《第9章因式分解》期末单元训练题 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 苏科版八年级数学下册《第9章因式分解》期末综合复习训练题，含选择、填空、解答题型，覆盖因式分解全方法，注重基础与创新应用，适配期末复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|7|因式分解正误判断、公因式、完全平方、“天才数”应用|结合平方差公式考“天才数”，体现应用意识| |填空题|6|提公因式、公式法、数形结合（图形面积）|图形面积验证因式分解，培养几何直观| |解答题|6|多种因式分解方法、简便计算、材料阅读（整体设元法、姬曼定理）|材料题引入创新方法，发展推理能力与创新意识|

2025-2026学年苏科版八年级数学下册《第9章因式分解》期末综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1．下列因式分解错误的是（   ） A． B． C． D． 2．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 3．若分解因式有一个因式是，则另一个因式是（    ） A． B． C． D． 4．对于任意整数，多项式都能（   ） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被16整除 5．若是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 6．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“天才数”．如，因此、都是“天才数”，则下面哪个数是“天才数”（    ） A． B． C． D． 7．如图，有三种规格的卡片共张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长，宽分别为，的长方形卡片张．现使用这张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．若，，则_____． 9．因式分解：________． 10．因式分解：______． 11．因式分解：________． 12．若，，则_______． 13．数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法，请利用如图所示的图形分解因式__________． 14．如图1，点P在线段上，，分别以为边，在同侧作正方形和正方形．再把正方形沿着平移，使得点B与点P重合，如图2，连结．若，阴影部分的面积为，则线段的长为________cm． 三、解答题 15．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 17．小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法． (1)请结合小逸同学的方法分解因式：． (2)已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由． 18．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形；先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值等． 例如：分解因式： 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． (1)分解因式：①______；②______； (2)求多项式的最大值； (3)已知、、是的三边，且满足，，求第三边的取值范围． 19．从边长为4的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个）． A．B.C. (2)若，求的值； (3)计算： 20．在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？ 有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题： 材料1：整体设元法 利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 材料2：姬曼定理 请看这个问题：把分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 ； 人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”． 根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解： (1)因式分解：； (2)因式分解：____________（直接写出结果）； (3)因式分解：． 参考答案 1．D 【分析】利用十字相乘法、完全平方公式、平方差公式验证各选项，找出分解错误的选项即可． 【详解】解：A，对用十字相乘法分解，得，A分解正确； B，是完全平方式，得，B分解正确； C，利用平方差公式分解，得，C分解正确； D，整理得，根据平方差公式： D分解错误． 2．C 【分析】本题考查了多项式——提取公因式，掌握公因式的提取技巧是解题关键．通过提取多项式中各项系数的最大公约数与各变量最小指数的乘积即可． 【详解】解：∵系数18、9、3的最大公约数为3，变量的最小指数为2，的最小指数为1，的最小指数为1， ∴此多项式的公因式为． 故选C． 3．D 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式的结构特征并能灵活运用是解题的关键． 先利用平方差公式对进行因式分解，然后根据已知条件找出另一个因式，解题思路是先对式子进行变形分解，再结合已知因式确定另一个因式． 【详解】解： 因为有一个因式是， 所以另一个因式是， 故选：D． 4．C 【分析】本题考查平方差公式因式分解与整除的性质，将多项式因式分解后，即可判断其整除性. 【详解】解： ； ∵是任意整数， ∴是整数， ∴一定能被整除，即多项式能被整除. 5．C 【分析】本题考查完全平方式的结构特征，根据完全平方公式的形式，对应系数列方程求解即可得到结果． 【详解】解：先将原式变形可得 ∵该多项式是完全平方式，完全平方公式符合 ∴一次项系数满足 即 分两种情况计算： 当时，解得 当时，解得 ∴的值为或． 6．B 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，灵活推导 “天才数” 的特征是解题的关键．根据 “天才数” 的定义，设两个连续奇数为和（为整数），利用平方差公式计算得出 “天才数” 一定是的整数倍，进而验证各选项得到答案． 【详解】解： “天才数”可表示为两个连续奇数的平方差，设两个连续奇数为和，为整数， 利用平方差公式计算得： ， “天才数”一定是的整数倍对选项验证： ，不是整数，所以不是天才数； ，是整数，此时为整数，所以是天才数；同理98和100不是 “天才数”. 7．A 【分析】先列出大正方形的面积，再根据完全平方公式因式分解，即可得出大正方形的边长. 【详解】解：由题意得： 大正方形的面积为：， ∴大正方形的边长为：． 8．10 【详解】解：根据平方差公式可得 将，代入得原式． 9． 【分析】根据提公因式法的运算法则求解即可． 【详解】解：． 10． 【分析】先将原式变形，提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解即可得到结果． 【详解】解： 11． 【分析】本题考查因式分解，通过观察表达式符合平方差公式形式，利用平方差公式进行因式分解，然后化简表达式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12． 【分析】先对所求多项式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解： ． 将代入得， ． 13． 【分析】根据图形面积计算即可求解． 【详解】解：各个图形组合成长方形，其面积和为，长方形的面积为， ∴ ． 14．6 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用．设正方形的边长为，正方形的边长为，可得，，从而得到，再由阴影部分的面积为，可得，再结合平方差公式可得，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则 ∴，， ∵， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 联立得：， 解得：， 即． 故答案为：6 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查因式分解： （1）原式提取公因式后，运用平方差公式进行因式分解既可； （2）原式提取公因式后，运用完全平方公式进行因式分解既可； （3）原式提取公因式后，运用平方差公式进行因式分解既可； （4）原式先根据完全平方公式分解因式后，再根据平方差公式因式分解即可 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 16．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的简便运算，涉及提取公因式、平方差公式、完全平方公式，掌握观察式子结构，通过提取公因式或凑乘法公式简化计算是解题的关键． （1）提取公因式，再用平方差公式因式分解简化计算． （2）将转化为，凑完全平方公式因式分解． （3）统一各项系数为，提取公因式后计算括号内的和． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 17．(1) (2)为等腰三角形，见解析 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将等式左边进行因式分解 ，推出，即可得出结论. 【详解】（1）解：． （2）解：为等腰三角形． 理由：． ，，是的三边长， ， ，即， 为等腰三角形． 18．(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①先在一次项后加上，再减去，构造完全平方式，最后用平方差公式分解； ②在一次项后加上​，再减去，得到完全平方式后用平方差公式分解； （2）先提取负号，将括号内的二次三项式配方，利用完全平方式的非负性，求出最大值；（3）先将等式配方，求出和的值，再利用三角形三边关系确定的范围． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解： ， ，， 当，有最大值； （3）解： ， ， ， 即， ，， ，， 、、是的三边， ， 故． 19．(1)B (2)； (3)． 【分析】（1）通过图1和图2的面积相等，推导出平方差公式． （2）利用平方差公式将因式分解，再整体代入已知条件求解． （3）先利用平方差公式对每个括号内的式子因式分解，再通过约分计算最终结果． 【详解】（1）解：图1中剩余部分的面积为：， 图2中长方形的长为，宽为，面积为：， ∵图1与图2的面积相等， ∴． 故选：． （2）解：， ， ， ， ∴； （3）解： ． 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）设，则原式变形为，把展开，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （3）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：设， ∴ ； （2）解： ； （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $