期末培优：构造函数法解决导数问题复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

期末培优：构造函数法解决导数问题复习讲义 期末培优：构造函数法解决导数问题复习讲义 知识点解析 一、核心思想 根据题干不等式、等式或导数式的结构特征，拼凑、变形出新函数，借助新函数的单调性、最值、零点、奇偶性解题，规避复杂求导与分类讨论。 适用场景：比较大小、证明不等式、解不等式、恒成立/存在性、导数同构问题。 二、基础构造模型（高频必考） 设原函数为 ，熟记常见组合形式： 1. 加减型（基础） · 构造 2. 乘积型（ 求导） 由 · 出现 ，构造 · 出现 ，构造 3. 商型（ 求导） 由 · 出现 ，构造 · 出现 ，构造 4. 含 指数型（高频难点） ， · · 5. 含 对数型 · · 结合乘积形式构造 三、通用解题步骤 1. 变形题干：将不等式、条件式移项，整理成“导数标准结构”； 1. 观察形式：匹配上面的乘积、商、指数、对数模型，构造新函数 ； 1. 求导分析：计算 ，判断 单调性、奇偶性、最值； 1. 回归求解：利用新函数性质，解不等式、比大小、证结论。 例题分析 例1．（25-26高二下·河北石家庄·期中）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． (3) 【分析】（1）结合导数求解切线斜率，再根据点斜式写出切线方程； （2）求的导数，再对参数进行分类讨论，分别判断各区间内导数的符号，确定对应区间的单调性； （3）写出的表达式并求导，分析的单调性得到最小值，结合最小值构造函数，继续求导分析函数单调性和极值，再利用零点存在定理确定的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 所以， 则曲线在点处的切线方程为，即． （2）的定义域为，． 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． （3）由题意得，． 因为，所以关于的方程恰有一个正根和一个负根， 因为的定义域为，所以设关于的方程的正根为， 则，得，解得． 当时，单调递减； 当时，单调递增． 因为有两个零点，所以. 因为，所以，即． 设函数，则． 当时，单调递增； 当时，单调递减． 因为，所以由，得． 当时，， 因为，所以在上有唯一零点1， 因为， 所以，所以在上有唯一零点， 此时有两个零点，符合题意． 当时，， 因为，所以在上有唯一零点1， 设函数， 则单调递增，，且， 所以. 由函数在上单调递增， 得 所以，所以在上有唯一零点， 此时有两个零点，符合题意． 故的取值范围为． 例2．（2026·甘肃嘉峪关·三模）已知函数，其中. (1)设，若不等式对恒成立，求的取值范围. (2)，若，求证： 【答案】(1) (2)函数的定义域为， ， 当时，，所以，所以单调递增； 当时，，所以，所以单调递减. 因为，所以可设，则. 令， 则， 当，所以，，所以； 当，所以，，所以， 又，所以恒成立， 所以函数是增函数. 所以，所以， 即. 【分析】（1）利用导数分析的单调性，并求得其最小值，由此不等式对恒成立，转化为.构造函数，利用导数分析其单调性，即可解得实数的取值范围； （2） 利用导数分析函数的单调性，得，则，构造函数，利用导数分析函数的单调性，得，从而证得. 【详解】（1）函数的定义域为， . 当时，令，得. 当时，，所以； 当时，，所以. 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为. 因为不等式对恒成立，所以. 设， 则恒成立， 所以在上单调递增. 因为，所以，解得，即. 综上所述：的取值范围是. （2）略 例3．（25-26高二下·广东梅州·期中）设函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求的值； (2)当时恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由切线方程可得切线斜率，再由导数的几何意义可得所求值； （2）构造函数，再分，，三种情况讨论，当及，都可得与条件矛盾，只有满足条件，从而可得所求值范围. 【详解】（1）由，函数的定义域为，， 因为曲线在点处的切线方程为，所以， 因此的值为. （2）因为，令，则， ①当时，因为，所以，，所以在上单调递增， 所以，即，所以在上单调递增， 所以，与“时恒成立”矛盾，故不成立，所以. ②当时，则，所以时，， 所以在上单调递增，则，即， 因此在上单调递增，则，与“时恒成立”矛盾，故不成立. ③当时，，而，所以，因此， 所以在上单调递减，故，即， 因此在上单调递减，则，满足“时恒成立”的条件 综上所述，当时恒成立，实数的取值范围为 变式训练 变式1．（25-26高二下·浙江杭州·阶段检测）已知函数的定义域是，，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)若实数a满足当时，总有成立，则称a为函数的一个“T点”，求的所有T点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）对求导，由导数判断的单调性，进而求解极值点，进而得到最大值； （2）写出切线的表达式，构造函数，结合的导数分析其单调性，结合的条件判断函数在定义域内的正负； （3）将给定不等式转化为与的大小关系，结合的范围对分类类讨论，结合的条件，分和两种情况讨论的符号，根据不等式恒成立的条件确定的取值. 【详解】（1）设，定义域，求导得：， 令，解得. 当时单调递增；时单调递减， 因此的最大值为. （2）切线方程为，要证， 设：，. 由(1)知在单调递增，且： 时，，递减，故； 时，，递增，故. 因此对任意，，曲线在切线上方，得证. （3）点等价于：对任意，恒成立. 若：取，得，，， 故，不符合； 若：取，得，，， 故，不符合； 若：对任意，都有，单调递减： 时，，，得； 时，，，得，符合要求， 因此的所有点为. 变式2．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明： ，有. 【答案】(1)； (2)在上单调递增； (3)相当于证明，令，.则，因，由（2）可得，从而在上单调递增，则当，t取固定正值时，，即，命题得证. 【分析】（1）由题可得切线斜率，然后由点斜法可得答案； （2）利用导数知识可判断符号，即可判断单调性； （3）通过研究函数令，单调性可证明不等式. 【详解】（1），则,从而切线方程为； （2）由（1），，从而在上单调递增； （3）略 变式3．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在定义域内单调递增，求的取值范围； (3)若在上存在零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）确定函数定义域为，对求导，根据曲线在处的切线斜率等于，且与直线垂直，得到关于的方程，即可求解； （2）由在定义域内单调递增，得上时，通过参数分离等价于在上恒成立；构造新函数求其最值，即可得到的取值范围； （3）化简得到的表达式，根据在上存在零点，得到方程在上有解，等价于与的图象在上有交点；构造新函数求其值域，即可得到的取值范围. 【详解】（1）由，得的定义域为，. 当时，. 曲线在处的切线与直线垂直，； ，即，解得． （2）由，得的定义域为，. 在定义域内单调递增，； 即在上恒成立，则在上恒成立. 令，则. 令，，得. 当时，，得在上单调递增； 当时，，得在上单调递减； 当时，取得极大值，也是最大值，即. . （3）由，得. 令，得，即. 在上存在零点，等价于与的图象在上有交点； 令，则； 令，则，得； 当时，，得在上单调递增； 当时，，得在上单调递减； 当时，取得极大值，也是最大值，即. 当时，且； ，即的取值范围为． 实战演练 1．（25-26高二下·浙江·期中）已知函数． (1)若是函数的极值点，求m的值； (2)当时，求证：； (3)若有两个不同的零点和，且，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据极值点处导数为0，即可求出m的值. （2）先构造函数，找到导数为0的隐零点，进而确定函数的单调性，求出函数的最小值，证明最小值大于0即可. （3）先根据函数的单调性和零点情况得到和的关系，再通过构造函数，利用函数的单调性证明不等式. 【详解】（1）， 因为是函数的极值点，则，得， 经检验，当，，当，， 所以是函数的极小值点，符合题意． （2）证明：当时，， 若证，只需证， 所以， 因为，所以在上单调递增， 又因为，，所以存在，使得， 则，即， 当，，当，， 则在单调递减，在单调递增， 所以，即， 所以当时，. （3）证明：，则（为函数的导函数）， 知在区间内单调递增，所以在区间内存在唯一的零点， 即， 所以，则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 因为有两个不同的零点和，且， 所以，解得． 所以， 所以，所以， 令， 要证，即证， 即证． 令， 在上单调递增，且， 所以，在上单调递增， 所以．得证． 2．（25-26高二下·江苏镇江·期中）已知函数， (1)当时，求函数的单调区间： (2)求函数的最小值 (3)当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是 (2) (3) 【分析】（1）利用函数导数分析函数单调区间即可； （2）利用函数导数与函数单调性，以及分类讨论思想分析求解即可； （3）将问题转化为恒成立问题，构造新函数，利用函数性质分析即可. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，，当时，， 所以函数单调递减区间是，单调递增区间是 （2）因为 所以 ①当时，由恒成立，则在上递减， 所以， ②当时，令，则， 令，由，则， 所以函数在上递减，在上递增 当时，即，得到， 当时，即，得到， 当时，即，得到， 所以当时，在上递减， ， 当时，函数在上递减，在上递增， 所以， 当时，在上递增， 此时， 综上所述：. （3）当时，由，即， 也即， 令， 当，即时，由， 则，而， 所以恒成立， 当，即时， 取，因为，所以，所以， 因为 所以不恒成立，综上所述：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：构造函数法解决导数问题复习讲义 期末培优：构造函数法解决导数问题复习讲义 知识点解析 一、核心思想 根据题干不等式、等式或导数式的结构特征，拼凑、变形出新函数，借助新函数的单调性、最值、零点、奇偶 性解题，规避复杂求导与分类讨论。 适用场景：比较大小、证明不等式、解不等式、恒成立/存在性、导数同构问题。 二、基础构造模型（高频必考) 设原函数为fx,g(x),熟记常见组合形式： 1.加减型（基础） ·f(x)士g(x→构造hx)=f(x)士gx) 2.乘积型(fx)·g(x)求导) fxg(x=f(x)gx)+fx)g(x ·出现xf(x)+fx,构造h(x)=xf(x ·出现xf(x+2f(x),构造hx)=x2f(x) fx) 3.商型（g 求导) 由（閎） = g) ·出现f()-x),构造s)=因 ·出现xf(-2),构造)=因 4.含ex指数型（高频难点) [exfs=ef+fx(因)-型 ·f(x)+fx)→hx=efx) ·fx)fx=8=图 期末培优：构造函数法解决导数问题复习讲义 5.含lnx对数型 ·f(x+是f(x)→hx)=f(x)Inx ·xf(x)+f(x)inx-→结合乘积形式构造 三、通用解题步骤 1.变形题干：将不等式、条件式移项，整理成“导数标准结构”： 2.观察形式：匹配上面的乘积、商、指数、对数模型，构造新函数h(x); 3.求导分析：计算(x),判断(x)单调性、奇偶性、最值； 4.回归求解：利用新函数性质，解不等式、比大小、证结论。 例题分析 例1.(25-26高二下·河北石家庄·期中)已知函数f(x=x2-alnx. (1)当a=1时，求曲线y=f(x在点1，f(1)处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性； (3)若a>0,函数h(x)=∫x)-x有两个零点，求a的取值范围. 2 期末培优：构造函数法解决导数问题复习讲义 例2.(2026甘肃嘉峪关.三模)已知函数f(x)=ax2-lnx+2a-1x,其中aeR ()设a>0,若不等式f(x)+≥0对xe(0,+0)恒成立，求a的取值范围， ②8=g,若<8=8，采证：>e 例3.(25-26高二下广东梅州期中)设函数f(x)=xlnx-ax2-1 (1)若曲线y=f(x在点1,0)处的切线方程为x+y-1=0,求a的值： (②)当x>1时∫(x<0恒成立，求实数a的取值范围. 期末培优：构造函数法解决导数问题复习讲义 变式训练 变式1.(25-26商二下-浙江杭州阶段检测)已知函数f(x)的定义域是(-1，+o),f0)=0,导函数f=1+) 1+x ,设l:y=g,(x)是曲线y=f(x)在点A(a,f(a)处的切线. (1)求f'(x)的最大值： (2)当-1<a<0时，证明：除切点A外，曲线y=f(x)在直线的上方； ③)若实数a满足当x≠a时，总有-8。因<0成立，则称a为函数∫x)的一个T点”，求fx)的所有T点. x-a 变式2.(25-26高二下·河南南阳阶段检测)已知函数f(x)=e2n(1+x. (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)设gx=f'(x,讨论函数gx在0，+o)上的单调性； (3)证明：s,te(0,+o,有fs+t)>f(s+f(t: 期末培优：构造函数法解决导数问题复习讲义 变式3.(25-26高二下-江苏南京阶段检测)已知函数fx)=21nx+a(x2-,a∈R (1)若曲线y=f(x在x=1处的切线与直线x+3y-1=0垂直，求a的值； (②)若∫(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围； (3)若g(x)=fx)-axr2在(1，+o)上存在零点，求a的取值范围. 期末培优：构造函数法解决导数问题复习讲义 实战演练 1.(25-26高二下…浙江·期中)已知函数f(x)=e*m-lnx. (I)若x=1是函数f(x的极值点，求m的值： (2)当m≥-2时，求证：fx)>0: (3)若y=f(x有两个不同的零点x和x2,且x<e<x,求证：e-e>n(x-x+l-1. 2.(2526高二下.江苏镇江·期中)已知函数f(x=axnx-3x, (1)当a=2时，求函数f(x)的单调区间： (2)求函数y=f(x),x∈e2,e3的最小值 (3)当x>1时，fx<20261-xlnx),求实数a的取值范围. 6