为 . 说明：多边形的内角和公式的几种推导方法都是把多边形问题转化为三角形问题，这种转化思想是解决多边形问题的核心. 【知识点09】多边形的外角和定理 1.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角,叫作多边形的外角. 2.多边形的外角和概念：在多边形的每个顶点处分别取多边形的一个外角,这些外角的和叫作多边形的外角和. 示例 多边形的外角和 3.多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°. 4.多边形的外角和定理的推导：多边形的每个内角加上与它相邻的外角都等于180° ,所以n边形的外角和等于n 个平角减去多边形的内角和,即n⋅180°−(n−2)⋅180°=360°. 【知识点10】反证法 1.反证法：我们通过否定命题的结论，发现了矛盾，从而反过来肯 定命题结论成立的证明方法叫作反证法. 反证法是数学中一种基本的证明方法. 2.用反证法证明的一般步骤： （1）先假设命题的结论不成立. （2）从这个假设出发，经过若干步推理，得出矛盾. （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的结论成立. 【题型一】定义的概念 1．（2026七年级下·江苏·专题练习）下列描述属于定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．垂线段最短吗 D．含有未知数的等式叫做方程 2．（2026七年级下·江苏·专题练习）下列句子中，是定义的是（    ） A．在正数前面加上符号“”的数是负数 B．，两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 3．（2026七年级下·江苏·专题练习）下列语句中不是定义的是（    ） A．只有符号不同的两个数互为相反数 B．大于的数叫作正数 C．对顶角相等 D．几个单项式的和叫作多项式 【题型二】判断是否是命题 4．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）下列语句是命题的是（  ） A．加 B．任何一个数的绝对值不小于零 C．过点A作直线l的平行线 D．直线a与b垂直吗？ 5．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段检测）下列句子中，属于命题的是（    ） A．画一条线段等于已知线段 B．垂线段最短 C．利用三角板画出的角 D．直角都相等吗？ 6．（2026七年级下·江苏·专题练习）下列语句中，哪些是命题？ (1)过点作一条射线． (2)线段的长是吗？ (3)如果，那么． 【题型三】写出命题的题设与结论 7．命题“如果，那么或”的结论是(    ) A．或 B． C．或 D．或 8．命题“同位角相等，两直线平行”的题设是（   ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 9．（25-26七年级下·江苏·单元测试）把命题“负数的绝对值是正数”写成“如果……，那么……”的形式：_____． 10．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）“垂直同一条直线的两条直线互相平行”这个命题的条件是______． 11．（2026七年级下·江苏·专题练习）指出下列命题的条件与结论： (1)如果，那么的补角与的补角相等； (2)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行． 【题型四】判断命题真假 12．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）下列命题中是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．若实数a，b满足，则 D．两直线平行，同位角相等 13．（25-26七年级上·江苏南通·期末）下列四个命题，其中是真命题的是（   ） A．内错角相等 B．相等的角是对顶角 C．同旁内角相等，两条直线平行 D．垂线段最短 14．（2026七年级下·江苏·专题练习）命题“两直线平行，同位角相等”是 _______（填“真”或“假”）命题． 15．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）命题“若，则”是________命题．（填“真”或“假”） 16．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流，流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如，等下列几个命题：是“回文数”；所有两位数中，有个“回文数”；所有三位数中，有个“回文数”；任意六位数的“回文数”是的倍数，其中，真命题有______（填序号）． 17．（2026七年级下·江苏·专题练习）说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题． 18．（2026·江苏盐城·一模）判断命题“如果，，那么”的真假性？并证明你的结论． 【题型五】举例说明假（真）命题 19．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）下面四组的值，能说明命题“若，则”是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 20．（24-25七年级下·江苏常州·期末）若要说明命题“如果，那么”是假命题，则可以举反例为(    ) A．， B．， C．， D．， 21．（25-26七年级下·江苏常州·期中）说明命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的______．（写出一个即可） 22．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）请举一个能说明命题“如果，那么”是假命题的x的值可以是_____． 23．（2026七年级下·江苏·专题练习）判断下列命题的真假．如果是假命题，请举出反例． (1)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)四边形的两条对角线相等； (3)若，则； (4)若两个有理数的和小于，则这两个有理数的积也小于． 【题型六】写出命题的逆命题 24．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）关于命题“对顶角相等”，下列说法正确的是(   ) A．原命题是真命题，逆命题是假命题 B．原命题是假命题，逆命题是真命题 C．原命题和逆命题都是真命题 D．原命题和逆命题都是假命题 25．（23-24七年级下·江苏南京·期末）关于命题“如果，那么”，下列判断正确的是（    ） A．该命题及其逆命题都是真命题 B．该命题是真命题，其逆命题是假命题 C．该命题是假命题，其逆命题是真命题 D．该命题及其逆命题都是假命题 26．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如果，那么 的逆命题为_____________________ 27．（2024·江苏宿迁·中考真题）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是_____ 28．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）（1）已知：如图，直线被直线所截，．求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 29．（2024七年级下·江苏·专题练习）（1）已知，如图在中，点在上，点在上，点、在上，，．求证：； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 【题型七】判断是否为互逆命题 30．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 31．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题． 32．（2026七年级下·江苏·专题练习）下面两个命题是互逆命题吗？ （1）如果是整数，那么是有理数； （2）如果是有理数，那么是整数． 33．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段检测）（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 【题型八】代数问题证明 34．（2026七年级下·江苏·专题练习）证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 35．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 【题型九】写出一个命题的已知、求证及证明过程 36．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 37．实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 38．（23-24七年级下·江苏南京·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 39．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，①，②，③，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题， (1)正确的命题有 个． (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【题型十】已知证明过程填写理论依据 40．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 41．（24-25七年级下·江苏南京·课后作业）有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 42．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【题型十一】以几何为背景的推理与论证 43．（23-24七年级下·江苏南京·二模）《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 44．如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【题型十二】以代数为背景的推理与论证 45．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）为了传承中华民族传统文化，邗江某学校组织“端午”知识微竞赛．竞赛的试题由6道判断题组成，参赛人员只要画“√”或画“×”表示出对各题的正误判断即可，每小题判断正确得1分，判断错误得0分．竞赛A小组共有甲、乙、丙、丁四位同学，他们对6道试题的判断与得分的结果如下图所示，由此可以推断丁同学的得分为（    ）        第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 得分 甲 √ × × √ × × 4分 乙 × √ × × √ × 4分 丙 × √ √ √ × √ 4分 丁 × × √ √ √ × ？ A．6 B．5 C．4 D．3 46．“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________． ①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确； ②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确； ③9、5、8、3四个数字都不正确； ④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确． 47．（23-24七年级上·江苏南京·阶段检测）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为． (1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上； (2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由． 【题型十三】定理与证明 48．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 49．（2023·江苏扬州·二模）数学巨著《几何原本》以基本事实和原始概念为基础，推演出更多的结论，体现了公理化思想．《几何原本》的作者是（    ） A．阿基米德 B．欧几里得 C．毕达哥拉斯 D．泰勒斯 50．（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）下列命题可以作定理的有_____个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【题型十四】互逆定理 51．定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是（   ） A．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等 B．对应角相等的两个三角形全等 C．对应边不相等的两个三角形不全等 D．全等三角形的对应边相等 52．（2023·江苏南京·一模）定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 53．“互逆定理”是指两个定理之间的关系，其中一个定理是另一个定理的_________． 54．（24-25七年级下·江苏南京·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三边对应相等的两个三角形全等． 【题型十五】反证法证明中的假设 55．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）用反证法证明“一个三角形最多有一个钝角”时，应先假设在三角形中（   ） A．有一个钝角 B．有两个钝角 C．有三个钝角 D．有不止一个钝角 56．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．用反证法证明命题：四边形的外角中至多有3个钝角，第一步应假设（   ） A．四边形的外角中没有钝角 B．四边形的外角中有1个钝角 C．四边形的外角中有2个钝角 D．四边形的外角全部都是钝角 57．（24-25七年级下·江苏南京·期末）用反证法证明“在中，如果，那么”时，第一步应假设______． 58．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）用反证法证明“已知：是正整数，且是偶数．求证：是偶数”时，应先假设________． 59．（2026七年级下·江苏·专题练习）已知：四边形（如图）．求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角． 60．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）已知实数满足，． (1)求证：； (2)若，为正整数，且为奇数，请用反证法证明：至少有一个为奇数． 【题型十六】用反证法证明命题 61．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（　　） A． B．0 C．﹣1 D．﹣2 62．若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设__________． 63．填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则，________________； ③假设不成立，所以一个三角形中________含有两个直角．（填“能”或“不能”） 64．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）请用反证法证明：已知：，求证：． 65．（24-25七年级下·江苏南京·期末）证明：三角形中至少有一个内角小于或等于． 已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 1 学科网（北京）股份有限公司 $