精品解析：河南驻马店市新蔡县第一高级中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学（理科）试题

新蔡一高2025—2026学年下学期6月月考 高二数学试题（理科） 一、单选题 1. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，则 （ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义即可求解. 【详解】点在抛物线上，抛物线开口向右，， 又点到抛物线焦点的距离为4，，. 故选：C. 2. 下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量（单位：t）与相应的生产能耗（单位：t标准煤）的几组数据： 4 5 6 7 标准煤 3.2 3.8 5.3 根据数据可得到的回归方程为，则 （ ） A. 4.6 B. 4.55 C. 4.5 D. 4.35 【答案】C 【解析】 【分析】求出，根据回归直线必过样本中心点，代入求解即可. 【详解】依题意，，， 因为回归直线必过样本中心点， 所以，解得. 3. 一家银行有VIP客户和普通客户，VIP客户占客户总数的 ，普通客户占客户总数的.已知VIP客户的信用卡欺诈概率为，而普通客户的信用卡欺诈概率为.现在随机抽取一个发生信用卡欺诈的客户，请问这个客户是VIP客户的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设事件E为“客户发生信用卡欺诈”，由全概率公式得，再由条件概率公式即可求解. 【详解】记事件A为“客户是VIP客户”，事件B为“客户是普通客户”，事件E为“客户发生信用卡欺诈”，则，，，， 由全概率计算公式得， 由条件概率公式得， 故选：A. 4. 已知的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（ ） A. B. 展开式中奇数项的二项式系数和为256 C. 二项式系数最大项为第5项 D. 展开式中常数项为45 【答案】D 【解析】 【详解】因为的展开式中二项式系数之和为1024， 又二项式系数之和为 ， 所以 ，选项 A错误； 选项 B：奇数项的二项式系数和为 ，不是256，错误； 选项 C：当 时，二项式系数最大的项是中间项， 即第 项，不是第5项，错误； 选项 D：， 令 ，解得 ； 常数项为 ，正确.正确答案是D. 5. 某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了三局”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由题意可知，事件为“比赛进行两局，甲获得冠军”，所以，， ， 由条件概率公式可得. 故选：C. 6. 已知公比不等于1的等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】设出首项和公比，利用等比数列前项和的性质建立方程，求解目标式的值即可. 【详解】设数列的公比为，首项为， 因为，所以，易得． 因为．所以． 则．因为，所以解得， 则．故，故D正确. 故选：D 7. 设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】求导，由导数的几何意义求出切线方程，故，结合对数运算法则得到答案. 【详解】由，可得， 所以曲线在处的切线方程是， 令得，所以 . 故选：A． 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式、余弦定理，双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】双曲线C的左焦点，渐近线的方程为， 由点到直线的距离公式可得， 由勾股定理得， 在中，，所以， 在中，，，， ， 由余弦定理得， 化简得，即，因此，双曲线C的离心率为， 故选：C 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用互补两角的余弦值为零，进而运用余弦定理. 二、多选题 9. 在空间直角坐标系中，向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若 ，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量模长的坐标表示可得，可知A正确；由 可知，显然满足，可得B正确；当时代入计算可得，即C错误；代入利用向量数量积的坐标表示可知，可得D正确. 【详解】由可知，即A正确； 当 时，则，满足，因此，即B正确； 当时，易知，所以，可知C错误； 当时，可得，满足，可知，即D正确. 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量的概率分布列为，则 B. 若随机变量，若，则 C. 若随机变量，则 D. 在含有4件次品的10件产品中，任取3件，表示取到的次品数，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据分布列的概率和为1可求解；对于B，根据正态分布曲线的对称性即可求解；对于C，根据二项分布的方差公式即可求解；对于D，根据超几何分布的概率公式即可求解. 【详解】对于：， 所以，所以，故A正确； 对于 ，可得，故B不正确； 对于，因为，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在边长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 三棱锥的体积是定值 D. 存在点使直线与直线夹角的余弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则. 对于选项A：因为，故，故A正确; 对于选项B:结合题意易得： ， 当时，取得最小值为，故B正确; 对于选项C:因为平面平面， 则平面， 所以三棱锥的体积为，故C错误； 对于选项D:因为， ， 设与的夹角为， 则， 因为，则，故不存在点使直线与直线夹角的余弦值为，故D错误. 故选:AB. 三、填空题 12. 若圆与圆相交于点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两圆相交的性质，求得两圆的公共弦所在直线方程，利用点到直线距离公式求得其中一个圆的圆心到此直线的距离，再利用弦长公式进行计算即可. 【详解】圆，即; 圆，即, 两圆相减得直线：， 圆的圆心坐标为，半径为， 到直线的距离直线， 弦长为， 故答案为： 13. 已知函数，若，则函数的最小值为______;若，都有，则实数的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】导数法判断单调性；即可求出最小值；由题意易知，在单调递增，从而，即可解题. 【详解】若，则， ∴， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. ∴. 若，都有， 则， ∴在单调递增， ∴在恒成立， ∴ 即， 又， 当且仅当时，等号成立； ∴. 故答案为：；. 14. 已知函数，是等差数列．、、三点不共线．、、三点共线，向量，则__________． 【答案】2023 【解析】 【分析】先利用三点共线的向量性质得到，再结合等差数列性质和的对称关系，配对求和并加上中间项，即可得到结果. 【详解】因为、、三点共线，向量，所以， 又因为是等差数列， 所以，且， 因为， 所以， 所以， 且， 所以. 四、解答题 15. 已知正项数列的前项的和为，且. （1）求，； （2）证明：是等差数列； （3）求数列的前项的和. 【答案】（1），. （2） 当时，由，代入， 化简得，即， 所以是首项为1，公差为1的等差数列. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用已知条件，通过代入和，结合正项数列的性质，逐步求解和. （2）通过递推关系，将用和表示，代入原方程化简，证明的相邻项差为常数. （3）利用第（2）题的结论，将通项转化为等差数列求和，通过分母有理化简化求和过程. 【小问1详解】 由， 令，有，因为 ，所以. 令，有，即，由，解得. 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知.因为是正项数列，所以，从而. 由， 所以. 所以数列的前项的和. 16. 某人工智能公司从某年起连续年的利润情况如下表所示. 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）计算出与之间的相关系数（精确到），并求出关于的回归直线方程； （2）根据回归直线方程，分别预测该人工智能公司第年和第年的利润. 参考公式：样本的回归直线为，其中，，，，，. 【答案】（1）相关系数约为，回归方程为. （2）第、年的利润约为亿元、 亿元. 【解析】 【分析】（1）求出、的值，将参考数据代入相关系数公式，可求出相关系数的值，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归直线方程； （2）将 、分别代入回归直线方程，可得结果. 【小问1详解】 由题中数据可得， ， ， 因此， ，， 故回归直线方程为. 【小问2详解】 在回归直线方程中令 ，得. 令，得， 因此预测第、年的利润约为亿元、 亿元. 17. 已知椭圆，其中离心率为，长轴长为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，为坐标原点，若的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由长轴长为4，得出，由离心率为，求出，再根据即可得出椭圆的标准方程； （2）由题意知直线的斜率存在，画出图形，设直线，联立直线与椭圆方程化简写出韦达定理，利用弦长公式求出，再求出原点到直线的距离，表示出三角形的面积，解出参数，求出即可. 【小问1详解】 因为长轴长为，所以 ， 由离心率为，可得， 从而， 故椭圆的方程为 . 【小问2详解】 由题意知当直线的斜率存在设为，记， 如图所示： 故设直线，， 联立， 整理得：， 由 解得：， 由韦达定理得：， 所以 ， 又原点到直线 的距离为： ， 则 ， 即，解得：满足题意， 所以. 18. 如图，在多面体中，平面，四边形为正方形，且，若分别是的中点，点是线段上的一个动点． （1）证明： 平面； （2）求直线与平面 所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建系，由直线方向向量与平面法向量垂直即可求证； （2）求得平面法向量和直线方向向量，代入夹角公式即可； （3）求得平面法向量，代入夹角公式，借助二次函数求最值即可求解. 【小问1详解】 因为平面，四边形为正方形，所以两两垂直， 所以分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示． 因为，，所以平面， 则，，，，，，，， 设． 则，因为平面，所以平面的法向量为， 因为， 因为 平面，所以 平面； 【小问2详解】 ， 设平面 的法向量， 由，得， 令，则，所以， 设直线与平面 所成角为 ， 所以， 所以直线与平面 所成角的正弦值为； 【小问3详解】 易知平面的法向量， ，设平面的法向量， 由，得，令 ，则， 所以， 设二面角的平面角为，由图可知为锐角， 所以， 因为，所以， 令，则，所以， 则， 令，且，所以， 所以当时，取得最大值，且最大值为， 且此时，即 ， 所以当点为线段的中点时，二面角平面角的余弦值取最大值，且最大值为． 19. 已知函数（ ，为常数）． （1）若是偶函数，求的极值； （2）若函数有2个零点，． ①求的取值范围． ②求证． 【答案】（1）极大值为 ，无极小值； （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义列等式求解参数a的值；再求的导函数，通过分析导函数的正负确定的单调性，进而求极值； （2）①确定的定义域，同时根据对数有意义的条件得到a的初步范围；求的导函数，分析的单调性求出最值，结合零点个数列不等式求得参数范围；②不妨设，将证明转化为，即证；构造辅助函数，利用函数单调性完成证明. 【小问1详解】 由题意知的定义域为， 是偶函数，故，即， 即得，而不恒等于0， 故，即； 此时，则， 当 时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故在时取得极大值，极大值为 ，无极小值； 【小问2详解】 ①，定义域为， 且，则 ， ，由于，故， 令 ，则， 当时，，此时对恒成立， 则在上单调递增，此时至多有1个零点，不符合题意； 当时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 且当和时，， 则在时取极大值，也是最大值， 即， 要使有2个零点，．需 ， 解得，即的取值范围为． ②由题意可设，其中，， 由于，在上单调递减，可知， 若，则，此时成立， 若，且， 要证，即证，由于在上单调递增， 只需证， 又因为，所以只需证，即 ， 设， ， 因为，故 ，由，故，则， 故 ，即得 ， 由于，故，结合，得 ， 则可得此时成立， 综合可知. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡一高2025—2026学年下学期6月月考 高二数学试题（理科） 一、单选题 1. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，则 （ ） A. 3 B. C. 6 D. 2. 下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量（单位：t）与相应的生产能耗（单位：t标准煤）的几组数据： 4 5 6 7 标准煤 3.2 3.8 5.3 根据数据可得到的回归方程为，则 （ ） A. 4.6 B. 4.55 C. 4.5 D. 4.35 3. 一家银行有VIP客户和普通客户，VIP客户占客户总数的 ，普通客户占客户总数的.已知VIP客户的信用卡欺诈概率为，而普通客户的信用卡欺诈概率为.现在随机抽取一个发生信用卡欺诈的客户，请问这个客户是VIP客户的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的展开式中二项式系数之和为1024，则下列说法正确的（ ） A. B. 展开式中奇数项的二项式系数和为256 C. 二项式系数最大项为第5项 D. 展开式中常数项为45 5. 某中学体育运动会上，甲、乙两人进行乒乓球项目决赛，采取“三局两胜制”，即先胜两局者获得冠军．已知甲每局获胜的概率为，且比赛没有平局．记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了三局”，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知公比不等于1的等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 8 D. 16 7. 设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且，则C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题 9. 在空间直角坐标系中，向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若 ，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量的概率分布列为，则 B. 若随机变量，若，则 C. 若随机变量，则 D. 在含有4件次品的10件产品中，任取3件，表示取到的次品数，则 11. 如图，在边长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 三棱锥的体积是定值 D. 存在点使直线与直线 夹角的余弦值为 三、填空题 12. 若圆与圆相交于点，则__________． 13. 已知函数，若，则函数的最小值为______;若，都有，则实数的取值范围为______. 14. 已知函数，是等差数列．、、三点不共线．、、三点共线，向量，则__________． 四、解答题 15. 已知正项数列的前项的和为，且. （1）求，； （2）证明：是等差数列； （3）求数列的前项的和. 16. 某人工智能公司从某年起连续年的利润情况如下表所示. 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （1）计算出与之间的相关系数（精确到），并求出关于的回归直线方程； （2）根据回归直线方程，分别预测该人工智能公司第年和第年的利润. 参考公式：样本的回归直线为，其中，，，，，. 17. 已知椭圆，其中离心率为，长轴长为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，为坐标原点，若的面积为，求. 18. 如图，在多面体中，平面，四边形为正方形，且，若分别是的中点，点是线段上的一个动点． （1）证明： 平面； （2）求直线与平面 所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值的最大值． 19. 已知函数（ ，为常数）． （1）若是偶函数，求的极值； （2）若函数有2个零点，． ①求的取值范围． ②求证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $