专题25.2 解一元二次方程（九大题型）（题型训练+易错精练）-2026-2027学年九年级数学上册《知识解读·题型专练》（人教版）

**基本信息** 以九大题型系统构建解一元二次方程方法体系，覆盖解法、判别式、根与系数关系，形成“解法应用—概念深化—综合拓展”的完整知识链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解法类|直接开方4题、配方8题、公式4题、因式分解5题|直接开方法聚焦(x+a)²=b型方程；配方法强调系数化1后配方；公式法规范求根公式步骤；因式分解法突出乘积化归|从特殊到一般，逐步构建降次求解逻辑，配方法为公式法奠定基础| |判别式应用|判断根情况4题、求参数4题|Δ=b²-4ac判断根的三种情况，逆向求参数范围|连接方程解法与根的性质，体现代数推理思维| |根与系数关系|计算5题、求参数2题|韦达定理转化代数式，结合判别式求参数|深化方程根的数量关系，培养数学抽象与模型意识|

专题25.2 解一元二次方程（九大题型） 【题型1 解一元二次方程-直接开方】..................................................................................1 【题型2 解一元二次方程-配方法】......................................................................................3 【题型3 配方法的应用】.......................................................................................................6 【题型4 根据判别式判断一元二次方程的根情况】.............................................................10【题型5 根据一元二次方程的根情况求参数】.....................................................................11. 【题型6 解一元二次方程-公式法】.....................................................................................13 【题型7 解一元二次方程-因式分解法】...............................................................................16 【题型8 运算根与系数的关系计算】....................................................................................18 【题型9 运算根与系数的关系求参数的值】........................................................................20 【题型1 解一元二次方程-直接开方】 1．方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴方程的根为， 故选：A． 2．一元二次方程的解为（    ） A．， B． C．， D． 【答案】A 【分析】先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程． 本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 【详解】解： 解得，． 故选：A． 3．用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接开平方解一元二次方程； （2）直接开平方解一元二次方程． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴． 4．用开平方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程． （1）先移项得，再将系数化为1得到，最后开方得出结果； （2）先将系数化为1得，两边同时开方后得到，最后即可得出结果； （3）先移项得，开方后得，最后即可得出结果； （4）两边同时开方得，分别解出两个式子的值即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得，． （2）解：， ， ， 解得，． （3）解：， ， ， 解得，． （4）解：， ， ∴，， 解得，． 【题型2 解一元二次方程-配方法】 5．用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，配方后即可得到正确结果. 【详解】解：， 移项得， 方程两边加得， 整理得. 6．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2026 D． 【答案】D 【分析】先将原方程配方得到的形式，对比得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， ∴ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ， ∴ 整理得 ， ∵ 方程转化为的形式， ∴ ，， ∴ ． 7．用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】将原方程整理，且将常数项移到方程右边，接下来方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后开方解答即可． 【详解】（1）解：， 两边都加上9，得， 即， 开方，得， ∴； （2）解：， 两边都加上36，得， 即， 开方，得， ∴； （3）解：整理，得， 两边都加上9，得， 即， 开方，得， ∴； （4）解：整理，得， 两边都加上4，得， 即， 开方，得， ∴． 8．用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）（2）把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再把方程两边同时开平方并解方程即可； （3）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再把方程两边同时开平方并解方程即可； （4）先去括号，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再把方程两边同时开平方并解方程即可． 【详解】（1）解： ，即， ， 解得，； （2）解： ，即， ， 解得，； （3）解： ， ，， ， 解得，； （4）解： ， ，， ， 解得，． 【题型3 配方法的应用】 9．阅读下列材料： 材料一 “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ，， 解决下列问题： (1)填空： ． (2)已知，求的值． (3)比较代数式与的大小，并说明理由 【答案】(1)；1 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1），再根据完全平方公式进行配方； （2）将原式变形为，再由非负性求解； （3）利用作差法结合配方法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ∵ ∴， ∴ ∴； （3）解：，理由如下： ∵ ∴， ∴ ∴． 10．【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． (3)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法和完全平方的非负性进行求解即可； （3）利用配方法和非负性进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴ ； ∴代数式的最小值是2； （3）解：， ， ， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 11．阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：求代数式的最小值． ， 当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)如果（    ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． (2)当x为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ (3)当a，b为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)9 (2)当为4时，多项式有最小值，最小值是 (3)当时，多项式有最小值，最小值是2 【分析】本题考查了配方法，完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式的非负性是解题的关键． （1）根据完全平方式的定义，添加常数项，把原式配成完全平方式即可； （2）仿照示例，把变形为，从而得到结果； （3）根据题意，把原式变形为，可得到结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：9； （2）解：， ， ∴当时，代数式有最小值， 答：当为4时，多项式有最小值，最小值是； （3）解： ， ， ， ∴当时，多项式有最小值，最小值是2． 【题型4 根据判别式判断一元二次方程的根情况】 12．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，当时方程有两个不相等的实数根，时有两个相等的实数根，时没有实数根，代入方程系数计算判别式即可得出结果． 【详解】解：∵对于一元二次方程，可得，，， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 13．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先求出Δ的值，进而可得出结论． 【详解】解：关于x的一元二次方程中， ∵二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 14．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题目定义的新运算整理出一元二次方程，利用根的判别式即可判断根的情况． 【详解】解：∵ 新运算定义为 ，方程为， ∴ 将代入运算规则得：， 整理得一元二次方程：， ∴ ∴ 方程无实数根． 15．对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】先根据新运算规则整理出关于x的一元二次方程，再利用根的判别式判断方程根的情况． 【详解】解：根据新运算定义可得：， 整理方程得， ∴， ∵对任意实数，都有， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 【题型5 根据一元二次方程的根情况求参数】. 16．若一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】根据“当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式”列方程求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 17．已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（     ） A．且 B． C．且 D． 【答案】D 【分析】题目已知方程为一元二次方程，二次项系数为1，满足二次项系数不为0的要求，只需利用方程有实数根得判别式，解不等式即可得到的取值范围； 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 18．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，需先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为，再利用根的判别式列不等式求解的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程 方程有实数根 其中，， 由，解得 综上，的取值范围是且 故选：D． 19．定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先根据题目所给新定义运算法则，得出，再根据“该方程有两个不相等的实数根”得出，列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得， 即， 有两个不相等的实数根， ， 即， 解得． 【题型6 解一元二次方程-公式法】 20．用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据一元二次方程的一般形式，即可求解． 【详解】解： ∴，， 故选：D． 21．在用求根公式求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式的结构，比较给定表达式，直接确定系数a、b、c的值，即可得到原方程． 【详解】解：∵求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到， ∴，，， ∴ 原方程为 ． 故选：B 22．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】利用公式法对所给一元二次方程分别进行求解即可． 【详解】（1）解：， 化为一般形式：， ， 则， 所以，． （2）解：， ， 则， 所以． 23．用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题的关键． （1）直接利用公式法求解即可； （2）整理为一般式，再利用公式法求解即可； （3）、（4）直接利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 则， 即，； （2）解：整理，得：， ∴，，，， 则， 即，； （3）解：∵， ∴， 则， 即，； （4）解：∵， ∴， 则， ∴，． 【题型7 解一元二次方程-因式分解法】 24．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 或 ∴； （2）解： 或 ∴． 25．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 移项得 提取公因式得 则或 解得，； （2）解： 则或 解得，． 26．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 移项得 配方得 整理得 开方得 解得 ， （2）解： 移项整理得 提取公因式得 则或 解得， 27．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 28．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）将看作整体，利用完全平方公式进行因式分解，再解方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得，； （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 化简，得， 解得． 【题型8 运算根与系数的关系计算】 29．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，若方程有两个实数根，则两根之积，据此计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根，方程中， ∴． 30．若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 31．设m，n是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2024 B．2025 C．2026 D． 【答案】D 【分析】利用根与系数的关系求出和的值，再整体代入所求式子计算即可． 【详解】∵ ，是方程的两个实数根， ∴ ，， ∴ ． 32．若，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．2027 C．2026 D． 【答案】B 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ． 33．若一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形，代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程，两根满足， 在方程中，，， ∴， 又 代入， 得 【题型9 运算根与系数的关系求参数的值】 34．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，这个方程总有实数根； (2)已知，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴无论m取何实数，这个方程总有实数根． (2)或． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，证明，从而说明方程总有实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再将变形得：，最后建立关于m的方程，解方程即可求得m的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴或． 35．已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出，即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，将所求代数式变形为，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：由题意可得： ， ， ， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根为，， ∴，， ∴ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.2 解一元二次方程（九大题型） 【题型1 解一元二次方程-直接开方】..................................................................................1 【题型2 解一元二次方程-配方法】......................................................................................3 【题型3 配方法的应用】.......................................................................................................6 【题型4 根据判别式判断一元二次方程的根情况】.............................................................10【题型5 根据一元二次方程的根情况求参数】.....................................................................11. 【题型6 解一元二次方程-公式法】.....................................................................................13 【题型7 解一元二次方程-因式分解法】...............................................................................16 【题型8 运算根与系数的关系计算】....................................................................................18 【题型9 运算根与系数的关系求参数的值】........................................................................20 【题型1 解一元二次方程-直接开方】 1．方程的根是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的解为（    ） A．， B． C．， D． 3．用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 4．用开平方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【题型2 解一元二次方程-配方法】 5．用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 6．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2026 D． 7．用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 8．用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【题型3 配方法的应用】 9．阅读下列材料： 材料一 “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ，， 解决下列问题： (1)填空： ． (2)已知，求的值． (3)比较代数式与的大小，并说明理由 10．【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． (3)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 11．阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：求代数式的最小值． ， 当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)如果（    ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． (2)当x为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ (3)当a，b为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ 【题型4 根据判别式判断一元二次方程的根情况】 12．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 13．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 14．定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 15．对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【题型5 根据一元二次方程的根情况求参数】. 16．若一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为（    ） A． B．1 C． D．0 17．已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（     ） A．且B． C．且 D． 18．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（） A． B．且 C． D．且 19．定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则的取值范围为__________． 【题型6 解一元二次方程-公式法】 20．用公式法解一元二次方程时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 21．在用求根公式求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 22．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 23．用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型7 解一元二次方程-因式分解法】 24．解方程 (1) (2) 25．解方程： (1)； (2)． 26．解方程： (1)； (2)． 27．解方程： (1)； (2)． 28．解方程： (1)； (2)． 【题型8 运算根与系数的关系计算】 29．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C．3 D．5 30．若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C．0 D．1 31．设m，n是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2024 B．2025 C．2026 D． 32．若，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．2027 C．2026 D． 33．若一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【题型9 运算根与系数的关系求参数的值】 34．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，这个方程总有实数根； (2)已知，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 35．已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $