专题04 利用导数研究不等式恒成立与能成立问题（含端点效应（必要性探路）、洛必达法则）6大题型（期末复习讲义）高二年级数学下学期人教A版

专题04 利用导数研究不等式恒成立与能成立问题 （含端点效应（必要性探路）、洛必达法则）6大题型 （期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 恒成立问题 题型02 能成立（有解）问题 题型03 参变分离 题型04 洛必达法则 题型05 端点效应与必要性探路 题型06 恒成立问题中的整数最值问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 01：恒成立问题 能将“（或）在给定区间上恒成立”转化为函数最值问题（或分离参数后求最值），正确求解参数范围 解答题核心考点，常与分类讨论、构造函数结合，易错点在于最值点是否在区间内，以及等号的取舍 02：能成立（有解）问题 能将“存在 使 （或）成立”转化为函数最大值非负（或最小值非正），或分离参数后转化为值域问题，求解参数范围 与恒成立对称考查，注意逻辑词转换，易混淆“任意”与“存在”的条件，需强化等价转化训练 03：参变分离 能在恒成立或有解问题中，将参数与变量分离，转化为求不含参函数的最值或值域，简化分类讨论 重要解题技巧，简化运算，注意分离后函数定义域及极限情况，以及分离后参数系数的正负对不等号方向的影响 04：洛必达法则 能使用洛必达法则求解分式型函数在端点处未定式（ 或 ）的极限，用于确定参数范围或证明不等式 高端技巧，部分压轴题可用，需注意使用条件（函数可导且分母导数不为零），避免盲目使用 05：端点效应（假性端点）与必要性探路 能利用区间端点函数值或导数值满足的条件，先求出参数的必要范围，再验证充分性，从而简化分类讨论 压轴题优化策略，可快速锁定参数范围，节省时间，易错点在于只求必要性而忘记验证充分性 06：恒成立问题中的整数最值问题 能结合函数单调性与整数特性，通过分离参数或直接分析，求解使不等式恒成立（或有解）的整数参数的最值（如最大整数、最小整数） 常与分离参数、估值法结合，考查数感与逼近思想，易错点在于整数端点处的取舍判断 知识点1.恒成立问题常见类型 自变量，范围为，为函数；为参数， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 知识点2.能成立（有解）问题常见类型 自变量，范围为，为函数；为参数， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 知识点3.端点效应的类型 1.如果函数 在区间 上恒有 ，则端点值满足 且 。 2.（左端点情形）如果函数 在区间 上恒有 ，且 ，且 在 处可导，则 。 （右端点情形）如果函数 在区间 上恒有 ，且 ，且 在 处可导，则 。 3.（左端点情形）如果函数 在区间 上恒有 ，且 ，，且二阶可导，则 。 （右端点情形）如果函数 在区间 上恒有 ，且 ，，且二阶可导，则 。 知识点4.洛必达法则： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 题型一 恒成立问题 解｜题｜技｜巧 恒成立问题常见处理方法：①分离参数，化为 或 对定义域内所有 成立，转化为求 的最大值或最小值；②直接构造新函数 ，利用导数求其最小值，令最小值 （或 ）。若参数不可分离，则需对参数分类讨论，结合导数零点划分单调区间，最终通过最值条件求解。注意端点及定义域的限制。 【典例1】（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的取值范围； 【典例2】（24-25高二下·吉林·期末）已知函数，（）. (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若对于任意的恒成立，求a的取值范围； 【变式1】（24-25高二下·山东聊城·期末）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时，恒成立，求实数a的取值范围． 【变式2】（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数，. (1)判断的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 题型二 能成立（有解）问题 解｜题｜技｜巧 “存在 使得不等式成立”等价于不等式对应函数的最值满足条件：存在 使 ⇔ ；存在 使 ⇔ 。分离参数后： 有解 ⇔ ； 有解 ⇔ 。注意与恒成立问题的最值方向恰好相反。 【典例1】（24-25高二下·四川广元·期末）已知函数． (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围． 【典例2】（24-25高二下·河南郑州·期末）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若，，使得，求实数的取值范围. 【变式1】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）已知函数. (1)求的导函数； (2)求在上的单调区间； (3)存在，使得成立，求实数的取值范围； 题型三 参变分离 解｜题｜技｜巧 参变分离是处理含参恒成立、有解问题的重要技巧。将参数与变量分列不等式两侧，使一侧只含参数，另一侧只含变量（如 或 ）。分离时需注意分母的正负：若分母恒正或恒负可直接乘；若分母变号则需分类讨论。分离后，问题转化为求不含参函数 的最值或值域。 【典例1】（24-25高二下·广东佛山·期末）已知函数（，）. (1)当时，求证：； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求a的取值范围. 【典例2】（25-26高二下·北京·期中）已知函数，. (1)若， （i）求函数在处的切线方程； （ii）求证：是函数的极小值点； (2)若，恒成立，求整数的最大值. 【变式1】（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 【变式2】（2026·重庆·二模）已知函数 (1)若，求函数的单调区间； (2)若对任意，恒有成立，求实数的取值范围. 题型四 洛必达法则 解｜题｜技｜巧 洛必达法则用于求解 或 型的极限，在导数大题中常用于处理分离参数后函数在端点处无定义的情形（如 时极限）。使用步骤：确认极限为未定式，分子分母分别求导，再求导后函数的极限（可重复使用），直到得到确定值。注意：仅当极限存在（或为无穷）时可用，且不能与参数分离的合法性冲突；在高考解答题中建议先分离参数，再用洛必达求临界值，最后用导数严格验证。 【典例1】已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为______． 【典例2】已知函数，.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【变式1】，恒成立，求的取值范围 【变式2】已知函数，如果当，且时，，求的取值范围． 题型五 端点效应与必要性探路 解｜题｜技｜巧 对闭区间 上的恒成立问题，先代入端点（如 或 ）得到参数的必要条件，从而缩小参数范围。若端点处函数值为零且导数为零，可能属于“假性端点”，此时需进一步考虑二阶导甚至三阶导（泰勒展开）或利用放缩法。解题流程：必要性探路（取端点得参数范围）→ 在缩小后的范围内证明充分性（往往用导数分析单调性），必要时对参数再细分讨论。 【典例1】已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 【典例2】已知，为常数. （1）讨论的单调性； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围. 【变式1】已知函数． （1）设是的极值点．求，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 【变式2】已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若在区间上恒成立，求实数a的取值范围． 题型六 恒成立问题中的整数最值问题 解｜题｜技｜巧 此类问题要求参数为整数，且不等式恒成立。常用策略：先忽略整数条件，通过分离参数或构造函数求出参数的大致范围（通常含根号或对数）；再结合整数特性，利用不等式两端相邻整数的取值进行验证。例如，若求得 ，而 介于两个整数 与 之间，则分别检验 和 是否满足恒成立，从而确定最小整数或最大整数。有时需要利用函数的单调性直接比较整数点处的函数值。 【典例1】（24-25高二下·河南·期末）已知函数． (1)求的极值； (2)若恰有3个零点，求的取值范围； (3)若在定义域上单调，求整数的最大值． 【典例2】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知函数，． (1)若，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意，有恒成立，求整数的最小值． 【变式1】（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知函数． (1)若函数有个零点，求的取值范围； (2)令，讨论的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【变式2】（25-26高二下·山东济南·期中）函数. (1)求的单调区间； (2)若只有一个解，求的值； (3)在（2）的条件下，当时，求使成立的最大整数. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·广东茂名·期末）已知，恒成立，则a的取值范围是________. 2．（24-25高二下·河北唐山·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 3．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若不等式有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·广东肇庆·阶段检测）函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 6．已知函数，其中e是自然对数的底数． (1)求函数在区间上的最大值； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 7．（24-25高二下·福建漳州·期末）设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； (2)若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 利用导数研究不等式恒成立与能成立问题 （含端点效应（必要性探路）、洛必达法则）6大题型 （期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 恒成立问题 题型02 能成立（有解）问题 题型03 参变分离 题型04 洛必达法则 题型05 端点效应与必要性探路 题型06 恒成立问题中的整数最值问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 01：恒成立问题 能将“（或）在给定区间上恒成立”转化为函数最值问题（或分离参数后求最值），正确求解参数范围 解答题核心考点，常与分类讨论、构造函数结合，易错点在于最值点是否在区间内，以及等号的取舍 02：能成立（有解）问题 能将“存在 使 （或）成立”转化为函数最大值非负（或最小值非正），或分离参数后转化为值域问题，求解参数范围 与恒成立对称考查，注意逻辑词转换，易混淆“任意”与“存在”的条件，需强化等价转化训练 03：参变分离 能在恒成立或有解问题中，将参数与变量分离，转化为求不含参函数的最值或值域，简化分类讨论 重要解题技巧，简化运算，注意分离后函数定义域及极限情况，以及分离后参数系数的正负对不等号方向的影响 04：洛必达法则 能使用洛必达法则求解分式型函数在端点处未定式（ 或 ）的极限，用于确定参数范围或证明不等式 高端技巧，部分压轴题可用，需注意使用条件（函数可导且分母导数不为零），避免盲目使用 05：端点效应（假性端点）与必要性探路 能利用区间端点函数值或导数值满足的条件，先求出参数的必要范围，再验证充分性，从而简化分类讨论 压轴题优化策略，可快速锁定参数范围，节省时间，易错点在于只求必要性而忘记验证充分性 06：恒成立问题中的整数最值问题 能结合函数单调性与整数特性，通过分离参数或直接分析，求解使不等式恒成立（或有解）的整数参数的最值（如最大整数、最小整数） 常与分离参数、估值法结合，考查数感与逼近思想，易错点在于整数端点处的取舍判断 知识点1.恒成立问题常见类型 自变量，范围为，为函数；为参数， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 知识点2.能成立（有解）问题常见类型 自变量，范围为，为函数；为参数， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 知识点3.端点效应的类型 1.如果函数 在区间 上恒有 ，则端点值满足 且 。 2.（左端点情形）如果函数 在区间 上恒有 ，且 ，且 在 处可导，则 。 （右端点情形）如果函数 在区间 上恒有 ，且 ，且 在 处可导，则 。 3.（左端点情形）如果函数 在区间 上恒有 ，且 ，，且二阶可导，则 。 （右端点情形）如果函数 在区间 上恒有 ，且 ，，且二阶可导，则 。 知识点4.洛必达法则： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 题型一 恒成立问题 解｜题｜技｜巧 恒成立问题常见处理方法：①分离参数，化为 或 对定义域内所有 成立，转化为求 的最大值或最小值；②直接构造新函数 ，利用导数求其最小值，令最小值 （或 ）。若参数不可分离，则需对参数分类讨论，结合导数零点划分单调区间，最终通过最值条件求解。注意端点及定义域的限制。 【典例1】（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数，． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可得； （2）由题问题转化为在上恒成立，设，利用导数判断单调性求出最值得解. 【详解】（1）因为，，， 所以在处的切线方程为，即. （2）由可知，，， 即在上恒成立， 设，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增， 所以时，取得最小值，最小值为， 由题意知，即，故的取值范围为. 【典例2】（24-25高二下·吉林·期末）已知函数，（）. (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若对于任意的恒成立，求a的取值范围； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）讨论、，并应用导数研究不等式恒成立求参数范围. 【详解】（1）由题设，则， 所以，，则的图象在处的切线方程为， 所以切线方程为； （2）对恒成立，， 设（），则， 当，即时，在上单调递增， 且，所以， 即，此时在上单调递增，且， 所以对恒成立. 当，即时，令，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，又，在上恒有，即， 函数在上单调递减，且，在上有，不符合题意. 综上，，即实数a的取值范围为. 【变式1】（24-25高二下·山东聊城·期末）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)增区间是和，减区间是； (2) 【分析】（1）利用导数确定单调区间； （2）分离参数后，构造新函数，由导数求得新函数的最值后得结论. 【详解】（1）时，，， 或， 当或时，，当时，， 所以增区间是和，减区间是； （2）， 不等式为， 即在上恒成立， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以，即取值范围是. 【变式2】（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数，. (1)判断的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) 答案见解析 (2) 【分析】（1）先对求导，再对分，，三类讨论，分别求出的单调性与单调区间. （2）（方法一）运用换元法，将换元为，参变分离得，对其求导讨论单调性即可求出最小值.（方法二）对求导，再对分，两类讨论，分别求出恒成立的条件，即可求出a的取值范围. 【详解】（1）∵，∴. 当时，， ∴在和上单调递减； 当时，令，得， 令，得或， ∴在上单调递增，在和上单调递减； 当时，令，得， 令，得或， ∴在上单调递增，在和上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减. （2）（方法一）∵恒成立， ∴恒成立. 令，则. 令，则在上单调递增. ∵，∴由，得. 由，得. 令，则， 当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴，∴. （方法二）令， 则恒成立. . ①当时，∵， ∴，∴在上单调递增. ∵，∴不是恒成立. ②当时，由，得， 由，得， 则在上单调递减，在上单调递增， ∴. ∵函数在上单调递增，且， ∴当时，恒成立. 题型二 能成立（有解）问题 解｜题｜技｜巧 “存在 使得不等式成立”等价于不等式对应函数的最值满足条件：存在 使 ⇔ ；存在 使 ⇔ 。分离参数后： 有解 ⇔ ； 有解 ⇔ 。注意与恒成立问题的最值方向恰好相反。 【典例1】（24-25高二下·四川广元·期末）已知函数． (1)求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线方程的求解方式求切线方程即可； （2）根据题意，利用导数求函数在的最小值即可. 【详解】（1），，， 所以函数的图象在处的切线方程为. （2）由（1）知， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 又在上有解，所以. 【典例2】（24-25高二下·河南郑州·期末）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导，并因式分解，分、、讨论，并比较两根大小，根据的取值范围，求函数的单调区间； （2）根据题意得，根据函数性质分别求出两函数的最大值，比较大小得实数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， . ①当时，由可得，由可得， 此时，函数的增区间为，减区间为； ②当时，即当时， 由可得；由可得或， 此时，函数的增区间为和，减区间为； ③当时，即当时，对任意的，恒成立且不恒为零， 此时，函数的单调递增区间为； ④当时，即当时， 由可得；由可得或， 此时，函数的增区间为和，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为. （2）若，，使得，则， ，故在上单调递增， 当时，取得最大值1，即. 由（1）知，当时，， 令，得，故. 当时，无最大值，不符合题意. 综上所述：实数的取值范围为. 【变式1】（24-25高二下·江苏南京·期末）已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1)极大值是，极小值是； (2) 【分析】（1）由题意可得，，求得函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，求函数的极值； （2）根据（1）的结果求函数的最值，不等式可得，即可求解得到取值范围. 【详解】（1），由导数的几何意义可知，， 且，得， 所以，，得或， ，得或，，得， 所以的增区间是和，减区间是， 所以的极大值是，极小值是； （2）由（1）可知，在区间单调递增，在区间单调递减，， 所以在区间的最大值为，， 若存在，使得不等式成立，则， 所以. 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）已知函数. (1)求的导函数； (2)求在上的单调区间； (3)存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)； (2)减区间，增区间； (3). 【分析】（1）利用商的导数法则求导即可； （2）利用导数的正负判断单调性即可； （3）利用分类讨论思想，通过构造函数求导，来研究最大值成立，即存在性问题成立即可. 【详解】（1）求导得： （2）当时，，当时，， 所以的减区间是，增区间是； （3）由，可得， 题意等价于在上有解. 设，求导得， 当时，递增，， 所以存在，即，使得成立； 当时，时，在在递增，时，在递减， 所以， 由得， 所以存在，即，使得成立， 综上，. 题型三 参变分离 解｜题｜技｜巧 参变分离是处理含参恒成立、有解问题的重要技巧。将参数与变量分列不等式两侧，使一侧只含参数，另一侧只含变量（如 或 ）。分离时需注意分母的正负：若分母恒正或恒负可直接乘；若分母变号则需分类讨论。分离后，问题转化为求不含参函数 的最值或值域。 【典例1】（24-25高二下·广东佛山·期末）已知函数（，）. (1)当时，求证：； (2)讨论的单调性； (3)当时，，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）构造函数结合函数单调性得出函数最小值证明求解； （2）求出导函数，再分，，，四种情况，得到函数的单调性； （2）参变分离得到，构造函数，求导得到其单调性和最大值，从而得到答案. 【详解】（1）当时，设， 所以单调递增， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 所以，所以， 所以； （2）函数的定义域为，求导得， 当时，， 当时，单调递增；当时，单调递减； 当时，，     令，解得， 当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增； 当时，，     令，解得， 当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增； 当时，，     令，解得， 当时，单调递增； 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递增； （3）当时，符合题意； 当时，，则等价于恒成立， 令， ， 由（1）知，所以，， 当时，单调递减；当时，单调递增； 则， 因为恒成立，所以， 所以， 实数的取值范围为. 【典例2】（25-26高二下·北京·期中）已知函数，. (1)若， （i）求函数在处的切线方程； （ii）求证：是函数的极小值点； (2)若，恒成立，求整数的最大值. 【答案】(1)（i）；（ii）证明见解析 (2)2 【分析】（1）（i）根据导数的几何意义求解即可. （ii）根据导数与单调性，极值的关系证明即可. （2）通过分离参数得到，构造函数，，根据导数与单调性、最值的关系，结合零点存在定理及已知条件求解即可. 【详解】（1）（i）当时，，则， 又，， 所以在处的切线方程为. （ii）当时，，则 令，则， 当时，，单调递增，即在上单调递增. 又， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因此为的极小值点. （2）当时，， 因此可变形为，即. 设， 则， 设，则，所以在单调递增， 又，， 因此在存在唯一零点，，且， 当时，；当时，； 又当时，，， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因此在时取得最小值，即. 又，即，所以. 因为，所以， 又，所以， 又是整数，所以的最大值为2. 【变式1】（25-26高二下·浙江金华·阶段检测）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增. (2). 【分析】（1）通过求导判断符号，确定函数单调区间； （2）分离参数转化为函数最值问题，求得参数范围为 【详解】（1）当时，，定义域为. . 令，即，解得. 当时，，即，故在上单调递减； 当时，，即，故在上单调递增. 综上，在上单调递减，在上单调递增. （2）对，恒成立. 因为，所以分离参数可得恒成立. 则题干问题等价于，令. 求导得. 令，即，解得. 当时，，故，在上单调递减； 当时，，故，在上单调递增. 因此在处取极小值同时也为最小值，. 所以，即的取值范围是. 【变式2】（2026·重庆·二模）已知函数 (1)若，求函数的单调区间； (2)若对任意，恒有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间 (2) 【分析】（1）当时，求得，得到当时，恒成立，即可得到答案； （2）根据题意，转化为在上恒成立，令，求得，得到在上单调递减，结合时，，得到，进而得到答案. 【详解】（1）解：当时，函数，且， 可得， 当时，，可得； 当时，，可得， 当时，， 综上可得，当时，恒成立， 所以在区间上单调递增，无单调递减区间. （2）解：函数，定义域为， 若对于任意时，恒成立，即， 可得在上恒成立， 令，可得， 当时，由，可得， 当时，可得， 当时，由，可得， 综上，当时，，所以在上单调递减， 当时，由，此时，所以 因为在上恒成立，即，所以， 经验证： 当时，，可得， 当时，由，可得，单调递减； 当时，由，可得，单调递增， 所以在处取得最小值，且， 此时对于任意，，满足题意； 当时，当时，， 则存在充分接近的，使得，即， 即，此时不满足恒成立， 综上可得，实数的取值范围为. 题型四 洛必达法则 解｜题｜技｜巧 洛必达法则用于求解 或 型的极限，在导数大题中常用于处理分离参数后函数在端点处无定义的情形（如 时极限）。使用步骤：确认极限为未定式，分子分母分别求导，再求导后函数的极限（可重复使用），直到得到确定值。注意：仅当极限存在（或为无穷）时可用，且不能与参数分离的合法性冲突；在高考解答题中建议先分离参数，再用洛必达求临界值，最后用导数严格验证。 【典例1】已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】按分段讨论，在时分离参数构造函数，利用导数探讨单调性，再利用洛必达法则求解即得. 【详解】当时，，不等式成立； 当时，，令，依题意，， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 函数在上单调递增，由洛必达法则知， 因此恒成立，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【典例2】已知函数，.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】由题意可得，分、、三种情况，结合洛必达法则求解即可. 【详解】因为对任意，不等式恒成立， 即在内恒成立， 即在内恒成立， ①当时，，不等式成立； ②当时，，不等式成立； ③当时，即， 令， 则 ， 所以在内单调递增， 由洛必达法则得， 所以，故的取值范围是. 【变式1】，恒成立，求的取值范围 【答案】 【分析】根据题意，先讨论的情况，然后讨论的情况，分离参数，利用导数求其最值，即可得到结果. 【详解】当时，; 当时，不等式可化为. 记， 则， 记，则， 当时，则; 当时，则. 因为，并且，所以. 这时符合题意. 综上可知，的取值范围是. 【变式2】已知函数，如果当，且时，，求的取值范围． 【答案】 【分析】将题意转化为，令，利用洛必达法则求出，即可得出答案. 【详解】根据题目的条件，当且时， 得，等价于． 设，， 因为，设， 则， 所以在上单调递增， 因为，所以当时，， 即在上单调递减，当在上单调递增． 当趋近时，趋近，当趋近时，趋近， 所以符合洛必达法则的条件， 即， 所以当时， 所以的取值范围是． 题型五 端点效应与必要性探路 解｜题｜技｜巧 对闭区间 上的恒成立问题，先代入端点（如 或 ）得到参数的必要条件，从而缩小参数范围。若端点处函数值为零且导数为零，可能属于“假性端点”，此时需进一步考虑二阶导甚至三阶导（泰勒展开）或利用放缩法。解题流程：必要性探路（取端点得参数范围）→ 在缩小后的范围内证明充分性（往往用导数分析单调性），必要时对参数再细分讨论。 【典例1】已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2） 【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可. (2)方法一：首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围. 【详解】(1)当时，，， 由于，故单调递增，注意到，故： 当时，单调递减， 当时，单调递增. (2) [方法一]【最优解】：分离参数 由得，，其中， ①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②.当时，分离参数a得，， 记，， 令， 则，， 故单调递增，， 故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此，, 综上可得，实数a的取值范围是. [方法二]：特值探路 当时，恒成立． 只需证当时，恒成立． 当时，． 只需证明⑤式成立． ⑤式， 令， 则， 所以当时，单调递减； 当单调递增； 当单调递减． 从而，即，⑤式成立． 所以当时，恒成立． 综上． [方法三]：指数集中 当时，恒成立， 记， ， ①.当即时，，则当时，，单调递增，又，所以当时，，不合题意； ②.若即时，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，又， 所以若满足，只需，即，所以当时，成立； ③当即时，，又由②可知时，成立，所以时，恒成立， 所以时，满足题意. 综上，. 【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有： 方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究； 方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性； 方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！ 【典例2】已知，为常数. （1）讨论的单调性； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】（1）求出函数的导数，讨论和根据导数正负可得； （2）由可得，先讨论，易得满足题意，再讨论，由导数结合零点存在性定理可得不满足题意. 【详解】（1）， 当时，，在上单调递减； 当时，由得，；由得，. 故在递减，在递增. （2）由得，，，∴. ①当时，由（1）知，在上单调递增，∴， ②当时，令， 则， ，， 当时，， 由得，， ∴时，， 从而，由零点存在定理知，存在，使得. 当时，，此时，，不合题意. 当时，， 由得，， ∴时，， 从而，由零点存在定理知，存在，使得， 当时，，此时，，不合题意. 综上，. 【点睛】本题考查了利用导数讨论函数的单调性，考查了不等式的恒成立问题，解题的关键是正确分段讨论参数的范围，构造恰当的函数讨论单调性，考查学生的计算能力和转化能力. 【变式1】已知函数． （1）设是的极值点．求，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 【答案】(1)a=；增区间为，减区间为．(2)证明见解析. 【分析】（1）先确定函数的定义域，利用，求得a=，从而确定出函数的解析式，再解不等式即可求出单调区间； （2）方法一：结合指数函数的值域，可以确定当时，，之后构造新函数，利用导数研究函数的单调性，从而求得，利用不等式的传递性，证得结果. 【详解】（1）的定义域为，，则，解得：，故．易知在区间内单调递增，且， 由解得：；由解得：， 所以的增区间为，减区间为． （2）［方法一］：【最优解】放缩法 当时，. 设，则. 当时，； 当时，.所以是的最小值点. 故当时，.因此，当时，. ［方法二］：【通性通法】隐零点讨论 因为，所以在区间内单调递增．设，当时，，当时，，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，所以． 设，则． 所以在区间内单调递减，故，即成立． ［方法三］：分离参数求最值 要证时，即，则证成立． 令，则． 令，则，由知在区间内单调递减，从而在内单调递增，在区间内单调递减． 所以，而，所以恒成立，原命题得证． ［方法四］：隐零点讨论＋基本不等式 ，结合与的图像，可知有唯一实数解，不妨设，则．易知在区间内是减函数，在区间内是增函数．所以． 由，得． ． 当且仅当，即时，，所以． ［方法五］：异构 要证明，即证， 即证明，再证明即可． 令，． 设，则． 若时，在上恒成立，所以； 若时，当时；当时，． 所以为的极小值点，则． 因为，所以，所以． 令． 当时，；当时，，所以为的极小值点． 则，所以，即． 所以． ［方法六］： 高阶函数借位构建有界函数 ． 令，则． 令．显然为定义域上的增函数．又，故当时，，得；当时，，得．即在区间上为减函数，在区间上为增函数，故．即恒成立，而恒成立． 【整体点评】（2）方法一：利用的范围放缩，转化为求具体函数的最值，是该题的最优解； 方法二：根据函数的单调性讨论，求最值，是该类型题的通性通法； 方法三：原不等式可以通过分参转化为求具体函数的最值，也是不错的解法； 方法四：同方法二，根据函数的单调性讨论，利用基本不等式求最值，区别在于最后求最值使用的方式不一样； 方法五：利用常见的对数切线不等式异构证明，也是很好的解决方法，不过在本题中使用过程稍显繁琐； 方法六：基本类似于方法三． 【变式2】已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若在区间上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先求定义域，求导后分类讨论，得到函数的单调性；（2）构造，观察到，先用必要性探究得到，即，再充分性证明. 【详解】（1）函数，定义域为 则； ①时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减； 又时，，（）； ②当时，，时，，时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减； ③当时，，时，，时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增； ④当时，， 当和时，， 当时，， 所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增； ⑤当时，，当和时，， 当时，， 所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增； ⑥当，即时，，所以在定义域上单调递增； 综上：①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减； ②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增； ③当时，在区间上单调递减， 在区间和上单调递增； ④当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增； ⑤当时，在定义域上单调递增； （2）令， 原问题等价于在区间上恒成立， 可见， 要想在区间上恒成立，首先必须要， 而， ，解得：； 另一方面当时，， 由于，可见， 所以在区间上单调递增，故， 所以在区间上单调递减， ∴成立，故原不等式成立． 当时，，根据函数的连续性，可知存在，使得，不合题意，舍去； 综上，若在区间上恒成立，则实数的取值范围为． 【点睛】比较复杂一些的求参数的取值范围题目，通常情况下要构造函数，进行求解，而必要性探究和充分性证明的方法是非常重要的方法，要对函数的特殊值足够敏感. 题型六 恒成立问题中的整数最值问题 解｜题｜技｜巧 此类问题要求参数为整数，且不等式恒成立。常用策略：先忽略整数条件，通过分离参数或构造函数求出参数的大致范围（通常含根号或对数）；再结合整数特性，利用不等式两端相邻整数的取值进行验证。例如，若求得 ，而 介于两个整数 与 之间，则分别检验 和 是否满足恒成立，从而确定最小整数或最大整数。有时需要利用函数的单调性直接比较整数点处的函数值。 【典例1】（24-25高二下·河南·期末）已知函数． (1)求的极值； (2)若恰有3个零点，求的取值范围； (3)若在定义域上单调，求整数的最大值． 【答案】(1) 的极小值为，无极大值 (2)且 (3)1 【分析】直接对 求导，分析导数的符号变化即可确定极值点及极值. 分析 的单调性和极值，结合图像判断参数 的范围. 函数 在定义域上单调，需要求导并保证导数恒正或恒负，分离参数，利用隐零点的方法可以确定函数最值的取值范围，从而得到整数 的最大值. 【详解】（1）函数 的定义域为 , ， ， 又因为在上单调递增，所以在小于0，在大于0； 所以在单调递减，在单调递增； 所以 的极小值为；无极大值. （2）函数 可因式分解为： 显然， 是一个零点. 零点由 和方程 的解组成. 令，求导：， 令导数为零：； 又因为在R上单调递增， 所以在小于0，在大于0， 所以在单调递减，在单调递增， 所以. 又，，; 当 ，； 的解的个数： 当 ，有两个解： 和一个在 ； 当 且，有两个解：一个在 ，一个在 ； 当 ，有一个解（)； 当 ，无解. 讨论的零点个数： 总是零点； 分析：当 ，是二重根（但仍是同一个点）和一个在 ，共两个零点； 当 且，一个在 ，一个在 ，再加上,一共三个零点； 当 ，有与两个零点； 当 ，只有一个零点. 因此， 恰有三个零点（不同的实根）当且仅当且. （3）函数 ，定义域为 . 求导：， 化简得：， 在定义域上单调，有两种情况单调递减与单调递增； 当在定义域上单调递减时，在定义域上恒小于等于0， 而时，，所以这种情况不成立； 所以只可能在定义域上单调递增； 所以对恒成立， 即恒成立， 令 ，则只需 求导：， 易知在上单调递增，且, ,所以存在,使， 所以在上小于0，在大于0； 所以在上单调递减，在单调递增； 所以,又代入得 , 又，所以, 又且， 所以. 故整数的最大值为1. 【典例2】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知函数，． (1)若，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意，有恒成立，求整数的最小值． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. (3)1 【分析】（1）对原函数进行求导，代入求解即可. （2）求出函数的导数，并讨论和两种情况讨论函数的单调性. （3）首先将不等式变形，参变分离为在上恒成立，转化为求函数的最值问题，求解即可. 【详解】（1）已知，则. 因为，则，解得， （2）由（1）知， . 当时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当时，令，即，解得或（舍去）. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）因为对任意，恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 设，则. 设，，则在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即，则. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为，所以. 故整数的最小值为1. 【变式1】（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知函数． (1)若函数有个零点，求的取值范围； (2)令，讨论的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1) (2)①当时，在上单调递增，在上单调递减； ②当时，在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，在上单调递增； ④当时，在和上单调递增，在上单调递减； (3)整数的最大值为 【分析】（1）先将函数零点问题转化为方程有两解的问题，构造函数，通过求导分析其单调性与极值，结合函数图像趋势，得到的取值范围。 （2）先化简，再求导并因式分解得到，根据导数的零点和，的大小关系，分，，，四种情况讨论导数符号，从而确定单调性； （3）先整理不等式并分离参数，得到，构造函数，通过求导找到其导函数的零点，利用零点满足的等式化简，得到的值域，进而确定整数的最大值． 【详解】（1）的定义域为，令，即， 设，则有个零点等价于与的图象有个交点， ， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以的最大值为， 当时，；当时，， 所以，当时，与与的图象有个交点，即有个零点． （2），定义域为， ， ①当时，， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； ②当时，令，得，， 令，得或；令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，， 所以在上单调递增； ④当时，令，得，， 令，得或；令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减； （3）当时，不等式恒成立， 即， 即， 设， ， 令，， 所以在上单调递增， 因为，， 所以存在唯一一点，使，即， 所以， 所以当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，所以，即， 所以，所以整数的最大值为． 【变式2】（25-26高二下·山东济南·期中）函数. (1)求的单调区间； (2)若只有一个解，求的值； (3)在（2）的条件下，当时，求使成立的最大整数. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) (3)2 【分析】（1）对函数求导并利用判别式得出导函数零点，求出相应区间上的单调性即可； （2）由方程根的个数构造函数 ，求出该函数单调性得出极值可求得； （3）分离参数可得，构造函数 并求得其单调性和极值，由极值点范围可求得整数的最大值为2. 【详解】（1）函数，定义域为，则 因为，设 ， 则令得，， 当时，单调递增， 当时,单调递减， 当时，单调递增， 综上所述的单调递增区间为， 单调递减区间为； （2）若即只有一个解， 因为使方程成立，所以只有0是的解， 故当时，无非零解， 设 ，则， 当单调递减，当单调递增， 所以最小值为 ， 当时，，当时，， 故必有零点，又因为无非零解，故的零点是0， 所以 ，所以； （3）由（2）知，， 由可得 ， 所以，得， 设 ，则， 令，则，因为时，，所以， 则在单调递增，又 所以使得，所以，且 ， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以最小值，且， 得， 又因为，所以，因为， 所以，故整数的最大值为2. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·广东茂名·期末）已知，恒成立，则a的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据题意，分离参数得，令，，利用导数求出的最小值，得解. 【详解】由条件，可得，令，， 则， 故在单调上递增，即的最小值为，则. 故答案为：. 2．（24-25高二下·河北唐山·期中）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出导数，分类讨论，利用导数判断单调性； （2）分离参数，求解新函数的最值可得答案. 【详解】（1）由题意可知，则， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，由解得，由解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）可知不等式，即在上恒成立， 即在上恒成立，只需即可， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，所以. 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 3．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）若不等式有解，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求导研究其单调性，进而求其最小值，使即可. 【详解】令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因不等式有解，则，得， 则实数m的取值范围为. 故选：C 4．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只需，根据导数求出的最小值，由二次函数单调性求出的最小值，即可求解. 【详解】，，使得成立， 则， 函数， ， 令得，当时，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取极小值，也是最小值， 函数的最小值为， ， 则， 所以. 故选：A. 5．（24-25高二下·广东肇庆·阶段检测）函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增，当时，函数 在上单调递增，在上单调递减 (2) 【分析】（1）求导，按照，分类讨论函数的单调性； （2）将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，当时，不等式化为恒成立，令，则只需，通过求导研究函数的单调性进而求出最小值. 【详解】（1），定义域为， ①当时，，所以函数在上单调递增； ②当时，令，解得， 当时，，所以函数 在上单调递增； 当时，，所以函数在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数 在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，对恒成立， 当时，不等式化为恒成立，令，则只需， ，因为，所以 ， 所以当时，，所以函数在区间上单调递增， 当时，，所以函数在区间上单调递减， 所以函数的最小值为， 所以，即的取值范围为． 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 6．已知函数，其中e是自然对数的底数． (1)求函数在区间上的最大值； (2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）对函数求导，讨论参数研究导数符号，进而确定区间单调性，即可求最大值； （2）问题化为在上恒成立，应用导数研究左侧的单调性和最值，进而得到且，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设且， 当，即时，，即在上单调递增， 此时，函数在区间上的最大值为； 当，即时，得，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 若，即时，函数在区间上的最大值为， 若，即时，函数在区间上的最大值为， 若，即时，函数在区间上的最大值为， 综上，时，区间上最大值为， 时，区间上最大值为， 时，区间上最大值为； （2）由题设在上恒成立， 即在上恒成立， 令，可得， 令，可得，故在上单调递增， 又，故使，则， 对于且，则，故在上单调递增，对应值域为， 对于且，则，故在上单调递减，对应值域为， 显然，，在上有， 综上，， 则，即有，，即有， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上，只需，故. 7．（24-25高二下·福建漳州·期末）设函数，为的导数． (1)讨论函数的最值； (2)若为整数，，且，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）先求出，再对进行分类讨论得出的单调性，得出的极值情况，进而求得最值的情况； （2）先将不等式转化为恒成立，再令，由求出的最小值，即可得出的最大值． 【详解】（1）由题意可得的定义域为， ， 当时，恒成立， 在上单调递减，无极值， 当时，令，即，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得极大值，也是最大值， 且最大值为，无最小值． 综上所述， 当时，无最值， 当时，的最大值为，无最小值． （2）当时，，代入，得， 因为，所以，所以，即 令，则， 整理：所以 由（1）知，当时，在上单调递减， 故函数在上单调递增， 又因为，， 所以在上存在唯一零点，且， 故在上也存在唯一零点且为， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在上，， 且，代入，得： ， 因为，所以， 因为且为整数， 所以的最大值为2． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $