13.3+数据的离散程度第2课时方差 课件 2025-2026学年青岛版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“数据的离散程度”，核心知识点为离差、离差平方和及方差的意义与计算。通过“两组数据离散程度比较”的问题情境导入，衔接平均数知识，以A、B方案激活人数实例为支架，引导学生从离差到方差逐步构建概念。 其亮点在于以实际问题驱动探究，通过离差和为0的发现推理出方差的必要性，体现数学思维的推理意识与数学眼光的抽象能力。A、B组方差计算实例具体，帮助学生用数学语言表达数据离散程度，既培养学生数据分析能力，也为教师提供清晰的探究式教学路径。

13.3 数据的离散程度 第2课时方差 第十三章 数据的分析 01 理解离差、方差的意义，会进行离差、方差的计算． 02 了解离差平方和的意义，会进行离差平方和的计算． 03 能利用方差刻画数据的离散程度，解决实际问题. 设计情景 导入新课 两组数据的离散程度不同时,应该用什么统计量来比较它们的离散程度呢? 本节我们将研究表示两组数据的离散程度的统计量 -----离差与方差。 活动1：已知A，B两个方案的平均激活人数都是1 046. 27 44 54 -21 -25 -21 -58 -24 -136 234 -126 246 -24 -170 问题1：计算出两个方案中每个数据与平均数的差，尝试比较它们的离散程度. A组： B组： 探究1：离差、离差平方和、方差的意义及计算 离差 一般地，有n个数据x1，x2，...，xn ，用 表示它们的平均数， 我们把 叫作 关于平均数 的离差. 2.离差可能是正数或负数，也可能是0。离差的符号及其绝对值分别反映了该数据偏离平均数的方向与大小。 离差 注意： 1.离差符号为正表示该数据大于平均数，离差符号为负表示该数据小于平均数. 5 在“激活沉默用户”的问题中，A,B两个方案的激活人数平均数都是1046,你能分别计算两个方案每天的激活人数与它们的平均激活人数的差？ A组 27 44 54 -21 -25 -21 -58 B组 -24 -136 234 -126 246 -24 -170 探究一 数据的离差 观察与发现 这个差就叫作离差 在一组数据中，一个数据与这组数据的平均数的差叫作这个数据的离差。 探究一 数据的离差 离差的概念: 提示：（1）离差可能是正数或负数,也可能是0；（2）离差的符号及其绝对值分别反映了该数据偏离平均数的方向与大小；（3）任意一组数据的离差之和都是0。 知识探究 探究 1：为什么不能用离差之和 / 平均数刻画离散程度？ 思考与交流 (1)能否利用所有数据的离差之和或离差的平均数表示一组数据的离散程度呢? A组离差之和：27+44+54+（-21）+（-25）+（-21）+（-58）=0 B组离差之和：-24+（-136）+234+（-126）+246+（-24）+（-170）=0 通过计算,我发现两组数据的离差之和都是0,不能简单地利用离差之和或离差的平均数表示一组数据的离散程度。 结论：离差之和或离差的平均数不能表示数据的离散程度。 知识探究 探究 2：方差概念的形成 思考与交流 我发现,无论数据如何变化,它们的离差和都为零,所以为了解决离差符号对和的影响,能否利用离差的平方和,来说明这组数据偏离平均数的程度呢? (2)你能概括出小莹的上述想法吗? 问题 1：如何消除离差的符号影响？ A 方案：（1073-1046）2+（1090-1046）2+（1100-1046）2+（1025-1046）2+（1021-1046）2+（1025-1046）2+（988-1046）2 =272+442+542+（-21）2+（-25）2+（-21）2+（-58）2 =272+442+542+（-21）2+（-25）2+（-21）2+（-58）2 =10452 离差: A组 27 44 54 -21 -25 -21 -58 B组 -24 -136 234 -126 246 -24 -170 问题2：分别算出两组数据的离差相加的和，你发现了什么？离差的和能表示一组数据的离散程度吗？ A 组、B组数据的离差和均为0，不能表示一组数据的离散程度. 10 问题3：为了解决离差符号对和(即离差正负抵消)的影响，你能想到哪些方法呢？ 方法2：计算离差的平方和： 方法1：取离差的绝对值. 具有局限性，绝对值运算在计算器运算中容易出错. A 组：272+442+542+(-21)2+(-25)2+(-21)2+(-58)2=10 452； B组：(-24)2+(-136)2+2342+(-126)2+2462+(-24)2+(-170)2=179 696. 11 求离差的平方的平均数： A 组：=； B组：=. 问题4：上面两组数据的个数是相同的，如果两组数据的个数不同，直接对比平方和合理吗？怎样优化？ A 组：272+442+542+(-21)2+(-25)2+(-21)2+(-58)2=10 452； B组：(-24)2+(-136)2+2342+(-126)2+2462+(-24)2+(-170)2=179 696. 离差平方和 方差 12 (1)能否利用所有数据的离差之和或离差的平均数表示一组数据的离散程度呢? 通过计算，我发现两组数据的离差之和都是0,不能简单地利用离差之和或离差的平均数表示一组数据的离散程度。 思考与交流 探究二 数据的离差平方和、方差 （2）我发现，无论数据如何变化，它们的离差和都为零，所以为了解决离差符号对和的影响，能否利用离差的平方和来说明这组数据偏离平均数的程度呢? 思考与交流 可以用离差的平方和来说明这组数据偏离平均数的程度。 探究二 数据的离差平方和、方差 知识探究 探究 2：方差概念的形成 B 方案：（1022-1046）2+（910-1046）2+（1280-1046）2+（920-1046）2+（1292-1046）2+（1022-1046）2+（876-1046）2 =272+442+542+（-21）2+（-25）2+（-21）2+（-58）2 =（-24）2+（-136）2+2342+（-126）2+2462+（-24）2+（-170）2 =17969 A 方案离差平方：10452 B方案离差平方：17969 结论：对离差取平方，（xi-)2恒为非负数，不会相互抵消。 问题 1：如何消除离差的符号影响？ 知识探究 探究 2：方差概念的形成 问题 2：如何刻画整体的偏离程度？ A方案方差计算： A方案离差平方和为10452，数据个数n=7： = B方案方差计算： B方案离差平方和为179696，数据个数n=7： = 知识探究 探究 2：方差概念的形成 ＜，所以 A 方案激活人数波动更小，效果更稳定； B 方案激活人数波动更大，效果不稳定。 1046 这与之前通过折线图直观判断的结论完全一致。 设n个数据x1，x2，…，xn 的平均数为，各个数据离差的平方和叫作这组数据的离差平方和，即(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2. 各数据离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作s2，即 s2 =[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]. 离差平方和与方差： 18 =，= ，< 问题5：计算A 组、B组数据的方差，比较它们的稳定性，请尝试说明方差的意义. A方案与B方案相比，波动较小，更加稳定，这与前面直观判断的结果是一致的. A 组：=； B组：=. 19 概括与表达 离差平方和的概念: 设n个数据 x1,x2, …,xn 的平均数是 ,各个数据离差的平方和叫作这组数据的离差平方和,即 （x1- ）2 +（x2 - ）2+ …+（xn- ）2 探究二 数据的离差平方和、方差 各数据离差的平方的平均数,叫作这组数据的方差, 记作S2, 即S2=［ (x1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2］。 概括与表达 方差的概念: 探究二 数据的离差平方和、方差 反过来也成立。方差刻画了一组数据平均偏离平均数的程度，克服了数据量的影响，所以通常用于比较多组数据的离散程度。 探究二 数据的离差平方和、方差 方法总结 离差平方和、方差的作用: 离差平方和、方差都是刻画一组数据的离散程度的统计量。 当一组数据的离差平方和较大时，方差也较大； 当一组数据的离差平方和较小时，方差也较小。 知识探究 探究 2：方差概念的形成 结合上述探究，归纳二次根式的乘法法则： 二次根式的乘法法则： 离差平方和、方差都是刻画一组数据的离散程度的统计量。 当一组数据的离差平方和较大时,方差也较大; 当一组数据的离差平方和较小时,方差也较小。 反过来也成立。 方差刻画了一组数据平均偏离平均数的程度,克服了数据量的影响,所以通常用于比较多组数据的离散程度。 概括与表达 知识探究 探究 2：方差概念的形成 结合上述探究，归纳二次根式的乘法法则： 二次根式的乘法法则： 设n个数据x1,x2,…,xn 的平均数是x,各个数据离差的平方和叫作这组数据的离差平方和,即 概括与表达 （x1-）2+（x2-）2+……+（xn-）2 各数据离差的平方的平均数叫作这组数据的方差,记作s2,即 s2=[（x1-）2+（x2-）2+……+（xn-）2] (x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2. s2 =[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]. 离差平方和： 方差： 1.它们都是刻画一组数据的离散程度的统计量. 2.当一组数据的离差平方和较大时，方差也较大；当一组数据的离差平方和较小时，方差也较小.反过来也成立. 3.方差刻画了一组数据偏离平均数的程度，克服了数据量的影响，所以通常用于比较多组数据的离散程度.(方差越小，数据波动越小，越稳定.) 离差平方和、方差的意义 第一步：先求该组数据的平均数； 求方差的步骤： 第二步：把求得的平均数代入方差公式进行计算。 探究二 数据的方差 方法总结 例1、一组数据9,x,y,8,7,11,7,6的平均数为7，其中 y-x=20。(1)求x,y的值； (2)试求这组数据的离差平方和与方差。 解：(1)由题意，得 =7 所以x+y=8。 又因为y-x=2， 所以x= 3,y=5. 例题讲析 (9-7)2+(3-7)2+(5-7)2+(8-7)2+(7-7)2 +(11-7)2+(7-7)2+(6-7)2=42. (2)当x=3,y=5时，这组数据的离差平方和为: 这组数据的方差为S2=42=. 新知进阶 1. 八年级1班和2班各有10名同学参加人工智能应用能力测试,成绩如下表(满分10分): 利用平均分和方差对两个班同学的测试成绩进行分析比较。 解：平均分 ==8.2 ==8.2 新知进阶 方差： =×[（5-8.2）2+（6-8.2）2+4×（8-8.2）2+3×（9-8.2）2+（10-8.2)2]=1.96 =×[4×（6-8.2）2+（8-8.2）2+2×（9-8.2）2+3×（10-8.2）2]=2.96 所以两班平均分相同，1 班方差更小，成绩更稳定。 1.什么是离差？有何意义？ 2.什么是方差？有何意义？ 3.与刻画集中趋势的统计量相比，用方差刻画数据有什么优势？你能说说它的适用条件吗？ 结合以下问题，回顾本节课所学知识： $