第9章因式分解精选练习-2025-2026学年数学八年级下册苏科版

**基本信息** 苏科版八年级下册第9章因式分解单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，融合密码翻译、智慧数等情境与数学文化，适配单元复习，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|因式分解定义、公因式、公式法应用|结合三角形边长判断考查因式分解应用| |填空题|6|分组分解、新定义（智慧数）|以面积差为背景考查平方差公式| |解答题|6|配方法、阅读材料（分组分解）、拼图操作|设计和谐数探究及卡片拼图，体现数学思维与表达|

第9章因式分解精选练习-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024） 一、单选题 1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．若多项式可分解为，则的值为（   ） A．3 B． C．11 D． 3．与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 4．将代数式分解为几个整式的积，其中一个整式是（    ） A．a B． C． D． 5．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 6．已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 7．如果 ，那么的值为（     ） A． B． C．4 D．2 8．已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，则的值为（   ） A． B． C．22 D．38 9．小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：国、爱、我、中、丽、美，现将彻底因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．中国美 C．我爱中国 D．中国美丽 10．已知正整数、、、满足，且，关于这个四元二次方程下列说法正确的个数是（    ） ①，，，是该四元方程的一组解； ②连续的四个奇数一定是该四元方程的解； ③若，则该四元方程有10组解； ④若，则该四元方程有504组解． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．若，则__________． 12．因式分解：____． 13．若多项式因式分解的结果为，则n的值为_____． 14．用两个大小不同的正方形拼成如图所示的图案，已知这两个正方形的面积差为，则阴影部分的面积为__________． 15．若满足，，，，则的值为______． 16．定义：如果一个正整数能表示成两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是____，第2026个“智慧数”是_____． 三、解答题 17．因式分解： (1)； (2)． 18．阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到：，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组分解法．请回答下列问题： (1)尝试填空：_________； (2)解决问题：因式分解； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是，且满足试判断这个三角形的形状，并说明理由． 19．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”． (1)特例感知：32 “和谐数”，2026 “和谐数”．（填“是”或“不是”） (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为199，求阴影部分的面积． 20．“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题． (1)以下是“豆包”使用配方法对进行分解因式的部分解答过程（请你将分解因式的过程补充完整）： __________． (2)借助配方法，在不知道为何值的情况下，比较代数式与的大小（提示：先对代数式作差后再使用配方法）？说明理由． 21．定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是__________； (2)请写出多项式的一个共因多项式（除外），要求为二次三项式，并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．①选取甲卡片张，乙卡片张，丙卡片张，拼成如图2所示的图形，根据此图，写出一个多项式的因式分解； ②选取甲、乙，丙三种卡片，通过拼图得到①中多项式的一个共因多项式（①中多项式除外），要求为正方形，请画出拼图，并写出此共因多项式的因式分解． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第9章因式分解精选练习-2025-2026学年数学八年级下册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A A C A C C C A 1．C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可得到结果. 【详解】解：选项A中，左边是单项式，不是多项式，不符合要求，不属于因式分解； 选项B中，右边变形后含有分式，不是整式，不符合要求，不属于因式分解； 选项C中，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解； 选项D中，该变形是整式乘法，是从乘积化为多项式，不是因式分解. 2．B 【分析】本题主要考查了因式分解， 通过展开因式分解形式并与原多项式比较系数，求出a和b的值，再求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得， ∴． 故选：B． 3．A 【详解】解： 第一个多项式为 ∴ 两个多项式都含有的公因式为. 4．A 【详解】解：∵， ∴代数式可分解为和，选项中只有符合要求． 5．C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则与提取公因式，找出公因式是解决本题的关键．先提取，再根据同底数幂的运算法则进行变形求解即可． 【详解】解： ． 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、因式分解的应用和三角形三边关系的应用，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键． 通过因式分解给定方程，得出只有符合三角形三边关系，进而即可判断． 【详解】解：由题意得， ∴或， ∴或． ∵是的三边长， ∴由三角形三边关系，（两边之和大于第三边）， ∴不成立， ∴只有成立， ∴是等腰三角形． 故选：A． 7．C 【分析】利用平方差公式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 8．C 【分析】本题主要考查因式分解的运用，掌握提取公因式法因式分解是关键． 根据题意，因式分解得到，由此解出，代入计算即可求解． 【详解】解： ， 根据题意，得， 所以， 所以． 9．C 【分析】先提取公因式，再利用平方差因式分解，然后结合已知密码手册即可得解． 【详解】解：原式 ， 由题可知，对应“我”，对应“爱”，对应“中”，对应“国”， 则结果呈现的密码信息可能是“我爱中国”． 10．A 【分析】①将，，，代入方程进行判断即可；②取特殊值，，，，，代入方程进行判断即可；③将方程化为，根据正整数、、、满足，得到当时，恒成立，再根据，得到当时，有10组解，再根据也是方程的一组解，判断③；根据当，，推出，进而推出总共有502组解，结合也是方程的一组解，判断④即可． 【详解】解：当，，，时， 方程左边， 方程右边， 方程左右两边相等，故，，，是该四元方程的一组解；故①正确； 当，，，时， 方程左边， 方程右边， 方程左右两边不相等，故，，，不是该四元方程的一组解，即四个连续的奇数不一定是该四元方程的一组解；故②错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正整数、、、满足， ∴，， ∴， 又∵， ∴当，即时，恒成立，满足题意， ∵， ∴当时，或或或，共4组解； 当时， 或或，共3组解； 当时，或，共2组解； 当时，，共1组解； 此时共有组解； 又∵当时，此时， 方程左边等于右边，故也是方程的一组解，故③错误； 由③可知：当时， ∵， ∴， ∴， ∵是正整数，且， ∴当时，； 当时，， 当时，； 总共有502组解； 又∵不满足已知条件，故④错误； 综上，正确的只有①． 11．0 【分析】利用多项式乘多项式法则展开等式右侧，根据多项式相等则对应项系数相等，即可求出的值． 【详解】解：∵，又， ∴， ∴． 12． 【分析】找出原式的公因式，提取公因式即可完成因式分解 【详解】解： 13． 【分析】本题考查了多项式乘法法则及因式分解与整式乘法的关系，利用因式分解与整式乘法的互逆关系，将分解后的整式展开，通过对应项系数相等求出n的值． 【详解】解：根据多项式乘多项式法则，将展开：， ∵， 根据多项式相等则对应项系数相等，可得， 故答案为：． 14． 【分析】设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据题意可得，观察图形可知阴影部分的面积等于底为高为的三角形面积减去底为高为的三角形面积，利用整式的混合运算法则化简求值即可 ． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 根据题意，得， 阴影部分的面积为 ． 15． 【分析】本题考查的是整体代换的思想． 由得到，，代入中得，同理由得到，，代入中得，再联立方程组求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．① ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．② 得． 16． 7 【分析】本题考查平方差公式，数的奇偶性；利用平方差公式和数的奇偶性，找出哪些数是智慧数，然后列出一些智慧数，归纳出规律即可找到第2026个“智慧数”． 【详解】解：∵， 又∵与奇偶性相同 ∴当与是偶数时，为4的倍数， 又∵、为正整数， ∴不符合题意， ∴从8开始的4的倍数符合题意，即，，，，，…… 对于一个奇数，为正整数， ， ∴从3开始的奇数符合题意，即3，5，7，9，11，13，…… ∴将所有的智慧数从小到大进行排列为：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…… ∴第3个“智慧数”是7， 观察可知，智慧数按从小到大顺序可按3个数分一组，从2组开始每组的第一个数都是4的倍数， ∴第组的第一个数为（，且为正整数）， ∵， ∴第个智慧数是第组中的第1个数，即为． 17．(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．(1) (2) (3)等边三角形，证明见解析 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：， ， ， ，， ，， ， 这个三角形是等边三角形． 19．(1)是，不是 (2)“和谐数”能被8整除．理由见解析 (3)阴影面积为20000 【分析】（1）根据“和谐数”的定义进行判定即可； （2）将化简，得到，根据k是正整数，得到能被8整除，即可解答； （3）推导出，则原式可化为，继而计算求解即可． 【详解】（1）解：， 是“和谐数”； 设， 解得：，不是整数， 不是“和谐数”． （2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下： 是正整数， 能被8整除， 能被8整除； （3）解：由（2）可知，， ∴阴影部分的面积为 ∴阴影面积为20000． 20．(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）结合题意利用平方差公式分解因式即可； （2）利用作差法得到，进一步得到，再根据偶次方的非负性可推出，据此可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：，理由如下： ， ， ∴， ． 21．(1) (2)，理由见解析 (3)①；②图见解析， 【分析】（1）通过因式分解，找出两个多项式的共同因式； （2）先分解原多项式，再构造一个含有相同因式的二次三项式； （3）①根据拼图的面积表示多项式，写出因式分解；②画出图形再进行因式分解即可． 【详解】（1）解：，， 故共因多项式和的同因子是． （2）解：， ， 则和的同因子是， 故是的共因多项式． （3）①解：由图可知，图2的面积可表示为， 也可表示为， 故． ②解：如图为所求拼图， 拼图的面积可表示为， 也可表示为， 则， 与的同因子是， 故是的共因多项式． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $