专题25.1 一元二次方程的概念(11大题型）（小模块.微专题.大压轴）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念这一核心知识点，系统梳理其定义（含整式方程、单未知数、最高次2三个条件）、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及解（根）的概念。从方程识别、由定义求参数，到化成一般形式、求系数，再到判断解、由解求参数，构建递进式学习支架。 该资料以“模块-微专题-压轴”分层设计，典例与变式结合实现举一反三。微专题三通过实际问题列方程培养模型意识，压轴新定义问题提升推理意识与创新意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生针对性练习，有效查漏补缺。

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题25.1 一元二次方程的概念》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 一元二次方程的识别 模块7由一元二次方程的解求参数 模块2 由一元二次方程的定义求参数 微专题1由一元二次方程的解求代数式的值 模块3 化成一元二次方程的一般形式 微专题2已知一元二次方程的解求另一个方程的解 模块4 求一元二次方程的各项系数 微专题3根据实际问题列一元二次方程 模块5 由一元二次方程各项系数的值求参数 压轴1 一元二次方程背景下新定义问题 模块6判断是否是一元二次方程的解 知识梳理 · 基础溯源 知识点1一元二次方程的定义 1.定义：如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式:()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0； （2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式； （3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 知识点3 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根. 若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 模块通关·举一反三 【模块一】 一元二次方程的识别 【典例1】已知方程． （1）当为何值时，它是一元二次方程？ （2）当为何值时，它是一元一次方程？ 【变式1-1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列方程是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（    ） A． B． C． D． 【模块二】由一元二次方程的定义求参数 【典例2】（25-26九年级上·全国·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 【变式2-1】（25-26九年级上·云南昭通·期末）方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】 是关于x的一元一次方程，则（　　） A．0 B．1 C． D．或1 【变式2-3】若方程是一元二次方程，则m的值为（    ） A．2 B．±3 C．3 D．－3 【模块三】化成一元二次方程的一般形式 【典例3】（25-26九年级上·山西临汾·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】一元二次方程化为一般形式是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】方程化成一般式是 ． 【变式3-3】将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【模块四】 求一元二次方程的各项系数 【典例4】（25-26九年级上·新疆塔城·月考）将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是___________，一次项系数是___________，常数项是___________． 【变式4-1】方程中，二次项系数、一次项系数及常数项各项系数的和为(    ) A． B． C． D． 【变式4-2】一元二次方程的一次项是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】把方程化成的形式，则的值分别为（    ） A．3，1，4 B．3，，4 C．3，， D．3，4， 【模块五】 由一元二次方程各项系数的值求参数 【典例5】（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【变式5-1】．将一元二次方程化成的形式则 ． 【变式5-2】若关于x的一元二次方程(2a－4)x2＋(3a＋6)x＋a－8＝0没有常数项，则a的值为 ． 【变式5-3】若m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝ ，n＝ ． 【模块六】判断是否是一元二次方程的解 【典例6】（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 【变式6-1】下列式子中，是它的解的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·山西运城·期末）下列各数：，，，，，其中是一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知方程的解是，，则给出另一个方程，它的解是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【模块七】 由一元二次方程的解求参数 【典例7】（25-26九年级上·重庆綦江·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【变式7-1】一元二次方程有一根为，则m的值为（    ） A． B．11 C．12 D．13 【变式7-2】已知是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】由一元二次方程的解求代数式的值 【典例8】（25-26九年级上·四川泸州·期末）若m是方程的一个根，则的值为______． 【变式8-1】已知m是一元二次方程的根，则代数式的值是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式8-2】已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（　　） A．2024 B．2022 C．2023 D．2021 【变式8-3】若m是方程的根，则 ． 【微专题二】 已知一元二次方程的解求另一个方程的解 【典例9】（25-26九年级上·吉林长春·月考）若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】若关于的一元二次方程有一根为，则方程必有一根为（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】已知关于的方程（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是 ． 【变式9-3】关于的一元二次方程一个实数根为，则方程一定有实数根(    ) A． B． C． D． 【微专题三】根据实际问题列一元二次方程 【典例10】（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．设有支球队参加比赛，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程(    ) A． B． C． D． 【变式10-2】电脑病毒传播，如果一台电脑被传染，经过两轮传播后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台会感染x台电脑，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111．若设每个支干长出的小分支的个数是x，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 压轴突破·素养提升 【压轴一】 一元二次方程背景下新定义问题 【典例11】【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 【变式11-1】请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得；化简，得；故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”； 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； (2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【变式11-2】如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，比如是“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)试判断方程_______“勾系一元二次方程”（填“是”或“不是”）； (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求面积． 【变式11-3】定义：如果代数式(，，，是常数)与(，，，是常数)，满足，，，则称这两个代数式与互为“和谐式”，对于上述“和谐式”、，下列三个结论正确的个数为（    ） ①若，，则的值为； ②若为常数，关于的方程与的解相同，则； ③若，为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题25.1 一元二次方程的概念》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 一元二次方程的识别 模块7由一元二次方程的解求参数 模块2 由一元二次方程的定义求参数 微专题1由一元二次方程的解求代数式的值 模块3 化成一元二次方程的一般形式 微专题2已知一元二次方程的解求另一个方程的解 模块4 求一元二次方程的各项系数 微专题3根据实际问题列一元二次方程 模块5 由一元二次方程各项系数的值求参数 压轴1 一元二次方程背景下新定义问题 模块6判断是否是一元二次方程的解 知识梳理 · 基础溯源 知识点1一元二次方程的定义 1.定义：如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2. 例如：=2，，，，均不是一元二次方程. 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式:()，其中是二次项，是二次项系数;是一次项，是一次项系数；是常数项. 2.（1）是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0； （2）任何一个一元二次方程都可以化成一般形式； （3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 3.一元二次方程的特殊形式. （1)当b=0时，得()； （2)当c=0时，得()； （3)当b=0且c=0时,得(). 知识点3 一元二次方程的解（根） 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根. 若，是一元二次方程()的两个实数根，则下列两个等式成立，并可利用这两个等式求解未知参数：()，(). 模块通关·举一反三 【模块一】 一元二次方程的识别 【典例1】已知方程． （1）当为何值时，它是一元二次方程？ （2）当为何值时，它是一元一次方程？ 【答案】（1）  （2）或 【分析】（1）根据一元二次方程的定义解答本题； （2）根据一次方程的定义可解答本题． 【详解】解：（1）方程为一元二次方程， ， 解得：， 所以当为或时，方程方程为一元二次方程； （2）方程为一元一次方程， 或或m=0 解得，或，m=0 ， 故当为2或时，方程方程为一元一次方程． 【点睛】本题考查一元一次方程的定义、一元二次方程的定义，解题关键是理解一元一次方程的定义和一元二次方程的定义，尤其是要注意一元一次方程的各种情况要考虑全面． 【变式1-1】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，满足所有条件，是关于的一元二次方程； 选项B：是分式方程，不是整式方程，不符合定义，排除； 选项C：中，未说明，当时不是二次方程，排除； 选项D： 化简，得， 整理得，是一元一次方程，不符合定义，排除． 【变式1-2】下列方程是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．含有一个未知数，且未知数的次数最高是2的整式方程是一元二次方程．据此即可获得答案． 【详解】解：A、，若，则该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、，可整理为，是一元二次方程，本选项符合题意； C、，不是整式方程，故不是一元二次方程，本选项不符合题意； D、，不是整式方程，故不是一元二次方程，本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-3】下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； C、方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 【模块二】由一元二次方程的定义求参数 【典例2】（25-26九年级上·全国·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解答的关键． 根据一元二次方程的定义，方程中的最高次数必须 2，且二次项系数不能为零．因此，需满足指数且系数． 【详解】解：由方程是关于的一元二次方程，得的最高次数为2，即， 解得． 又因为二次项系数，即， 所以， 当时，方程为，满足一元二次方程的定义． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26九年级上·云南昭通·期末）方程是关于x的一元二次方程，n满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，即，解得或. 又∵二次项系数， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2-2】 是关于x的一元一次方程，则（　　） A．0 B．1 C． D．或1 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义、绝对值，由是关于x的一元一次方程可得到关于a的一元一次不等式组，求解即可得到答案． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， 解得：． 故选：C． 【变式2-3】若方程是一元二次方程，则m的值为（    ） A．2 B．±3 C．3 D．－3 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程”，分析判断即可． 【详解】解：若方程是一元二次方程， 则有且， 解得且， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解并熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键． 【模块三】化成一元二次方程的一般形式 【典例3】（25-26九年级上·山西临汾·期末）将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需通过去括号、合并同类项、移项将方程化为（）的标准形式． 【详解】解： ， ， ， ∴该方程的一般形式为， 故选A 【变式3-1】一元二次方程化为一般形式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式的定义“一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0”即可得． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 【变式3-2】方程化成一般式是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，即（a，b，c是常数且）．将方程左边展开，通过移项、合并同类项化为（a，b，c是常数且）的形式即可．解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式． 【详解】 ． 故答案为：． 【变式3-3】将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为．直接去括号进而移项，得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 【模块四】 求一元二次方程的各项系数 【典例4】（25-26九年级上·新疆塔城·月考）将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是___________，一次项系数是___________，常数项是___________． 【答案】 1 【分析】本题主要考查一元二次方程化为一般形式，掌握一元二次方程化为一般形式是解题的关键． 先通过去括号、移项、合并同类项、然后同时除以二次项的系数得到二次项系数是1的一元二次方程，再确定二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】解： ， 所以该方程的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是． 故答案为：1；；． 【变式4-1】方程中，二次项系数、一次项系数及常数项各项系数的和为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，，是常数且，在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．先化为一般形式，进而根据定义，即可求解． 【详解】解：即， ∴二次项系数、一次项系数及常数项各项系数分别为，其和为， 故选：C． 【变式4-2】一元二次方程的一次项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及其各项的概念，掌握一元二次方程的一般形式中，叫做方程的二次项，其中a是二次项系数，叫做方程的一次项，其中b是一次项系数，c叫做方程的常数项；根据一元二次方程中的为一次项求解即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项是， 故选：C． 【变式4-3】把方程化成的形式，则的值分别为（    ） A．3，1，4 B．3，，4 C．3，， D．3，4， 【答案】B 【分析】通过去括号，移项，合并同类项，把方程转化为的形式，即可得解． 【详解】解： 去括号得：， 整理得：； ∴，，； 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的系数和常数项．将方程正确的转化为一元二次方程的一般式是解题的关键． 【模块五】 由一元二次方程各项系数的值求参数 【典例5】（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的定义求参数，熟练掌握运算方法是解题的关键． 将方程展开并整理为标准形式，令一次项系数为零求解即可． 【详解】解：原方程化为：， 移项得：， 由不含的一次项，得一次项系数， 解得 ， 故答案为：． 【变式5-1】．将一元二次方程化成的形式则 ． 【答案】1 【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式之后，变为， 故， ， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键． 【变式5-2】若关于x的一元二次方程(2a－4)x2＋(3a＋6)x＋a－8＝0没有常数项，则a的值为 ． 【答案】8 【分析】根据一元二次方程的一般形式可知常数项为a-8，由方程没有常数项得常数项为0，即可得答案. 【详解】∵一元二次方程(2a－4)x2＋(3a＋6)x＋a－8＝0没有常数项， ∴a-8=0 解得：a=8. 故答案为8 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【变式5-3】若m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝ ，n＝ ． 【答案】 0 7 【分析】首先把方程变为一元二次方程的一般形式，再根据题意可得，进而可得答案． 【详解】解：m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0， 整理得，， ∵为一元二次方程且不含x的一次项， ∴， 解得， 故答案为：0，7． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）． 【模块六】判断是否是一元二次方程的解 【典例6】（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：D． 【变式6-1】下列式子中，是它的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程的解和不等式的解集的定义解答即可． 【详解】解：A、将代入原方程，左边右边， 选项符合题意； B、∵将代入原方程，左边右边， B选项不符合题意； C、不是不等式的解， 选项不符合题意； D、不是不等式组的解， 选项不符合题意． 综上所述，A选项符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了方程的解和不等式的解集，正确掌握方程的解和不等式的解集的定义是解题的关键． 【变式6-2】（25-26九年级上·山西运城·期末）下列各数：，，，，，其中是一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可通过因式分解法求解一元二次方程，再从给定的数中匹配出方程的解，也可将选项代入方程验证是否成立． 【详解】解：∵ ∴对左边因式分解得 则或 解得或 根据题干所给的数中，观察选项可知，选项D符合， 故选：D． 【变式6-3】已知方程的解是，，则给出另一个方程，它的解是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解决本题可用换元法，也可直接转化．把看作关于的一元二次方程，利用题中的解得到或，然后解两个一元一次方程即可． 【详解】解：方程的解是，， 由于方程与已知方程的形式完全相同， ，， ，， ，， 故选：C． 【模块七】 由一元二次方程的解求参数 【典例7】（25-26九年级上·重庆綦江·期中）若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程求出即可，解题的关键是理解方程解的定义． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴， ∴， 故选：C． 【变式7-1】一元二次方程有一根为，则m的值为（    ） A． B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解的应用．把代入方程求出m的值，即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为， ∴把代入得：， 解得：， 故选：B． 【变式7-2】已知是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，根据题意可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴ ∴， 故选：C． 【变式7-3】已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义把代入原方程得到关于a的一元二次方程，解得，然后根据一元二次方程的定义确定a的值． 【详解】解：把代入，得， 解得， ∵，即， ∴． 故选：D． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】由一元二次方程的解求代数式的值 【典例8】（25-26九年级上·四川泸州·期末）若m是方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键． 根据一元二次方程的解的意义可得，则，将原式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即． ∴ ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式8-1】已知m是一元二次方程的根，则代数式的值是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，求代数式的值等知识，根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【变式8-2】已知m是方程的一个根，则代数式的值等于（　　） A．2024 B．2022 C．2023 D．2021 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值得到，再把整体代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式8-3】若m是方程的根，则 ． 【答案】14 【分析】由m是方程的根，可得，把化为，再通分变形，依次代入化简即可，准确的把原分式变形，再求值是解本题的关键． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴，即， ∴ ． 故答案为：14． 【微专题二】 已知一元二次方程的解求另一个方程的解 【典例9】（25-26九年级上·吉林长春·月考）若关于的一元二次方程有一个根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“利用整体未知数求解方程的根”是解本题的关键． 通过换元法，将第二个方程转化为第一个方程的形式，然后利用已知根求解． 【详解】解：方程可变形为：， 又， 方程化为． 设，则方程化为， 方程有一个根为， 方程有一个根为， 即， ． 故选A． 【变式9-1】若关于的一元二次方程有一根为，则方程必有一根为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得到，设，得到，所以，即可得到进而得到答案． 【详解】解：由得到， 对于一元二次方程， 设， ， 而关于的一元二次方程有一根为， 有一个根为， 则， ， 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解答本题的关键． 【变式9-2】已知关于的方程（，，均为常数，且）的两个解是和，则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解． 【详解】∵关于的方程的解是 ，， ∴方程变形为， 即此方程中或， 解得或， 故答案为：，． 【点睛】此题考查了方程解的定义，运用整体思想是解题的关键． 【变式9-3】关于的一元二次方程一个实数根为，则方程一定有实数根(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入方程得，两边同时除以得 ：，即，所以一定有实数根． 【详解】解：∵是一元二次方程一个实数根， ∴， 两边同时除以得 ：，即：， ∴一定有实数根． 故选：D 【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解一元二次方程根的定义，得到． 【微专题三】根据实际问题列一元二次方程 【典例10】（25-26九年级上·云南西双版纳·期末）云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．设有支球队参加比赛，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是理解单循环赛制的比赛场数计算方法，避免重复计数． 设有支球队参加比赛，根据单循环赛制可知实际总场次为场，据此得出方程． 【详解】解：∵有支球队参赛，每支球队需与其余支球队各赛一场， ∴若不考虑重复，总场次为场， 又∵单循环赛制中，A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计数， ∴实际总场次为场， ∴可列方程为， 故选：D． 【变式10-1】一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用发信息的总数微信群里好友的人数微信群里好友的人数，即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 【变式10-2】电脑病毒传播，如果一台电脑被传染，经过两轮传播后就会有81台电脑被感染，若每轮感染中平均一台会感染x台电脑，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；由题意可直接列出方程． 【详解】解：由题意可得方程为； 故选C． 【变式10-3】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111．若设每个支干长出的小分支的个数是x，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设每个支干长出x个小分支，则主干生出x个支干，而x个支干每个又生出x个小分支，所以一共有个，从而可列出方程． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 依题意可列方程： 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．理解题意，找出等量关系是解题关键． 压轴突破·素养提升 【压轴一】 一元二次方程背景下新定义问题 【典例11】【阅读理解】 【定义】如果关于的方程（是常数）与（是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，则这两个方程互为“对称方程”． 【举例】求方程的“对称方程”，这样思考：由方程可知，，，根据，求出就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： (1)写出方程的“对称方程”是______； (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式、求代数式的值、“对称方程”的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式以及理解“对称方程”的定义． （1）根据“对称方程”的定义解答即可； （2）根据“对称方程”的定义可得，求出的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：，， 方程的“对称方程”是， 故答案为：； （2）解：由，移项可得：， 方程与为对称方程， ， 解得：， ． 【变式11-1】请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得；化简，得；故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”； 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数； (2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设所求方程的根为，则，将代入已知方程，化简即可得到答案； （2）设所求方程的根为，则，将其代入已知方程，然后化为一般形式即可得到答案． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程， 得， 化简得，， 这个一元二次方程为：； （2）解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程， 得， 去分母得，， 若，则，于是方程有一根为0，不符合题意， ， 所求方程为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． 【变式11-2】如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，比如是“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)试判断方程_______“勾系一元二次方程”（填“是”或“不是”）； (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求面积． 【答案】(1)是 (2) 【分析】（1）根据“勾系一元二次方程”的定义，即可求解； （2）根据是“勾系一元二次方程”的一个根，可得，再由四边形的周长是，可得，从而得到，继而得到，再根据，可得ab=4，即可求解． 【详解】（1）解：∵ 这里，， ∴， ∴是“勾系一元二次方程”． （2）解：当时，有， 即， ∵四边形的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程，勾股定理，理解“勾系一元二次方程”的定义是解题的关键． 【变式11-3】定义：如果代数式(，，，是常数)与(，，，是常数)，满足，，，则称这两个代数式与互为“和谐式”，对于上述“和谐式”、，下列三个结论正确的个数为（    ） ①若，，则的值为； ②若为常数，关于的方程与的解相同，则； ③若，为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据新定义，得出的值代入计算即可判断①，根据方程的解的定义以及新定义得出，即可判断②，根据题意得出，即可判断③ 【详解】解：①∵，， 依题意 解得：，， ∴，故①正确； ②的方程与的解相同，即与的解相同， ∴ ∴，故②正确； ③ ∵的最小值为， 当 ∴的最小值为， ∴有最小值，且最小值为． 当，有最大值，且最大值为1 ． 故③不正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，不等式的性质，方程的解的定义，理解新新定义是解题的关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $