精品解析：广东肇庆市德庆县香山中学2025-2026学年高二下学期第二次教学质量检查数学试卷

德庆县香山中学2025-2026学年第二学期高二年级第二次 教学质量检查数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误． 2. 根据5对数据，，，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且回归直线方程为，则 （ ） A. 3.9 B. C. 4.2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由线性回归方程过样本中心点，代入计算，即可得到结果. 【详解】由已知，得，． 又回归直线经过点，所以，解得． 3. 已知正态分布，若，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 【答案】C 【解析】 【详解】得，所以， 所以，所以. 4. 以下四个命题中错误的是（ ） A. 在独立性检验中，由计算得的值，若的值越大，则两个变量相关的可能性就越大 B. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C. 在回归直线方程 中，变量 每增加1个单位时， 平均增加2个单位 D. 若变量y和x之间的相关系数为，则变量y和x之间具有很强的线性相关性，而且是负相关 【答案】C 【解析】 【分析】借助独立性检验的性质、决定系数定义、回归直线方程性质与相关系数定义逐项判定即可得. 【详解】对A：由独立性检验的性质可知，的值越大，则两个变量相关的可能性就越大，故A正确； 对B：由决定系数定义可得，越大，则说明模型拟合的效果越好，故B正确； 对C：在回归直线方程 中，变量 每增加1个单位时， 平均减少3个单位，故C错误； 对D：由，，接近 ，故变量y和x之间具有很强的线性相关性， 而且是负相关，故D正确. 5. 从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（ ） A. B. C. D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】分为选派的四人中甲乙仅有其中一人和选派的四人中甲乙均有两种情况分别讨论，结合排列组合即可求出答案. 【详解】若选派的四人中甲乙仅有其中一人， 则选派方案的种数为， 若选派的四人中甲乙均有， 则选派方案的种数为， 综上，不同的选派方案的种数为 . 6. 某学校有两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去 餐厅，那么第2天去 餐厅的概率为0.6；如果第1天去 餐厅，那么第2天去 餐厅的概率为0.8．已知王同学第2天去 餐厅用餐，则第1天去 餐厅的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件概率计算公式和全概率计算公式即可求解. 【详解】设 ：第1天去A餐厅，：第1天去B餐厅，：第2天去A餐厅， 由题意，第1天随机选餐厅， 因此 ； 由题意 ， ， ， 又 ， 因此： . 7. 设，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过构造函数，利用导数判断其单调性，再结合的大小关系，即可比较的大小. 【详解】设函数，则，令 ，得， 当时， ， 单调递增；当时， ， 单调递减， 而，，， 又因为，且 在上单调递减，所以， 即. 8. 已知函数有两个极值点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，把有两个极值点问题转化为导数有两个正实根，从而利用判别式结合韦达定理构造不等式组求解． 【详解】函数的定义域为，求导得 ， ，导数的符号由分子决定，令， 函数有两个极值点，等价于在上有两个实根， 则二次方程需满足 ，解得， 的取值范围是． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知离散型随机变量 的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解． 【详解】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A不正确； 对于B中，若，可得，则，故B正确； 对于C中，由概率的定义知，所以C不正确： 对于D中，由，则，所以D正确． 10. 已知的展开式中各二项式系数之和为64，则（ ） A. B. 常数项为160 C. 含项的系数为240 D. 二项式系数最大的项为第3项 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质，可判定A正确，D错误；求得二项展开式的通项，结合通项公式，可判定B错误，C正确. 【详解】对于A，由二项式的展开式中各二项式系数之和为64， 可得，解得，故A正确； 对于B，二项展开式的通项公式为， 令，可得 ，所以展开式的常数项为，故B错误； 对于C，令，解得 ，所以含项的系数为，故C正确； 对于D，二项式系数最大的项为第项，故D错误. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是函数定义域内的极小值点. B. 的单调减区间是. C. 在定义域内无最小值，无最大值. D. . 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用导函数计算单调性及极值判断A，应用单调性判断B，应用极值及数形结合判断C，根据结合函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，定义域为，，令可得， 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以是函数的极小值点，A正确； 对于B，由A可知当时，，为减函数，所以的单调减区间是和，B不正确； 对于C，由前面分析，的单调减区间是和，增区间为，极小值为e， 当时，，当 时，，当时， ， 简图如下，由图可知，在定义域内无最小值，也无最大值，C正确， 对于D，由题可得，由于增区间为，所以，故，即D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若曲线在处的切线与直线垂直，则实数 _____. 【答案】 【解析】 【分析】本题利用导数的几何意义表示出切线的斜率，由斜率存在的两直线垂直时，斜率乘积为 ，建立等量关系，从而求出实数 . 【详解】解：由题可得，所以函数在处的切线斜率为. 已知直线的斜率为，切线与该直线垂直，所以，解得 . 13. 若随机变量，且，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二项分布中的对立事件为，结合对立事件概率公式列方程求解. 【详解】随机变量，根据对立事件的概率性质， 代入，可得，   ，得， 解得. 14. 若函数有且仅有一个零点，则实数a的取值范围_________． 【答案】 【解析】 【分析】函数有且仅有一个零点转化为方程有且仅有一个解的问题，等价于函数与有且仅有一个交点的问题；令，确定函数的定义域，单调性，极值，渐近线等，作出函数的图象示意图，根据的图象特征，结合直线与它的交点情况，得到关于 的不等式或等式，求出 的取值范围. 【详解】令 ，得； 令，则有且仅有一个零点，等价于函数与有且仅有一个交点. 易得函数的定义域为，且， 令，解得 ； 当 时，，当 或时， ， 在上单调递增；在和上单调递减. 当 时，；当时，，则 ； 当 时，. 当 时，；当时，，则； 当 时，，当 时，. 的图象示意图如下： 由图可知，或，解得 或. 实数 的取值范围为. 四、解答题本题（共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数.求： （1）X的分布； （2）X的期望与方差； （3）“所选3人中女生人数”的概率. 【答案】（1）分布列见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布可求X的分布； （2）利用超几何分布的期望与方差公式求解 （3）利用互斥事件的概率公式求解即可 【小问1详解】 由题意可得： 可取0，1，2，， 所以， 分布列如下： 0 1 2 【小问2详解】易得； 【小问3详解】 由（1）可知“所选3人中女生人数”的概率为. 16. 实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价 （元）与网上月销量 （万件）的数据如下： （1）求相关系数 （保留3位小数），并说明 与 的线性相关程度； （2）建立 关于 的线性回归方程； （3）若月销量不低于万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数） （参考数据：，，，，） （参考公式：，） 【答案】（1）， 与 完全线性负相关. （2） （3）定价最高为 元. 【解析】 【小问1详解】 ，， 故 ， 故 与 完全负相关. 【小问2详解】 ，故， 故回归方程为. 【小问3详解】 由题设，此时，故，故定价最高为 元. 17. 设函数，若函数在处与直线相切． （1）求实数 ， 的值； （2）求函数在上的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可确定方程组，求解即可； （2）由函数的导函数可确定函数在给定区间上的单调性，结合单调性可求最大值. 【小问1详解】 ， ， 函数在处与直线相切， ，解得 【小问2详解】 由（1）知，， ， ， 当时，令，得， 令，得， 在上单调递增，在上单调递减， ． 18. 某公司准备对 ， 两个项目进行竞标.已知两个项目竞标互不影响，项目资料审核通过即认为竞标成功.每个项目均有两次资料审核的机会，若第一次资料审核未通过，可通过增补资料进行第二次审核，若第一次资料审核通过，则无需进行第二次资料审核.经综合评估判断，该公司在 ， 两个项目上首次资料审核通过的概率分别为，；若第一次没有通过，通过增补资料，第二次 ， 两个项目资料审核通过的概率分别为，. （1）求该公司在第一次资料审核中恰有一个项目审核通过的概率； （2）两个项目中竞标成功的个数记为 ，求随机变量 的分布列； （3）由于资金限制，该公司目前只能对两个项目中的一个进行投资，若 ， 两个项目竞标成功，投资收益分别为220万元、300万元；若竞标失败，该公司将分别面临20万元、30万元的亏损.如果你是公司经理，那么你会选择哪个项目进行投资？请说明理由. 【答案】（1） （2） 的分布列为 0 1 2 （3） 项目，理由见解析【解析】 【分析】（1）利用对立事件、互斥事件加法公式结合独立事件乘法公式求解； （2）先计算每个项目最终成功的概率，确定 的可能取值有0，1，2，计算相应的概率即可得 X 的分布列； （3）分别计算 、B项目的期望收益并比较，选择期望收益更高的项目进行投资. 【小问1详解】 设 ， 项目第一次资料审核通过为事件，.恰有一个项目通过为事件 ， 则，，. 所以； 【小问2详解】 的可能取值有0，1，2. 项目失败的概率为， 项目成功的概率为， 项目失败的概率为， 项目成功的概率为， 则， ， . 所以 的分布列为 0 1 2 【小问3详解】 记为 项目的收益，则的可能取值有220，. ，， 所以（万元） 记为 项目的收益，则的可能取值有300，. ，， 所以（万元） 因为，所以 项目期望收益更大，应该选择 项目进行投资. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求在处的切线； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）时，在单调递增，在单调递减； 时，在，单调递增，在单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，单调递增，在单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，应用分类讨论及导数的区间符号确定函数的单调性即可； （3）将问题化为的图象与直线有两个不同的交点，并应用导数研究函数性质，利用其图象分析参数范围. 【小问1详解】 当时，，则， 又，则， 切线方程为，即； 【小问2详解】 函数的定义域为， ∴， 若，则，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 若，令 ，则或， 当，即时，或， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 当，即时， 在上恒成立，此时在上单调递增； 当，即时，或，， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 综上： 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 ， 令，则问题转化为的图象与直线有两个不同的交点， 所以，则 ， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且时 ， 时 ，，大致图象如下， 要使的图象与直线有两个不同的交点，则，即， 所以a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德庆县香山中学2025-2026学年第二学期高二年级第二次 教学质量检查数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 根据5对数据，，，，绘制的散点图知，样本点呈直线趋势，且回归直线方程为，则 （ ） A. 3.9 B. C. 4.2 D. 3. 已知正态分布，若，则（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1 4. 以下四个命题中错误的是（ ） A. 在独立性检验中，由计算得的值，若的值越大，则两个变量相关的可能性就越大 B. 在做回归分析时，可以用决定系数刻画模型的回归效果，若越大，则说明模型拟合的效果越好 C. 在回归直线方程 中，变量 每增加1个单位时， 平均增加2个单位 D. 若变量y和x之间的相关系数为，则变量y和x之间具有很强的线性相关性，而且是负相关 5. 从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（ ） A. B. C. D. 48 6. 某学校有两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去 餐厅，那么第2天去 餐厅的概率为0.6；如果第1天去 餐厅，那么第2天去 餐厅的概率为0.8．已知王同学第2天去 餐厅用餐，则第1天去 餐厅的概率（ ） A. B. C. D. 7. 设，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有两个极值点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知离散型随机变量 的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 10. 已知的展开式中各二项式系数之和为64，则（ ） A. B. 常数项为160 C. 含项的系数为240 D. 二项式系数最大的项为第3项 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是函数定义域内的极小值点. B. 的单调减区间是. C. 在定义域内无最小值，无最大值. D. . 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若曲线在处的切线与直线垂直，则实数 _____. 13. 若随机变量，且，则____________． 14. 若函数有且仅有一个零点，则实数a的取值范围_________． 四、解答题本题（共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数.求： （1）X的分布； （2）X的期望与方差； （3）“所选3人中女生人数”的概率. 16. 实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价 （元）与网上月销量 （万件）的数据如下： （1）求相关系数 （保留3位小数），并说明 与 的线性相关程度； （2）建立 关于 的线性回归方程； （3）若月销量不低于 万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数） （参考数据：，，，，） （参考公式：，） 17. 设函数，若函数在处与直线相切． （1）求实数 ， 的值； （2）求函数在上的最大值． 18. 某公司准备对 ， 两个项目进行竞标.已知两个项目竞标互不影响，项目资料审核通过即认为竞标成功.每个项目均有两次资料审核的机会，若第一次资料审核未通过，可通过增补资料进行第二次审核，若第一次资料审核通过，则无需进行第二次资料审核.经综合评估判断，该公司在 ， 两个项目上首次资料审核通过的概率分别为，；若第一次没有通过，通过增补资料，第二次 ， 两个项目资料审核通过的概率分别为，. （1）求该公司在第一次资料审核中恰有一个项目审核通过的概率； （2）两个项目中竞标成功的个数记为 ，求随机变量 的分布列； （3）由于资金限制，该公司目前只能对两个项目中的一个进行投资，若 ， 两个项目竞标成功，投资收益分别为220万元、300万元；若竞标失败，该公司将分别面临20万元、30万元的亏损.如果你是公司经理，那么你会选择哪个项目进行投资？请说明理由. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求在处的切线； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $