精品解析：广东东莞市东华高级中学2025-2026学年第二学期学习效率反馈（一）高二数学试题

2025-2026学年第二学期学习效率反馈（一） 高二数学 本试卷共19题，满分150分．用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知圆方程为，直线截圆所得的弦长为（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，然后得到圆心到直线的距离，最后利用勾股定理求弦长即可. 【详解】圆的方程可整理为，所以圆心为，半径为2， 圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故选：A. 2. 在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则　　 A. 0 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用向量加法的运算法，分别用与表示出向量与，利用数量积的运算法则求解即可求． 【详解】如图所示， 棱长为2的正四面体中， 因为分别是的中点， 所以 ，故选B． 【点睛】本题考查了空间向量的线性运算与数量积的运算法则，是基础题．向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方. 3. 若抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得抛物线的焦点的坐标和双曲线渐近线方程，根据抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离是，利用点到直线的距离求解. 【详解】抛物线的焦点， 不妨设双曲线渐近线方程为， 因为抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离是， 所以， 解得. 故选：B 【点睛】本题主要考查抛物线和双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 4. 已知在等比数列中，，则公比为（ ） A. 3 B. C. 4 D. -3 【答案】A 【解析】 【详解】因为在等比数列中，， 则，所以，解得： 5. 韩愈的《师说》中写道：“李氏子蟠，年十七，好古文，六艺经传皆通习之，不拘于时，学于余．余嘉其能行古道，作《师说》以贻之．”六艺具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节课程，连排六节，则“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排课方法种数为（ ） A. 84 B. 96 C. 168 D. 204 【答案】C 【解析】 【分析】分“数”排在第一节和“数”排在第二节两种情况讨论求解. 【详解】解：“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排课方法可以分两类： ①“数”排在第一节，“书”排在第二、三、四、五节，则有种排法； ②“数”排在第二节，“书”排在第三、四、五节，则有种排法． 故“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排法共有种， 故选：C． 6. 设点是曲线上的任意一点，则曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的几何意义，求得曲线在点处切线的斜率的取值范围，从而得到倾斜角的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 所以. 所以曲线在点处切线的斜率. 因为，所以. 7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意参变分离得到，求出的最小值，进而求出实数a的取值范围. 【详解】由题意得：在上恒成立，即，其中在处取得最小值，，所以，解得：， 故选：D 8. 若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）． A. 26 B. 23 C. 15 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】先由，利用切线斜率为-1求得切点，再将切点代入切线方程求得a，然后设切线与的切点为，利用切线斜率为-1和切点在切线上求解. 【详解】解：因为， 所以，由，解得或（舍去）， 所以切点为， 因为切点在切线上，解得， 所以切线方程为， ，设切点为， 由题意得，解得， 所以， 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线C的方程为则下列结论正确的是（　　） A. 当时，曲线C为圆 B. 当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为 C. “”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件 D. 存在实数使得曲线C为双曲线，其离心率为 【答案】AC 【解析】 【分析】 对A，代入即可判断；对B，代入即可求出渐近线进行判断；对C，求出曲线C表示椭圆对于的的范围即可判断；对D，可知离心率为的双曲线为等轴双曲线. 【详解】对于A，当时，曲线C的方程为表示圆，故A正确； 对于B，当时，曲线C的方程为表示焦点在y轴上的双曲线，渐近线为，故B错误； 对于C，若曲线C表示椭圆，则，解得的范围为，所以“”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，若曲线C为双曲线，则，解得或，若离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即，无解，故不存在这样的实数k. 故选：AC. 【点睛】本题考查对椭圆双曲线标准方程的理解，解题的关键是清晰知道椭圆双曲线标准方程的形式可对应的范围. 10. 象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子．现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是（ ） A. 共有种排列方式． B. 若两个“将”相邻，则有种排列方式． C. 若两个“将”不相邻，则有种排列方式． D. 若同色棋子不相邻，则有种排列方式． 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由全排列知识进行求解，B选项，相邻问题进行捆绑，再由排列知识求出答案；C选项，不相邻问题插空法进行求解；D选项，先将2个黑色的棋子进行全排列，再插空即可. 【详解】A选项，由排列知识可得共有种排列方式，A正确； B选项，两个“将”捆绑，有种情况，再和剩余的4个棋子进行全排列， 故共有种情况，B错误； C选项，两个“将”不相邻，先将剩余3个棋子进行全排列，共有4个空， 再将两个“将”插空，故共有种情况，C正确； D选项，将2个黑色的棋子进行全排列，共有3个空， 再将3个红色的棋子进行插空，则有种排列方式，D正确. 故选：ACD 11. 已知，则下列说法正确的有（ ） A. 函数有唯一零点 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数有极大值点为 D. 若关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据零点的定义判断A，利用导数分析函数的单调性，作出函数的图象，根据图象判断其余选项. 【详解】由得：，即，故函数有唯一零点，A对； 由题可知： 设，，则， 由得：；由得：； 故在上单调递增﹐在上单调递减， 作出图象，并将的部分图象关于x轴对称可得的图象如下： 观察图象可得函数的单调递减区间为，，B错， 函数在时有极大值，极大值点为1，C错， 方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是，D对， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等差数列的前n项和，若，，则________. 【答案】95 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式即可得到答案. 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 13. 已知，则_______. 【答案】15 【解析】 【分析】直接由排列数公式和组合数公式化简求解即可 【详解】解：因为， 所以， ， 所以，， ，解得或， 故答案为：15 14. 已知函数恰有两个零点和一个极大值点，且成等比数列.若的解集为，则_______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据已知，结合三次函数的图象特征可得是的极小值点，借助导数及函数零点可得的关系，由不等式的解集求出. 【详解】因三次函数有一个极大值点， 则该函数必有一个极小值点，且极小值点大于， 又恰有两个零点，且，因此是的极小值点， 求导得：，即是方程的二根， 有，即， 显然， 则，整理得， 两边平方得：，因成等比数列，即， 于是得，即， 而，有，显然有， ， 因的解集为，则5是方程的根， 即有，整理得：，解得或， 当时，，， 不等式， 解得，符合题意，函数的极大值为， 当时，，， 不等式，解得，不符合题意，舍去， 所以. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是一个奇函数 （1）若的最小值为，求的单调区间； （2）若不存在极值，求的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为和；单调递减区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）由函数为奇函数，可得，从而得，再根据的最小值为，求得，利用导数求解即可； （2）求得，由题意可得不存在变号零点，分、，求解即可. 【小问1详解】 因为是一个奇函数， 所以， 又因为， 由，可得，解得， 所以， 所以， 所以， 所以，， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以函数的单调递增区间为和；单调递减区间为； 【小问2详解】 由题意可得， ， 所以， 所以， 由题意可得不存在变号零点， 当时，不存在变号零点，满足题意； 当时，存在变号零点，不满足题意； 综上，当不存在极值时，. 16. 已知函数 （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求在上的最大值与最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先求函数的导数，再利用导数的几何意义求切线方程；（2）首先利用导数判断函数的单调性，根据单调性求函数的最大值和最小值，端点时可能的最大值，再通过做差比较大小，求最大值. 【详解】（1），， 所以，函数的图象在点处的切线的斜率为， ，所以，函数的图象在点处的切线方程为， 即； （2），. 当时，；当时，. 所以，， 因为，， 所以，，则， 所以，函数在上的最大值为. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的最值与导数，在处理函数的最值时，要充分利用导数分析函数的单调性，并将极值与端点函数值作大小比较得出结论，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题. 17. 设数列的前项和为．已知，并且满足等式：．其中为正整数，为常数． （1）求与的值； （2）证明：数列是一个等差数列； （3）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）对，分别令，结合，可得关于的方程组，求解可得与的值； （2）由（1）的结论，代入，利用与的关系，求得数列的递推公式，再根据累加法求得通项公式，最后根据等差数列的定义可证明数列是一个等差数列； （3）由（1），（2）的结论求得数列的通项公式，再根据错位相减求和法求得数列的前项和． 【小问1详解】 ，得. 因为，所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，， 两式相减，得， 所以， 即， 所以. 所以， . 所以是常数列，且，即 即. 所以数列的通项公式为. 当时，， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列. 【小问3详解】 由（1）（2）可得. 所以， . 两式相减得， ， 所以. 18. 已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设点，过点的直线交，于，两点，求面积的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，再结合，求解即可； （2）先求出直线过点且与轴垂直时，；再求直线过点且与轴不垂直时的情况，结合韦达定理、弦长公式、转化思想及二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆的短轴长为，离心率为． 所以，， 解得， 又因为， 解得， 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 当直线过点且与轴垂直时， 则直线的方程为， 由，可得或， 不妨设， 此时； 当直线过点`且与轴不垂直时， 设直线的方程为， （当时，三点共线，不满足题意） 由，可得， 则， 设， 则， 所以， 设点到直线的距离为， 则， 所以 ， 令， 则，， 所以 ， 又因为， 所以； 综上，. 19. 已知函数． （1）讨论的极值； （2）若，此时存在两个不同零点和一个极值点，记，，，求证：． 【答案】（1）时，无极值；时，的极大值为，无极小值； （2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)求出导数，分和进行讨论，根据导数的符号确定函数的单调区间，从而可得极值； (2)由于，，利用导数证得，，故由零点存在定理有零点，由三角形性质可比较，要证，即证明，化简即可证明. 【小问1详解】 由，得， 当时，对任意，， 所以在上单调递减，无极值； 当时，令，得；令，得． 则在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值为，无极小值， 综上所述，时，无极值； 时，在处取得极大值为，无极小值； 【小问2详解】 由，函数有两个不同的零点，和一个极值点， 由（1）知在单调递增，在单调递减， 故为的极大值点， 其极大值， 令．则，故在单调递增， 故， 又注意到，故不妨设，此外， 则，记， 则，所以在上单调递减，所以， 即，故在单调递减，故． 由零点存在性定理，知有零点， 则． 设，则为的高且，故. 要证，即证明 即证：， 由于当时，，, 即证： 即证：， 当时，，， 因此恒成立，故恒成立，从而恒成立，即恒成立， 综上， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期学习效率反馈（一） 高二数学 本试卷共19题，满分150分．用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知圆方程为，直线截圆所得的弦长为（ ） A. B. C. 4 D. 2 2. 在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则　　 A. 0 B. C. 2 D. 3. 若抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知在等比数列中，，则公比为（ ） A. 3 B. C. 4 D. -3 5. 韩愈的《师说》中写道：“李氏子蟠，年十七，好古文，六艺经传皆通习之，不拘于时，学于余．余嘉其能行古道，作《师说》以贻之．”六艺具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节课程，连排六节，则“数”排在前两节，“书”不排在首尾两节的排课方法种数为（ ） A. 84 B. 96 C. 168 D. 204 6. 设点是曲线上的任意一点，则曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 8. 若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）． A. 26 B. 23 C. 15 D. 11 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线C的方程为则下列结论正确的是（　　） A. 当时，曲线C为圆 B. 当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为 C. “”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件 D. 存在实数使得曲线C为双曲线，其离心率为 10. 象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子．现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法正确的是（ ） A. 共有种排列方式． B. 若两个“将”相邻，则有种排列方式． C. 若两个“将”不相邻，则有种排列方式． D. 若同色棋子不相邻，则有种排列方式． 11. 已知，则下列说法正确的有（ ） A. 函数有唯一零点 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数有极大值点为 D. 若关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等差数列的前n项和，若，，则________. 13. 已知，则_______. 14. 已知函数恰有两个零点和一个极大值点，且成等比数列.若的解集为，则_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是一个奇函数 （1）若的最小值为，求的单调区间； （2）若不存在极值，求的取值范围． 16. 已知函数 （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求在上的最大值与最小值. 17. 设数列的前项和为．已知，并且满足等式：．其中为正整数，为常数． （1）求与的值； （2）证明：数列是一个等差数列； （3）设，求数列的前项和． 18. 已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设点，过点的直线交，于，两点，求面积的取值范围． 19. 已知函数． （1）讨论的极值； （2）若，此时存在两个不同零点和一个极值点，记，，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $