山东省泰安肥城市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

**基本信息** 聚焦复数、向量、立体几何与解三角形，通过港口航行（第5题）、斜二测画法（第6题）等真实情境，考查数学眼光观察现实世界、数学思维逻辑推理，体现期中阶段性综合评估价值。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数共轭（1）、解三角形（2）、向量运算（3）、球与圆柱体积（4）|基础巩固，梯度合理，如第7题向量夹角钝角条件辨析| |多选|3/18|复数性质（9）、旋转体体积侧面积（10）、向量数量积（11）|能力提升，多选项设计考查思维严谨性| |填空|3/15|复数代数形式（12）、正四棱锥体积（13）、平面向量最值（14）|创新应用，第14题结合正方形动态最值问题| |解答|5/77|复数纯虚数（15）、向量投影（16）、四边形解三角形（17）、四面体共面与外接球（18）、解三角形综合（19）|综合探究，第19题结合向量与解三角形，考查数学语言表达与逻辑推理|

高 一 数 学 试 题 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 复数的共轭复数 A. B. C. D. 2. 在中，，则 A. B. C. D. 3. 已知向量，,则下列向量的运算结果不一定成立的是 A. B. C. D. 4. 一个圆柱的底面直径和高都等于一个球的直径，则这个球与这个圆柱的体积之比为 A. B. C. D. ( （第5题图） )5. 如图,某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上. 在小艇出发时， 轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距 海里的处，正在沿正东方向匀速行驶. 假 设该小艇沿直线方向以海里/小时的速度匀 速行驶，经过小时后与轮船相遇. 则小艇的 航行方向为 A. 沿正北方向 B. 北偏东方向 C. 北偏东方向 D. 北偏东方向 ( （第6题图） )6. 如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形按斜二测画法画出的直观图. 图中，，则原图形是 A. 正方形 B. 等腰梯形 C. 非正方形的菱形 D. 既不是矩形也不是菱形的平行四边形 7. 已知向量，若与的夹角是钝角，则 A. B. C. 且 D. 且 8. 已知的面积是，，是的内角平分线，在边 上，则 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知复数，则 A．如果的实部是，那么的虚部是 B．当时，是实数 C．当时，在复平面上对应的点位于第二象限 D．的最小值是 10. 如图，四边形是直角梯形,,且. 以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体. 则 A．该几何体是由圆锥和圆柱组合而成的 B．该几何体的体积是 C．该几何体的侧面积是 D．若分别是边的中点，从该几何体中将四边形旋转而成的几何体挖去，则减少的体积为 ( （第10题图） A B E C F D ) ( （第 11 题图） ) 11. 如图，是边长为的等边三角形，是的外接圆圆心，延长与交于点，是外接圆上一点，则 A．的最大值为 B. C. D. 当取最大值时，、、三点共线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知复数，则复数的代数形式为 . 13. 底面边长为的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为 的正四棱锥，则剩余几何体的体积为 . ( （第14题图） Q A B C D M N )14. 如图，正方形中，，是的中点，、分别是线段、 上的点，若,则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 已知复数. （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）设，，若，求的值. 16.（15分） 已知向量,,. （1）若, 求的值； （2）若, 求向量在向量上的投影向量的坐标. 17.（15分） 如图，四边形中，,且有, . （1）求的长和的大小； （2）证明：是等腰梯形,并求的面积. ( （第17题图） A B C D ) 18.（17分） ( A B D E G （ 第18题图 ） H F C )如图，四面体中，、分别是、的中点，、分别是、边上的点，且． （1）证明：、、、四点共面； （2）设四面体的各棱长均为. （ⅰ）当时，求四边形的周长； （ⅱ）求四面体外接球与内切球的半径. 19.（17分） 记的内角，，的对边分别为，，. 已知向量,，. （1）求； （2）若,选择为表示平面内所有向量的一组基底，用表示向量,并求面积的最大值； （3）若是锐角三角形，且，求的取值范围. ( A （第19题图） B C D ) 1 高一数学试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学参考答案及评分意见 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A C B D C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD ACD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 13. 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 解：（1）方法一： 由题意得， …………………3分 因为为纯虚数，所以有， ………………………………5分 解得. ………………………………………………………………………6分 方法二： 由题意，设， 所以， …………………………………………………3分 所以由复数相等的充要条件得， …………………………………………5分 所以. ………………………………………………………………………6分 （2）因为, 所以. ………………………………………………………………………7分 由于，所以. ……………………………………………9分 所以， ……………………………10分 所以， ………………………………………………………………………12分 解得，从而. …………………………………………………………13分 16.（15分） 解：（1）因为， 所以，解得,所以. ………………………3分 因为，可得， ………………………………5分 所以. …………………………………7分 （2）因为， 所以，解得,所以. ………………………………10分 设向量与的夹角为， 因为，. ……………………12分 所以. …………………14分 所以向量在向量上的投影向量的坐标是. ……………………15分 17.（15分） 解：（1）因为， 所以由余弦定理得 ， 解得. …………………………………………………2分 在中，由正弦定理得, 所以. …………………………………4分 因为， 所以. …………………………………………………………………5分 （2）在四边形中，， 因为， 所以. …………………………………………………………6分 所以得到, 所以. …………………………………………………………………7分 又因为, 所以四边形是梯形. ………………………………………………………8分 在中, ，所以. 由正弦定理得, 所以， ……………………………………10分 所以,四边形是等腰梯形. …………………………………………11分 所以, , ……………14分 所以. ……………………………15分 18.（17分） 解：（1）连接. 因为、分别是、的中点， 所以//. ………………………………………………………………1分 又， 所以//， ………………………………………………………………2分 所以//， ………………………………………………………………3分 所以、、、四点共面. ……………………………………………………………4分 （2）（ⅰ）因为， 所以为三等分点. 又是中点， 所以， ………………………………………………………………5分 所以由余弦定理得， 解得. ………………………………………………………………7分 同理. ………………………………………………………………8分 因为，、分别是、的中点， 所以，， ………………………………………………………………9分 所以四边形的周长. ……………………………………10分 （ⅱ）如图所示，设四面体的高为，外接球球心为，半径为，正三角形的中心为． 因为四面体的棱长为， 所以． ………………………………………………11分 在中，． ………………………………………………12分 在中，， 所以． ………………………………………………13分 因为，． 所以， 即四面体外接球的半径为． ………………………………………………15分 设四面体内切球的半径为，则球心也为． 因为四面体的高， 所以， 即四面体的内切球半径为． ………………………………………………17分 19.（17分） 解：（1）因为,，， 所以. ……………………………………………………………2分 由正弦定理得， 因为, 所以，即, ……………………………………3分 由于,所以. ………………………………………………4分 （2）在中，因为，为平面向量的一组基底， 所以. ……………6分 所以， 整理得，即， 当且仅当时，取到最大值， ……………………………………………8分 所以, 面积的最大值是. ……………………………………………10分 （3）由正弦定理得, 所以. ………………………………………………………………11分 因为,所以, ……………………………………12分所以, ……………………………………………………………………14分 因为是锐角三角形， 所以，解得, ……………………………………15分 所以，可得， 即得，所以的取值范围是. …………17分 1 高一数学参考答案及评分意见 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $