精品解析：2026年广东省清远市连南瑶族自治县初中学业水平适应性测试数学试题

2026年初中学业水平适应性测试试题 数 学 本试卷共6页，23小题，满分：120分．考试用时：120分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 《九章算术》中最早提出了正负数加减法的法则．计算=（ ） A. B. C. D. 2. 建设书香社会，促进全民阅读，公共图书馆在推动、引导、服务全民阅读中发挥重要作用．下列图书馆标志图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 深中通道是全球首个集“桥、岛、隧、水下互通”为一体的跨海集群工程，拥有世界最大体量海中锚碇，单个锚碇重约100万吨，数据100万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 在“绿水青山就是金山银山”理念指引下，“骑行道”成为各旅游城市的标准配置，如图是某旅游景区单车车架示意图，已知，，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 粤剧是国家级非物质文化遗产，因写意象征，深受大众喜欢，正面印有粤剧经典剧目人物的四张卡片如图所示，它们除了正面外完全相同．把四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. B. 当时， C. 函数有最大值 D. 点在第四象限 9. 若关于方程有且只有一个实数根，则实数 的值是（ ） A. 或 B. C. D. 10. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，当时， 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”．盛李豪以252.2环的成绩获得2024年巴黎奥运会男子射击10米气步枪金牌，并打破奥运会世界纪录．本场比赛中，他最后5枪的成绩分别为：10.4，10.5，10.7，10.5，10.6，则这组成绩的众数是_________． 12. 计算的结果等于_____. 13. 如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是_____（添加一个条件即可）． 14. 已知不等式组的解集如图所示，则=_________． 15. 如图， 是 的直径，是 的切线，若，，则阴影部分的面积是_________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 17. 如图，已知在 中， （1）实践与操作：用尺规作图法过点 作 的平分线，交边于点 ．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下， ，求 的长． 18. 党的十八大以来，从水质治理到滨水空间营造全面实行，随着水生态文明建设持续推进，古老的城市河流焕发新颜，为城市发展和人民生活注入生机与活力．某校组织学生以测量平行河流宽度为题，进行数学项目式学习，两个兴趣小组设计了两个不同的方案，他们在河南岸的处，测得河北岸的一棵树底部 点恰为点的正北方向，测量方案如下： 方案一：如题图，观测者从点向正西方向走5米到达 点，在 处测得 点在它的北偏东方向．（参考数据：，） 方案二：如题图，观测者在点竖直立起标杆，的长为1米，再在 的延长线上选择点 ，使得 的长为8米，竖直立起标杆 ， 的长为2米． （1）请选择其中一个方案，求河流宽度． （2）除上述方案外，请你运用所学知识再设计一个方案测量河宽，并画出测量示意图，不需要测量数据，但要求写出只要测出哪条线段的长，就能推出河宽，并说明方案的可行性． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 百县千镇万村高质量发展工程是广东高质量发展的“头号工程”，英德红茶是英德重点打造百亿级农业产业之一．为了解英德红茶的生产情况，某兴趣小组查阅相关资料，整理数据并制作了如下统计图，根据提供的信息，回答下列问题： 注： （1） 年英德红茶综合产值的中位数是________亿元 年英德红茶增长速度最快的年份是________年，增长速度为________（精确到 ） （2）估计年英德红茶综合产值的增长速度为，那么年英德红茶综合产值能否突破亿元，请说明理由． 20. 为解决电动自行车充电难题，让电动车“不上楼”“不入户”也能安全充上电，某小区在公共区域积极建设电动自行车集中充电点位，其充电费有A套餐（月租0元，每小时 元）和B套餐（月租5元，每小时 元）．设A套餐每月充电费为（元），B套餐每月充电费为（元），充电时长为 小时．（ 为非负整数） （1）分别表示出与 ，与 的函数关系式； （2）充电时间多长时，A、B两种套餐收费一样？ （3）如果小明的爸爸每月电动自行车充电时间都不少于小时，请帮助小明的爸爸从A、B两种套餐中选择使用哪一种套餐更省钱？ 21. 综合与实践 【主题】矩形的折叠 【素材】一张矩形纸片 【实践操作】 步骤1：如图，在边上取一点 ，将矩形纸片 沿所在直线折叠，使点 落在点处，与交于点 ． 步骤2：如图，继续折叠，沿过点 的直线折叠，使点 落在上的点处，点落在处，折痕为 ． 【实践探索】 （1）猜想与 的数量关系，并说明理由； （2）若 ，，求的长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【知识技能】 （1）如图，在 中， ，将绕点 顺时针旋转得到，点的对应点为点 ，点 的对应点为点 ，当点 恰好落在 上，且，连接 ，求 的度数． 【数学理解】 （2）如图，在 中， ，将绕点 顺时针旋转得到，旋转角小于 ，点的对应点为点 ，点 的对应点为点 ， 交 于点 ，延长 交于点 ，当时，，，求线段 的长； 【拓展探索】 （3）如图，在（2）的条件下，连接 、，延长交 于点 ，判断 是否为线段 的中点，并说明理由． 23. 【问题背景】 如 图，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，如果一条直线与“果圆”只有一个交点，则这条直线叫做“果圆”的切线．已知 ， ， ， 分别为“果圆”与坐标轴的交点， 为半圆的圆心， 为半圆的直径．已知直线 与“果圆”中抛物线交于 、 两点． 【构建联系】 （1）求“果圆”中抛物线的解析式 （2）如图，已知 为 的平分线， 是 延长线上一点，且 ，试判断直线与的位置关系，并说明理由． 【深入探究】 （3）在“果圆”上是否存在一点 ，使得 为直角三角形？若存在，求出 点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平适应性测试试题 数 学 本试卷共6页，23小题，满分：120分．考试用时：120分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 《九章算术》中最早提出了正负数加减法的法则．计算=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数加法法则计算即可．有理数加法法则，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 【详解】解：∵，，， ∴结果的符号为负，计算得 ， ∴． 2. 建设书香社会，促进全民阅读，公共图书馆在推动、引导、服务全民阅读中发挥重要作用．下列图书馆标志图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项A该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 选项B该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 选项C该图形找不到对称轴，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 选项D该图形沿中间竖直直线折叠，左右两部分能完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意． 3. 深中通道是全球首个集“桥、岛、隧、水下互通”为一体的跨海集群工程，拥有世界最大体量海中锚碇，单个锚碇重约100万吨，数据100万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：100万． 4. 在“绿水青山就是金山银山”理念指引下，“骑行道”成为各旅游城市的标准配置，如图是某旅游景区单车车架示意图，已知，，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质结合角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：， ； ， ， ∵， . 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则，以及合并同类项的运算法则，逐一验证选项即可得到结果． 【详解】解：∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴ ，A错误，故不符合题意； ∵ 与不是同类项，不能合并， ∴ ，B错误，故不符合题意； ∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴ ，C正确，故符合题意； ∵ 同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴ ，D错误，故不符合题意， 故选：C． 6. 粤剧是国家级非物质文化遗产，因写意象征，深受大众喜欢，正面印有粤剧经典剧目人物的四张卡片如图所示，它们除了正面外完全相同．把四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用列表法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】解：把昭君出塞卡片记为，帝女花卡片记为 ，紫钗记卡片记为 ，花木兰卡片记为， 树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有种， ∴两次抽取的卡片正面相同的概率为：． 7. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对分母分解因式，再去分母，将分式方程转化为整式方程求解，最后检验即可得到原方程的解． 【详解】解： ， ， 方程两边同乘最简公分母 ，得 ， 检验：当 时， ， ∴原方程的解为． 8. 二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ） A. B. 当时， C. 函数有最大值 D. 点在第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】当，，即可判断A选项；根据函数图象，求出二次函数与x轴的另一个交点为，即可判断B选项；根据函数图象开口向下，即可判断C选项；得到，根据对称轴为直线，得到，即可判断D选项． 【详解】解：由图象可得，当，，故A正确，不符合题意； ∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为 ∴二次函数与x轴的另一个交点为 ∴由图象可得，当时， ，故B正确，不符合题意； ∵二次函数 的图象开口向下， ∴，抛物线开口向下，故函数有最大值，故C正确，不符合题意； ∵对称轴为直线 ∴ ∴点在第二象限，故D错误，符合题意． 9. 若关于方程有且只有一个实数根，则实数的值是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题需分类讨论方程的类型，结合一元一次方程，一元二次方程根的概念求解，注意一元二次方程中两个相等的实数根仍属于两个根。 【详解】∵ 题目未明确方程为一元二次方程，需对二次项系数分类讨论， 当时，原方程化简为，属于一元一次方程，有且只有一个实数根，符合题意， 当 时，原方程是一元二次方程，即使判别式，方程也只有两个相等的实数根，并非一个实数根，不符合题意， ∴ 只有满足条件． 10. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】找到直线在双曲线上方时的自变量的取值范围即可. 【详解】解：由图象可知，当时，的取值范围为或. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”．盛李豪以252.2环的成绩获得2024年巴黎奥运会男子射击10米气步枪金牌，并打破奥运会世界纪录．本场比赛中，他最后5枪的成绩分别为：10.4，10.5，10.7，10.5，10.6，则这组成绩的众数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查众数的概念，解题思路为根据众数的定义，统计各数据出现的次数，找出出现次数最多的数据即可得到结果． 【详解】解：已知这组数据为：，，，，， 统计得：出现次，出现次，出现次，出现次，出现的次数最多，因此这组成绩的众数是． 12. 计算的结果等于_____. 【答案】2 【解析】 【分析】根据平方差公式和二次根式的运算法则计算即可. 【详解】原式. 故答案为：2. 【点睛】此题属于容易题，主要考查二次根式和平方差公式的运用.失分的原因有2个：（1）不熟悉二次根式的运算法则；（2）对平方差公式理解不透彻. 13. 如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是_____（添加一个条件即可）． 【答案】∠ABC=90°或AC=BD． 【解析】 【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形， 故添加条件：∠ABC=90°或AC=BD． 故答案为∠ABC=90°或AC=BD． 14. 已知不等式组的解集如图所示，则=_________． 【答案】1 【解析】 【分析】首先解不等式组，用含a、b的代数式表示出不等式组的解集，然后结合数轴上表示的解集确定a、b的值，最后代入代数式进行计算即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵由图可得该不等式组的解集为， ∴，， ∴，， ∴． 15. 如图，是 的直径，是 的切线，若，，则阴影部分的面积是_________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】设与交于点，连接 ，由圆周角定理得到，证明是等腰直角三角形，求出，得到，根据切线的性质得到 ，因为，得到是等腰直角三角形，得到，即可求解． 【详解】解：设交于点，连接 ， ∵ ， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， ∵ ， ∴， ∴， 是的切线， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 如图，已知在 中， （1）实践与操作：用尺规作图法过点 作的平分线，交边于点 ．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，，求 的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意作的角平分线，即可求解； （2）根据平行四边形的性质以及角平分线的定义可得 ，根据等角对等边可得 ，进而解 ，求得，再根据三线合一可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作 于点， ∵是的角平分线， ∴ 又∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 在 中， ∴ 18. 党的十八大以来，从水质治理到滨水空间营造全面实行，随着水生态文明建设持续推进，古老的城市河流焕发新颜，为城市发展和人民生活注入生机与活力．某校组织学生以测量平行河流宽度为题，进行数学项目式学习，两个兴趣小组设计了两个不同的方案，他们在河南岸的 处，测得河北岸的一棵树底部 点恰为 点的正北方向，测量方案如下： 方案一：如题图，观测者从 点向正西方向走5米到达 点，在 处测得 点在它的北偏东方向．（参考数据：，） 方案二：如题图，观测者在 点竖直立起标杆，的长为1米，再在的延长线上选择点，使得的长为8米，竖直立起标杆，的长为2米． （1）请选择其中一个方案，求河流宽度． （2）除上述方案外，请你运用所学知识再设计一个方案测量河宽，并画出测量示意图，不需要测量数据，但要求写出只要测出哪条线段的长，就能推出河宽，并说明方案的可行性． 【答案】（1）选择方案一：由题意可知为直角三角形，， ∴， ∴， 即河流宽度为 ； 选择方案二：由题意可知， 又∵ ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即河流宽度为 ； （2）如图，观测者从B向正东走到D，点O是中点，再从点D沿着垂直于的方向走，直到点A、O、E在一条直线上．示意图如下：只需要测量出的长度就能推出河宽． ∵O是中点， ∴ ， ∵， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∴河宽的长度就是线段的长度． 【解析】 【分析】（1）方案一：直接利用正切定义即可求解；方案二：先证得，再利用相似三角形的性质求解即可； （2）观测者从B向正东走到D，点O是中点，再从点D沿着垂直于的方向走，直到点A、O、E在一条直线上，利用，得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 百县千镇万村高质量发展工程是广东高质量发展的“头号工程”，英德红茶是英德重点打造百亿级农业产业之一．为了解英德红茶的生产情况，某兴趣小组查阅相关资料，整理数据并制作了如下统计图，根据提供的信息，回答下列问题： 注： （1） 年英德红茶综合产值的中位数是________亿元 年英德红茶增长速度最快的年份是________年，增长速度为________（精确到 ） （2）估计年英德红茶综合产值的增长速度为，那么年英德红茶综合产值能否突破亿元，请说明理由． 【答案】（1）；； （2）能，理由如下： 由统计图可知，年英德红茶综合产值为亿元， （亿元）， ∵， ∴年英德红茶综合产值能突破亿元． 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义计算出中位数；分别计算出每年的增长速度，对比后即可得出结论； （2）用年的综合产值和已知的增长率计算出年的综合产值即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知，这组数的第3个数为，第4个数为， ∴中位数为（亿元）， 计算每年的增长速度如下： 年：； 年：； 年：； 年：； 年：； ∵， ∴增长速度最快的年份是年，增长速度为； 【小问2详解】 略 20. 为解决电动自行车充电难题，让电动车“不上楼”“不入户”也能安全充上电，某小区在公共区域积极建设电动自行车集中充电点位，其充电费有A套餐（月租0元，每小时 元）和B套餐（月租5元，每小时元）．设A套餐每月充电费为（元），B套餐每月充电费为（元），充电时长为小时．（为非负整数） （1）分别表示出与，与的函数关系式； （2）充电时间多长时，A、B两种套餐收费一样？ （3）如果小明的爸爸每月电动自行车充电时间都不少于小时，请帮助小明的爸爸从A、B两种套餐中选择使用哪一种套餐更省钱？ 【答案】（1） （ ，为整数）， （ ，为整数） （2）充电时长为小时 （3）选择B套餐更省钱 【解析】 【分析】（1）利用“每月充电费月租每小时电费 充电时长”列出与，与的函数关系式即可； （2）由题意要求算出时的值即可； （3）题意要求比较当 时与的大小关系，由（2）得当 时，当 时比较与的大小关系即可得到解． 【小问1详解】 解： A套餐（月租0元，每小时 元），设A套餐每月充电费为（元），充电时长为小时， （ ，为整数）， B套餐（月租5元，每小时 元），设B套餐每月充电费为（元），充电时长为小时， （ ，为整数）； 【小问2详解】 解：联立两个函数关系式得，解得， 答：充电时长为 小时，A、B两种套餐收费一样； 【小问3详解】 解：由题意得 ， 由（2）得当 时，， ，当 时， ， 当 时，， 选择B套餐更省钱． 21. 综合与实践 【主题】矩形的折叠 【素材】一张矩形纸片 【实践操作】 步骤1：如图，在边上取一点，将矩形纸片沿所在直线折叠，使点落在点处，与交于点． 步骤2：如图，继续折叠，沿过点的直线折叠，使点 落在上的点处，点 落在处，折痕为 ． 【实践探索】 （1）猜想 与 的数量关系，并说明理由； （2）若 ，，求的长． 【答案】（1），理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质和折叠的性质可得，因此； （2）由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，从而得到．容易证明，则，计算得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【知识技能】 （1）如图，在中，，将绕点 顺时针旋转得到，点 的对应点为点，点 的对应点为点，当点恰好落在上，且，连接，求 的度数． 【数学理解】 （2）如图，在中，，将绕点 顺时针旋转得到，旋转角小于 ，点 的对应点为点，点 的对应点为点，交于点，延长交于点 ，当时，，，求线段 的长； 【拓展探索】 （3）如图，在（2）的条件下，连接、，延长交于点，判断是否为线段的中点，并说明理由． 【答案】（1） （2）6 （3）解：F是线段的中点．理由如下， 连接，延长和交于点G，如图， 由（2）知，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即F是线段的中点． 【解析】 【分析】（1）先计算出的度数，再根据旋转的性质得到，，，最后根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理进行计算即可． （2）连接，由勾股定理求得，利用全等三角形的性质和平行线的性质求得，推出，据此求解即可； （3）连接，延长和交于点G，证明，求得，得到，再证明，据此即可证明F是线段的中点． 【小问1详解】 解：在 中，，， ． 绕点A顺时针旋转得到， ，，， ， ． 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴ ， 由旋转的性质知，，，，， ∵ ， ∴， ∴；， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 23. 【问题背景】 如 图，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，如果一条直线与“果圆”只有一个交点，则这条直线叫做“果圆”的切线．已知 ， ， ，分别为“果圆”与坐标轴的交点， 为半圆的圆心， 为半圆的直径．已知直线 与“果圆”中抛物线交于 、 两点． 【构建联系】 （1）求“果圆”中抛物线的解析式 （2）如图，已知为的平分线，是延长线上一点，且 ，试判断直线与的位置关系，并说明理由． 【深入探究】 （3）在“果圆”上是否存在一点 ，使得 为直角三角形？若存在，求出 点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）直线与相切 （3）存在，符合条件的 点坐标为，，， 【解析】 【分析】（1）利用一次函数求交点坐标，代入抛物线一般式，通过解二元一次方程组确定抛物线解析式； （2）连接圆心与切点辅助线，结合直径所对圆周角、角平分线、等腰三角形等边对等角的性质，通过角度等量代换证明半径与直线垂直，以此判定直线与半圆相切； （3）分三类讨论直角顶点： 、 、 ，分别求出对应垂线方程或以斜边为直径的圆方程，再分别与半圆方程、抛物线方程联立，结合“果圆”取值范围筛选有效交点，得到符合条件的点 坐标． 【小问1详解】 解： 直线 经过 、 两点， 令，解得 ，令，解得 ， ，， 将点 、 代入得， ，解得：， 抛物线的解析式为 ； 【小问2详解】 解：直线与相切，理由如下： 如图，连接 ， 是的直径， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 即 ， 直线与相切； 【小问3详解】 解：存在， 由（1）得抛物线解析式为， 令，解方程，得，，因此，， 为半圆直径，故半圆圆心是 中点，坐标为，半径为 ； 根据勾股定理，半圆上任意点满足 已知，由勾股定理得 ，分三种情况讨论直角三角形： ①：根据勾股定理逆定理，此时满足， 设，则，，代入得： 展开化简： ， 消去同类项后整理得：，即过点 且垂直于的直线为 ， 联立， 得 ， 展开得 ，解得（对应点 ，舍去），， 代入 得， 则，在半圆上，符合条件； 联立， 整理得 ， 解得：（对应点 ，舍去），， 果圆抛物线部分的取值范围为， ，超出果圆抛物线部分的取值范围，舍去； ②：根据勾股定理逆定理，此时满足， 设，代入得：， 展开化简后整理得： ，即过点B且垂直于的直线为， 联立， 整理得 ， 解得： （对应点 ，舍去），， 代入 得， 则，在抛物线上，符合条件； 联立， 整理得 ， ，无实根，舍去； ③ ：根据圆周角定理推论：直径所对的圆周角为直角，因此点 在以为直径的圆上， 中点（圆心）坐标为，半径平方为 ； 由勾股定理，该圆的表达式为： ， 联立两个圆的方程，两式相减得公共弦所在直线： 化简得 ，将 代入上半圆方程： 展开得 ，解得（对应点 ，舍去），， ，不满足上半圆的要求，舍去， 联立， 整理得 ， 解得： （对应点 ，舍去）， （对应点 ，舍去）， ，代入抛物线得，即，在抛物线上，符合条件， ，代入抛物线得，即，在抛物线上，符合条件； 综上所述，存在点 ，符合条件的 点坐标为，，，． 【点睛】本题综合考查二次函数解析式求解、圆的切线判定、直角三角形存在性探究，融合一次函数、圆的性质、勾股定理和逆定理、直线与曲线联立求交点等知识点，分类讨论思想与数形结合思想是解题核心． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $