专题01 解一元二次方程（100题）（举一反三专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程解法，通过7类题型100题构建从基础到拓展的训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |适当方法|40题|灵活选用直接开平方法、因式分解法等解常规方程|从解法选择到基础运算，夯实核心技能| |指定方法|30题|指定配方法、公式法等特定解法的规范应用|强化解法步骤，提升运算准确性| |换元法|6题|通过换元转化复合方程为一元二次方程|体现转化思想，连接代数变形能力| |含绝对值|6题|分类讨论去绝对值解特殊方程|培养分类思维，拓展方程求解维度| |含参方程|6题|解含字母系数的一元二次方程|深化参数理解，建立动态思维| |降次法|6题|将高次方程转化为一元二次方程|渗透降次策略，提升方程转化能力| |升次法|6题|平方去根号解无理方程|强化升次技巧，完善方程求解体系|

专题01 解一元二次方程（100题）（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 用适当的方法解一元二次方程】 1 【题型2 用指定的方法解一元二次方程】 5 【题型3 换元破解复合方程】 10 【题型4 解含绝对值的一元二次方程】 10 【题型5 解含参方程】 11 【题型6 降次化解高次方程】 11 【题型7 升次突破无理方程】 12 【题型1 用适当的方法解一元二次方程】 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用适当方法解下列方程 (1)； (2) 2．（25-26九年级上·重庆綦江·期末）用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 3．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）选择适当方法解下列方程： (1)； (2) (3)． 4．（24-25九年级上·河南信阳·期末）用适当方法解下列方程： (1) (2) 5．（24-25九年级上·广东珠海·期中）用适当方法解下列方程 (1)； (2)． 6．（25-26九年级上·四川泸州·期中）用适当方法解方程： 7．用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 8．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）解方程： (1)； (2)． 9．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）解方程： (1)； (2)． 10．（25-26八年级下·浙江金华·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 11．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）解方程： (1)； (2)． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 13．（25-26八年级下·福建福州·期中）解方程： (1)； (2)． 14．（25-26八年级下·安徽宣城·期中）解下列方程： (1)； (2)． 15．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 16．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1)； (2)． 17．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 18．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）解下列方程： (1)． (2)． 19．（25-26八年级下·浙江温州·期中）解方程： (1)； (2)． 20．（25-26八年级下·山东淄博·期中）用适当的方法解方程 (1)； (2)． 21．（25-26九年级下·江苏常州·月考）解方程： (1)； (2)． 22．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）解下列方程： (1)； (2)． 23．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 24．（25-26八年级下·山东东营·月考）解方程 (1) (2) (3) (4) 25．（25-26八年级下·浙江·期中）选择合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 26．（25-26八年级下·浙江温州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 27．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）解方程 (1) (2) (3) (4) 28．（25-26八年级下·浙江金华·期中）解方程： (1)； (2)． 29．（25-26八年级下·吉林长春·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 30．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）解方程：． 31．（25-26九年级下·黑龙江大庆·月考）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 32．（25-26八年级下·浙江·期中）解方程： (1)； (2)． 33．解方程： (1) (2) 34．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）请选用适当的方法解一元二次方程． (1) (2) 35．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． (3)； (4)． 36．（25-26八年级下·浙江温州·月考）解方程： (1) (2) 37．（25-26八年级下·浙江金华·月考）解方程： (1)； (2)． 38．（25-26八年级下·山东烟台·月考）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 39．（25-26八年级下·安徽亳州·月考）解方程：． 40．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2 用指定的方法解一元二次方程】 41．（25-26九年级上·四川达州·期末）按照指定方法解下列方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 42．（25-26九年级下·黑龙江·期中）解方程： (1)（因式分解法） (2)（配方法） (3)（公式法） 43．按照指定方法解下列方程： (1)（公式法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）． 44．（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)．（用配方法） 45．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）按照指定方法解下列方程． (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（公式法）； (4)（因式分解法）． 46．用指定方法解方程： (1)（公式法） (2)（配方法） 47．（25-26八年级下·山东泰安·期中）按要求解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）． 48．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）用指定方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)（因式分解法） 49．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）用指定方法解下列一元二次方程 (1)（因式分解法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（合适的方法） 50．（25-26九年级上·全国·课后作业）用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）． (2)（配方法）． (3)（公式法）． (4)（因式分解法）． 51．（24-25九年级上·辽宁锦州·月考）请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 52．用指定方法解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法）； (3)（公式法）． 53．用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 54．按照指定方法解下列方程： (1) （用直接开平方法） (2) （用因式分解法） (3) （用配方法） (4)（用求根公式法） 55．用指定方法解下列方程 (1)(用配方法)； (2)(用因式分解法)． 56．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）请用指定方法解下列方程： (1)（因式分解法）． (2)（公式法）． (3)（配方法）． 57．（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法） (2)．（配方法） (3)（用公式法） (4)（用因式分解法） 58．（24-25九年级上·重庆南岸·开学考试）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（十字相乘法） 59．用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 60．利用指定方法解一元二次方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）． 61．用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 62．按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)（用配方法） (3)（用求根公式法） (4)（用因式分解法） 63．用指定方法解下列方程： (1)（配方法）； (2)（因式分解法）； (3)（公式法）． 64．按照指定方法解下列方程： （1）．（自选方法） （2）．（配方法） （3）（因式分解法） 65．用指定方法解下列方程： （1）（配方法）； （2）（因式分解法）； （3）（公式法）． 66．请用指定方法解下列一元二次方程： （1）（公式法） （2）（配方法） （3）（因式分解法） 67．解下列方程：（有指定方法必须用指定方法） (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)． (4)． 68．按指定方法解方程： (1)(配方法)； (2)(公式法) (3) (适当方法)； (4) (配方法) 69．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）用指定方法解下列方程 (1)用公式法解方程： (2)用配方法解方程： 70．请用指定方法解下列方程： (1)公式法：； (2)因式分解法：． 【题型3 换元破解复合方程】 71．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）解方程：． 72．（25-26八年级上·上海·期中）． 73．（24-25九年级上·江苏南通·自主招生）解下列方程： ． 74．解方程：； 75．（2026八年级下·浙江绍兴·专题练习）解方程：． 76．（24-25九年级上·广东江门·月考）解方程：． 【题型4 解含绝对值的一元二次方程】 77．解方程：． 78．（24-25九年级上·四川达州·月考）解下列方程： (1)； (2)． 79．（24-25九年级上·江苏南京·月考）解方程 80．（24-25九年级上·河南信阳·月考）阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 81．（25-26九年级上·重庆万州·月考）解下列方程： (1)； (2)． 82．解方程． 【题型5 解含参方程】 83．（25-26八年级下·上海·期中）解关于的方程：． 84．（24-25八年级下·北京·期中）用适当的方法解下列关于的方程： 85．解下列关于x的一元二次方程： (1); (2)． 86．（24-25八年级下·上海·期中）解关于x的方程：． 87．解关于x的方程： 88．解关于x的方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型6 降次化解高次方程】 89．解方程； 90．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 91．（24-25九年级上·河南驻马店·月考）（25-26八年级上·浙江·寒假作业）解方程： 92．（25-26八年级上·上海·期中）解方程：（为正整数）． 93．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）解方程． 94．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）． 【题型7 升次突破无理方程】 95．（25-26八年级下·上海·月考）解方程： 96．（25-26八年级下·上海·月考）解方程： 97．（25-26八年级上·上海浦东新·月考）解方程：． 98．解方程：． 99．解方程： 100．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）解方程：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 解一元二次方程（100题）（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 用适当的方法解一元二次方程】 1 【题型2 用指定的方法解一元二次方程】 28 【题型3 换元破解复合方程】 59 【题型4 解含绝对值的一元二次方程】 63 【题型5 解含参方程】 68 【题型6 降次化解高次方程】 71 【题型7 升次突破无理方程】 74 【题型1 用适当的方法解一元二次方程】 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用适当方法解下列方程 (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）先把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可求解； （）先把方程整理成一般式，再利用公式法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：方程整理成一般形式，得， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：去括号得 方程整理成一般形式，得， ∴，，， ∵， ∴， 即，． 2．（25-26九年级上·重庆綦江·期末）用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用配方法计算即可； （2）利用因式分解法计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解：， ， ， 解得． 3．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）选择适当方法解下列方程： (1)； (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，选择合适的方法解方程是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （3）运用配方法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解： 或， ∴； （2）解： 或， ； （3）解： ∴， ． 4．（24-25九年级上·河南信阳·期末）用适当方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案； （2）先把右边的式子移到左边，再因式分解求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， 或， ，． 5．（24-25九年级上·广东珠海·期中）用适当方法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）运用配方法求解即可； （2）方程移项后，运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得， 配方得，即， 开方得， ∴，； （2）解：， 移项得， 因式分解得， ∴，， ∴，． 6．（25-26九年级上·四川泸州·期中）用适当方法解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用公式法解方程即可． 【详解】解： ，，， ∴， ∴， 7．用适当方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再两边加上一次项系数的一半的平方进行配方，据此解方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 8．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴或 解得：， （2）解： ∴ ∴ ∴ ∴或 解得：， 9．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，． 10．（25-26八年级下·浙江金华·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得，． 11．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程 【详解】（1）解：， ， ，； （2）， ， ，． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 或 解得，． 13．（25-26八年级下·福建福州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）（2）把方程左边分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ． 14．（25-26八年级下·安徽宣城·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）用十字相乘法分解因式，用因式分解法求解即可； （2）设，用换元法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：设，则原方程化为， ∴， ∴或， 解得，， 当时，则，即， ∵， ∴； 当时，则，即0， ∵， ∴； 综上所述，原方程的解为，． 15．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) ，. (2) ，. (3) ，. 【分析】（1）方程为平方等于常数的形式，可使用直接开平方法求解． （2）移项后可提取公因式，使用因式分解法求解，注意不能直接约去含未知数的公因式，避免漏根． （3）先将方程整理为整系数一元二次方程，再用公式法求解即可． 【详解】（1）解：原方程， 移项得， 开方得， 即或， 解得，． （2）原方程， 移项得， 提取公因式得， 整理得， 即或， 解得，． （3）原方程， 方程两边同乘得， 这里，，， 计算得， 代入求根公式， 得， 即，． 16．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∴ ∴ 解得：， （2）解： ∵， ∴ 解得：， 17．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ， ， ∴或， 解得，． 18．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 19．（25-26八年级下·浙江温州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ， 解得，． 20．（25-26八年级下·山东淄博·期中）用适当的方法解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，用配方法求解更简便，也可使用公式法； （2）先整理方程，再用因式分解法求解． 【详解】（1）解： 移项得 配方得 即 开方得 因此 ，． （2）解： 移项整理得 因式分解得 因此 或 因此 ，． 21．（25-26九年级下·江苏常州·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， 或， 或， 所以方程的解为． （2）解：， ， 或， 或， 所以方程的解为． 22．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【详解】（1）解：， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， ， 解得：，． 23．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将方程变形后用直接开平方法求解； （2）用因式分解法求解，选择合适的方法即可得到方程的解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ， ∴或， 解得． 24．（25-26八年级下·山东东营·月考）解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化简，然后运用直接开平方法求解即可； （2）直接运用因式分解法求解即可； （3）直接运用公式法求解即可； （4）先移项，然后再运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ． （3）解：， ， ∴， ∴． （4）解：， ， ， ， ， ． 25．（25-26八年级下·浙江·期中）选择合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）移项得． ∴， ∴或， 解得，． （2），，， ， 则， 解得，． 26．（25-26八年级下·浙江温州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或者， ∴，． （2）解：移项得， 配方得，即， ∴， ∴，． 27．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： ，， 即，． （2）解： 整理得 因式分解得 或 解得，． （3）解： 移项得 配方得 即 开方得 解得，． （4）解： 移项得 开方得 当时， 当时， 即，． 28．（25-26八年级下·浙江金华·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】（1）利用直接开平方的方法解方程即可； （2）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得，． 29．（25-26八年级下·吉林长春·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用直接开平方法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可； （3）利用因式分解法解答即可； （4）利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解： ， ∴， ∴； （4）解：， ， ∴， 解得：． 30．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）解方程：． 【答案】，． 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解即可求解． 【详解】解： 或， ∴，． 31．（25-26九年级下·黑龙江大庆·月考）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：， ， 解得，； （2）解：， ， ， ， ， 解得，； （3）解：， ， 或， 解得，； （4）解：， ， ， 或， 解得，． 32．（25-26八年级下·浙江·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ，； （2）解：， 整理得， 由题意得，，，， ， ， 即，． 33．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用一元二次方程求根公式即可计算求解； （2）用直接开平方法，先移项再开方即可得到结果． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ，， ∴，． 34．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）请选用适当的方法解一元二次方程． (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）因式分解法解方程即可； （2）配方法解方程即可. 【详解】（1）解： ， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， 解得. 35．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）先两边同除以，再用直接开平方法求解； （2）用配方法将方程化为完全平方式，再开平方求解； （3）用因式分解法求解； （4）先展开整理为一般式，再因式分解求解． 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ， ，． （3）解：， ， ，． （4）解：， ， ， ， ，． 36．（25-26八年级下·浙江温州·月考）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴， 37．（25-26八年级下·浙江金华·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接运用因式分解法求解即可； （2）以为整体运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 所以． （2）解：， ， ， ， 所以． 38．（25-26八年级下·山东烟台·月考）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)； (3)，； (4)． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）利用直接开方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 则或， 解得：，； （2）解：， 其中，，， ， ， 解得：； （3）解：， ， 则，， 解得：，； （4）解：， ， 解得：． 39．（25-26八年级下·安徽亳州·月考）解方程：． 【答案】， 【分析】方程整理后，运用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 40．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）先确定a，b，c的值，再求出，然后根据求根公式求出解； （2）先整理，再根据公式法求解即可； （3）根据公式法求解； （4）先移项，再提出公因式，进而得出解． 【详解】（1）解：， 由， 可知， ∴， ∴； （2）解：， 整理，得， 由， 可知， ∴， ∴； （3）解：， 由， 可知， ∴， ∴； （4）解：， 整理，得， 因式分解，得， 即， ∴． 【题型2 用指定的方法解一元二次方程】 41．（25-26九年级上·四川达州·期末）按照指定方法解下列方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解可得答案； （2）利用公式法求解可得答案． 【详解】（1）解： ， 即， ∴， 解得：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 42．（25-26九年级下·黑龙江·期中）解方程： (1)（因式分解法） (2)（配方法） (3)（公式法） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ，即 或 ∴； （2）解： 或 ∴； （3）解： ∴． 43．按照指定方法解下列方程： (1)（公式法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程； （3）根据因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：方程整理得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； （3）解：方程整理得：， 分解因式得：， 可得或， 解得：，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 44．（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)．（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）根据指定的直接开平方法解方程即可； （2）根据指定的配方法解方程即可． 【详解】（1）解：开方，得 即或 ∴，； （2）解：移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，． 45．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）按照指定方法解下列方程． (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（公式法）； (4)（因式分解法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能根据方程的特点选择适当的方法解一元二次方程． （1）移项，整理，利用直接开平方法求得方程的解即可； （2）利用配方法解方程求得答案； （3）利用公式法，首先求出判别式的值，继而求得答案； （4）利用因式分解法求得方程的解即可． 【详解】（1）解：， 整理得， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， 解得； （3）解：， ， ， 解得； （4）解：， ， ， 或 解得． 46．用指定方法解方程： (1)（公式法） (2)（配方法） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程； （2）先将二次项系数化为1，然后根据配方法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ∵，， ∴， 解得：， （2）解：， ∴， 两边加上，， 即， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 47．（25-26八年级下·山东泰安·期中）按要求解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：移项，得． 方程两边同时除以，得． 配方，方程两边同时加，得， 即． 由平方根的意义，得． 所以，． （2）∵，，． ∴， 所以． 所以，． 48．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）用指定方法解下列方程： (1)；（公式法） (2)；（配方法） (3)（因式分解法） 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键. （1）先求出根的判别式，再用公式法计算即可； （2）将常数项移到方程右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，配方即得，直接开方求解即可； （3）将所有项移到方程左边，然后提公因式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：，， ，； （2）解： ，； （3）解： 或 ，． 49．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）用指定方法解下列一元二次方程 (1)（因式分解法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（合适的方法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴，； （3）解：方程整理得， ∴，，， ∴， ∴方程有2个不相等的实数根， ∴ ∴，； （4）解： 或 ∴，． 50．（25-26九年级上·全国·课后作业）用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）． (2)（配方法）． (3)（公式法）． (4)（因式分解法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，熟记各类解法是解题的关键. （1）开平方法需要转化成的形式，再根据平方根的定义求解，若则方程无解； （2）配方法的关键是要把二次项系数化为以后，两边都加上一次项系数一半的平方，再运用开平方法求解; （3）公式法的核心是利用二次公式：，适用于所有有实数根的一元二次方程求解； （4）因式分解法需要把左边化成因式的积，右边为的形式再求解. 【详解】（1）解： 移项，得， ∴ ， 解得． （2） 移项，得， 配方，得，即， ， ∴． （3） ， ， ∴． （4） 把方程左边因式分解，得， 或， ∴． 51．（24-25九年级上·辽宁锦州·月考）请用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）； (4)（公式法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查解一元二次方程， （1）先移项，再直接开方即可求解； （2）等式两边同时乘以2，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，再直接开方即可求解； （3）移项，提取公因式即可求解； （4）确定的值，再运用判定根的情况，若，则，否则无解，由此即可求解． 【详解】（1）解：（直接开平方法） 移项得，， 直接开方得，， ∴， ∴； （2）解：（配方法） 等式两边同时乘以2得，， 等式两边同时加4得，， ∴， 直接开方得，， ∴， ∴； （3）解：（因式分解法） 等式右边提取公因式2得，， 移项得，， 提取公因式得，， ∴或， 解得，； （4）解：（公式法） ，， ∴， ∴． 52．用指定方法解方程： (1)（直接开平方法） (2)（配方法）； (3)（公式法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1） 解得，； （2） ∴ 解得，； （3） ，， ∴ 解得，． 53．用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据直接开平方法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程； （3）根据公式法解一元二次方程； （4）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得：； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：， ∵， ， ∴， 解得：； （4）解：， ∴， ∴或， 解得：． 54．按照指定方法解下列方程： (1) （用直接开平方法） (2) （用因式分解法） (3) （用配方法） (4)（用求根公式法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】（1）把15移到右边，两边同时除以3，然后直接开平方求根； （2）用十字相乘法因式分解求出方程的根； （3）二次项系数是1，一次项系数是6，把7移到右边，用配方法解方程； （4）把右边的项移到左边，用求根公式求出方程的根． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：，． （2）， ∴， ∴或， 解得：，． （3）， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：，． （4）， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，根据题目的要求，熟练掌握各种解法． 55．用指定方法解下列方程 (1)(用配方法)； (2)(用因式分解法)． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握指定的解法是解题的关键． （1）按照配方法解一元二次方程的一般步骤求解即可； （2）按照因式求解法解一元二次方程的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解：（1） ∵， ∴ ， ∴ ∴， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴， 即； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴；． 56．（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）请用指定方法解下列方程： (1)（因式分解法）． (2)（公式法）． (3)（配方法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：， ， 移项得，， 提取公因式得，， 或， 解得，，； （2）解：， ∵，，， ∴， ， ，； （3）解：， 等式两边同时除以2得，， 移项得，， ∴配方得，， 即， 直接开方得，， ，． 57．（24-25九年级上·河南新乡·开学考试）用指定方法解下列方程： (1)（直接开平方法） (2)．（配方法） (3)（用公式法） (4)（用因式分解法） 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． （1）开平方得到，即可求出方程的解； （2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可； （3）写出，求出，代入即可得到方程的解； （4）移项后因式分解得到，则或，即可得到方程的解． 【详解】（1）解：， 开平方得，， ∴或， 解得，； （2）解：， 原方程整理得． 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴，； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴，； （4）解：， 移项得，， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 58．（24-25九年级上·重庆南岸·开学考试）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（十字相乘法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，公式法，以及直接开方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． （1）把常数项4移项后，再在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方，再进行计算即可． （2）找出，，的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解； （3）方程移项后，提取公因式，因式分解得到，然后解两个一元一次方程即可； （4）把方程左边进行因式分解得到，然后解两个一元一次方程即可． 【详解】（1）， ， ， ， ， ，； （2）， ，，，， ， ，； （3）， ， ， ， ， 或， ，； （4）． ， 或， ，． 59．用指定方法解下列一元二次方程． (1) (直接开平方法) (2) (配方法) (3) (公式法) (4) (因式分解法) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键． （1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可； （2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得； （3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可； （4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得． 【详解】（1）， ， ， ∴； （2）， ， ， ， ∴，； （3）， ，，， ， ∴， 即； （4）， ， ， ∴． 60．利用指定方法解一元二次方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解； （2）先把方程变形为，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∵，，， ∴， ∴ 解得：，． （2）解：， ， ， ， ， 或， 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——公式法和因式分解法，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 61．用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可； （4）方程利用因式分解法求出解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 两边都除以3，得， 两边开平方，得， 移项，得， 解得：，； （2）解：， 两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得，即， 解得：， 即，； （3）解：， 这里，，， ， ， 解得：，； （4）解：， 方程左边因式分解，得，即， 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 62．按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)（用配方法） (3)（用求根公式法） (4)（用因式分解法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）开平方得到，即可求出方程的解； （2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可； （3）写出，求出，代入即可得到方程的解； （4）移项后因式分解得到，则或，即可得到方程的解． 【详解】（1）解： 开平方得，， ∴或， 解得； （2） 解：原方程整理得． 二次项系数化1，得：， 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴． （3） ∵， ∴， ∴， ∴； （4） 移项得，， 因式分解得，， ∴或， 解得 【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． 63．用指定方法解下列方程： (1)（配方法）； (2)（因式分解法）； (3)（公式法）． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）利用公式法求解即可． 【详解】（1）原方程可化为， 等式两边加，得， 由完全平方公式得，， ∴或， 所以原方程的解为，． （2）移项得，， 提取公因式，得， 则或， 解得，． （3）， ∵， 由求根公式得， 所以原方程的解为，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法，因式分解法和公式法求根是解题的关键． 64．按照指定方法解下列方程： （1）．（自选方法） （2）．（配方法） （3）（因式分解法） 【答案】（1） ；（2），；（3）． 【分析】（1）原方程整理成一元二次方程的一般形式，用因式分解法即可； （2）先把二次项系数化为1，即两边都除以3，然后配方即可； （3）方程两边分别分解因式，再把左边移项后，提取公因式即可． 【详解】（1）原方程整理得： 即 ∴ （2）方程两边同除以3，得： 配方，得： 根据平方根的定义，得：或 解得：， （3）两边分解因式得：(x+3)(x-3)=2(x+3) 即：(x+3)(x-3)－2(x+3)＝0 提取公因式得：(x+3)(x-5)=0 ∴x+3=0或x-5=0 ∴ 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法较多，有直接开平方法，配方法，公式法及因式分解法等方法，要根据方程的特点灵活选取适当的方法，提高解方程的速度． 65．用指定方法解下列方程： （1）（配方法）； （2）（因式分解法）； （3）（公式法）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）等式两边同时加6，利用完全平方公式进行配方即可求解； （2）先移项，再提取公因式，即可求解； （3）利用公式法即可求解． 【详解】（1）等式两边加6，得 由完全平方公式得， 或 所以原方程的解为； （2）移项得， 提取公因式，得 解得 所以原方程的解为； （3） 由求根公式得 即 所以原方程的解为． 【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的求解方法是解题的关键． 66．请用指定方法解下列一元二次方程： （1）（公式法） （2）（配方法） （3）（因式分解法） 【答案】（1），；（2），；（3）， 【分析】（1）由公式法进行解一元二次方程，即可得到答案； （2）由配方法进行解一元二次方程，即可得到答案； （3）由因式分解法解一元二次方程，即可得到答案． 【详解】解：（1）， ∴， ， ，． （2）方程变形得：， 配方得：， 即， 开方得：， 解得：，； （3） 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法进行解题． 67．解下列方程：（有指定方法必须用指定方法） (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)． (4)． 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了配方法、公式法．因式分解法解一元二次方程．熟练掌握配方法、公式法．因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法进行求解即可； （2）利用公式法进行求解即可； （3）利用因式分解法进行求解即可； （4）整理到一般式后再利用因式分解法进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， 解得，，； （3）解：， ， 或， 解得，； （4）解：， 整理得，， ， 或， 解得，． 68．按指定方法解方程： (1)(配方法)； (2)(公式法) (3) (适当方法)； (4) (配方法) 【答案】(1)，； (2)，； (3)， ； (4) 【分析】（1）先把常数项移到方程的右边，再对左边进行配方，再方程的左右两边同时加上，左边是完全平方式，右边等于，可以解答； （2）根据方程的系数特点，可先确定各个项的系数，然后求出的值，最后套用求根公式解得； （3）根据因式分解法解一元二次方程； （4）根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 移项得，， 配方，得， 即， 所以， 解得，. （2）， ，，， ， ， 所以，. （3）解：∵3， ∴， 则， ∴或， 解得 ． （4）∵， ∴， 则，即 ∴ ， 即 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉配方法，公式法，因式分解法是解题的关键． 69．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）用指定方法解下列方程 (1)用公式法解方程： (2)用配方法解方程： 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：公式法与配方法是解题的关键． （1）根据公式法的步骤求解即可； （2）根据配方法的步骤求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， ， ∴，． 70．请用指定方法解下列方程： (1)公式法：； (2)因式分解法：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据公式法求解即可； （2）先提取公因式4，再利用平方差公式求解． 【详解】（1）方程中，， ∴， ∴； （2）方程可变形为：， 即， ∴或， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，熟练掌握公式法和因式分解法解方程的方法是解题的关键． 【题型3 换元破解复合方程】 71．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）解方程：． 【答案】 【分析】设，则原方程可化为，把方程化为整式方程求出n的值，进而得到关于x的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则原方程可化为， ∴， ∴， 解得， 经检验，都是方程的解， 当时，则， ∴， 此时，方程无实数根； 当时，则， ∴， ∴， 解得或， 经检验，和都是原方程的解； 综上所述，原方程的解为． 72．（25-26八年级上·上海·期中）． 【答案】 ，，， ． 【分析】本题主要考查了用换元法解方程，首先把方程整理成：，设，则原方程可以转化为：，解一元二次方程求出的值，根据的值得到关于的分式方程，继续解分式方程即可求出原方程的解． 【详解】解：， 分组可得：， 方程两边同时乘以可得：， 整理得：， 可得：， 设， 可得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时， 可得：， 整理可得：， 其中， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：，， 经检验：，均为原分式方程的解； 当时， 可得：， 整理可得：， 其中， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ， 经检验：， 均为原分式方程的解； 综上所述，原分式方程的解为：，，， ． 73．（24-25九年级上·江苏南通·自主招生）解下列方程： ． 【答案】，， 【分析】本题考查解一元二次方程和分式方程，熟练掌握换元法和整体思想是解题关键． 设，换元后将原方程转化为关于的一元二次方程，求出的值后，进一步解关于x的方程，检验后得出结果． 【详解】解：设，则，原方程转化为：， 化简，得， 因式分解，得， 解得，，， 当时，， 化简，得， 因式分解，得， 解得，，； 当时，， 化简，得， 解得，； 经检验，，，都是原方程的解， ∴方程的解为，，． 74．解方程：； 【答案；；； 【分析】该题主要考查了换元思想解方程，一元二次方程的解答，分式方程的解答，解题的关键是运用换元法进行整体代换； 设，将原方程化为，解得或，再分别代入求解分式方程的解即可； 【详解】设， 原方程化为， ， 解得或， 当时，， 解得或， 经检验，或是方程的解； 当时，， 解得或， 经检验，或是方程的解． ∴原方程的解为：；；；． 75．（2026八年级下·浙江绍兴·专题练习）解方程：． 【答案】， 【分析】设，则原方程可转化为，求出，即可得出关于x的方程，然后解关于x的分式方程，即可求解． 【详解】解：， 设，则原方程可转化为， 解得：， 当时，， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 当时，， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 综上所述，原方程的解是，． 76．（24-25九年级上·广东江门·月考）解方程：． 【答案】(1)；， (2)，，， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，换元法解方程， 利用换元法，把原方程转化为，解该分式方程后，再得到原方程的解． 【详解】， 设，则 ∴原方程可变形为：， 即， 解得， 当时，， 解得； 当时，， 解得， 经检验，所有解均是方程的根， ∴，. 【题型4 解含绝对值的一元二次方程】 77．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程、绝对值的性质及一元二次方程的解法，解题的关键是通过换元法将含绝对值的复杂方程转化为普通的一元二次方程，再结合绝对值的非负性对解进行取舍． 先根据，将原方程化为；令，将方程转化为关于的一元二次方程，求解得，；根据绝对值的非负性，舍去；解，得，进而求出，． 【详解】解：原方程化为， 令，原方程化成， 解得：，， 当， ， 解得：，； 当时（舍去）． 则原方程的解是，． 78．（24-25九年级上·四川达州·月考）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，，． (2)， 【分析】本题考查的是利用换元法解一元二次方程，掌握解法步骤是关键； （1）把原方程化为：，再按照“范例”中的方法解答即可； （2）把原方程化为：，再按照“范例”中的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则． 解得：，． 当时，， ∴； 当时， ∴； ∴原方程的解是：，，． （2）解：∵， ∴， 即． 设，则， 解得：，． 当时，即， ∴或． 当时，即， ∴方程无解． ∴原方程的解是：，． 79．（24-25九年级上·江苏南京·月考）解方程 【答案】，． 【分析】本题考查了绝对值的意义，换元法解一元二次方程，当所给方程的指数较大，又有倍数关系时，可考虑用换元法降次求解，掌握相关知识是解题的关键． 原方程可化为，设，原方程可化为，求出方程的解，再求出即可． 【详解】解：原方程可化为， 设，原方程可化为， 解得，， 由，得，， 由，此时方程无解， ∴原方程的解为，． 80．（24-25九年级上·河南信阳·月考）阅读下面的材料，解答问题， 材料：解含绝对值的方程：． 解：分两种情况： ①当时，原方程化为：解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得____________ 综上所述，原方程的解是______ 请参照上述方法解方程：． 【答案】，（舍去）；，；， 【分析】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：②当时，原方程化为， 或 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，； ①当时，即时，原方程化为： ∴ 或 解得，（舍去）； ②当时，即时，原方程化为 解得，（舍去）； 综上所述，原方程的解是，． 81．（25-26九年级上·重庆万州·月考）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）分和两种情况，分别去绝对值，然后解方程即可； （2）分和两种情况，分别去绝对值，然后解方程即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ∴， ∴或， 解得或； 当时，原方程为， ∴， ∴或， 解得或； 综上所述，原方程的解为或或； （2）解：当时，原方程为，即， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 当时，原方程为，即， ∴， ∴或， 解得或（舍去）； 综上所述，原方程的解为或． 82．解方程． 【答案】 【分析】仿照例题，分与，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解． 【详解】当，即时， 原方程可化为： 整理得： 解得： 当，即时， 原方程可化为： 整理得 ∵ ∴此方程无实数解， 综上所述，原方程的解为： 【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论化简绝对值是解题的关键． 【题型5 解含参方程】 83．（25-26八年级下·上海·期中）解关于的方程：． 【答案】当时，方程的解为，；当时，方程无实数根 【分析】根据解方程的步骤求解，注意求解时，要分或两种情况讨论即可． 【详解】解： ， ， ， 当时，， ，； 当时，方程无实数根， 综上，当时，方程的解为，；当时，方程无实数根． 84．（24-25八年级下·北京·期中）用适当的方法解下列关于的方程： 【答案】，； 【详解】解：， 分解因式得， ∴或， ∴，； 85．解下列关于x的一元二次方程： (1); (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把原式整理得，再运用因式分解，，令每个因式为0，进行计算，即可作答． （2）先把原式整理得，再运用因式分解，，令每个因式为0，进行计算，即可作答． 本题考查了因式分解解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：整理， 得， 得 ； （2）解：把整理， 得， 则， ， 解得． 86．（24-25八年级下·上海·期中）解关于x的方程：． 【答案】当时，，当时，方程无实数根 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 先变形，再利用直接开平方法求解可得． 【详解】解：， 整理得：，即， 当时，， 当时，方程无实数根． 87．解关于x的方程： 【答案】 【分析】该题主要考查了解一元二次方程和二次根式的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 整理方程后，根据直接开平方法求解即可． 【详解】解： ∴， 当时，等式不成立； 当时，， ∴． 88．解关于x的方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先将方程左边分解因式，再解方程即可； （2）先移项得到，再利用直接开平方的方法解方程即可； （3）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可； （4）先移项，再利用提公因式法把方程左边分解因式，最后解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （4）解：∵， ∴，， ∴， ∴或， 解得． 【题型6 降次化解高次方程】 89．解方程； 【答案】(1)B (2)，，， 【分析】本题主要考查了因式分解法和换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 设，则原方程化为，求出y，再求出x即可． 【详解】解：原方程变形为 设，那么，于是原方程可变为， 解得，． 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴原方程有四个根，，，． 90．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，，， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程，利用换元降次求解一元高次方程． （1）设，则原方程化为，进而求解； （2）设，则原方程化为，进而求解； （3）设，则原方程化为，进而求解； 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； （2）设，则原方程化为， 解得， 当时，，，，； 所以原方程的解为，； （3）. 设，则原方程化为， 解得， 当时，，， 解得：，； 当时，， 解得，； 所以原方程的解为，，0， 91．（24-25九年级上·河南驻马店·月考）（25-26八年级上·浙江·寒假作业）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握整体换元的思想． 设，则原方程可化为，先求出，再解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：设，则原方程可化为 解得：， ①当时，，解得：，； ②当时，，所以方程无解。 综上所述，原方程的根为：，． 92．（25-26八年级上·上海·期中）解方程：（为正整数）． 【答案】当为偶数时，；当为奇数时，或 【分析】本题考查了解一元二次方程，设，则原方程可化为，利用因式分解法求出方程的解，进而分为偶数和奇数两种情况解答即可，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：设， 则原方程可化为， ∴， ∴或， ∴或， 即或， 当为偶数时，，此时仅有， ∴； 当为奇数时，或， ∴或； 综上，当为偶数时，；当为奇数时，或． 93．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 94．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）． 【答案】， 【分析】设，则原方程可化为，解方程，即可求解． 【详解】解：设，则原方程可化为， 解得．             ， 即或， 解得，． 【题型7 升次突破无理方程】 95．（25-26八年级下·上海·月考）解方程： 【答案】， 【分析】根据可看成是，对方程左边进行变形后利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：原方程变形为，， ∴， ∴， ∴或， 当时，即， 两边同时平方得，， 移项、合并同类项得，， 因式分解得，， ∴或， ∴，， 检验：∵， ∴， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， ∴，是原方程的解； 当时，即， 两边同时平方得，， 移项、合并同类项得，， ∵，，， ∴， ∴， 检验：∵， ∴， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， ∴是方程的增根； 综上所述，方程的解为，． 96．（25-26八年级下·上海·月考）解方程： 【答案】 【分析】先将方程两边同时平方得到，则，再同时平方得到一元二次方程，解方程并检验即可． 【详解】解： 两边平方得， 整理得， 两边平方得， 整理得， 解得，， 经检验，是增根， ∴原方程的解为． 97．（25-26八年级上·上海浦东新·月考）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查无理方程的解法、解一元二次方程、解一元一次不等式组，关键在于通过平方去掉根号是关键，同时考虑无理方程有意义．以及对计算结果进行检验． 先求出x的取值范围，再对方程变形进行两次平方，然后解一元二次方程，再检验即可求解． 【详解】解：由题意，， 解得． 将变形，得：， 将方程两边平方可得：，即， 再两边平方可得：． 整理得：． 解得：或． 经检验：是原方程的增根，是无理方程的解． 故原方程的解为． 98．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了无理方程的解法，解题的关键是通过平方将无理方程转化为整式方程，然后进行检验． 先对原无理方程两边平方，转化为整式方程求解，再对求得的解进行检验，舍去增根，得到原方程的根． 【详解】解：两边平方得：， 整理，得， 解得：，， 经检验，是原方程的增根，是方程的根， 所以，原方程的根是． 99．解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查无理方程，将原方程整理为，设，则原方程可变形为，求得，（舍去），再解方程，可得． 【详解】解：， ， ， 设，则原方程可变形为， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 100．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解无理方程，方程移项得，两边平方得，平方整理得，解得，，经检验，是方程的解． 【详解】解：， 移项得，， 方程两边平方，整理得，， 平方整理得， 解得， 经检验得，是方程的解， 所以，方程的解为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $