13.3+数据的离散程度第3课组内离差平方和与分组方法课件 2025-2026学年青岛版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“组内离差平方和与分组方法”，通过超市分类、招聘成绩等生活情景导入，从数据分类意义过渡到组内差异衡量，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解核心概念及应用。 其亮点在于以真实情境（客服分组、成绩筛选）引导学生用数学眼光发现问题，通过计算不同分组的离差平方和培养运算能力与推理意识，用公式和表格规范数据表达。采用探究式教学，步骤清晰，助力学生掌握合理分组方法，教师可高效开展数据分析教学。

13.3 数据的离散程度 第3课组内离差平方和与分组方法 第十三章 数据的分析 情景1：“生活中为什么要对这些事物进行分类？分类给我们带来了哪些方便？” 超市饮品摆放 分类能让事物更有序，方便查找或判断. 水果区摆放 探究1：数据分组的意义、组内离差平方和的概念 情景2：一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进人面试.将10名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下： 58、64、68、75、76、83、85、89、90、92. 问题1：公司要从这10人中选部分人进入面试，该如何确定“成绩好”的标准？你有哪些分组方法？ 基于数据自身特点的分组方法—— 数据的分组（基于离差平方和） 将笔试成绩按从小到大的顺序排列，使相互最接近的笔试成绩都挨在了一起，可以发现，10个笔试成绩按顺序排列形成9个间隔， 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 58、64、68、75、76、83、85、89、90、92. 每个间隔都可以把笔试成绩分成好和差两组，每个间隔对应1种“两组分法”（如第1个间隔分“{58}和{64,68,…,92}”，第2个间隔分“{58,64}和{68,…,92}”），共 9 种分法. 因此，要使分组后的组内差异最小，只需在已排序数据的基础上寻找分组方法 在“激活沉默用户”的测试中，公司每天安排不同的客服人员解答用户提出的问题。负责A方案的7位客服人员一天接待的用户人数，如下表所示： 为提高客服接待工作的有效性，公司计划将7位客服人员分为两组，使得每组的客服人员接待的用户人数尽量接近。该如何分组呢? 观察与发现 以客服人员编号为横坐标，接待用户数量为纵坐标，在平面直角坐标系中描点。 观察与发现 知识探究 探究 1：如何衡量分组后组内数据的集中程度？ 思考与交流 (1)你建议怎么分组? 应该将接待用户人数较少的客服作为一组,接待用户人数较多的作为另一组。我认为编号为1, 2,3的客服应在一组,其余的在另一组。不过编号为4的客服好像也可以和编号为1,2,3的在一组。 ？ 知识探究 探究 1：如何衡量分组后组内数据的集中程度？ 思考与交流 (2)哪种分组方法能使得组内数据更为接近呢? 把7位客服接待的用户人数从小到大排列,得到: 143 148 157 165 178 192 204 将这些数据分为两组,有6种情况,计算每种分组方式下两个组的离差平 方和之和,计算结果如下表所示(保留1位小数): 问题2：用什么指标可以刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔试成绩好和差两组的组内差异最小？ 离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.下面我们利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组. 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 如果把这组数据分为两组，前 m （m＜n）个为第一组，后 n－m 个为第二组，第一组平均数为 ，离差平方和为 ；第二组平均数为 ，离差平方和为，则组内离差平方和为 + . 组内离差平方和越小，说明两组内部的数据越集中，分组越合理. 组内离差平方和 一般地，设有 n 个数据 ,,... ,平均数为 ，则总离差平方和为：=()²+()²+...+()². 问题3：以招聘成绩的“第5个间隔”（分法：{58,64,68,75,76}和{83,85,89,90,92}）为例，分步计算组内离差平方和 +. 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 两个离差平方和之和最小的分组方式可以认为是最符合要求的。 按照“前4个数为第一组，后3个数为第二组”进行分组，即将编号为4,5,6,7的客服分为一组，编号为1,2,3的客服分为另一组时，两组数据的离差平方和之和最小。 将按从小到大顺序排列的n个数据x1,x2, …,xn 分为两组，x1,x2, …,xm为第一组，xm+1,xm+2, …,xn 为第二组，两组数据的离差平方和之和叫作这n个数据的组内离差平方和,记作 S12 ， 即S12=［ (x1- )2+(x2- )2+…+(xm- )2］ +(xm+1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2］。 = (x1+x2+ …+xm) = (xm+1+xm+2+ …+xn) 组内离差平方和的概念: 概括与表达 组内离差平方和表达了两个组内数据的离散程度。 知识探究 探究 1：如何衡量分组后组内数据的集中程度？ 分组方式 第一组数据的 离差平方和 第二组数据的 离差平方和 两个离差 平方和之和 第1个数为第一组,后6个为第二组 前2个数为第一组,后5个为第二组 前3个数为第一组,后4个为第二组 前4个数为第一组,后3个为第二组 前5个数为第一组,后2个为第二组 前6个数为第一组,最后1个为第二组 0.0 2286.0 2286.0 12.5 1474.8 1487.3 100.7 858.8 959.4 284.8 338.7 623.4 774.8 72.0 846.8 1726.8 0.0 1726.8 两个离差平方和之和最小的分组方式可以认为是最符合要求的 知识探究 探究 1：如何衡量分组后组内数据的集中程度？ 结合上述探究，归纳二次根式的乘法法则： 二次根式的乘法法则： 将按从小到大顺序排列的n个数据x1,x2,…,xn 分为两组,x1,x2,…,xm 为第一组,xm+1,xm+2,…,xn 为第二组,两组数据的离差平方和之和叫作这n个数据的组内离差平方和，记 作,即 =[（x1-）2+……+（xm-）2]+[（xm+1-）2+……（xn-）2]其中=(x1+x2+……+xm),=(xm+1+xm+2+……+xn) 概括与表达 知识探究 探究 1：如何衡量分组后组内数据的集中程度？ 组内离差平方和表达了两个组内数据的离散程度。数据分组时,通常认为 “使得组内离差平方和 的值最小”是一种合理的方法。 概括与表达 1.分组任务：将数据分为8组，列表如下，请借助计算器或电子表格软件，每组计算1种间隔的组内离差平方和. 活动2：验证“组内离差平方和最小”的分法 58 64 68 75 76 83 85 89 90 92 228.8 54.8 283.6 2.分析与发现: 观察汇总结果，你得出了什么结论？ 结论： “第5个间隔”的组内离差平方和（283.6）最小，因此最优分法为{58,64,68,75,76}（不进面试）和{83,85,89,90,92}（进面试）. （1）将数据按从小到大排序； （2）确定所有可能的间隔（n个数据有n-1个间隔，对应n-1种两组分法）； （3）计算每种分法的两组平均数及组内离差平方和； （4）选择组内离差平方和最小的分法作为最优分组. 3.归纳与总结: 结合以上过程，与同学交流、总结进行数据分组的步骤以及如何确定最优的分组的方法. 在统计中，分组的方法有很多，通常认为 “使得组内离差平方和S12 的值最小”是一种合理的方法。 1.数据组内的方法： 2.数据分组的步骤： (1)将所给的一组数据按从小到大排列。 第一组第1个数据，第二组后(n-1)个数据，计算组内离差平方和得到S12； (2)将排序后的一组数据(可记为x1,x2, …,xn)依次分成两组，有下面(n-1)种情况，并计算每种情况下的组内离差平方和，如下： 第一组前(n-1)个数据，第二组后1个数据，计算组内 离差平方和得到 Sn-12 第一组前2个数据，第二组后(n-2)个数据，计算组内离差平方和得到S22； ...... (3)比较各种分组情况下的组内离差平方和的大小，最小的一组即分组的形式。 课堂练习 1．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 18.8 18.8 第2个间隔 2 4.7 6.7 第3个间隔 12.7 2 14.7 第4个间隔 22.8 0 22.8 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．7和9,12,13,15 B．7,9和12,13,15 C．7,9,12和13,15 D．7,9,12,13和15 B 课堂练习 2．下列适合使用“组内离差平方和最小”的原则的情况是（   ） A．比较动物兽药的疗效 B．将学生按期末成绩分组 C．分析股票价格波动 D．预测天气随海拔的变化 B 3．关于“组内离差平方和最小”原则，下列说法正确的是（    ） A．只需让某一组的离差平方和最小即可 B．是所有组的组内离差平方和之和最小 C．分组后每组数据必须完全相同 D．与数据的集中程度无关 B 1.数据分组的意义：让复杂数据更有序，帮助解决实际问题（如招聘筛选、成绩分类）. 2.核心方法：基于“组内离差平方和最小”原则分组，步骤为“排序→找间隔→算离差平方和→选最小”. 课堂总结 课堂总结 知识梳理： 组内离差平方和：两组数据离差平方和的总和，刻画两组内部数据的离散程度。 公式：=[（x1-）2+……+（xm-）2]+[（xm+1-）2+……（xn-）2] 分组方法：将数据排序后，枚举所有可能的有序分组，计算组内离差平方和，选择最小的分组。 意义：使组内数据更集中，组间差异更明显，是合理的分组方法。 数据的分组 离差平方和 组内离差平方和 组间离差平方和 计算公式 应用 本节课你学到了哪些知识与方法？ $