期末培优：利用导数证明求和型不等式问题复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

期末培优：利用导数证明求和型不等式问题复习讲义 期末培优：利用导数证明求和型不等式问题复习讲义 知识点解析 一、核心思想 求和不等式： 或 核心套路： 1. 构造辅助函数 ，用导数研究单调性、最值，得到局部放缩不等式： 对 ，（或 ）； 2. 把 换成正整数 ，得到数列单项放缩：； 3. 对 累加，右侧裂项相消求和，完成证明。 二、两大基础工具 1. 导数判定函数单调性 设函数 ，求导 ： - 在区间单调递增； - 在区间单调递减。 通过单调性比较 与常数/一次/分式函数大小。 2. 高频标准放缩模型（导数证明得来，直接用） 1. ，等号 ； 1. ； 1. ； 1. ；； 1. ；（对数裂项） 三、通用标准解题步骤 步骤 1：观察通项，确定要证的单项不等式 待证： 先猜测：存在 ，满足 ，且 可裂项求和； 令 ，把数列不等式升级为连续函数不等式 。 步骤 2：构造函数，导数证明放缩式 构造 ，定义域 ； 求导 ，判断单调性； 结合 ，推出 时 。 步骤 3：离散化，令 得到数列放缩 对任意正整数 ，。 步骤 4：累加求和，右侧裂项相消 得到目标不等式。 五、关键解题技巧 1. 放缩尺度控制 若直接放缩后求和结果过松，得不到目标上界/下界，换精度更高的辅助函数； 例：不用 ，改用 精细放缩。 1. 起点调整 单独验证， 再用导数放缩（避免 取等号导致放缩失效）。 1. 不等号方向把控 · 要证和小于某式：通项找上界 ； · 要证和大于某式：通项找下界 。 1. 函数定义域选择 数列 ，函数统一设 ，贴合整数取值，不用 。 例题分析 例1．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知函数，. (1)求函数在区间上的值域； (2)若对任意的 ，都有，求实数 的取值范围； (3)设，且，证明：. 【答案】(1) (2) (3)当时，由（2）得对任意的有，即， 因此，且，即， 由（1）可知当时，，即， 可得当且时，， 所以， 所以 . 【分析】（1）求导，判断函数的单调性，根据单调性求出函数的值域； （2）令，求其导数，因为，由，解得，分和分别讨论函数单调性，从而分析不等式是否成立； （3）当时，由（2）得对任意的有，因此，且，即，根据（1）得，进而得，即可得证. 【详解】（1），令，则， 当时，，所以，所以， 当时，，所以，所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以在上恒成立，所以在上单调递减， 所以，又， 所以函数在区间上的值域为； （2）令，则， 因为，由，解得， 当时，，因此在区间上单调递减， 所以，即在区间上恒成立， 当时，存在，使得当时，， 因此在区间上单调递增， 当时，，即在区间上不恒成立， 所以实数的取值范围为； （3）略 例2．（25-26高二下·湖北襄阳·阶段检测）已知函数的图象在点处的切线方程为 . (1)用表示出； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)证明： 【答案】(1)， (2) (3)先证左边：由（2）知：当时，在上恒成立， 那么当时，，， 则， 则在上恒成立， 又，中的等号在处取得， 则在上恒成立， 令 依次取，，，…，可得： ，，，…，， ， ， ， .左边得证. 再证右边： 方法一：令，因为， 所以 在上是单调递减函数，在上是单调递增函数， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以右边得证. 方法二：先证明不等式， 证明如下：设， ， 当时，，则在上是单调递增函数， 又， 则当时，，即； 设， 而， 当时， ，则在上是单调递增函数， 又， 则当时，，即； 综上可得，. 设，则， 即，又，则，下同方法一. 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，从而得到关于的等式，利用得到 关于的等式. （2）构造函数，分别按照和讨论求解，利用导数求出单调性，从而得到的取值范围. （3）先证左边：由（2）得到当时，在上恒成立，那么当时，在上恒成立；将 依次取，，，…，代入，得到不等式组，将这些不等式组相加计算得到，左边得证.再证右边：方法一：构造函数，利用导数法求出 的单调性，利用单调性得到，从而得到 ，即可得到，通过求和得到，所以右边得证.方法二：利用飘带不等式，，对左边赋值得到，下同方法一进行证明即可. 【详解】（1），， 的图象在点处的切线方程为 ， ，； 又，. （2）由（1）得， 令， 则在上恒成立； ， 令，解得：，； 当，即时，在上恒成立， 在上单调递增，，满足题意； 当，即时， 若，则 ，则在上单调递减， 此时，不合题意；综上所述：的取值范围为. （3）略. 例3．（25-26高二下·湖北·阶段检测）已知在处的切线方程为. (1)求和； (2)证明：时，； (3)对，证明：. 【答案】(1)， (2)证明：令， 可得， 所以在上单调递增，所以， 所以，即， 又因为，可得，所以， 则，即. (3)证明：由（2）知：当时，， 所以， 同理可得：，， 所以， 所以. 【分析】（1）根据题意，得到，求得，求得，结合，求得的值； （2）令，求得，得到，即，得到，即可得证； （3）由（2）中的结论，求得，，，结合对数的运算公式，即可得证. 【详解】（1）解：因为在处的切线方程为， 可得，即，可得，则， 又由，可得. （2）略 （3）略 例4．（2026·天津南开·模拟预测）已知函数， (1)讨论函数的单调性； (2)，都有 ， （ⅰ）求取值的集合； （ⅱ）设在点处的切线交轴于点，，若， ，求证： ． 【答案】(1)见解析 (2)；证明见解析 【分析】（1）求导，分情况讨论单调性； （2）（ⅰ）先将不等式变形为对恒成立，令可得到的初步范围，再构造辅助函数，通过求导分析函数最大值，结合最大值满足的条件确定的取值集合； （ⅱ）先利用（ⅰ）得到的值确定，再求的导数写出切线方程，代入的坐标得到与的递推关系，结合的定义推导的递推公式，最后对求和式进行放缩，利用不等式放缩证明求和结果小于1. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 分母，导数符号由分子决定： 当时，恒成立，故在和上单调递增； 当时，，此时，为常函数，无单调性； 当时，恒成立，故在和上单调递减； （2）(i)令，则题意等价于对恒成立， ， ， 分母，故的符号由分子决定， 分情况讨论： 当时： 对，，故在上单调递减； 当时，，因此，与恒成立矛盾，舍去； 当时： 令，得，，符合定义域， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 故在处取得最大值，需满足， 代入计算最大值：， 令，则上式变为， 对求导：， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 故在处取得最小值，即对成立，当且仅当时取等号， 因此，的唯一解为，即， 综上，取值的集合为； (ii) 由(i)知，， 在点处的切线方程为：， 切线交轴于，代入解得：， 整理得：， 令，则：， 已知，故， 由递推式得， 当： 左边：； 右边：； 左右相等； 假设当时，结论成立，即：， 根据递推公式：， 将归纳假设代入：，， 即：，故时结论也成立； 故对任意自然数，恒有， 由，得，且， 由，得：， 求和得：, 代入，得： 因，故，因此：得证． 变式训练 变式1．（2026·河南·三模）已知函数，其中． (1)若为增函数，求m的取值范围； (2)若关于x的不等式在区间内有解，求m的取值范围； (3)证明：． 参考数据：，． 【答案】(1) (2) (3)证明：． 由参考数据，可得， 所以当时，, 又因为，所以， 原不等式得证. 【分析】(1) 利用分离参数法，问题转化为对恒成立，从而求出的取值范围； (2) 令，不等式等价转化为, 接着等价转化为存在，使得,再对进行分类讨论； (3) 根据可得题设中的不等式. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为为增函数，所以 恒成立， 即对恒成立， 令，则， 故， 当时， ，单调递增;当时， ，单调递减, 所以在处取得最大值为，所以 ， 故的取值范围为; （2）因为，所以， 两边除以（）,整理得 因为，令，不等式转化为, 构造函数，,令 得, 当时， ，单调递减, 当时，，单调递增, ，而，故， 故存在，使得，故的解为, 原不等式等价于：存在，使得, 设（），导数，令得 在单调递减，在单调递增,最小值为 故，解得时，所以的取值范围为. （3）略. 变式2．（2026·云南·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，，求的取值范围； (3)证明：，，． 【答案】(1) (2) (3)由（2）知，，当且仅当时，等号成立， 所以当时，． 当，时，，令，得，即． 因， 所以． 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率得解； （2）先探索出，此时有，再利用导数证明即可； （3）由（2）可得当，时，，令，化简即可得证. 【详解】（1）当时，，． ， 故所求切线方程为，即． （2）因为，，，所以 因，由，可得． 下面证明当时，，． 当时， 令函数，． ， 所以在上单调递减，所以， 即当时，，． 综上，a的取值范围是. （3）略 变式3．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数（）. (1)当时，求的单调区间和极值. (2)设，在上存在两个不同的零点 ，（）. ①证明：对满足，的非零常数m，恒成立； ②当时，证明：. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 ，极大值，无极小值. (2)①证明见解析；②证明见解析. 【分析】（1）将代入，求定义域后对求导，令导数为0得到临界点，根据导数正负判断单调区间，再代入临界点求极值即可； （2）①先写出表达式，利用作差，得到参数与零点的关系式，整理得到，由均值不等式得到，将原不等式转化为证明，换元，构造函数，通过求导判断单调性，证明 ，完成证明，②先由得到，再利用变量代换令，得到，最后求和即可得证. 【详解】（1）当时，，定义域为， 求导得到， 令，得到或（舍去）， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以单调递增区间为，单调递减区间为 ， 因此，在处取得极大值，无极小值. （2）①：因为，所以， 由得到， 两式相减得到，即， 得到 由均值不等式，当且仅当时取等， 因此 故， 只需证明， 即， 因为，代入即证， 令，即证，即证， 设，，则， 令，则 在内单调递减，且，所以在内， 即在内，所以在内单调递增，则 所以得证； 故恒成立； ②：由①得到，即， 令， 则，即， 所以得证. 变式4．（25-26高二下·湖北·阶段检测）已知，其中 (1)当时，求在处的切线方程； (2)若在时恒成立，求的取值范围； (3)求证：，其中． 【答案】(1) (2) (3)由（2）的结论，当时，对，有 ， 即 令（），则 则， 左边 右边 因此 即 . 【分析】（1）先将代入得到具体函数，再求，用点斜式即可写出切线方程； （2）分离参数，构造对应的新函数，求的导函数分析其单调性，通过求的极限得到的取值范围； （3）利用第二问得到的合适的不等式结论，通过累加消去中间项，再对剩余项放缩即可证明结论. 【详解】（1）当时，，定义域为. 求导得,则， 又 则在处的切线方程为，即. （2），对恒成立，等价于在上恒成立， 令，,则 令，化简得， 则 令，则 当时，，故在上单调递增，且，则，故在单调递增， 又，故，即，故在上单调递增. 由洛必达法则， 故，因此. 所以的取值范围是. （3）略 实战演练 1．（2026·青海西宁·二模）已知函数． (1)当时，若，求实数的取值范围； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）构造函数，利用导数分情况讨论其在时的单调性，结合，判断不同下的符号，从而确定的取值范围； （2）利用（1）的结论，令，得，对到求和，通过对数裂项相消化简，结合证得不等式． 【详解】（1）已知时，，即， 设，，则， 当时，因为，所以，所以， 在上单调递增，所以，满足； 当时，，解得， 时，，单调递减， 此时，不满足； 当时，，在上单调递减， 此时，不满足； 综上，实数的取值范围为； （2）由（1）知，当时，对恒成立， 令，则， 所以，，，…，， 将以上不等式左右分别相加得， 因为，且在上单调递增，所以， 所以． 2．（2026·湖南长沙·三模）已知函数，函数 (1)讨论函数单调性 (2)当时， ①求证：； ②设，求证：. 【答案】(1)当时，在定义域上单调递增，当时，的减区间为，增区间为 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分和两种情况，即可求解； （2）①求的单调区间，进而求出的最小值，即可求解；②构造函数，利用导数，求出的单调性，再求出的最小值，从而得到，再分和，裂项相消，即可求解. 【详解】（1）易知的定义域为，， 当时，恒成立，此时在区间上单调递增， 当时，令，即，解得， 当时，，当时，， 此时，的减区间为，增区间为， 综上所述，当时，在定义域上单调递增， 当时，的减区间为，增区间为. （2）①当时, 令，易知的定义域为， ，易知在区间上单调递增， 又，所以存在，使，即， 当时，，当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，由，得到，， 所以，当且仅当时取等号， 又，所以，即. ②由①知，令， 则，令，则， 又，则， 所以在区间上单调递增， 所以， 则在区间上单调递增， 则，所以， 则时，，即，所以， 当时，，所以时，， 当时， ， 综上所述，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $null