广东东莞市两校联考2025-2026学年高二第二学期6月质量检测数学试卷

**基本信息** 高二数学月考卷聚焦导数、概率统计核心知识，通过骑行运动数据、电子产品质量检测等真实情境，梯度设计基础题与创新题，培养数学抽象、数据分析及逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数几何意义、正态分布、充分条件|切线问题结合导数应用，融入地方景点情境| |多选题|3/18|分布列、杨辉三角、函数单调性|杨辉三角题体现文化传承，多选项分层考查逻辑判断| |填空题|3/15|直线方程、随机游走、恒成立问题|随机游走结合概率与数列，恒成立问题考查转化思想| |解答题|5/77|概率应用、线性回归、导数极值、抽球游戏|骑行数据回归分析培养数据意识，抽球游戏综合概率与证明|

2025-2026学年两校高二年第二学期质量检测 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．过点作曲线的切线，切点为，则点的横坐标不可能是（    ） A．2 B． C． D． 2．①一组数据的第三四分位数为8； ②若随机变量，且，则； ③具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本的中心，则； ④如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有180种不同的着色方法. 以上说法正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．设，则落在内的概率是（    ） A．95.44% B．99.74% C．4.56% D．0.26% 4．下列说法不正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“，”是真命题 C．由一组样本数据，，…，得到经验回归方程，若相关系数r越小，则两组变量的相关性越弱 D．甲、乙、丙三名大学生从勐焕大金塔、一寨两国、黄草坝、陇川欢乐水世界、南甸宣抚司署五个景点中各选一个去游玩，则共有125种不同选法 5．一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（    ） A．7或 B．5或 C．3或 D．1或 6．一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第i次命中目标”（）．已知，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数及其导数的定义域均为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知是函数的导函数，，，，则不等式的解集为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知随机变量的分布列为 1 3 5 7 9 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是（   ） A．第10行所有数字的和等于1024 B．第2026行的第1013个数最大 C．210在杨辉三角中出现了6次 D．记第行的第个数为，则 11．关于函数，为导数，下列说法正确的是（    ） A．函数的单调递减区间为 B．令，则 C．若函数有两个不同的零点，则 D．若函数的图象与直线交于两点，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．过点与直线垂直的直线方程是___________. 13．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位长度，移动6次后质点对应的数为，则（1）______，（2）在“”的条件下，事件“有且仅有一次经过1”的概率是______. 14．设函数，若恒成立，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．在产品质量检测领域，生产不合格电子产品极易造成使用隐患，我国的（产品质量法）中将生产不合格电子产品的行为分成两个类别：“轻微不合格”和“严重不合格”．市场监管部门对某电子厂的一次抽检行动中，依法检查了400件电子产品的质量情况，其中查出轻微不合格的有8件，查出严重不合格的有4件． (1)记在生产的1件产品为不合格产品的条件下，该产品为严重不合格产品的概率为，求的估计值； (2)从不合格的12件产品中抽取3件，求抽取到严重不合格产品的数量的分布列和期望． 16．近年来骑行成为热门的户外运动方式之一.某同学近来5次骑行期间的身体运动参数评分与骑行距离（单位：公里）的数据统计如下表： 身体运动参数评分 2 4 6 8 10 骑行距离（公里） 38 37 32 33 30 (1)根据上表的样本数据，计算样本相关系数（结果保留两位小数），并推断身体运动参数评分和骑行距离的相关程度； (2)根据这些成对数据，建立骑行距离关于身体运动参数的线性经验回归方程.并估计当身体运动参数评分为11分时，该同学的骑行距离. 参考数据和参考公式： ①； ②对于一组数据（），样本相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 17．已知函数．   （Ⅰ）当时，讨论的单调性. （Ⅱ）若的两个极值点为，且，求 的最小值. 18．现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有白球和黑球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏；否则，在盒子中再放入一个黑球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功. (1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和数学期望； (2)有数学爱好者统计了1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如下： 1 2 3 4 5 232 94 57 44 23 经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程，并顶测第7轮成功的人数（精确到1）： (3)证明：（其中且）. 附：回归方程系数：； 参考数据：设， 19．设函数，其中. （1）讨论的单调性； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）求证：对于任意，存在实数，当时，恒成立. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D C D C C B AC ACD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】利用导数的几何意义结合斜率公式得到一元三次方程，再利用试根法得到一个根后对方程进行因式分解，得到其它的根，进而判断不可能是原方程的根，最后得到结论即可. 【详解】设切点为，而切线也过点， 由斜率公式得， 因为，所以， 由导数的几何意义得， 故成立，化简得， 得到，即， 显然是方程的根，则方程可化为， 解得或，而原方程最多有三个根， 则不可能是原方程的根，即点的横坐标不可能是. 故选：B 2．C 【分析】将数据从小到大排列，再根据百分位数的计算规则计算①，根据正态分布的性质判断②，根据回归直线必过样本中心点判断③，按照分步乘法计数原理判断④. 【详解】对于①：将数据从小到大排列为、、、、、、、、、， 所以，则第三四分位数为，故①错误； 对于②：因为，且， 所以，所以，故②正确； 对于③：因为线性回归方程为，且样本的中心， 所以，解得，故③正确； 对于④：首先涂I有种，第二步涂II有种，第三步涂III有种，第四步涂IV有种， 按照分步乘法计数原理可得一共有种涂色方法，故④正确； 故选：C 3．D 【分析】根据变量符合正态分布，看出均值和方差的值，根据的原则，知道区间上的概率值，根据对称性和整个区间上的概率之和等于，可得结果. 【详解】由题意可知，, ， . 故选：D. 4．C 【分析】对于A：根据充分、必要条件分析判断；对于B：构建，利用导数证明不等式；对于C：根据相关系数的意义分析判断；对于D：根据分步乘法计数原理运算求解. 【详解】对于选项A：若，则，即充分性成立； 若，例如，满足，但不成立，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于选项B：构建，则， 可知函数在内单调递增，则，即， 所以命题“，”是真命题，故B正确； 对于选项C：根据相关系数可知：若相关系数越小，则两组变量的相关性越弱，故C不正确； 对于选项D：因为甲、乙、丙三名大学生从五个景点中各选一个去游玩， 所以共有种不同选法，故D正确； 故选：C. 5．D 【分析】将“质点移动位置”转化为“正、负方向移动次数”的组合问题，通过分析组合数的最大值确定概率最高的位置. 【详解】设质点向正方向移动的次数为（），则向负方向移动的次数为， 质点最终的位置坐标由正、负方向移动的总距离决定：， 每次移动向正、负方向的概率均为，因此“7次移动中恰好有次向正方向”的概率服从二项分布，概率公式为：， 其中为组合数，为常数，因此，概率的大小由组合数决定，“最可能的位置”对应最大时的， 时 时 时 时 时 时 时 时 综上，组合数在和时取得最大值， 当时，代入得：， 当时，代入得：， 质点最可能移动到的位置坐标为或. 6．C 【分析】分析第二次命中的两种情况，利用全概率公式，结合已知条件求出；再利用全概率公式，结合已知条件求出． 【详解】由全概率公式，第二次命中的概率由“第一次命中”和“第一次未命中”两种情况决定： ， ，， 由，当时，， 由，当时，， ， 第三次命中的概率由“第二次命中”和“第二次未命中”两种情况决定： ， ，， 由，当时，， 由，当时，， ． 7．C 【分析】由是奇函数，根据奇函数的定义得到，结合的单调性，判断出的单调区间，在判断出实数与1的关系，及它们之间的大小关系，利用的单调性，即可得到答案. 【详解】∵是奇函数，∴，令得：， 又在R上单调递增，∴当，；当， 故在上单调递减，在上单调递增. ∵，∴（c为常数） 令得：，∴，即的图象关于直线对称 由已知得：，，， ∵ ， ∴ ∵ ∴， 故，又在上单调递增， ∴， 故选：C. 8．B 【分析】构造新函数，求得导数，由已知条件可得，得函数为单调递减函数，又由不等式，可变形为，得，即可求解不等式的解集. 【详解】由题意，函数满足已知条件， 又由不等式，可变形为， 构造新函数，则， 由已知条件可得，即，即函数为单调递减函数， 令则， 又由不等式，可变形为，即， 由函数的单调性可得，所以不等式的解集为，故选B. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及解不等式问题，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出不等式的解集；有时也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 9．AC 【详解】，解得，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 10．ACD 【分析】对A：根据题目所给的杨辉三角，得出每一行每一个数的表示，对第10行所有数字求和即可得；对B：根据组合数的性质，即可找到第2026行中的最大数；对C：列举出值为210的组合数即可；对D：使用二项式定理进行转化即可. 【详解】对A：第行的第个数，故第10行所有数字的和等于为： ，故A正确； 对B：第2026行的第个数可表示为， 由组合数的性质可知，最大，因此，， 故第2026行的第1014个数最大，故B错误； 对C：210在杨辉三角中出现的情况有（第10行的第5个数）， （第10行的第7个数），（第210行的第2个数）， （第210行的第210个数），（第21行的第3个数）， （第21行的第20个数），共6次，故C正确； 对D：第行的第个数，因此， 令，则， 即，故D正确. 11．ACD 【分析】利用导数分析函数的单调性和最值，即可得函数的图象，即可判断ABC；令，，利用导数结合单调性可得，根据的单调性结合极值点偏离分析证明. 【详解】对于选项A：由题意可知：函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减，则， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 可得函数的图象，如图所示； 对于选项A：函数的单调递减区间为，故A正确； 对于选项B：由题意可知：的定义域为，且， 所以，故B错误； 对于选项C：令，则， 原题意等价于与有2个交点， 结合函数的图象可得，所以的取值范围为，故C正确； 对于选项D：令，， 则， 因为，则，，，，可得， 可知在内单调递减，则，即，， 因为，且，则， 可得，，，且函数在内单调递增， 则，所以，故D正确. 12． 【解析】设与垂直的直线方程为，利用过的点，求出即可. 【详解】设所求直线为 过点，故 直线方程为 故答案为： 13． 6 【分析】设表示向右的次数，可得服从二项分布，求得，根据与关系，求得；根据与关系，求得，再求出，利用条件概率公式求解. 【详解】记表示向右的次数，则服从二项分布， 故； 此时质点对应的数，； 记“”为事件，，， 于是：， 记事件“有且仅有一次经过1”为事件， 则事件的情况有：RRRLRL，RRRRLL，LRRRRL，LLRRRR，LRLRRR （其中R表示向右走，L表示向左走），共5种， 则，于是：. 14．1 【分析】由函数，都是增函数及恒成立，得函数，有公共零点，从而得，令，利用导数求其最小值即可. 【详解】易知函数，都是增函数，都至多有一个零点． 恒成立， 函数，有公共零点，记为，其中， 则，即， 则． 设函数，则，且． ，在上均单调递增，在上单调递增， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，即的最小值为1． 15．(1) (2)(2)分布列见解析，期望为 【分析】（1）利用条件概率的公式即可； （2）列出的取值，并根据题意及超几何分布得到各值的概率求出期望即可. 【详解】（1）记“生产的1件产品为不合格产品”为事件A，“产品为严重不合格产品”为事件B， 则，， 由条件概率公式得， 所以在生产的1件产品为不合格产品的条件下，该产品为严重不合格产品的概率. （2）由题意可得可以取0，1，2，3 则， ， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 P 所以. 16．(1)，身体运动参数评分和骑行距离的相关程度很强 (2)，29公里 【分析】（1）根据表中的数据先求出，然后分别求出，和，再代入公式可求出相关系数，再根据其值进行判断； （2）利用公式求出，从而可求出关于身体运动参数的线性经验回归方程，将代入可求出该同学的骑行距离. 【详解】（1）由表中的数据可得，， 所以 ， ， ， 所以， 因为接近于1，所以身体运动参数评分和骑行距离的相关程度很强； （2）由（1）可知， 所以， 所以， 当时，， 所以当身体运动参数评分为11分时，该同学的骑行距离约为29公里. 17．(Ⅰ)增区间为，，减区间为；(Ⅱ) 【分析】（Ⅰ）对函数求导，解导数方程，得两根和，然后讨论与的大小关系，结合导数符号的变化得出函数的单调区间； （Ⅱ）由题意得出导数方程的两根为、，利用韦达定理得，将关系式代入并化简，转化为以为自变量的函数，然后构造以为自变量的新函数，利用导数求出该函数的最小值． 【详解】（Ⅰ）函数定义域：，． ①时，由，增区间为， ②时，由得，或， 由得，， 增区间为，，减区间为， ③时，由得，或， 得，， 增区间为，，减区间为； （Ⅱ）， ， 方程两根为，， ， = = ， 令， ， 在单调递减，时，取到最小值， ，的最小值是． 【点睛】本题考查利用导数来求函数的单调区间，以及处理函数的极值问题，本题的关键点在于将函数的两个极值点转化为二次方程的两个根，巧妙地利用韦达定理将两个极值点联系了起来，并利用韦达定理进行化简，从而构造新函数来求解，也是本题的难点所在，考查化归与转化思想，属于难题． 18．(1)分布列见解析， (2)，8 (3)证明见解析 【分析】（1）写出的可能取值，求出各取值的概率，写出分布列即可求出数学期望； （2）令，则，根据线性回归方程公式求出方程即可顶测第7轮成功的人数； （3）求出在前轮内（包括第轮）成功的概率，求出前轮内（包括第轮）均没有成功的概率，据此即可求解. 【详解】（1）由题知，的取值可能为， 所以，， ， 所以的分布列为： 1 2 3 所以数学期望为； （2）令，则，由题知：， 所以， 所以， 故所求的回归方程为：， 所以，估计时，； （3）由题知，当且时，在前轮内（包括第轮）成功的概率为 ， 在前轮内（包括第轮）均没有成功的概率为 ， 故. 【点睛】关键点点睛：本题（3）关键在于正确求出前轮内（包括第轮）成功的概率. 19．（1）在上为减函数，在上为增函数；（2）；（3）证明见解析 【分析】（1）求出原函数的导函数．可得当时，，函数在上单调递减；当时，令求得值，把定义域分段，由导函数在不同区间段内的符号，可得原函数的单调性； （2）由恒成立，通过分离参数法，转化成不等式恒成立，设，通过导函数求出的单调性，进而得出的最大值，即可求出a的取值范围； （3）由（1）可知当时，在上为减函数，在上为增函数，再分类讨论：①当时，当时，，此时取；②当时，构造新函数，利用新函数的单调性，可得出时，，此时取，综合两种情况，即可证明出. 【详解】解：（1），， ①当时，恒成立，所以在上为减函数； ②当时，由，得，由，得； 由，得， 所以在上为减函数，在上为增函数. （2）由得，，即不等式，恒成立， 记，则，由得，； 由得，；由得，. 所以在为增函数，在上为减函数， 所以，所以. （3）证明：由（1）知， 当时，在上为减函数，在上为增函数. ①当，即时，因为在上为增函数， 又，所以，当时，，此时取. ②当，即时， 因为，所以， ，令，，则上式， 记，，则， 所以在上为增函数，所以，即， 因为在上为增函数，且， 所以当时，，此时取. 综上，对于任意，存在实数，当时，恒成立. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，还运用分离参数法求解参数的取值范围，同时考查分类讨论思想和计算能力，是中档题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $