专题26.1二次函数概念（小模块.微专题.大压轴）（7大题型+过关检测）（小模块.微专题.大压轴）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦初中数学二次函数概念核心知识点，系统梳理从二次函数的识别、定义求参数、一般形式到各项系数的基础内容，衔接微专题中图象上点的坐标特征，最终延伸至实际应用与几何图形中建立二次函数模型的压轴问题，构建从基础到综合应用的学习支架。 该资料以“小模块·微专题·大压轴”分层设计为特色，模块通关通过典例与变式夯实抽象能力（如二次函数识别的形式判断），专题攻坚结合方法点拨培养推理意识（如坐标特征的代入验证），压轴突破以实际问题（如利润计算）和几何图形（如面积建模）发展模型观念。课中助力教师分层教学，课后方便学生针对性练习，有效查漏补缺。

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题26.1二次函数概念》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 二次函数的识别 微专题1二次函数图象上点的坐标特征 模块2 根据二次函数的定义求参数 压轴1 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用） 模块3 二次函数的一般形式 压轴2 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形） 模块4 二次函数的各项系数 过关检测 知识梳理 · 基础溯源 知识点01 二次函数的概念 1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项. 注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． 【特别提醒】形如y=ax2+bx+c，必须满足a ≠ 0。若a=0则为一次函数。同时x的最高次数必须为2，且是整式，分母中不能有自变量 知识点02 二次函数的一般形式 一般式：（，，为常数，）； 【特别提醒】一般式为y=ax2+bx+c（a≠0）。注意各项系数a,b,c要带前面的符号。化为一般式时需去括号、合并同类项，并按X降幂排列。右边为0 模块通关·举一反三 【模块一】二次函数的识别 方法点拨 1. 看形式：y = ax2 + bx + c（a≠ 0），最高次为2，整式方程。 2. 判非零：确保二次项系数不为0。 3. 排除法：若可化为上述形式即为二次函数。 【典例1】下列函数是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一般地，我们把形如（其中是常数且）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项．根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. ，是一次函数，故该选项不符合题意； B. ，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意； C. ，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意； D. ，是二次函数，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，理解并掌握二次函数的定义是解题关键． 【变式1-1】下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数定义进行分析即可． 【详解】解：A.是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B.不是二次函数，故此选项不符合题意； C.，是二次函数，故此选项符合题意； D.，当时，不是二次函数，故此选项符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数，其中都是常数，，熟练掌握二次函数的定义并灵活运用是解决本题的关键． 【变式1-2】下列函数的解析式中，一定为二次函数的是（　　） A． B． C． D．（是常数） 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：A. 是一次函数，不是二次函数，故此选项错误； B. ，不是二次函数，故此选项错误； C. 是二次函数，故此选项正确； D.当时是一次函数，不是二次函数，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．其中是变量，是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【变式1-3】若等边三角形的边长为，则面积是的（   ） A．一次函数 B．二次函数 C．正比例函数 D．反比例函数 【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式求出函数解析式即可判断． 【详解】解：如图，是等边三角形，，． 作交于点H，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，以及二次函数的定义，求出函数解析式是解答本题的关键． 【模块二】根据二次函数的定义求参数 方法点拨 1. 化为标准式：整理成y = ax2 + bx + c。 2. 列条件：二次项系数a≠0，且x最高次数为2。 3. 解参数：列方程或不等式求解，注意排除使a=0的值。 【典例2】若函数是关于x的二次函数，则m的取值为（    ） A． B．2 C．3 D．或2 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义，必须二次项系数不等于0，且未知数的次数等于2，据此列不等式组并求解即可． 【详解】解：由二次函数的定义可知，当时，该函数是二次函数， ∴m=-3或m=2， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，明确二次函数的定义并正确列式，是解题的关键． 【变式2-1】若y＝(m－1)xm2＋1是关于x的二次函数，则m的值是(　　) A．1 B．－1 C．1或－1 D．2 【答案】B 【分析】原函数为二次函数，所以x的最高次数为2，且二次项系数不为0，所以且，解得． 【详解】∵ 是关于x的二次函数， ∴m2+m＝2，且m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据二次函数的定义确定参数的取值范围，并且要注意所求函数的最高次数是二次且二次项系数不为零． 【变式2-2】若函数 是二次函数，那么m的值是（　　） A．2 B．或3 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义：，进行计算即可． 【详解】解：由题意得：，解得：或； 又∵，解得：且， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的定义．熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．注意二次项系数不为零． 【变式2-3】对于关于x的函数，下列说法错误的是(  ) A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数 C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时， 【答案】C 【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可． 【详解】、当时，该函数为正比例函数，故不符合题意； 、当时，，即，该函数为一次函数，故不符合题意； 、当时，该函数为正比例函数，故符合题意； 、当该函数为二次函数时，，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、二次函数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【模块三】二次函数的一般形式 方法点拨 1. 标准形式：y = ax2 + bx + c（a≠0），按降幂排列。 2. 识别系数：a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 3. 注意缺项：缺项时系数为0，如y=ax2+c 则b=0。 【典例3】将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1 (2)，二次项系数为，一次项系数为1，常数项为 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案． （1）将化为，即可求解； （2）将化为，即可求解. 【详解】（1）解：， 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1； （2）， 二次项系数为，一次项系数为1，常数项为. 【变式3-1】把二次函数化成一般式后二次项系数是______，常数项是_____． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的一般形式．通过去括号，移项，合并同类项，得到二次函数的一般形式，即可求解． 【详解】解：∵变形为， 二次项系数为，常数项是． 故答案为：，． 【变式3-2】把二次函数化成一般式为 【答案】 【分析】先把二次函数化为的形式，再找出其一次项系数． 【详解】∵原二次函数可化为 【点睛】考查二次函数的一般形式，把二次函数化为的形式是解题的关键． 【变式3-3】用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围） 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式．根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为，再根据长方形的面积公式可得答案． 【详解】解：由题意得：长方形的长为， ∴， 故答案为：． 【模块四】二次函数的各项系数 方法点拨 1. 化标准式：整理为y=ax2+bx+c。 2. 对应找系数：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 3. 注意符号：带符号移项，缺项系数为0。 【典例4】二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，4， D．，，1 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 先将二次函数整理成一般形式，再根据定义解答即可. 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为. 故选：B. 【变式4-1】二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．1，， B．1，6，1 C．0，，1 D．0，6， 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项作答． 【详解】解：二次函数， 二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，，． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 【变式4-2】二次函数的二次项系数与一次项系数的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数解析式化简，得到各系数，计算即可． 【详解】解：， ∴二次项系数是2，一次项系数是， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数定义，正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键． 【变式4-3】下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5)； (6) (为常数)． 【答案】(1)不是二次函数，是一次函数 (2)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0 (3)不是二次函数 (4)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是-3 (5)时，不是二次函数 (6)时，不是二次函数 【分析】（1）观察函数解析式，不含二次项，不是二次函数； （2）根据二次函数的定义即可判断； （3）根据二次函数的定义即可判断； （4）根据二次函数的定义即可判断； （5）根据二次函数的定义即可判断； （6）根据二次函数的定义即可判断． 【详解】（1）不是二次函数，是一次函数； （2），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0； （3）不是二次函数； （4），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是； （5）时，不是二次函数； （6）时，不是二次函数． 【点睛】本题考查了二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】二次函数图象上点的坐标特征 方法点拨 1. 代入验证：将点坐标代入解析式，满足则在图象上。 2. 利用对称轴：若两点纵坐标相等，则它们关于对称轴对称。 3. 求点坐标：已知横坐标代入求纵坐标，或设纵坐标列方程求横坐标。 【典例5】已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，待定系数法求二次函数解析式，根据定义得出，然后将点代入解析式，即可求解． 【详解】解：依题意，，， 解得：， 故选：C． 【变式5-1】下列各点中不在抛物线上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算出自变量为、、、的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征对各选项进行判断． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 当 时，， 所以点、、都在抛物线上，而点不在抛物线上． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 【变式5-2】下列各点，在二次函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将选项A，B，C，D中的点横坐标代入，计算出纵坐标，从而可判断点是否在二次函数的图象上． 【详解】解：∵， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ B，C，D不符合题意；A符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是二次函数图象上点的坐标特点，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解本题的关键． 【变式5-3】已知二次函数的图象经过点．求： (1)该函数解析式 (2)试判断点是否在此函数的图象上． 【答案】(1)， (2)点不在此函数的图象上 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式， （2）求出当，y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， （2）解：在中，当时，， ∴点不在此函数的图象上． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． 压轴突破·素养提升 【压轴一】建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用） 方法点拨 1. 找等量关系：根据几何（面积）、利润（单利×销量）等列式。 2. 设自变量：选择影响结果的关键量，表示函数关系。 3.定义域：考虑实际限制（如边长>0、销量≥0），写出取值范围。 【典例6】某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 【变式6-1】荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． (1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）． (2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． (3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 【答案】(1) (2) (3)24元/千克 【分析】（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论； （2）利用利润=（售价-成本）×销售量可得出结论； （3）令y=480，求出x的值，再根据题意对x的值进行取舍即可． 【详解】（1）根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克， 故答案为：（40+10x）． （2）根据题意得， 整理得 （3）令，代入函数得， 解方程，得， 因为要尽可能地清空库存，所以舍去取 此时荔枝定价为（元/千克） 答：应将价格定为24元/千克． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，列代数式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【变式6-2】某商场销售一批名牌衬衫，每天可销售件，每件赢利元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经市场调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场每天可多售出件． 如果每件衬衫降价元，商场每天赢利多少元？ 如果商场每天要赢利元，且尽可能让顾客得到实惠，每件衬衫应降价多少元？ 用配方法说明，每件衬衫降价多少元时，商场每天赢利最多，最多是多少元？ 【答案】（1）如果每件衬衫降价元，商场每天赢利元；每件衬衫应降价元．每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多． 【分析】总利润＝每件利润×销售量．设每天利润为w元，每件衬衫应降价x元，据题意可得利润表达式，（1）把x＝5代入求得相应的w的值即可；（2）再求当w＝1200时x的值；（3）根据函数关系式，运用函数的性质求最值． 【详解】（1）设每天利润为w元，每件衬衫降价x元， 根据题意得w＝（40−x）（20＋2x）＝−2x2＋60x＋800＝−2（x−15）2＋1250 当x＝5时，w＝−2（5−15）2＋1250＝1050（元） 答：如果每件衬衫降价5元，商场每天赢利1050元；； 当时，， 解之得，． 根据题意要尽快减少库存，所以应降价元． 答：每件衬衫应降价元． 商场每天盈利 ． 所以当每件衬衫应降价元时，商场盈利最多，共元． 答：每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多． 【点睛】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的应用．根据题意写出利润的表达式是此题的关键． 【变式6-3】某农科所研究出一种新型的花生摘果设备，一期研发成本为每台6万元，该摘果机的销售量(台)与售价(万元/台)之间存在函数关系：． （1）设这种摘果机一期销售的利润为(万元)，问一期销售时，在抢占市场份额(提示：销量尽可能大)的前提下利润达到32万元，此时售价为多少？ （2）由于环保局要求该机器必须增加除尘设备，科研所投入了7万元研究经费，使得环保达标且机器的研发成本每台降低了1万元，若科研所的销售战略保持不变，请问在二期销售中利润达到63万元时，该机器单台的售价为多少？ 【答案】（1）在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台；（2）要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台． 【分析】（1）先根据等量关系式：总利润=（售价-成本）销售量，列出函数关系式，再将代入函数关系式得出方程求解即得； （2）先根据等量关系式：总利润=（售价-新成本）销售量-7，列出函数关系式，再将代入函数关系式得出方程求解即得． 【详解】（1）根据题意列出函数关系式如下： 当时，， 解得，． ∵要抢占市场份额 ∴． 答：在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台． （2）降低成本之后，每台的成本为5万元，每台利润为万元，销售量． 依据题意得， 当时，，解得，． ∵要继续保持扩大销售量的战略 ∴ 答：要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台． 【点睛】本题考查函数解析式及解一元二次方程，解题关键是正确找出等量关系式：总利润=（售价-成本）销售量． 【压轴二】建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形） 方法点拨 1. 设关键线段：用未知数x表示边长、高或距离。 2. 用面积公式：三角形、矩形、梯形面积公式列S关于x的表达式。 3. 化简整理：化为S = ax2+bx+c 形式，注意自变量范围由几何约束确定。 【典例7】如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先证明，可说明四边形是正方形，再根据勾股定理可得，则此题可解. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形. ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形. ∵， ∴. 在中，， ∴， 即. 故选：D. 【变式7-1】线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 【答案】C 【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型． 【详解】解：由题意，得 ，属于正比例函数关系， ，属于二次函数关系， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【变式7-2】如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，BD＝1，设BC＝x，AD＝y，当x＞时，y关于x的函数解析式为 _____． 【答案】 【分析】由BD=1，AD=y，可得AB=AC=y+1，在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=2y+1，在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-1，即得2y+1=x2-1，可得答案． 【详解】解：∵BD=1，AD=y， ∴AB=y+1， ∵AB=AC， ∴AC=y+1， 在Rt△ACD中，CD2=AC2-AD2=（y+1）2-y2=2y+1， 在Rt△BCD中，CD2=BC2-BD2=x2-12=x2-1， ∴2y+1=x2-1， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是将CD2作等量，列出y与x的关系式． 【变式7-3】如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式_________． 【答案】 【分析】根据运动过程可分三种情况讨论：当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，分别求解即可． 【详解】当时，如图1所示，两个三角形重叠部分为的面积， 由题意得，， 和是边长分别为5和2的等边三角形， 是边长x的等边三角形， 过点D作DE⊥BC于点E， ， ， ， 即； 当时，如图2所示，两个三角形重叠部分为的面积， 由题意得，， 过点作于点E， ， ， 即； 当时，如图3所示，两个三角形重叠部分为的面积， 由题意得，， 和是边长分别为5和2的等边三角形， 是等边三角形，且， 过点D作DE⊥BC于点E， ， ， 即； 综上，写出与之间的函数关系式为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，列二次函数解析式，勾股定理，平移与三角形面积问题，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键． 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．函数是二次函数，故本选项符合题意； C．，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； D．函数不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如（、、为常数，）的函数，叫二次函数． 2．若函数是二次函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 3.若抛物线经过点，则的值是（    ） A．7 B．-1 C．-2 D．3 【答案】A 【分析】把（-2，3）代入即可解得的值 【详解】把（-2，3）代入可得-2b+c=7,即=7 故选A. 【点睛】本题考查二次函数，解题关键在于熟练掌握计算法则. 4.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x元，则可卖出（350-10x）件商品，那么商品所赚钱y元与售价x元的函数关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】商品所赚钱=每件的利润×卖出件数，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：每件的利润为（x-21）， ∴y=（x-21）（350-10x） =-10x2+560x-7350． 故选B． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是找到总利润的等量关系，注意先求出每件商品的利润． 5.若正方形的边长为，边长增加，面积增加，则关于的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先表示出原边长为6的正方形面积，再表示出边长增加x后正方形的面积，再根据面积随之增加y可列出方程． 【详解】原边长为6的正方形面积为：6×6=36， 边长增加x后边长变为：x+6， 则面积为：（x+6）2， ∴y=（x+6）2-36=x2+12x． 故选D． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积． 二、填空题 6.有下列函数：①；②；③；④．其中y是x的二次函数有_____．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】根据二次函数定义：形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数进行分析即可． 【详解】解：y是x的二次函数的是②；③；④． 故答案为：②③④． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 7.．函数的图象是抛物线，则k的值是______． 【答案】1 【分析】根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：∵函数的图象是抛物线， ∴， 解得：． ∴． 故答案为：1． 【点睛】题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如的函数关系，称为y关于x的二次函数，其图象为抛物线是解题的关键． 8.二次函数与x轴的一个交点是，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，代数式求值． 将交点坐标代入函数解析式，得到关于和的方程，进而求出的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：二次函数与轴的一个交点是 ∴将，代入解析式，得 即 ∴ 则 故答案为：． 9.某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为______． 【答案】 【分析】某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，月平均增长率为x，则九月份的产量为万件，十月份医用防护服的产量为万件，从而可得答案. 【详解】解：十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为 故答案为： 【点睛】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“两次变化后的量=原来量（1+增长率）2”是解本题的关键. 10.如图，八一广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为、，花坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为、，三条通道的总面积；则s与x之间的关系表达式为__________． 【答案】 【分析】用两条长为120m,宽为2xm长方形面积与一条长为（200-2个道宽2x）m,宽为3xm长方形面积和来求三条通道的总面积即可． 【详解】解：， 则s与x之间的关系表达式为． 故答案为． 【点睛】本题考查列三条通道的总面积的二次函数，掌握长方形面积公式是解题关键． 三、解答题 11.下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5)； (6) (为常数)． 【答案】(1)不是二次函数，是一次函数 (2)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0 (3)不是二次函数 (4)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是-3 (5)时，不是二次函数 (6)时，不是二次函数 【分析】（1）观察函数解析式，不含二次项，不是二次函数； （2）根据二次函数的定义即可判断； （3）根据二次函数的定义即可判断； （4）根据二次函数的定义即可判断； （5）根据二次函数的定义即可判断； （6）根据二次函数的定义即可判断． 【详解】（1）不是二次函数，是一次函数； （2），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0； （3）不是二次函数； （4），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是； （5）时，不是二次函数； （6）时，不是二次函数． 【点睛】本题考查了二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 12若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的定义及求函数值，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）把代入函数解析式即可． 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为； （2）解：把代入函数解析式中得：， 当时，． ∴y的值为． 13．已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【答案】(1) (2)，纵坐标为的点的横坐标 【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键． （1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 14.下列每个图形都是由若干个边长为1的等边三角形组成的等边三角形，它们的边长分别为1，2，3，4，…，设边长为 的等边三角形由 个小等边三角形组成，按此规律推断与有怎样的关系． 【答案】S=n2(n⩾1) 【分析】根据题意先找到一般规律后，利用规律即可解决问题． 【详解】当n=1时，S=1； 当n=2时，S=4； 当n=3时，S=9； 当n=4时，S=16.…. 依此类推,总数S与边长n的关系式S=n2(n⩾1). 故答案为S=n2(n⩾1) 【点睛】此题考查函数关系式，规律型：图形的变化类，解题关键在于根据题意找出规律. 15.如图，要建一个矩形养殖场，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽为米，面积为平方米． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽为多少米？ 【答案】(1) (2)23米 【分析】本题考查列二次函数关系式、一元一次不等式组的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键． （1）先用x表示出矩形养殖场的长为米，然后利用矩形面积公式求得函数关系式； （2）由列方程求解即可． 【详解】（1）解：设养殖场的宽为x米，则养殖场的长为米， 根据题意，养殖场的面积， ∵墙长45米，宽长， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：当时，由得， 解得，（舍去）， 答：养殖场的宽为23米． 16.如图，在中，，，，现有一个动点P从点A出发，以4cm/s的速度沿AC向终点C运动，动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向终点B运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts，的面积为S，求： （1）S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当时，求线段PQ的长； （3）当t为何值时，？ 【答案】（1）；（2）；（3）当t为2或3时，． 【分析】（1）由点P点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解即可； （2）当时，代入（1）中公式可得PC，CQ的长，再由勾股定理即可求出PQ； （3）结合（1）得到的关系式，代入条件，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）由条件可得：，， ∴， ∴，； （2）当时，，， ∴； （3）由题意可得：， 整理得：， 解得：，， ∴当t为2或3时，． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，方程思想是解决本题的关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题26.1二次函数概念》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 二次函数的识别 微专题1二次函数图象上点的坐标特征 模块2 根据二次函数的定义求参数 压轴1 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用） 模块3 二次函数的一般形式 压轴2 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形） 模块4 二次函数的各项系数 过关检测 知识梳理 · 基础溯源 知识点01 二次函数的概念 1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项. 注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． 【特别提醒】形如y=ax2+bx+c，必须满足a ≠ 0。若a=0则为一次函数。同时x的最高次数必须为2，且是整式，分母中不能有自变量 知识点02 二次函数的一般形式 一般式：（，，为常数，）； 【特别提醒】一般式为y=ax2+bx+c（a≠0）。注意各项系数a,b,c要带前面的符号。化为一般式时需去括号、合并同类项，并按X降幂排列。右边为0 模块通关·举一反三 【模块一】二次函数的识别 方法点拨 1. 看形式：y = ax2 + bx + c（a≠ 0），最高次为2，整式方程。 2. 判非零：确保二次项系数不为0。 3. 排除法：若可化为上述形式即为二次函数。 【典例1】下列函数是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列函数的解析式中，一定为二次函数的是（　　） A． B． C． D．（是常数） 【变式1-3】若等边三角形的边长为，则面积是的（   ） A．一次函数 B．二次函数 C．正比例函数 D．反比例函数 【模块二】根据二次函数的定义求参数 方法点拨 1. 化为标准式：整理成y = ax2 + bx + c。 2. 列条件：二次项系数a≠0，且x最高次数为2。 3. 解参数：列方程或不等式求解，注意排除使a=0的值。 【典例2】若函数是关于x的二次函数，则m的取值为（    ） A． B．2 C．3 D．或2 【变式2-1】若y＝(m－1)xm2＋1是关于x的二次函数，则m的值是(　　) A．1 B．－1 C．1或－1 D．2 【变式2-2】若函数 是二次函数，那么m的值是（　　） A．2 B．或3 C．3 D． 【变式2-3】对于关于x的函数，下列说法错误的是(  ) A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数 C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时， 【模块三】二次函数的一般形式 方法点拨 1. 标准形式：y = ax2 + bx + c（a≠0），按降幂排列。 2. 识别系数：a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 3. 注意缺项：缺项时系数为0，如y=ax2+c 则b=0。 【典例3】将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 【变式3-1】把二次函数化成一般式后二次项系数是______，常数项是_____． 【变式3-2】把二次函数化成一般式为 【变式3-3】用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是________．（化成一般式，不需写出取值范围） 【模块四】二次函数的各项系数 方法点拨 1. 化标准式：整理为y=ax2+bx+c。 2. 对应找系数：a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 3. 注意符号：带符号移项，缺项系数为0。 【典例4】二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，4， D．，，1 【变式4-1】二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．1，， B．1，6，1 C．0，，1 D．0，6， 【变式4-2】二次函数的二次项系数与一次项系数的和为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5)； (6) (为常数)． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】二次函数图象上点的坐标特征 方法点拨 1. 代入验证：将点坐标代入解析式，满足则在图象上。 2. 利用对称轴：若两点纵坐标相等，则它们关于对称轴对称。 3. 求点坐标：已知横坐标代入求纵坐标，或设纵坐标列方程求横坐标。 【典例5】已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式5-1】下列各点中不在抛物线上的点是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】下列各点，在二次函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知二次函数的图象经过点．求： (1)该函数解析式 (2)试判断点是否在此函数的图象上． 压轴突破·素养提升 【压轴一】建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用） 方法点拨 1. 找等量关系：根据几何（面积）、利润（单利×销量）等列式。 2. 设自变量：选择影响结果的关键量，表示函数关系。 3.定义域：考虑实际限制（如边长>0、销量≥0），写出取值范围。 【典例6】某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． (1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）． (2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． (3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 【变式6-2】某商场销售一批名牌衬衫，每天可销售件，每件赢利元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经市场调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场每天可多售出件． 如果每件衬衫降价元，商场每天赢利多少元？ 如果商场每天要赢利元，且尽可能让顾客得到实惠，每件衬衫应降价多少元？ 用配方法说明，每件衬衫降价多少元时，商场每天赢利最多，最多是多少元？ 【变式6-3】某农科所研究出一种新型的花生摘果设备，一期研发成本为每台6万元，该摘果机的销售量(台)与售价(万元/台)之间存在函数关系：． （1）设这种摘果机一期销售的利润为(万元)，问一期销售时，在抢占市场份额(提示：销量尽可能大)的前提下利润达到32万元，此时售价为多少？ （2）由于环保局要求该机器必须增加除尘设备，科研所投入了7万元研究经费，使得环保达标且机器的研发成本每台降低了1万元，若科研所的销售战略保持不变，请问在二期销售中利润达到63万元时，该机器单台的售价为多少？ 【压轴二】建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形） 方法点拨 1. 设关键线段：用未知数x表示边长、高或距离。 2. 用面积公式：三角形、矩形、梯形面积公式列S关于x的表达式。 3. 化简整理：化为S = ax2+bx+c 形式，注意自变量范围由几何约束确定。 【典例7】如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（    ） A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系 【变式7-2】如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，BD＝1，设BC＝x，AD＝y，当x＞时，y关于x的函数解析式为 _____． 【变式7-3】如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式_________． 一、单选题 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．若函数是二次函数，则（    ） A． B． C． D． 3.若抛物线经过点，则的值是（    ） A．7 B．-1 C．-2 D．3 4.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x元，则可卖出（350-10x）件商品，那么商品所赚钱y元与售价x元的函数关系为（　　） A． B． C． D． 5.若正方形的边长为，边长增加，面积增加，则关于的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 6.有下列函数：①；②；③；④．其中y是x的二次函数有_____．（填序号） 7.．函数的图象是抛物线，则k的值是______． 8.二次函数与x轴的一个交点是，则的值是________． 9.某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为______． 10.如图，八一广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为、，花坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为、，三条通道的总面积；则s与x之间的关系表达式为__________． 三、解答题 11.下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5)； (6) (为常数)． 12若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 13．已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 14.下列每个图形都是由若干个边长为1的等边三角形组成的等边三角形，它们的边长分别为1，2，3，4，…，设边长为 的等边三角形由 个小等边三角形组成，按此规律推断与有怎样的关系． 15.如图，要建一个矩形养殖场，养殖场的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入．已知围成养殖场的木板总长为75米，设养殖场的宽为米，面积为平方米． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)若要建成的矩形养殖场的面积为690平方米，则养殖场的宽为多少米？ 16.如图，在中，，，，现有一个动点P从点A出发，以4cm/s的速度沿AC向终点C运动，动点Q同时从点C出发，以2cm/s的速度沿CB向终点B运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts，的面积为S，求： （1）S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当时，求线段PQ的长； （3）当t为何值时，？ 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $