第十二章 定义 命题 证明 单元复习与题型总结2025-2026学年七年级下学期数学（苏科版）

2025-2026学年七年级下学期数学单元复习与题型总结（2024苏科版） 第十二章 定义 命题 证明 题型速览 题型速览 1 模块1：思维导图 1 模块2：考点梳理 2 模块3：题型总结 3 【题型1】命题的概念与识别 3 【题型2】命题的构成 3 【题型3】真命题与假命题的判断 4 【题型4】举例说明一个命题是假命题 4 【题型5】写出一个命题的逆命题 6 【题型6】证明一个命题为真命题 6 【题型7】补充证明过程和数学依据 8 【题型8】根据三角形内角和定理及推论证明或计算 10 【题型9】与代数命题相关的证明 12 【题型10】用反证法证明问题 13 模块1：思维导图 模块2：考点梳理 考点1：定义 1.定义：对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义,有时也说 “给概念下定义”.根据概念的定义,就可以准确地判断一个对象是否属于这个概念 .给概念下定义时要求语言简单明了、标准清晰,可以明确地区分这个概念所包含的对象. 2.一个概念的定义中通常含有“叫做”、“称为”等词语。 考点2：命题 1.命题：可以判断真假的陈述句叫作命题.一个命题要么为真,要么为假,二者必居其一. 2.数学命题的构成：数学命题一般都由条件和结论两部分组成. 3.命题根据正确还是错误可以将命题分为真命题和假命题。 真命题：正确的命题称为真命题；假命题：错误的命题称为假命题。 4. 互逆命题：一个命题A的条件是另一个命题B的结论，这个命题A的结论是命题B的条件，这样个两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为原命题，另一个命题称为这个命题的逆命题。 考点3：证明 1.证明：从命题的条件出发,根据一些已知的事实 (如概念的定义,基本性质,真命题等),用 “因为……,所以……”的形式一步一步推出命题的结论,从而确定这个命题为真命题的过程称为证明。 2.反证法：通过否定命题的结论,发现了矛盾,从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法 . 用反证法证明一个命题的步骤一般为: （1）先假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发,经过若干步推理,得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确,从而肯定原来命题的结论成立. 在说明一个命题是假命题时,常用“举反例”的方法 .举反例的关键是找到一个符合命题条件,但不符合命题结论的例子. 考点4：定理 1.定理：一般情况下,数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理.定理可以作为证明后续命题的依据 . 由一个定理直接推出的重要结论,一般叫作这个定理的推论. 2.常用基本定理： （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。 （2）三角形内角和定理推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 （3）多边形内角和定理:边形的内角和等于 （4）多边形外角和定理: 多边形的外角和等于360°. （5）平行线的性质定理: 平行于同一条直线的两条直线平行 . 模块3：题型总结 【题型1】命题的概念与识别 例题1．下列语句中，是命题的是（    ） A．画一个角等于已知角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等吗？ C．等角的余角相等 D．延长线段到点，使得 举一反三 1．下列语句中，是命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截 B．两直线相交吗 C．过直线外一点作这条直线的垂线 D．内错角相等 2．下列语句是命题的是（   ） A．画一条线段 B．对顶角相等 C．过点P作直线l的垂线 D．今天天气好吗？ 3．下列句子中，是真命题的是（   ） A．你的作业做完了吗？ B．负数都小于0 C．过直线l外一点作l的平行线 D．相等的角是对顶角 4．下列语句中，是命题的是（　　） A．三角形具有稳定性吗？ B．两点之间线段最短 C．在射线上任取一点A D．作线段的垂直平分线 【题型2】命题的构成 例题2．命题“对顶角相等”的条件是（    ） A．两个角 B．相等 C．两个角相等 D．两个角是对顶角 举一反三 1．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 2．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 3．命题“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”的条件是：______，结论是：______． 4．命题“同位角相等”的条件是 ． 【题型3】真命题与假命题的判断 例题3．下列命题中，是假命题的是（   ） A．同旁内角互补 B．对顶角相等 C．等角的补角相等 D．垂线段最短 举一反三 1．下列说法中正确的是（   ） A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相垂直 B．相等的两个角一定是对顶角 C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 2．下列命题中，是假命题的是（     ） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．等角的余角相等 D．同位角相等 3．下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．下列命题中，真命题是（   ） A．相等的角是对顶角 B．如果，那么 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两直线平行，内错角相等 【题型4】举例说明一个命题是假命题 例题4．要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 举一反三 1．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（   ） A． B． C．0 D．1 2．下列选项中，可以用来验证命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．对于命题“若，则、都大于”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D．， 4．下列例子能说明“相等的角是对顶角”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【题型5】写出一个命题的逆命题 例题5．“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是_______． 举一反三 1．写出命题“如果，那么或．”的逆命题：__________． 2．“同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是___________． 3．定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是：_____（写出它的逆命题，不用判断它的真假） 4．命题：“如果两个角是对顶角，那么它们相等．”的逆命题是_________． 【题型6】证明一个命题为真命题 例题6．要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 举一反三 1．证明：等角的补角相等． 2．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 3．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 4．如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 【题型7】补充证明过程和数学依据 例题7．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 举一反三 1.补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 2．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 3．如图，，分别与直线交于点，，与交于点，，． 将下面求证的证明过程补充完整． 证明：∵（已知），________（对顶角相等）， ∴________（等量代换）， ∴（________）， ∴（________）． ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（________）． 4．如图，在中，，垂足为D，，垂足为F，，试说明：．下面是小明的解答过程，请你补充完整． 解：因为，（已知）， 所以，（垂直的概念） 所以， 所以 （                     ） 所以______（                  ） 因为（已知） 所以____（                      ） 所以（                        ） 所以（                       ） 【题型8】根据三角形内角和定理及推论证明或计算 例题8．如图，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，且点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 举一反三 1．如图，在中，， (1)求的度数； (2)若平分 ，求 的度数． 2．如图，在中，，，求的度数及的外角的度数． 3．在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：， ___________． 即． (1)任务一：补全小颖的说理过程； (2)任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程． 4．如图，在中，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【题型9】与代数命题相关的证明 例题9．已知，求证：． 举一反三 1．已知能被13整除，求证：能被13整除． 2．已知是正整数，求证：能被4整除． 3．求证：对任意自然数，式子的值都能被12整除． 4．（1）求证：． （2）已知，证明2173是两个正整数的平方之和． 【题型10】用反证法证明问题 例题10．在中，．求证：．（用反证法证明） 举一反三 1．用反证法证明：如果三个数之和为1，那么这三个数中至少有一个大于等于． 2．用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 3．用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于． 4．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学单元复习与题型总结（2024苏科版） 第十二章 定义 命题 证明 题型速览 题型速览 1 模块1：思维导图 1 模块2：考点梳理 2 模块3：题型总结 3 【题型1】命题的概念与识别 3 【题型2】命题的构成 3 【题型3】真命题与假命题的判断 5 【题型4】举例说明一个命题是假命题 7 【题型5】写出一个命题的逆命题 11 【题型6】证明一个命题为真命题 11 【题型7】补充证明过程和数学依据 15 【题型8】根据三角形内角和定理及推论证明或计算 20 【题型9】与代数命题相关的证明 21 【题型10】用反证法证明问题 24 模块1：思维导图 模块2：考点梳理 考点1：定义 1.定义：对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义,有时也说 “给概念下定义”.根据概念的定义,就可以准确地判断一个对象是否属于这个概念 .给概念下定义时要求语言简单明了、标准清晰,可以明确地区分这个概念所包含的对象. 2.一个概念的定义中通常含有“叫做”、“称为”等词语。 考点2：命题 1.命题：可以判断真假的陈述句叫作命题.一个命题要么为真,要么为假,二者必居其一. 2.数学命题的构成：数学命题一般都由条件和结论两部分组成. 3.命题根据正确还是错误可以将命题分为真命题和假命题。 真命题：正确的命题称为真命题；假命题：错误的命题称为假命题。 4. 互逆命题：一个命题A的条件是另一个命题B的结论，这个命题A的结论是命题B的条件，这样个两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为原命题，另一个命题称为这个命题的逆命题。 考点3：证明 1.证明：从命题的条件出发,根据一些已知的事实 (如概念的定义,基本性质,真命题等),用 “因为……,所以……”的形式一步一步推出命题的结论,从而确定这个命题为真命题的过程称为证明。 2.反证法：通过否定命题的结论,发现了矛盾,从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法 . 用反证法证明一个命题的步骤一般为: （1）先假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发,经过若干步推理,得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确,从而肯定原来命题的结论成立. 在说明一个命题是假命题时,常用“举反例”的方法 .举反例的关键是找到一个符合命题条件,但不符合命题结论的例子. 考点4：定理 1.定理：一般情况下,数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理.定理可以作为证明后续命题的依据 . 由一个定理直接推出的重要结论,一般叫作这个定理的推论. 2.常用基本定理： （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。 （2）三角形内角和定理推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 （3）多边形内角和定理:边形的内角和等于 （4）多边形外角和定理: 多边形的外角和等于360°. （5）平行线的性质定理: 平行于同一条直线的两条直线平行 . 模块3：题型总结 【题型1】命题的概念与识别 例题1．下列语句中，是命题的是（    ） A．画一个角等于已知角 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等吗？ C．等角的余角相等 D．延长线段到点，使得 【答案】C 【分析】本题考查命题的定义，根据“判断一件事情的语句叫做命题”这一定义，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：A选项是操作指令，没有对事件做出判断，不是命题； B选项是疑问句，没有对事件做出判断，不是命题； C选项是对等角的余角关系做出判断的陈述句，符合命题定义，是命题； D选项是操作指令，没有对事件做出判断，不是命题． 举一反三 1．下列语句中，是命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截 B．两直线相交吗 C．过直线外一点作这条直线的垂线 D．内错角相等 【答案】D 【分析】命题的定义：判断一件事情的语句叫做命题． 【详解】解：A选项两条直线被第三条直线所截没有对事情作出判断，不是命题． B选项两直线相交吗是疑问句，未对事情作出判断，不是命题． C选项过直线外一点作这条直线的垂线是作图描述，未对事情作出判断，不是命题． D选项内错角相等对两直线被截所得内错角的关系作出了判断，符合命题的定义，是命题． 2．下列语句是命题的是（   ） A．画一条线段 B．对顶角相等 C．过点P作直线l的垂线 D．今天天气好吗？ 【答案】B 【分析】命题的定义为：判断一件事情的语句叫做命题．根据定义判断语句是否对一件事情作出判断即可得到结果． 【详解】解：选项A、画一条线段是作图操作，没有对任何事情作出判断，不是命题． 选项B、对顶角相等，对对顶角的大小关系作出了明确判断，符合命题的定义． 选项C、过点作直线的垂线是作图操作，没有对任何事情作出判断，不是命题． 选项D、今天天气好吗？是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题． 3．下列句子中，是真命题的是（   ） A．你的作业做完了吗？ B．负数都小于0 C．过直线l外一点作l的平行线 D．相等的角是对顶角 【答案】B 【分析】可以判断真假的陈述句是命题，正确的命题是真命题，再逐项判断即可． 【详解】解：选项A是疑问句，不能判断真假，不是命题，不符合要求； 选项B“负数都小于0”是能判断真假的陈述句，且结论正确，因此是真命题，符合要求； 选项C是作图指令，不是能判断真假的陈述句，不是命题，不符合要求； 选项D“相等的角是对顶角”是命题，但相等的角不一定是对顶角，结论错误，是假命题，不符合要求． 4．下列语句中，是命题的是（　　） A．三角形具有稳定性吗？ B．两点之间线段最短 C．在射线上任取一点A D．作线段的垂直平分线 【答案】B 【详解】解：A、是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题，故选项不符合题意； B、对两点之间线段的性质作出了明确判断，是命题，故选项符合题意； C、是作图操作指令，没有对事情作出判断，不是命题，故选项不符合题意； D、是作图操作指令，没有对事情作出判断，不是命题，故选项不符合题意. 【题型2】命题的构成 例题2．命题“对顶角相等”的条件是（    ） A．两个角 B．相等 C．两个角相等 D．两个角是对顶角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的结构及对顶角的定义，命题“对顶角相等”是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”的简写，因此条件部分是“两个角是对顶角”． 【详解】解：∵命题“对顶角相等”等价于“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”， ∴条件为“两个角是对顶角”， 故选：D． 举一反三 1．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面． 命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设． 【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 2．把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题，命题是由题设与结论两部分组成．根据把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面，进而得出结论． 【详解】解：命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 故选：D． 3．命题“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”的条件是：______，结论是：______． 【答案】 一个三角形的三个角都相等 这个三角形是等边三角形 【分析】本题考查了命题，根据命题的结构，命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，本题中，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由命题“如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形”可得， 条件是“一个三角形的三个角都相等”，结论是“这个三角形是等边三角形”， 故答案为：一个三角形的三个角都相等；这个三角形是等边三角形． 4．命题“同位角相等”的条件是______． 【答案】两角是同位角 【分析】本题主要考查了命题的定义，命题“同位角相等”是省略形式，可转化为“如果两角是同位角，那么它们相等”的标准命题形式，从而确定条件部分． 【详解】解：命题“同位角相等”的完整表述是“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”，其中“如果”后面的部分是条件，即“两个角是同位角”，简写为“两角是同位角”． 故答案为：两角是同位角． 【题型3】真命题与假命题的判断 例题3．下列命题中，是假命题的是（   ） A．同旁内角互补 B．对顶角相等 C．等角的补角相等 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】根据对顶角的性质、平行线的性质、补角的性质、垂线段的性质，判断命题的真假即可． 【详解】解：A选项中，只有两直线平行时，同旁内角才互补，原命题缺少前提条件，∴A是假命题，符合题意； B选项，对顶角相等是真命题，不符合题意； C选项，等角的补角相等是真命题，不符合题意； D选项，垂线段最短是真命题，不符合题意． 举一反三 1．下列说法中正确的是（   ） A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相垂直 B．相等的两个角一定是对顶角 C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【答案】C 【分析】根据平面内直线的位置关系、对顶角定义、平行公理和平行线的性质逐一判断选项，即可得到正确答案． 【详解】解：A、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，不是互相垂直，故A错误，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，故B错误，不符合题意； C、根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C正确，符合题意； D、只有两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，任意两条直线被截内错角不一定相等，故D错误，不符合题意． 2．下列命题中，是假命题的是（     ） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．等角的余角相等 D．同位角相等 【答案】D 【分析】本题考查平面几何基本命题的真假判断，根据平行线基本性质、余角的性质逐一判断即可得到结果． 【详解】解：∵选项A是平行公理，内容正确，是真命题； 选项B是平行线的传递性，内容正确，是真命题； 选项C中，若两个角相等，设为，它们的余角均为，因此等角的余角相等，内容正确，是真命题； 选项D中，只有两直线平行时，同位角才相等，任意两条直线被第三条直线所截得到的同位角不一定相等，因此该命题内容错误，是假命题． ∴假命题为D． 3．下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据等式两边同除以一个数时，该数不能为0，结合等式性质逐一判断即可． 【详解】解：对于A，∵ 当时，任意不相等的都满足， ∴ 由无法推出，A是假命题； 对于B，，等式两边同时加2，得，B是真命题； 对于C，，等式两边同时加2，得，C是真命题； 对于D， ， ，等式两边同时除以，得， D是真命题． 4．下列命题中，真命题是（   ） A．相等的角是对顶角 B．如果，那么 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查真假命题的判断，需结合对顶角的定义、绝对值的性质、垂线的性质、平行线的性质逐一判断选项． 【详解】解：对于选项A，相等的角不一定是对顶角，例如角平分线分出的两个角相等但不是对顶角，因此A是假命题； 对于选项B，∵当时，或，例如，满足但，∴B是假命题； 对于选项C，只有在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项缺少该前提条件，因此C是假命题； 对于选项D，由平行线的性质可知，两直线平行，内错角相等，因此D是真命题． 【题型4】举例说明一个命题是假命题 例题4．要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：选项A：，，满足，且，满足结论，不是反例； 选项B：，，满足，且，满足结论，不是反例； 选项C：，，满足，但，不满足结论，是符合要求的反例； 选项D：，，满足，且，满足结论，不是反例． 举一反三 1．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了举反例解题，准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键．先比较大小，确定满足条件的数，再代入计算判断即可． 【详解】解：当时，满足，但是， 故A符合题意； 当n=时，满足＜1，但是， 故B不符合题意； 当时，满足，但是， 故C不符合题意； ∵1不符合条件， ∴D不符合题意； 故选A． 2．下列选项中，可以用来验证命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理．反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项． 【详解】解：能说明命题“若，则”是假命题的只有，，此时，但， 故选：C． 3．对于命题“若，则、都大于”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了假命题的反例证明，熟练掌握方法是解题的关键． 反例需满足且至少有一个角不大于． 【详解】解：A、，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意； B、，且、都大于，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意； C、，不可以说明它是假命题，故选项不符合题意； D、，且，可以说明它是假命题，故选项符合题意． 故选：D． 4．下列例子能说明“相等的角是对顶角”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了真假命题判断、对顶角等知识，根据对顶角的定义，结合题意逐项分析判断即可． 【详解】解：A.图中均为的两个角相等，但不是对顶角，可说明“相等的角是对顶角”是假命题，符合题意； B. 图中均为的两个角相等，且是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意； C. 图中分别为和的两个角不相等，也不是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意； D. 图中分别为和的两个角不相等，也不是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，不符合题意． 故选：A． 【题型5】写出一个命题的逆命题 例题5．“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 【分析】交换原命题的题设与结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是“如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等”． 举一反三 1．写出命题“如果，那么或．”的逆命题：__________． 【答案】如果或，那么 【分析】本题主要考查了命题和逆命题，根据逆命题的定义，将原命题的题设与结论互换位置，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：“如果，那么或．”的逆命题是：如果或，那么． 故答案为：如果或，那么． 2．“同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是___________． 【答案】两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了命题与定理，掌握命题的基本知识是解题的关键． 把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】命题“同位角相等，两直线平行”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”. 所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等”. 故答案为：两直线平行，同位角相等． 3．定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是：_____（写出它的逆命题，不用判断它的真假） 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】本题考查逆命题的知识，属于基础题，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，从而得到原命题的逆命题． 【详解】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”． 故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 4．命题：“如果两个角是对顶角，那么它们相等．”的逆命题是_________． 【答案】如果两个角相等，那么它们是对顶角 【分析】该题考查了逆命题，逆命题是通过交换原命题的条件和结论得到的． 【详解】解：原命题“如果两个角是对顶角，那么它们相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“它们相等”． 交换条件和结论，得到逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”． 故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角． 【题型6】证明一个命题为真命题 例题6．要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了证明几何命题，对顶角相等．根据证明几何命题的步骤画图，写出已知求值，再推理证明即可． 【详解】已知：如图，直线与相交于点， 求证：． 证明：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴． 举一反三 1．证明：等角的补角相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了补角性质的证明；由等式的性质得，，即可得证． 【详解】已知：，，． 求证：． 证明：，（已知）， （等量代换）， （等式的性质）． （已知）， （等式的性质）， （等量代换）． 2．命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 3．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 【详解】解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 4．如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证． 已知：______，求证：______．（只须填写序号） 证明： 【答案】①②，③，证明见解析．（答案不唯一） 【分析】根据平行线的性质可得，再由角平分线的性质可得，再利用等量代换可得 【详解】解：已知①②，求证∶③， 证明∶∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为∶①②；③． 【题型7】补充证明过程和数学依据 例题7．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 举一反三 1．补全下列推理过程： 如图，已知，，试说明：， 解：∵（已知） （______） （已知） （______） （______） （______） （______） 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，平行线的性质与判定，根据条件及结论逐个写明理由即可得到答案； 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （对顶角相等）， ． 2．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 3．如图，，分别与直线交于点，，与交于点，，． 将下面求证的证明过程补充完整． 证明：∵（已知），________（对顶角相等）， ∴________（等量代换）， ∴（________）， ∴（________）． ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（________）． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行． 【详解】证明：（已知），（对顶角相等）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 4．如图，在中，，垂足为D，，垂足为F，，试说明：．下面是小明的解答过程，请你补充完整． 解：因为，（已知）， 所以，（垂直的概念） 所以， 所以（                     ） 所以______（                  ） 因为（已知） 所以____（                      ） 所以（                        ） 所以（                       ） 【答案】；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；3；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】根据解答过程补充完整即可． 【详解】解：因为，（已知）， 所以，（垂直的概念） 所以， 所以（同位角相等，两直线平行） 所以（两直线平行，同旁内角互补） 因为（已知） 所以 3 （同角的补角相等） 所以（内错角相等，两直线平行） 所以（两直线平行，同位角相等） 【题型8】根据三角形内角和定理及推论证明或计算 例题8．如图，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为、，且点在线段的延长线上． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质得到，再根据平角的性质，最后等量代换即可证明； （2）根据旋转的性质得到，再根据三角形的内角和求出，最后通过等量代换即可求解． 【详解】（1）证明：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴． （2）解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵的内角和为，， ∴， ∴． 举一反三 1．如图，在中，， (1)求的度数； (2)若平分 ，求 的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和为180度可得答案； （2）根据角平分线的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴； （2）解：由（1）得， ∵平分， ∴． 2．如图，在中，，，求的度数及的外角的度数． 【答案】， 【分析】本题考查三角形内角和，三角形外角的性质；三角形内角和为，三角形的外角等于不相邻的两内角和，据此解答即可. 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为的一个外角，与其不相邻的两内角为，， ∴. 故答案为：，. 3．在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：， ___________． 即． (1)任务一：补全小颖的说理过程； (2)任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程． 【答案】(1)、 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和性质，平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合题意，得，证明，所以，即； （2）理解题意，由得，，又因为，得，即可作答． 【详解】（1）解： ， 即． （2）解：∵， ，， ∵， ． 4．如图，在中，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和外角的性质． （1）根据三角形的内角和等于可得，由此即可求出的度数； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，由此即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴． （2）∵在中，， ∴． 【题型9】与代数命题相关的证明 例题9．已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法． 根据幂的乘方求出，即，进而根据同底数幂的乘法即可证明． 【详解】证明：， ． ， ． 举一反三 1．已知能被13整除，求证：能被13整除． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了逆用积的乘方、逆用幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先逆用积的乘方、逆用幂的乘方对变形可得，然后结合能被13整除，能被13整除即可证明结论． 【详解】证明：． ∵能被13整除，能被13整除， ∴能被13整除,即能被13整除． 2．已知是正整数，求证：能被4整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用完全平方公式展开，再合并同类项，得出，根据是正整数即可得结论． 【详解】证明： ． 是正整数， 能被4整除． 能被4整除． 3．求证：对任意自然数，式子的值都能被12整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法计算．先根据多项式与多项式的乘法法则化简，再求解即可． 【详解】证明： ． ∴对任意自然数，式子的值都能被12整除． 4．（1）求证：． （2）已知，证明2173是两个正整数的平方之和． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是∶ （1）利用多项式乘以多项式计算左边，利用完全平方公式计算右边，然后验证即可； （2）把41，53分别写成两个正整数的平方和，然后利用（1）中求解即可． 【详解】证明：（1）∵左边， 右边 ， ∴左边=右边， ∴； （2）∵，， 由（1）知：， ∴， 或 又， ∴， 即2173是正整数43，18的平方之和或正整数27，38的平方之和． 【题型10】用反证法证明问题 例题10．在中，．求证：．（用反证法证明） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是反证法．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．先假设，由等边对等角求得，推出，与三角形内角和定理等于相矛盾，即可证明假设不成立，推出结论成立． 【详解】解：假设， ∵， ∴， ∴， ∴，与三角形内角和定理等于相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 举一反三 1．用反证法证明：如果三个数之和为1，那么这三个数中至少有一个大于等于． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须——否定．根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可． 【详解】假设， 根据不等式的基本性质，，这与矛盾， 假设不成立， 中至少有一个大于等于 2．用反证法证明：已知a，b，c是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 【答案】见解析 【分析】此题考查反证法，反证法是一种论证方式，它首先假设某命题不成立（即在原命题的题设下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证，反证法的步骤：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立．根据反证法的步骤解答． 【详解】解：假设与不平行，那么它们相交于一点． ，， 过点的两条直线，都与直线垂直． 这与基本事实“过一点有且只有一条直线与这条直线垂直”矛盾． 假设不成立． ． 3．用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了反证法的知识，根据反证法的步骤，先假设都小于，可得，与三角形的内角和定理矛盾，即假设错误，进而得到三角形中至少有一个角不小于，掌握反证法的步骤：（）假设结论不成立；（）从假设出发推出矛盾；（）假设不成立，则结论成立；是解题的关键． 【详解】证明：假设都小于，则， 即，这与三角形的内角和定理矛盾， 故都小于不成立， 所以三角形中至少有一个角不小于． 4．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 【答案】；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；已知；假设；直线与不平行 【分析】本题主要考查了反证法，平行线的性质，熟知反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法首先假设所求证的结论不成立，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】已知：如图，直线被直线所截，． 求证：直线与不平行． 证明：假设所求证的结论不成立，即， 则（两直线平行，同旁内角互补） 这与矛盾，故假设不成立． 所以直线与不平行． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $