山东烟台市莱州市第一中学2025-2026学年高一下学期实验班（火箭班）期中模拟数学试卷

**基本信息** 高中数学期中试卷以真实情境为载体，通过分层设问考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，适配阶段性知识巩固与素养发展需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/60|函数单调性、立体几何表面积|结合航天材料密度问题，考查量感与几何直观| |填空题|4/20|数列求和、概率分布|设置社区人口统计情境，体现数据意识与应用意识| |解答题|6/70|导数应用、圆锥曲线综合|以新能源汽车续航优化为背景，通过多问梯度考查推理能力与模型意识|

高一期中模拟数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.设f(x)是可导函数，且 f1-3Ax)-f①=2，则f'(1)=() Ax A.2 B-月 C.-1 D.-2 2.已知函数f(x)=lnx,导函数为f'(x),那么f'(2)等于() A-号 B-月 c D.1 3.直线y=5x+b是曲线y=x3+2x+1的一条切线，则实数b=() A.-1或1 B.-1或3 C.-1 D.3 4.已知函数f(x)=x3-2mx2+m2x在x=1处取得极大值，则m的值为() A.1 B.3 C.1或3 D.2或-2 5.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图 象如图所示，则下列结论中一定成立的是() A.f(x)有极大值f(-2) B.f(x)有极小值f(-2) C.f(x)有极大值f(1) D.f(x)有极小值f(1) 6若函数f侧)=片c>1)有最大值-4，则实数a的值是() A.1 B.-1 C.4 D.-4 7.已知函数f(x)=e*-ax2+3在(0，+o)上单调递增，则a的最大值是() A.1 B.2 C.e D.3 8.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)>f'(x)+1,f(O)=3,则不等式f(x) A.(-0o,0) B.(0,+o) C.(-∞，1) D.(1,+0) 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.下列计算正确的是() A.(e-x)'=-e-x B白=是 C.(sin2x)'=2cos2x D.(lgx)' 10.已知函数f()= ,下列判断正确的是() 第1页，共13页 y -2 0 1 r > 2ex+1的解集为() A.f(x)的单调减区间是(0,1)，(1，e) B.f(x)的定义域是(0,1)U(1,+0) C.f(x)的值域是(-o∞，0)U[日，+oo) D.y=m与y=f(x)有一个公共点，则m=e或m<0 11.已知函数f(x)=(x-2)3+4x-8,若实数m,n满足不等式f(2m-m+f(4-n)>0,则() A.sinm sinn B.mtem>nten C.Inm Inn D.m3 >n3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数f(x)=e*cos?2x的导函数f'(x)= 13.函数f(x)=ex-e2x在[1,3]上的最小值为 14,设函数f()=生，g()=三，则函数g()=(c>0)的最大值为 ；若对任意x1,x2∈ (0+四)，不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题12分) 求下列函数的导数： ()ya (2)y =xsinx cos2x: (3)y=1og2x+2x 16.(本小题12分) 已知函数f(x)=2x3-ax2+4,x=1是函数f(x)的一个极值点。 (1)求函数f(x)的增区间： (2)当x∈【-1,2]时，求函数f(x)的最小值. 17.(本小题12分) 已知函数f(x)=ex+x2-x+1. (I)求函数f(x)的极值： (Ⅱ)证明：x∈R,f(x)>3x. 18.(本小题12分) 已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点. 第2页，共13页 (1)求实数a的值： (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点，求实数b的取值范围， 19.(本小题12分) 函数f(x)=lnx-mx+2. (1)求函数y=f(x)的单调区间： (2)若f(x)≤(2-x)(ex+m-1)在x∈(0,2]恒成立，求实数m的取值范围. 第3页，共13页 答案和解析 1.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查导数的定义，属于基础题， 把已知等式变为f'四)=-一织，1-340，由导数的定义可得， Ax 【解答】 解：“ f1-34)-f0=2, Ax f'(1)= f0-34f0-f0-349-f0-有×2=-号 -3△x △x 故选：B 2.【答案】C 【解析】本题考查基本初等函数的导数公式，属于基础题.首先求出函数的导数，进一步求出结果. 解：函数f(x)=lnx,则f'(x=三，所以f'(2)=故选C. 3.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查导数的几何意义，属于基础题 设切点为M(m,n),利用导数的几何意义求出m=±1，再分情况讨论即可， 【解答】 解：由y=x3+2x+1,得y=3x2+2. 设切点为M(m,n),则切线的斜率k=3m2+2=5,解得m=±1. 当m=1时，n=4,即M(1,4),此时b=-1; 当m=-1时，n=-2,即M(-1,-2),此时b=3. 故选B. 4.【答案】B 【解析】【分析】 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 函数f(x)=x3-2mx2+m2x,f'(x)=3x2-4mx+m2,根据函数f(x)在x=1处取得极大值，可得f'(1)= 0,解得m,并且验证即可得出 第4页，共13页 【解答】 解：函数f(x)=x3-2mx2+m2x, f'(x)=3x2-4mx+m2, ~函数f(x)在x=1处取得极大值， f'(1)=3-4m+m2=0,解得m=1或3， m=1时，÷f'(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1), 可得x=1是函数f(x)的极小值点，舍去： m=3时，f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3), 可得x=1是函数f(x)的极大值点. 则m=3. 故答案选：B. 5.【答案】A 【解析】略 6.【答案】B 【解析】【分析】本题考查函数的最值的求法，注意运用导数判断单调性，属于中档题 求得f(x)的导数，利用导数研究函数的单调性，可得函数何时取得最大值-4，解方程即可得到α的值. 【解答】 解：由函数f)=化>1)，则f"四=r=,要使得函数了)有最大值-4，则a<0 (x-1)1 则当x∈(1,2)时，f'(x)>0,函数f(x)在(1,2)上单调递增， 当x∈(2，+oo)时，f'(x)<0,函数f(x)在(2，+∞)上单调递减， 所以当x=2时，函数f()取得最大值，即f)max=f(2)=会=-4，解得a=-1,满足题意，故选B, 7.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分离参数法的应用，考查数学运算能力，属于中档题 由题可得f'()≥0在(0，+o)上恒成立，分离参数a,可得a≤xE(0,+∞)，设g)=三，求导，判断 单调性得g(x)≥g(1)=e,从而可得答案. 【解答】 解：因为f)=e*-ax2+3,所以f')=ex-ax 第5页，共13页 因为f(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以对任意的x∈(0，+oo),f'(x)=ex-ax≥0恒成立， 即对任意的xE(0,+o),Q≤号 设g()=三，x>0,则g()=-C x2 由g(x)>0,得x>1,由g'(x)<0,得0<x<1, 从而g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 故g(x)≥g(1)min=e,即a≤e. 所以a的最大值是e. 故选C. 8.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性，解不等式，属于中档题 构造函数g()=二，利用导数研究g()的单调性，将f(x)>2e ex 求解 【解答】 解：令g=f-1 求导得g'(=fe--1e=f)+1-f但 e2x 因为f(x)>f'(x)+1, 所以g)=f)+1-f®<0在R上恒成立， 所以g)=兰在R上单调递减， 又因为f(x)>2e×+1, 所以>2=3-1=0兰，即g)>90 ex 所以x<0, 所以不等式f(x)>2ex+1的解集为(-o∞，0). 故选：A. 9.【答案】AC 【解析】【分析】 第6页，共13页 +1,等价转化为g(x)>g(0),即可 本题考查了导数的运算，属于基础题. 依次求出各选项的导数即可. 【解答】 解：A.(ex)'=-ex,故A正确： B.孕'=-之故B错误： C.(sin2x)'=2cos2x,故C正确： D.(g)'=10故D错误. 故选AC. 10.【答案】ABD 【解析】【分析】 本题考查导数的应用问题，属于中档题 利用导数可得函数f(x)的单调性，即可得极值，可画出图象，逐一判断即可. 【解答】 解：由f()=孟知nx≠0，得函数f)的定义域是(0,1)U(1,+o), 又f(因=所以当0<x<1或1<x<时，f因<0，此时f单调递减， 当x>e时，f'(x)>0,此时f(x)单调递增. f(x)在x=e处取得极小值e. f(x)的图象如下图所示， 本V 可得：f(x)的单调减区间是(0,1)，(1，e),故A判断正确： f(x)的定义域是(0,1)U(1,+oo),故B判断正确： 第7页，共13页 f(x)的值域是(-o,0)U[e,+oo),故C判断错误： y=m与y=f(x)有一个公共点，则m=e或m<0,故D判断正确， 故选ABD 11.【答案】BD 【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性、对称性和单调性，属于中档题 求出f(x)关于点(2,0)对称，且在R上为增函数，结合不等式得到m>n,即可得到答案 【解答】 解：f(x)=(x-2)3+4x-8的定义域为R,y=x3+4x为奇函数， 函数y=x3+4x的图象向右平移两个单位可得f(x)的图象， ·f(x)=(x-2)3+4x-8关于点(2,0)对称 f(4-x)+f(x)=0,"f'(x)=3(x-2)2+4>0, ·f(x)=(x-2)3+4x-8在R上为增函数， 由f(2m-n)+f(4-n)>0化为f(2m-n)>-f(4-n)=f(n), 等价于2m-n>n,m>n, m3>n3,m+em>n+en成立， m>n不能推出sinm>sinn,lnm>lnn. 故选BD 12.【答案】e*cos22x-2esin2x 【解析】【分析】 本题考查导数的计算，属于基础题 根据导数运算公式运算即可， 【解答】 解：函数f(x)=excos?2x的导函数f'(x)=(ex)'cos2x+ex(cos2x)'=excos?2x-2e*sin2x. 故答案为：e*cos2x-2 e*sin22x. 13.【答案】-e2 【解析】【分析】 本题考查导数的应用，考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查数学抽象的核心素养，属于基础题 先结合导数符号与函数单调性之间的关系求在[1,3]上函数单调性，进而可判断最小值在x=2处取得. 第8页，共13页 【解答】 解：f'(x)=ex-e2, 令f(x)>0,解得：x>2:f'(x)<0,解得：x<2, ·f(x)在[1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增， f(x)min f(2)=-e2 故答案为：-e2 14.【答案】[2+∞) 【解析】【分析】 本题考查了利用导数研究函数的最值问题和恒成立问题，属于较难题， 利用导数研究g()的单调性可得g(x)的最大值：不等式9型≤2恒成立，则等价 k+1 得出fx)的最小值和g()的最大值可得车的最小值，解出可得k的取值范围. 【解答】 解：96闭=益c>0小g国-号-兰 由g'(x)>0可得0<x<1,此时函数g(x)为增函数； 由g'(x)<0可得x>1,此时函数g(x)为减函数： “9()的最大值为g(1)=是 若对任意x”x2∈(0，+四)，不等式巴≤恒成立， 则等价为≤种恒成立， 了国=兰=x+之2=2，当且仅当x=即x=1时等号成立， 即fx)的最小值为2，且g(x)的最大值为g(1)=是 则的最大值为=则由÷≥六得k(2e-1)21,即k≥ 1 f(x2) 故答案为：÷b品+o） 15.【答案】解：（四）y=本1 y'=4)(e+1)-4(ex+1) -4ex (ex+1)2 (ex+1)2 第9页，共13页 内号≤#恒成立， 9(x」 (2)y=xsin x+cos 2x, :y'=(x)'sinx+x(sinx)'+2(-sin2x)=sinx +x.cosx -2sin2x; (3)“y=log2x+2x, y=+21n2. 【解析】本题主要考查了导数的运算，属于基础题. (1)利用商的导数运算公式求解即可。 (2)利用和与积的导数运算公式和复合函数的运算公式求解即可. (3)利用和的导数运算公式求解即可. 16.【答案】解：(1)f'(x)=6x2-2ax, 因为x=1是函数f(x)的一个极值点. 所以f'(1)=0,即6-2a=0,解得a=3, 所以f(x)=2x3-3x2+4,f'(x)=6x2-6x=6x(x-1), 当xE(-o,0)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 当x∈(0,1)时，f'()<0,f(x)单调递减， 当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 可得x=1是函数f(x)的一个极值点，满足题意， 所以f(x)的单调递增区间为(-o∞，0)，(1，+∞). (2)结合(1)可得，当x变化时，f(x)f'(x)的变化情况如下表： [-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2] f'(x) × 0 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以当x=-1时，f(-1)=2×(-1)3-3×(-1)2+4=-1, 当x=0时，f(0)=4, 当x=1时，f(1)=2-3+4=3, 当x=2时，f(2)=2×(2)3-3×(2)2+4=8, 所以当x∈[-1,2]时，函数f(x)的最小值为-1. 【解析】本题考查利用导数根据极值点求参，利用导数求函数的单调区间、最值，属于中档题 (1)根据极值点求出a的值，求导，利用导数大于0，可得函数的单调递增区间： (2)确定函数的极值点，再考虑端点的函数值，从而确定函数的最值， 第10页，共13页 17.【答案】解：(I)函数f(x)=ex+x2-x+1,x∈R, 则f'(x)=ex+2x-1, 设g(x)=ex+2x-1,则g(x)=ex+2>0 由g(x)>0可知，f'(x)在R上单调递增，且f'(0)=0, 故当x∈(-o,0)时，f'(x)<0, 当x∈(0+∞)时，f'(x)>0, 故函数f(x)有极小值f(0)=2,无极大值； (Ⅱ)证明：依题意对Vx∈R,f(x)-3x>0, 即ex-4x+x2+1>0, 设F(x)=ex-4x+x2+1,则F'(x)=ex-4+2x, 设G(x)=F'(x)=ex-4+2x, 因为G'(x)=e*+2>0,所以G(x)在R上单调递增， 又因为G(0)=-3<0,G(1)=e-2>0, 所以G(x)=0在(0,1)内有唯一零点，记为xo, 即ex0=4-2x0, 当x<xo时，F'()<0,F(x)单调递减： 当x>xo时，F'(x)>0,F(x)单调递增： 所以F(x)min=F(xo)=exo-4x0+x行+1=x6-6x0+5,x0∈(0,1). 设h(x)=x2-6x+5=(x-3)2-4,x∈(0,1)， 则h(x)>h(1)=0,所以F(xo)>0, 所以F(x)>0,即Vx∈R,f(x)>3x. 【解析】本题考查了利用导数求已知函数的极值和利用导数证明不等式，属于中档题. (I)直接求导，利用导数研究单调性可得极值： (Ⅱ)依题意对Vx∈R,f(x)-3x>0,即ex-4x+x2+1>0,设F(x)=ex-4x+x2+1,利用导数研 究其单调性和最值，即可得证 18.【答案】解：(1)因为f"()=+x+2x-10, 所以f'(3)=+6-10=0, 因此a=16, 第11页，共13页 则f)=16ln(1+x)+x2-10x,x∈(-1，+o),f'6)=2-x+）=2-x-3. 1+x 1+x 可得f'(x)在x=3两边异号，即x=3是函数f(x)=16ln(1+x)+x2-10x的一个极值点， 故a=16. (2)油(1)知，f()=2-6-3,xe(-1,+o), 1+x 当x∈(-1,1)U(3,+∞)时，f'(x)>0, 当x∈(1,3)时，f'(x)<0, 所以f(x)的单调增区间是(-1,1)，(3，+∞)，f(x)的单调减区间是(1,3)： (3)由(2)知，f(x)在(-1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3，+∞)上单调递增，且当x=1或x=3时， f'(x)=0, 所以f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9,极小值为f(3)=32ln2-21. 因为f(16)>162-10×16>16ln2-9=f(1),f(e-2-1)<-32+11=-21<f(3), 所以要使直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点， 则在f(x)的三个单调区间(-1,1)，(1,3)，(3，+∞)内，直线y=b与y=f(x)的图象各有一个交点， 当且仅当f(3)<b<f(1), 因此，b的取值范围为(32n2-21,16ln2-9). 【解析】本题考查利用求导研究函数的单调性，最值问题，函数图象交点个数问题，理解求导在函数最值 中的研究方法是解题的关键，数形结合理解函数的取值范围. (1)先求导，再由f'(3)=号+6-10=0求解： (2)油(1)确定f'()=2-10-,xE(-1,+∞)，再由f'()>0和f'()<0求得单调区间： 1+x (3)由(2)可得f(x)的极大值为f(1),极小值为f(3),再由直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点则须 有f(3)<b<f(1),即可得结果， 19.【答案】解：()f)=-m=-m严(x>0), 当m≤0时，f'(x)>0,f(x)在(0，+∞)递增， 当m>0时，令f'()>0,解得：0<x<是 令f)<0,解得：x>品 故fx)在(0，品)单调递增，在（品+∞）单调递减： (2)'f(x)≤(2-x)(ex+m-1)在x∈(0,2]恒成立， 第12页，共13页 2m-4≥(x-2)ex+lnx-x在x∈(0,2]恒成立， g(x)=(x-2)ex+Inx-x, 则g'()=(x-1)e*+是-1=(x-10(e*-), 设h()=e*-是则h()=e*+是>0， 故h(x)在(0,2]上单调递增， 又h(分=Ve-2<0,h(1)=e-1>0, 故存在唯一xo∈（吃，1），使得h(xo)=0, 故当x∈(0，xo)时，h(x)<0,当x∈(xo,1)时，h(x)>0, 故当x∈(0，x0)时，g'(x)>0,当x∈(xo,1)时，g'(x)<0, 故函数g(x)在(0，x0)递增，在(xo,1)递减，在(1,2]递增， g(x)max max{g(xo),g(2)], 由h(c)=e西-六=0得e0=动且mo=-xo, 故gxo)=(x0-2)e0+1nx0-x0=(x0-2)号-2x0=1-2x0+) e传，1).“x+>2,“96c）<-3 ×g(2)=ln2-2>-2, ÷当x∈(0,2]时，g(x)max=g(2)=ln2-2, 故2m-4≥ln2-2,解得：m≥1+lnV2, 故m的取值范围是[1+lnV2,+∞). 【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于较难 题 (1)求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可； (2)问题转化为2m-4≥(x-2)ex+lnx-x在x∈(0,2恒成立，设g(x)=(x-2)ex+lnx-x,求出函数 的导数，根据函数的单调性求出g(x)的最大值，得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可. 第13页，共13页