二、解答重难题型突破-【百川育人】2026版中考必刷数学真题分类

是底和高同增，所以这一部分是开口向上的二次函数，选项只有 AB符合； ②当重合部分是正方形EFGH的一部分时，我们发现这一部分 的长在增大，但是宽在减小，就是底和高一增一减，所以这一部 分是开口向下的二次函数，选项A符合 5.5【解析】过点A作AQ⊥BC于点Q,当点P与Q重合时， 2 在图2中F点表示当AB十BQ=12时，点P到达点Q,此时当 P在BC上运动时，AP最小，勾股定理求得AQ,然后等面积法 即可求解. 题型四阴影部分面积的计算 1.D 2.D【解析】阴影部分面积为2个直径分别为AB,BC的半圆的 面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角线长的圆的面积即可 求解. 3.B十号x【解析】如周，连接AF,ER 由题意易知△AEF是等边三角形，Sm=S半国一S扇形AEF一S万卷A5 2m-60:2 360 (02×8x)-vg+号 二、解答重难题型突破 题型五与圆有关的证明与计算 类型一与切线性质有关的证明与计算 1.(1)证明：BD是⊙O的切线， ∴.∠ABD=90°， ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， ∴∠ADB=90°-∠DBC=∠ABC, AC=AC, ∴.∠AEC=∠ABC, .∠ADB=∠AEC; (2)解：由(1)得∠ADB=∠ABC=∠AEC, ∴.cos∠ADB=cos∠ABC=cos∠AEC, .BDBC√5 AD AB3' AB=4, ..BC= 3 Ac=VAB-Bc-√e-(y-8, ,'∠ADB=∠ABC,∠ABD=∠ACB=90°， .∴.△ADBD△ABC, 8 8S即 解得AD=6, ∴.BD2=AD2-AB2=36-16=20, :0B=1AB=2, ∴.OD=/OB+BD=√22+20=26. 2.解：1)∠ACB是直角， .AB为直径， O为圆心， .O在线段AB上； D为BC的中点， ..CD=BD, ..CD-=BD: (2)补图如下，△DEF为等腰三角 形，理由如下： 连接OD, ,DE为⊙O的切线交AB的延长线 于点E, .∠ODE=90°， ∴.∠ADO+∠EDF=90°， .OA=OD. .∠OAD=∠ODA, ∴.∠DAO+∠EDF=90°， AE⊥EF, .∠F+∠DAO=90°， .∠F=∠EDF, ∴.ED=EF, △EDF是等腰三角形； (3)如图，过D作DH⊥AB于H, ⊙O的半径为3，DE=4,∠ODE=90°， .0E=√32+42=5， Sao0E-ODX DE-DHXOE, 1 “2X3X4=2×5XDH, DH-12. 5 ∴OH=VOD-DF-号， ∴BD=VB+DH=65 .CD=BD=6/5 5 3.(1)解：BC与⊙O相切与点C, .OC⊥BC, .∠OCB=90°， .∠ACB=120°， ∴.∠AC0=∠ACB-∠OCB=120°-90°=30°； (2)证明：OA=OC, .∠OAC=∠ACO=30°， .∠ACB=120°，∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴.∠B=30°， .∠A=∠B, ∴.AC=BC. 4.解：(1)在⊙O中，半径OC垂直于弦AB, .AC=BC,得∠AOC=∠BOC ∠AOC=60°，.AOB=2∠AOC=120°. :∠CEB=号∠B0C=号∠A0C,∠CEB=30 (2)连接OE.同(1)得∠CEB=30°， ,在△BEF中，EF=EB, ∴.∠EBF=∠EFB=75°，∠AOE=2∠EBA=150°， 又∠AOG=180°-∠AOC=120°， .∠GOE=∠AOE-∠AOG=30°， GE与⊙O相切于点E, ∴.OE⊥GE,即∠OEG=90°， 在R△0BG中，an∠c0E-8e,OE-0A-3, ∴.EG=3Xtan30°=√3. 5.解：(1)，AE⊥CD于点E .∴.∠AEC=90°，∠ACD=∠AEC+∠EAC=90°+25°=115°. (2),CD是⊙O的切线，OC是⊙O的半径，.∠OCD=90° 在Rt△OCD中，.'OC=OB=2,OD=OB+BD=3, ∴.CD=√OD-OC=√5. .∠OCD=∠AEC=90°， 0c/Ac,罡-8册即瓷-， cE=号5 类型二与切线判定有关的证明与计算 1.(1)证明：过点O作ON⊥PB于点N, ,ON⊥PB, ∴.∠PNO=90°， ,PA与⊙O相切于点M, .OM⊥PA, ..∠PMO=∠PNO=90°， .∠APO=∠BPO,PO=PO, ∴.△PMO≌△PNO(AAS), ..ON=OM, .OM为⊙O的半径， ∴.ON为⊙0的半径， .ON⊥PB, .PB是⊙O的切线； (2)解：，CD⊥OM,OM为半径， ∴CE=DE=2CD, PM-CD, 張 :∠OMP=90°，∠OEC=90°， ∴.CD∥PM, ∴.△OMPC∽△OEC, CE OC PMOP' PC=6, 号-00年6 Oc .OC=4, ..OC=OM=4, 在Rt△MOP中，PM=√OP2-Of=√(6+4)2-4=221， cE=DE=oE=v0c-CE-g-(T-是， 5 '∠FMP=∠FED,∠MFP=∠EFD, .△MFP∽△EFD, 部- 设MF=x,则EF=4一x x 2√2，解得x= 12 5-x 4v2T 7 5 MF=号 2.(1)证明：连接OB, ,PA是⊙O的切线， ∴.∠OAP=∠1+∠3=909 .DF⊥AB,DE⊥BP, ∴.∠ADF=∠BED=90°， .AD=BE,BD-AF, ∴.Rt△DEB≌Rt△FAD(HL), .∠3=∠4， .OA=OB .∠1=∠2， .∠1+∠3=∠2+∠4， ∴.∠OBP=∠2+∠4=90°， 即OB⊥BP, ∴.PB是⊙O的切线； (2)解：.OB⊥BP,∠OAP=90°， mc-设8-号 设OB=2x,OC=3x, ∴.BC=√OC-OB2=√5x,OA=OB=2x, .PB是⊙O的切线，PA是⊙O的切线， ∴.PB=PA=4, 血c瓷号 “4+， 4 2 解得x=号5， 半径为号5×2=号5。 3.(1)证明：如图所示，连接OE, BE是⊙O的切线， OB⊥BE,即∠OBE=90°， 在△OEC和△OEB中， OC=OB OE=OC, CE=BE .∴.△OEC≌△OEB(SSS), ∴.∠OCE=∠OBE=90°， ∴.OC⊥CE, ,OC是⊙O的半径， EF是⊙O的切线； (2)解：如图所示，过点C作CH⊥BF于H,过点D作DM⊥BF 于M, 设OA=OC=r,则OF=OA十AF=r+10, 由(1)可得∠OCF=90°， 在R△OCF中，sin∠F=O是=3， OC 1 ..30C-OF, .3r=r+10, .r=5, ..OA=OC=5, ..AB=CD=20A=10,OF=15, ..BF=OF+OB=20, 在Rt△OCF中，由勾股定理得 CF=√OF2-OCg=√/152-5z=102, ∴.cos∠F=CE-10w2_22 0F-15 3 在R△BEF中，EF=BF=20 cos F2/2 =152, ∴.CE=EF-CF=52,BE=EF·sinF=5/2, 在Rt△CDE中，由勾股定理得 DE=√CE+CD=√(52)+102=56； :Sam=含C1,0=0c.CR, CH=0C:CF-5X10w2_10W2 OF 15 3 ,∠CHO=∠DMO=90°，∠COH=∠DOM,OC=OD ∴.△DOM≌△COH(AAS), .DM=CH-10/2 39 ,∠DMG=∠EBG=90°，∠DGM=∠EGB, .∴.△DGM∽△EGB, 恶暖 =2 3 ∴EG=号DE=36. 4.(1)证明：连接OD,如右图所示： AB为⊙O的直径， ∴.∠BCD=∠BDA=90°，OB=OD, .∠DBA=∠BDO, 在Rt△BCA和Rt△BDA中， (BA=BA, BC=BD. .Rt△BCA和Rt△BDA(HL). .∠CBA=∠DBA. ,∠ADE=∠CBA,∠DBA=∠BDO, .∠ADE ∠DBA=∠BDO, .∠BDO+∠ADO=∠BDA=90°， .∠ADE+∠ADO=90°，即ED⊥OD. .OD为⊙O的半径， .ED是⊙O的切线； (2)解：：B0=4, .AB=2OB=8, ∴.EB=AE+AB=AE+8, tan∠CBA=3,∠CBA=∠DBA, an∠DBA= 在R△ABD中，tan∠DBA=BD-Z, AD1 ∴.设AD=a,BD=2a, '∠ADE=∠DBA,∠E=∠E, .△EAD△EDB, .'ED:EB=AE:ED=AD:BD, ED:(AE++8)=AE ED=a:2a. 由AE:ED=a:2a, 得AE=号ED, 由ED:(AE+8)=a:2a,得2ED=AE+8, ∴.2ED= 号ED+8, .ED- 5.(1)证明：连接OD, .OB=OD, .∠B=∠ODB, .AB=AC, .∠B=∠C,∠ODB=∠C, ∴.OD∥AC,∠ODE=∠DEC. .DE⊥AC, .∠DEC=90°，∠ODE=90°， OD是⊙O的半径， .DE是⊙O的切线. (2)解：如图：连接AD, :AB是⊙O的直径，.AD⊥BC, 在RtADC中，∠C=30°，CD=23, .c0s30°=25AC=4, AC ∴OB=2AB=2AC=2, .1 .∠C=30°， .∠B=∠ODB=30°，∠BOD=120°， l喻=120Xx×2=4 180 3元 题型六几何动态探究题 类型一动点类探究 1.(1)解：，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4, ∴.AB=√AC2+BC2=4W2; (2)解：如图，在△ABC中，∠C=90°， AC=BC=4,点D为边AC的中点， .∠A=∠B=45°，AD=CD=2, EF∥AC, ∴.∠FEB=∠A=45°， 而∠DEF=45°， ∴.∠DEB=90°=∠AED, AE=AD·cos46°=2X2=2 (3)证明：旋转， .DE=DF,∠DEF=45°， 如图，，∠DEF十∠BEF=∠DEB=∠A十∠ADE,∠DEF= ∠A=45°， .∠BEF=∠ADE, :∠A=∠B=45°，DE=FE, ∴.△ADE≌△BEF: (4)解：如图，当F在BC的左边时， 结合题意可得：EG⊥BC,FQ⊥BC,EG=2FQ, 过D作DH⊥AB于H,过F作FK⊥EG于K, .四边形FKGQ为矩形， ..FQ-GK=GE. 结合(1)可得： DH=AH=√2， EG⊥BC,∠B=45°， .∠GEB=∠B=45°， ..GB=GE=2GK=2EK .∠DEF=45°， .∠DEF+∠GEB=90°， ..∠DEH+∠FEK=90°， ∠DHE=90°=∠HDE+HED, .∠HDE=∠KEF, .DE=EF, ∴.△DHE≌△EKF， .EK=DH=√2， .EG=BG=22, ∴.BE=√EG+BG=4, ∴.AE=42-4; 如图，当F在BC的右边时，过D作DH ⊥AB于H,过F作FK⊥EG于K, 同理：EK=DH=√2， 四边形FKGQ为矩形， ..FQ=GK, GE=2FQ ∴.GE=2GK, ∴EG=22,GK=FQ-g 3 3 同理可得，EG=BG-2号，B=2×反=令， 3 3 AE=4E-号： 综上：AE的长为4反-4或4巨-号 2.(1)证明：由旋转的性质可得AE=AD,∠DAE=a, .∠BAC=∠DAE,∠BAC-∠BAD=∠DAE-∠BAD, 即∠BAE=∠CAD, 又.AB=AC, ∴.△ABE≌△ACD(SAS),∠AEB=∠ADC, ∠ADC+∠ADB=180°， .∠AEB+∠ADB=180°，A,B,D,E四点共圆； (2)证明：连接OA,OD, ,'AB=AC,AD=CD,.∠ABC=∠ACB=∠DAC, ⊙O是四边形AEBD的外接圆， '.∠AOD=2∠ABC,∠AOD=2∠ABC=2∠DAC, ,OA=OD,∴.∠OAD=∠ODA, :∠OAD+∠ODA+∠AOD=180°， ∴.2∠DAC+2∠OAD=180°， ∴.∠DAC+∠OAD=90°，即∠OAC=90°，OA⊥AC, 又.OA是⊙O的半径，.AC是⊙O的切线； (3)解：作线段AB的垂直平分线，分别交AB,BC于G,F,连接 AM, .AB=AC,∠BAC=120°，∴.∠B=∠C=30°， :点M是边BC的中点，BM=CM=号BC=3,AMLBC, AB=8=a8,8G=AB=8, 在R△BGF中，BF-=6=2,RM=1 .P是四边形AEBD的外接圆， 点P一定在AB的垂直平分线上， .点P在直线GF上，当MP⊥GF时，PM有最小值， :∠PFM=∠BFG=90°-∠B=60°， 在Rt△MPF中，PM=MF·sin∠PFM=5 2 六圆心P与点M距离的最小值为5】 21 3.图②的结论是BM+NC+BM·NC=MN. 证明：，AB=AC,∠BAC=60°， △ABC是等边三角形， .∠ABC=∠ACB=60, 以点B为顶点在△ABC外作∠ABK=60°，在BK上截取BQ= CN,连接QA,QM,过点Q作QH⊥BC,垂足为H, 、K Q 图② AB=AC,∠C=∠ABQ,CN=BQ '.△ACN≌△ABQ(SAS) 31 ∴.AN=AQ,∠CAN=∠QAB. 又.∠CAN+∠BAM=30° .∠BAM+∠QAB=30°，即∠QAM=∠MAN. 又.AM=AM, ,∴.△AQM≌△ANM(SAS) ..MN=QM; ,ABQ=60°，∠ABC=60°， .∠QBH=60°， ∴.∠BQH=30°， BH=号BQ,QH=9BQ, 2 ∴HIM=BM+BH=BM+令BQ, 在Rt△QHM中，可得：QH+HP=QMP, 即（停Ba)'+(BM+BQ)°=Q, 整理得BMP+BQ十BM·BQ=Q」 ∴.BMP+NC+BM·NC=MN. 图③的结论是：BMP+NC-BM·NC=MN, 证明：以点B为顶点在△ABC外作∠ABK=30°，在BK上截取 BQ=CN,连接QA、QM,过点Q作QH⊥BC,垂足为H, K 图② .AB=AC,∠C=∠ABQ,CN=BQ, .∴.△ACN≌△ABQ(SAS). .AN=AQ,∠CAN=∠QAB. 又.∠CAN+∠BAM=60°， .∠BAM+∠QAB=60°，即∠QAM=∠MAN. 又.AM=AM, ..△AQM≌△ANM(SAS). ∴.MN=QM. 在Rt△BQH中，∠QBH=60°，∠BQH=30°， BH=号BQ,QH=9BQ, HM-BM-BH-BM-BQ, 在Rt△QHM中，可得：QH+HM=QMP, 即(5BQ)'+(BM-BQ)=Qr, 整理得BM+BQ一BM·BQ=Q ∴.BMP+NC2-BM·NC=MN2. 类型二图形形状变化类探究 1.(1)解：CD=BD;∠AD'C=∠ADB, 将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD, ∴.∠DAD=90°，AD=AD :∠BAC=90°， .∠BAC-∠DAC=∠DAD'-∠DAC,即∠DAB=∠DAC, 又AB=AC △DAB≌△DAC(SAS), ∴.CD=BD;∠AD'C=∠ADB, 故答案为：相等（或CD=BD);相等（或∠ADC=∠ADB). (2)证明：，四边形ABCD是正方形， .∠DCB=90°，BC=DC, .CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE, ∴.∠ECE=90°，CE=CE, .∠DCB=∠ECE=90°， ∴.∠DCB-∠BCE=∠ECE-∠BCE即∠DCE=∠BCE', ∴.△BCE≌△DCE(SAS), .∠BEC=∠DEC=90°， :∠CED+∠CEF=180°， .∠CEF=90°， .∠BEC=∠ECE=∠CEF=90°， .四边形CEFE是矩形， 又.'CE=CE, ∴.四边形CEFE是正方形； (3)解：CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE, ∴.∠ECE=90°，CE=CE, .四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=4, ..CD=AB=3, sg, CG BC 4 CE-CD-3 .∠DCB=∠ECE=90°， ∴.∠DCB-∠BCE=∠ECE一∠BCE, 即∠DCE=∠BCE, '.△BCGn△DCE, ∴.∠BGC=∠DEC=90°， :∠CED+∠CEF=180°， ∠CEF=90°， .∠BGC=∠ECG=∠CEF=90°， ∴.四边形CEFG是矩形， 如图，连接AC,BD交于点O,连接OF, 图3 .O是AC,BD的中点， 在RAOBF中，OF=号BD, ÷0F=2AC=0A=0C=0D=0B, ∴.A,F,B,C,D共圆， .∠AFC=90°， .'AD=BC, ..AD=BC, .∠GFC=∠ACD, 在Rt△ABC中，AC=√/AB2+BC=5, ∴os∠AcD-=80-, :AF=2, 在Rt△AFC中，FC=√AC-AF=√2I, ∴FG=FC,cos∠CFG=3V2I 5 .BC=BC, ∴.∠BFC=∠BAC, 又∠AFC=∠G=90°， ∴.∠ACB=∠FCG, ∴.∠ACB-∠FCB=∠FCG-∠FCB, 即∠ACF=∠BCG, 六sm∠ACR- -sm∠BCG-8e, ..2=BG 5-41 G- BF=3V2_8 5 5 故答案为：3y28 5 -5 (4)解：如图，连接AC,BD交于点O,， D B 四边形ABCD是矩形， ∠BAD=90°，AO=OB, .AD=32,AB=√6， ∴.AC=BD=√AB2+AD=26, ∴.AO=OB=AB=√6， ∴△AOB是等边三角形，则∠OAB=60°， ,线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE, ∴.AE=AE,∠EAE=60°， ∴.∠OAB=∠EAE=60°， ∴.∠OAB-∠OAE=∠EAE-∠OAE,即∠EAO=∠EAB, 又OA=BA,EA=EA, ∴.△EAO≌△EAB(SAS), ∴∠AOE=∠ABE=90° .E在OE'上运动，且EO⊥AC, ∴当DE⊥OE时，DE取得最小值， .∠AOB=60°， .∠AOD=120°， 又.∠AOE=90°， .∠EOD=30, :当DE⊥OE'时，DE-=20D=}BD-S, 21 故答案为：。 类型三图形旋转类探究 1.(1)①证明：.AB=AC,∠BAC=a=60°， .△ABC是等边三角形， .∠ABC=∠BCA=∠ACB=6O, '∠BAC=∠EAD=a=60°， ∴.∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD, 即∠BAE=∠CAD, .在△ABE和△ACD中 AB=AC, ∠BAE=∠CAD, AE-AD, ∴.△ABE≌△ACD(SAS), '.BE=CD,∠ABE=∠ACD=60°， ∠EBF=180°-∠ABE-∠ABC=180°-60°-60°=60°， .EF⊥BC, ∴.在Rt△BEF中，BE= BF BF Cos∠EBF-cos60=2BF, ,CD=BD+BC=BF+DF十BC, CD=BE=2BF, ∴.2BF=BF+DF+BC, ∴.BF=DF+BC. ②解：BF=DF一BC,理由如下： .AB=AC,∠BAC=a=60°， .△ABC是等边三角形， .∠ABC=∠BCA=6O°， ∴.∠ACD=180°-∠BCA=120° .∠BAC=∠EAD=a=60°， .∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC, 即∠BAE=∠CAD, .在△ABE和△ACD中 AB=AC ∠BAE=∠CAD, AE-AD .△ABE≌△ACD(SAS), .BE=CD,∠ABE=∠ACD=120°， ∴.∠EBF=∠ABE-∠ABC=120°-60°=60°， .EF⊥BC, ∴.在Rt△BEF中，BE= BE BE os∠BEF=c0s60=2BF, .CD=BD-BC=BF+DF-BC, CD-BE=2BF, ..2BF=BF+DF-BC, ∴.BF=DF-BC. (2)解：.AB=AC,∠BAC=a=120°， .∠ABC=∠BCA=2(180°-∠BAC=30, .∠BAC=∠EAD=a=120°， ∴.∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD, 即∠DAC=∠EAB, '.在△ABE和△ACD中 AB=AC, ∠BAE=∠CAD, AE-AD, 33 .△ABE≌△ACD(SAS), .BE=CD,∠ABE=∠ACD=30°， ..∠EBC=∠EBA+∠ABC=30°+30°=60°， .EF⊥BC, ∴.在Rt△BEF中 BE BF BE-cos BEF-cos 60-2BF .CD=BC-BD=DF-BF+BC, CD=BE=2BF, ..2BF=DF+BC-BF, ..3BF=DF+BC. 类型四图形折叠类探究 1.解：(1)：∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°， ..AD∥BC ∴∠ADB=∠DBC, ∴△ADBn△DBC, 品部 ,∠BAD=90°，AD=2,AB=4, ∴BD=√22+4=2W5, 小是品D-5: (2)①四边形DBA'F是矩形，理由如下， 由折叠的性质得∠A=∠A'=90°，∠ABD=∠A'BD', ,∠ABD+∠DBC=∠ABC=90°， ∴∠A'BD=∠A'BD'+∠DBC=90°， .四边形DBA'F是矩形； ②延长AD和A'D'相交于点Q,连接BQ, A-B0 SD' B 由折叠的性质得∠A=∠A'=90°， ∠ABD=∠A'BD',∠EBD=∠EBD', .点A'恰好落在边BC上， .AB=A'B=4,∠ABA'=90°， .四边形ABA'Q是矩形， .AB=A'B=4, .四边形ABA'Q是正方形， ,∠ABE=∠ABD+∠EBD=∠A'BD'+∠EBD'=∠A'BE= 2×90=45, .点E在对角线BQ上， ..DQ=AQ-AD=2, BC=√/BD2+CD2=√/(25)+(4w5)=10, ,四边形ABA'Q是正方形， ∴.AQ∥CB ∴.△DQEC∽△CBE DE DQ CE BC 2/5 .DE- (3)由折叠的性质得∠EBD=∠EBD',BD=BD, .BE是线段DD'的垂直平分线， .∠BPD=90°， .点P在以BD为直径的⊙O上，连接OC,OP, D ∴.CP≤OC一OP,即点P在OC上时，线段CP存在最小值， :0C=√OD+CD-√(W5)+(45)2=√85， 线段CP的最小值为√85一√5 2.(1)解：四边形BDB'E是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得BD=B'D,BE=B'E,∠BDE=∠BDE, .B'D∥BC, .∠B'DE=∠BED, ∠BDE=∠BED, .'BD=BE, .BE=BD=B'D=B'E, ∴.四边形BDBE是菱形； (2)①证明：DE⊥A'E,理由如下： 由(1)知四边形BDB'E是菱形， ∴.BD=BE=B'D, 由折叠的性质得到AD=A'D, .'AD=2BD, ∴.A'D=2BD=2BD=2BE, ..B'D=A'B'=B'E, .∠1=∠2，∠3=∠4， :∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴.∠2+∠3=90°， .DE⊥A'E; ②解：∠C=90°，AB=15,BC=9, ∴.AC=√AB2-BC=12, 当△A'FG是以A'F为腰A'G为底的等 腰三角形时，如图，延长A'F交AB于点 H,设AC,A'D交点为M,则FG=A'F, .∠C=90°，A'D∥BC, ∴.∠AMD=∠C=90°， .∠AMA'=90°， 由折叠的性质得AD=A'D,∠ADF=∠A'DF,AF=A'F, ∴.△ADF≌△A'DF(SAS), .∠A=∠DA'F; :∠AFH=∠A'FG, ∴.∠AHF=∠AMA'=90°； .∠A=∠A, ,∴.△AFH∽△ABC, 常既-是， ..HF:AH:AF-BC AC:AB-3:4:5, .∠A=∠DA'F,AF=A'F,∠AHF=∠A'MF, ∴.△AHF≌△A'MF(AAS), .HF-FM,AH=A'M HF=FM=3x,AH-A'M-4x,AF=A'F=5x, ∴.AM=AF+FM=8x .A'D∥BC, ∴.△AMD∽△ACB, 驰器登-骨 ∴.AD=10x, .BE=BD=AB-AD=15-10x ∴.CE=BC-BE=10x-6, FG=A'F=5x ∴.MG=FG-FM=2x, ∴.CG=AC-AM-MG=12-8x-2x=12-10x, A'D∥BC, .△A'MG∽△ECG, .A'M_MG CE CG 4x 2x 10x-6-12-10x' 解得：x=1, ∴.A'F=5x=5; 当△A'FG是以A'F为腰FG为底的等 腰三角形时，如图，则A'F=AG, 同理得HF:AH:AF=BC:AC:ABB -3:4:5,HF-FM,AH-A'M,AF-A'F, HF=FM=3y,AH=A'M=4y,AF=A'F=5y, ∴.AM=AF+FM=8y, A'D∥BC, .△AMD∽△ACB, 兴-品即器=0 -151 .AD=10y, ..BE=BD=AB-AD=15-10y, ∴.CE=BC-BE=10y-6, ,△A'FG是以A'F为腰FG为底的等腰三角形，A'M⊥AC, ∴GM=FM=3y, ∴.FG=GM+FM=6y, ..CG=AC-AF-FG=12-11y, A'D∥BC, .△A'MG∽△ECG, 提怒 CG 4y 3y 103612 解得y一品 AF=5y-票， 综上，AF的长为5或盟 题型七二次函数综合题 类型一线段、周长问题（含最值问题） 1.解：(1)二次函数y=ax2+bx十c的图像经过A(-3,0),B(1, 0),C(0,-3)三点， 9a-3b+c=0 .{a十b+c=0, c=-3 1a=1 .b=2, c=-3 '.抛物线解析式为y=x2十2x一3； (2)设直线AC的解析式为y=kx十b1(k≠0)， A(-3,0),C(0,-3), 36+6=0 6,=-3 /=-1 =-3’ '.直线AC的解析式为y=一x一3： 如图所示，过点P作PE∥y轴交AC于E, 连接AP,CP, 设P(p,p2十2p-3)(-3<p<0), 则E(p,一-3)， .PE=-p-3-(p2+2p-3)=-p2-3p -()》°+是 'S△ACP=SAAPE十SACPE, ∴Sae=合PE(E-)+3PE(e-xE) =2PE(e-） =合PE[0-(-3] =3PE, ∴当PE有最大值是，S△ACP有最大值， :PE=-(p+)°+号，-10，-3<p0, 六当p叶是-0，即p=一号时，PE有最大值，最大值为号 50w的最大值为名×号-得： .A(-3,0),C(0,-3), ∴.OA=OC=3, :∠AOC=90°， .AC=0A+OC=3/2; 设点P到直线AC的距离为h, SAACP= 7AC.h=22, 2 :当S△cP有最大值时，h有最大值， h的最大值为号×得-。 8 六点P到直线AC的最大距离为2， (3)如图1所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴 于H,过点D作DG⊥QH交直线QH于G, 图1 :抛物线解析式为y=x2十2x一3=(x十1)2-4， ∴.抛物线对称轴为直线x=一1， ∴.H(-1,0), ∴.0H=1; A(-3,0), ∴.AH=-1-(-3)=2; 设点Q的坐标为(-1,9)，则QH=一q; 由旋转的性质可得∠AQD=90°， 又，∠AHQ=∠QGD=90°， ,∴.∠HAQ+∠HQA=∠HQA+∠GQD=90°， ∴.∠HAQ=∠GQD, 又，AQ=QD, .△HAQ≌△GQD(AAS), ∴.DG=QH=-q,QG=AH=2, ..HG=QH+QG=2-q, .点D的横坐标为一1一（一g)=一1+g, 纵坐标为一(2-q)=q一2， .D(-1+q,q-2), :点D在抛物线上， ∴.(-1+q)2+2(-1+g)-3=q-2, ∴.g2-2g+1-2+2q-3=q-2, g2-q-2=0, 解得q=一1或q=2(舍去)， ∴.此时点Q的坐标为（一1，一1）； 如图2所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作RS∥x轴，分别 过点A,点D作直线RS的垂线，垂足分别为R、S,设点Q的坐 标为(-1，q), 图2 ∠R=∠S=90; 由旋转的性质可得∠AQD=90°， ∴.∠RAQ+∠RQA=∠RQA+∠SQD=90°， .∠RAQ=∠SQD, 又.AQ=QD, .∴.△RAQ≌△SQB(AAS), ∴.QS=AR=q,DS=QR=-1-(-3)=2, ∴.点D的横坐标为1十q,纵坐标为q一2， D(1+q,qr2), :点D在抛物线上 ∴.(-1+q)2+2(-1+q)-3=q-2, .q2-2q十1-2+2q-3=q-2, .q2-q-2=0, 解得q=2或q=-1(舍去)， ∴.此时点Q的坐标为（一1,2） 综上所述，存在点Q使AQ=QD,此时点Q的坐标为（一1，一1） 或(-1,2). 2.解：(1).A(一1,0)，B(3,0)在二次函数y=一x2+bx十c的图 象上，设该二次函数为y=一（x一x1)(x一x2), y=-(x+1)(x-3), ∴.y=-x2+2x十3. (2)①把x=0代人y=一x2十2x+3, 得y=3, .C(0,3), 如图，延长DC与x轴相交于点G. .B(3,0),C(0,3), ∴.OB=OC=3. :∠C0B=90, ∴.∠CBO=45°. .∠DCB=90°=∠BCG, .∠CGB=90°-∠CB0=90°-45°=45. ∴.∠GC0=180°-∠C0G-∠CGB=180°-90°-45°=45°， ..OG=OC=3, .G(-3,0). 设直线CG的解析式为：y=kx十m(k≠0)，把C(0,3),G(-3, 0)代人， 得/3=m 0=-3k+m k=1 解得m=3 .直线CG的解析式为：y=x十3， :点D是直线CG与二次函数的交点， ∴.联立解析式 /y=x十3 y=-x2+2x+3' 1x=0 x=1 解得 或 （y=3y=4 .D(1,4). ②如图，过点O作OH∥EF,且OH=EF= √2，连接HE,DH,设DH交x轴为点G ,OH∥EF,且OH=EF, ∴.四边形OFEH是平行四边形， ..OF=EH. :∠CB0=45°， ∴.∠BOH=45°. △OGH为等腰直角三角形， ..OG-GH, ,OH=EF=√2，OG2+GH2=OH2, ∴.OG=GH=1, .H(1,-1). .DE十EH≥DH； .当DE十EH=DH时，DE十EH最小 D(1,4),H(1,-1), .DH=5. 此时D、E、H三点共线且DH⊥x轴， ∴.点F的坐标为(0,3)与点C重合，满足EF在线段BC上. .DE+OF的最小值为5. 3.解：(1)抛二次函数经过O(0,0),A(4,0),B(1,3), 10=c, ∴.将坐标代入解析式得(0=16a+4b+c, 3=a+b十c. 解得a=-1,b=4,c=0. ∴.二次函数的解析式为：y=一x2+4x; :直线经过A、B两点，设直线AB解析式为：y=kx十n, 0=4k+n, ∴.将A、B两点代入得{ 3=k+n. 解得k=一1，n=4, .直线AB解析式为：y=一x+4. ,点C是直线与y轴交点， .令x=0,则y=4, .C(0,4). (2)①点P在直线AB上方， .0≤m≤4， 由题知P(m,一m2十4m),D(m,-m十4)， .PD=yp-b=-m2+4m十m-4=-m2+5m-4=-(m + .-1<0 “当m=号时，PD=号是最大值。 ②存在，理由如下： ,∠PDB=∠ADE,∠ADE=∠ACO, ∴.∠BDP=∠ACO. ,△AOC是等腰直角三角形， ∴要使△BPD与△AOC相似，只要保证△BPD是等腰直角三 角形就可以 (I)当△BPDp△AOC时， :∠AOC=90°， ∴.∠BPD=90°， 此时BP∥x轴，B、P关于对称轴对称， EA ∴.P(3,3) (I)当△PBDp△AOC时， .∠PBD=∠AOC=90°， .AB⊥PB, 'kAc =-1, k即=1， ∴，直线BP的解析式为：y=x十2， 联立方程组得 y=-x2+4x, y=x+2. 解得=1或 x=2, y=3,(y=4. .P(2,4) 综上，存在点P使△BPD与△AOC相似，此时P的坐标为 (3,3)或(2,4). 4.解：(1)经过A(-1,0),C(0,3)两点， 片/-1-6+c=0 (b=2 解得： (c=3 c=31 ∴.y=-x2+2x+3; (2).y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,.M(1,4), 设直线AM:y=kx十m(k≠0)， 1-k+m=0 (k=2 则：k十m=4 解得： （m=2 .AM:y=2x+2, 当x=0时，y=2,∴.D(0,2)； 作点D关于x轴的对称点DP,连接D'M, 则：D'(0,-2),MH+DH=MH+D'H≥D'M, ∴.当M,H,D'三点共线时，MH+DH有最小值为DM的长， D' .D(0,-2),M(1,4), ∴.D'M=√1+(4+2)z=37, 即：MH+DH的最小值为：√37； (3)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, .对称轴为直线x=1, 设P(p,t),Q(1,),当以D,M,P,Q为顶点的四边形是平行四 边形时： ①DM为对角线时： /1+p=0+1 t+n=4+2 VM Q 0 :/p=0 (t+n=6 当P=0时，t=3,.n=3,Q(1,3)； ②当DP为对角线时： 10+p=1+1 2+t=4+n y 37 2+t=4十n 当b=2时，t=-22+2×2+3=3,∴.n=1,Q(1,1); 1+p=0+1 ③当MP为对角线时： (4+t=2+n M D M 0 B ./D=0 ”n-1=2当p=0时，1=3， .n=3,Q(1,5); 综上：当以D,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时，Q(1, 3)或Q(1,1)或Q(1,5). 5.解：(1)把（一1,0）和(0，一3)代入得： 2-6+c=0, c=一3， 5 解得( b=一2’ c=-3. 二次函数的解析式为y=子2-号一3： 1 (2②令y=0,则0=y=7-号-3， 解得x1=一1，x2=6. 点B的坐标为(6,0)， ∴BC=√OB2+OC=√32+62=3/5. 设直线BC的解析式为y=mx十n,代入得： |n=-3, l6m+n=0. 1 解得m=, 1n=-3. “直线BC的解析式为y=号x-3. 过点P作PD⊥x轴交BC于点D,如图， Y ND B 设点P的坐标为(，2-号x-3, 则点D的坐标为(2，名一3小， PD=-3-(--3）=-2+3z .S△PBc三 P0B=×6x(←+3）=-(x 3)2+2 △PBC面积最大为受， PN=2SAc=27_95 BC3/5 5 类型二图形面积问题 1.解：(1)将B(1,0),C(0,3)代入抛物线y=-一x2+bx+c中， 1-1+b+c=0 c=3. 解得c=3· ,b=-2, ∴.抛物线y=一x2一2x十3. (2)令y=0,则0=一x2-2x十3， 解得x1=一3，x2=1, A(-3,0), .OA=3, C(0,3), .OC=3, 过点P作PE⊥x轴于点E, 设P(x,一x2一2x十3)，且在第二象限内， A E O B ∴.OE=-x,AE=3+x, ∴.S△APC=S△APE十S梯形rCoE一S△A0C -AEXPE+(0C+PE)XOE--XOAXOC -号×(3+x(-2-2z+3)+合3-2-2x+3)(-x) 合×3×3 =-(+)+得 -<0 .S有最大值 当x=一 时，S有最大值，最大值为？ 此时点P的坠标为（一名，）】 2.解：(1)由y=-x2+4x得，当y=0时，一x2+4x=0. 解得x1=0,x2=4. 点A在x轴正半轴上，∴点A的坐标为(4,0). 设直线AB的函数表达式为y=kx十b(k≠0) 将A,B两点的坐标(4,0)，(1,3)分别代人y=kx十b, 得/班+6=0 k=一1 +=3,解得 b=4 .直线AB的函数表达式为y=一x十4. 将x=0代入y=一x十4，得y=4. .点C的坐标为(0,4)； (2)①解：，点P在第一象限内二次函数y=一x2十4x的图象 上，且PE⊥x轴于点E, 与直线AB交于点D,其横坐标为m. .点P,D的坐标分别为P(m,-m2+4m),D(m,-m+4). .'PE=-m2+4m,DE=-m+4,OE=m, 点C的坐标为(0,4)，.OC=4.. :PD=20C∴PD=2. 如图，当点P在直线AB上方时，PD=PE-DE=一m2+4m (-m+4)=-m2+5m-4. 0 PD=2, ..-m2+5m-4=2.解得m1=2,m2=3. 如图2，当点P在直线AB下方时，PD=DE一PE=一m+4一 (-m2+4m)=m2-5m+4. 0E .PD=2,.∴.m2-5m+4=2. 解得m=5±，亚，“0<m<1,“m=5-亚 2 2 综上所述，m的值为2或3或5-7， 2 ②解：如图3，由(1)得，OE=m,PE=一m2十4m,DE=一m十4. BQ⊥x轴于点Q,交OP于点F,点B的坐标为(1,3)， .0Q=1. .点P在直线AB.上方，.EQ=m一1. PE⊥x轴于点E,∴∠OQF=∠OEP=90°， ∴.FQ∥DE,∠FOQ=∠POE, ÷AFOQ△POE,Fe=08, 'PEOE m '.FQ=DE.四边形FQED为平行四边形 ,PE⊥x轴， ∴.四边形FQED为矩形！ ∴S=EQ·FQ=(m-1)(-m+4). 即S=-m2+5m-4. s=-m+5m-4=(m8）》'+号 .1<m<4, “当m=号时，S的最大值为是。 类型三特殊三角形的存在性问题 1.解：(1)把A(-3,0),C(0,3)代入y=一x2+bx+c得： 1-9-3b+c=0, b=-2, 解得 c=3. c=3. ∴，抛物线的解析式为y=一x2-2x十3； (2)过D作DK∥y轴交AC于K,如图： A O B 由A(-3,0),C(0,3)得直线AC解析式为y=x十3， 设D(t,-t2-2t+3),则K(t,t+3), ∴.DK=-t-2t+3-(t+3)=-t2-3t, .△ACD的面积为3， DKa-0=3, 即号(-2-30x3=3, 解得t=一1或t=一2. .D的坐标为（一1,4）或（一2,3）： (3)在直线BC上存在点P,使△OPD是以PD为斜边的等腰直 角三角形，理由如下： 在y=-x2-2x十3中，令y=0得0=-x2-2x十3， 解得x=-3或x=1, ∴.A(-3,0),B(1,0), 由B(1,0),C(0,3)得直线BC解析式为y=-3x十3， 设P(m,-3m+3),D(n,-n2-2十3)， 过P作PN⊥y轴于N,过D作DM⊥y轴于M, ①.OA=OC=3, ∴当P与C重合，D与A重合时，△OPD是等腰直角三角形， 如图： A O B 此时P(0,3); ②当P在第一象限，D在第四象限时， A :△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形， .OD=OP,∠POD=90°， .∠DOM=90°-∠PON=∠OPN, ,∠DMO=90°=∠PNO, .△DOM≌△OPN(AAS). .∴.DM=ON,OM=PN, n=一3m+3, n2+2n-3=m. m=25+193 m=25-v193 18 18 解得 (n小于0，舍去)或 n=-7-193 -7+√/193 n 6 6 -3m+3=-3×25-g198+3=-7+V198 18 P的坐标为(25-Y193,-7+V193 18 ③当P在第四象限，D在第三象限时，如图： ,△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形， ∴.OD=OP,∠POD=90°， ∴.∠DOM=90°-∠PON=∠OPN, :∠DMO=90°=∠PNO, ∴.△DOM≌△OPN(AAS), ..PN=OM,ON=DM, （m=n2+2n-3, 同理可得 (3m-3=n. m=25+193 m=25-V193 18 18 解得 或 (n大于0，舍去)， -7-/193 n= -7+√/193 n= 9 9 .-3m+3=-3x25+g193+3=-7-√193 18 P的坐标为(25+g,7.13): ④当P在第四象限，D在第一象限，如图： A A N :△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形， .OD=OP,∠POD=90°， ,∴.∠DOM=90°-∠PON=∠OPN, ,∠DMO=90°=∠PNO, ∴.△DOM≌△OPN(AAS). ∴.PN=OM,ON=DM, m=-n2-2n十3， 3m-3=n. 11 解g合去成 2 n3 -3m+3=-3×号+3=-号 ∴P的坐标为（得，-号）： 综上所述，P的坐标为0,3)或(258，二7+。丽）或 (25+1旺，1.1)或(g，-号)月 18 2.(1)解：将A(1,0)、C(2,5)代入y=ax2+bx-3(a≠0)得， a十b-30 4a+2 解得 ∴.抛物线的解析式为y=x2十2x一3； (2)解：①令y=0,则x2十2x-3=0, 解得x=一3或x=1, .点A的坐标为（一3,0）； ②根据图象可知，当y<0时，x的取值范围为一3<x<1, 故答案为：一3<x<1: (3)解：设点P的坐标为(0，a), A(-3,0),C(2,5), .AC2=(2+3)2+(5-0)2=50,AP2=(0+3)2十(a-0)2= 9+a2,CP2=(0-2)2+(a-5)2=a2-10a+29, ,△ACP是以AC为直角边的直角三角形， 分以下两种情况讨论： 当AP为斜边时，则AP2=AC2+CP2, .∴.9+a2=50+a2-10a+29, 解得a=7, ∴.P1(0,7) 当CP为斜边时，则CP2=AC+AP2, ∴.a2-10a+29=50+9+a2, 解得a=-3, .P2(0,-3). 综上所述，存在符合条件的P点，P1(0,7),P2(0,一3). 3.解：(1在y=-子2+受x十4中， 令x=0,得y=4:令y=0,得x=8或x=一2. ∴.A(-2,0),B(8,0),C(0,4). 设直线BC的函数关系式为y=kx十4. 将B(8,0)代入，得8k+4=0.解得k=一2： “直线BC的函数关系式为y=一2x十4. (2)如图1，过点C作CG⊥PD于点G. 设P(m一子㎡+昌m十4小 PD=-子m+是m+4 .∠COD=∠PDO=∠CGD=90° .四边形CODG是矩形. 图1 .DG=OC=4,CG=OD=m. PG=PD-DG=-m+号n+4-4= 3 4m2 2. CP=CE,CG⊥PD, ∴GE=PG=-7m+号m 3 .'∠GCE=∠OBC,∠CGE=90°=∠BOC, .△CGEp△BOC. 1 常8哭即警= 4 解得m=0(舍去)或m=4. .P(4,6). (3)存在点P,使得CE=FD. 如图2，过点C作CH⊥PD于点H. 设P(m,-子+受m+4小 由A(-2,0),C(0,4)可得直线AC的解 P 析式为y=2x十4. 根据PF∥AC,设直线PF的解析式为y =2x+b. 将P(m,一m+多m m+4)代人，得 图2 1 n+多m十4=2mta, b=-1 -+4 “直线PF的解析式为y=2z一子m-名m十4 1 令x-0,得y-7m-宣m十4. (o,-m-m+4) 同(2)可得四边形CODH是矩形，∴.CH=OD .CE-FD, .Rt△CHE≌Rt△DOF(HL) ∴∠HCE=∠FDO. '∠HCE=∠CBO, ∴.∠FDO=∠CBO. ∴.tan∠FDO=tan∠CBO. 1 =4 m 8 -m-m+4=2m或-子m2-2m+4=-2m 解得m=25-2或m=-25-2或m=4或m=-4. P在第一象限，.m=25-2或m=4. 4.解：(1).抛物线y=ax2+bx-5交x轴于A(1,0),B(-5,0) 两点， /a+b-5=0 25a-5b-5=01 解得/01 6=41 ..y=x2+4x-5 (2):y=x2+4x-5中，当x=0时，y=-5, .C(0,-5), ∴.设直线BC的解析式为y=kx一5， .B(-5,0), .-5k-5=0, .k=-1, .y=-x-5, 设P(x,x2十4x-5), 则E(x,一x一5)， 当x<一5时， PE=x2+4x-5-(-x-5)=x2+5x,DE=-x-5, .PE=3ED, .x2+5x=3(-x-5), 解得x=一3（舍去），或x=一5（舍去）， .点P不存在； 当-5<x<0时，PE=-x-5-(x2+4x-5)=-x2-5x, DE=x+5, .-x2-5x=3(x十5) 解得x=-3,或x=-5(舍去)， .x2+4x-5=-8, .P1(-3,-8); 当0<x<1时，PE<CE,点P不存在； 当x>1时，PE=x2+4x-5-(-x-5)=x2+5x,DE=x+5, .x2+5x=3(x+5), 解得x=3,或x=一5（舍去）， .x2+4x-5=16, ∴.P2(3,16), 故P点坐标为P1(-3,-8),P2(3,16). (3)过点F,P作FG⊥x轴于G,PH⊥x轴于H, 则∠AGF=∠AHP=90°， :△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形. ∴.AF=AP,∠PAF=90°， ∴.∠FAG+∠PAH=∠APH+∠PAH=90°， ∴.∠FAG=∠APH, .△AFG≌△PAH(AAS), .'.AH-FG,PH=AG, 设P(m,m2+4m-5), 当-5<m<1时，AH=1-m,PH=一m2-4m+5, .FG=1-m, .-x-5=1-m, .x=m-6, ∴.F(m-6,1-m) ∴.AG=1-(m-6)=7-m .-m2-4m+5=7-m 解得m=一1，m=一2， .P坐标为(-1，一8)，或（一2，一9）； 当m>1时，AH=m-1,PH=m2+4m .FG=m-1, .-x-5=m-1, 41 ∴.x=-m-4, .F(-m-4,m-1), .AG=1-（-m-4)=m+5, ∴.m2+4m-5=m+5, 解得m=2,m=一5（舍去）， ∴.P坐标为(2,7)； 故P坐标为（一1，一8），或(-2，一9)，或(2,7) 5.解：(1)由题意得：y=a(x十3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+ bx-3, 解得a=1,b=2, 则抛物线的表达式为y=x2+2x一3； (2)由抛物线的表达式知，点C(0,一3)、D(一1，一4)，抛物线的 对称轴为直线x=一1， 过点D作直线DG∥AC交y轴于点G,在点C上方取点L使 CL=2CG,过点L作直线PL∥AC交抛物线于点P,则点P为 所求点， DG 由点A、C坐标得，直线AC的表达式为：y=一x一3， .DG∥AC, 则直线DG的表达式为y=一(x十1)一4， 则点G(0,一5)，则CG=5一3=2，则CL=4, 则点L(0,1), 则直线LP的表达式为y=一x十1， 联立上式和抛物线的表达式得：x2十2x一3=一x十1， 解得x=1或一4， 即点P(1,0)或(-4,5)； (3)存在，理由： 设点N(-1,m), 由点A、C、N的坐标得，AC2=18,AN=4十m,CN=1+(m +3)2, 当AC=AN时， 则18=4十m2, 解得m=士√/14， 则点N(-1,士14)： 当AC=CN或AN=CN时， 则18=1+(m+3)2或4+m2=1+(m+3)2, 解得m片3+√/17或一1（不合题意的值已舍去）， 则点N(-1,一1)或(-1，-3+√17)， 综上，N(1,士√14或(-1，-1)或(-1，-3+√17). 6解：1将B(8,0)代人y=ar+号x-6,得 64a+22-6=0, a=一4 y=-r+-6 当y=0时，-+：-6=0，解得1=3或1=8（舍去）， ∴.t=3. ,B(8,0)在直线y=kx一6上， ∴.8k-6=0. 解得=子 (2)如图1，作PM⊥x轴于点M. P点横坐标为m, iP(m:-tm+4m +4m-6). PM=m-是w -4m+6,AM=m-3. 在Rt△COA和Rt△AMP中， :∠OAC+∠PAM=90°，∠APM+∠PAM=90°， ∴.∠OAC=∠APM. ∴.△COAp△AMP. ÷82-即oA·MA=c0·PM ∴3(m-3=6(冬m-m+6), 解得m=3(舍去)或m=10. ∴P(10,-子) (3)如图2，作PN⊥x轴交BC于点N,过点N作NE⊥y轴于 点E. 由1)，知直线BC的解析式为y=子x-6。 点P的横坐标为m, P(m,m+m-6),N(m,是m-6) ∴PN=- m+m-6-(m-6）-m+2m 易证△PQN∽△BOC, 瓷提器 .OB=8,OC=6,BC=10, ∴QN=号PN,PQ=号PN 易证△CNEC∽△CBO, CN=号EN= :CQ+zPQ-CN+NQ+zPQ-CN+PN. CQ+PQ号m-+2m=-+m 5 :当m=号时，CQ+号PQ的0最大值是9 2 图1 类型四特殊四边形的存在性问题 1.解：(1)将A(-3,0),B(6,0)代入y=ax2+bx-9, /9a-3b-9=0 得 36a+6b-9=0 a2 解得 =- 抛物线解析式为：=号-号-9， (2②二次函数)=7x-是x 2x-9,当x=0时，y=-9, .点C(0,-9), 设点Pm,0,点Qu,号r-名-9）， 1 当AC为边，AQ为对角线时， ,四边形ACQP为平行四边形 ∴AQ,CP互相平分， 名2-号n-9=-9解得，m=0(合去)或a=3, 点Q坐标(3，一9)； 当AC为边，AP为对角线时， 10 同理得，号t-多-9叶（一9）=0， 解得-是+3平支-昌-3 =3_3√17 2 ∴72--9=9 点Q坐标（号+39）或（是39）， 综上，点Q坐标8，-9或(+3）政(-3)： 2 (3)如图，过点D作DG⊥AB,过点E作EF⊥AB,垂足为G,F, .PE∥BC,PD⊥BC, .∠DPE=∠PDB=90°，∠FPE=∠DPB=90°， .∠DPB=∠DBP=90°，∠FPE=∠DBP=90°， 同理可得∠PDG=∠DBP, 设直线AC的解析式为：y=kx十h, 则3+h=0 h=-9 解得飞=一3 (h=-9 .直线AC:y=一3x-9, 同理由点B(6,0),C(0,一9)，可求得直线BC:y= 号x-9, 3 设点E(p,-3p-9),D(q,2q-9, 则PF=m-p,PG=q-m,EF=3p十9，DG=- 3 9+9, Rt△BOC中，OB=6,OC=9, BC=√OC+OB=√62+9=√117， am∠0Bc-号-号 R△PEF中，an∠FPE=器=m∠OBC=是， 小2号号解得p寸m6,P=mp号w+8 o∠FPE-S-m∠oBc-是-品 6 :PE=PF=画(m+3》, 6 R△PDG中，m∠PDG-瓷=am∠0BC=是， 9。-m=3 29+92 3 解得g-言(4m+50,PG=g一m=-是(m-6. "n∠PDG-品=sn∠OBC=是 /117 “PD=PG7=-II☑ 9 13(m-6), 5m=-m+3)m-6)=-(m-2）'+10g :-2<0, ÷m=号时，-3<m<6,Same有最大值，最大值为10 8 类型五相似三角形的存在性问题 1.解：(1)：二次函数y=一x2+2x十3的图像与x轴交于A,B两点， ∴.令x=0,则y=3, 点C的坐标为(0,3). 令y=0,则-x2+2x十3=0. 解得x=一1，或x=3, .点B的坐标为(3,0) 设直线BC对应函数的表达式为y=x十b,由题意，得 16=3 3k+b=0 解得=一1， b=3. .直线BC对应函数的表达式为y=一x十3. (2)不存在实数m使得y1十2y2=10,理由如下： :M(m,y),N(m十2，y2)为二次函数y=一x2十2x十3图像上 两点， .y1=-m2+2m+3, y2=-(m+2)2+2(m+2)+3=-m2-2m+3. ∴.y1+2y2=-m2+2m+3+2(-m2-2m+3)=-3m2-2m+9. 配方，得n+2:=-3m+号+9号 :当m=-弓时，m十2m有最大值为9号 9号<10， ∴.不存在实数m使得y1十2y2=10. (3)m=1+5,或m=1,5 2 2 如图，作NH∥y轴，交x轴于点H,交BC于点N', 作PQ⊥NH,垂足为Q,作MM∥y轴，交BC于点M', 则MM∥NN'. 当x=1-m时，y=-(1一m)2+2(1-m)+3=一m2+4. .点P的坐标为(1一m,一m+4). 点N的坐标为(m+2,一m2-2m+3), .点Q的坐标为(m十2，一m2+4),点H的坐标为(m+2,0), 点N'的坐标为(m+2,-m+1). .NQ=PQ=2m+1,BH=HN'=-m+1 .∠PNQ=∠BN'H=45°. .∴.PN∥BC, .△MDEp△MNP. (架)会鹤疆毅子 ÷MD=2MN,即MD=ND, .MM∥NN' '.△MM'D∽△NN'D 袋品=即M=NY :点M的坐标为(m,-m2+2m十3)， ∴.点M的坐标为(m,-m+3). ∴.m2-3=-m2-m+2,即m2-m-1=0. 解得m=1+5或m=1一，5 2 2 类型六角度问题 1.解：(1).a=-1,b=2,c=3, .该抛物线的解析式为y=一x2十2x十3， .y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴.该抛物线顶点P的坐标为(1,4)； (2)①，点A(一1,0)在抛物线y=ax2+bx+c上， ∴.0=a-b十c,即c=b-a, 又a=一2，点C(0,c), .OC=c=b+2,AO=1, .抛物线解析式为y=一2x2十bx十b+2, 如图，点D在第四象限，过点D作DH⊥x 轴于点H, .∠AHD=90, .∠HAD+∠ADH=90°， .∠CAD=90°， ∴.∠CAO+∠HAD=90° ∴.∠ADH=∠CAO, 又AD=AC,∠AHD=∠AOC=90°， ∴.△ADH≌△CAO(AAS), ..DH=AO=1,AH=OC=6+2, .'OH=AH-AO, .OH=b+2-1=b+1, .点D的坐标为(b+1,一1)， :点D在抛物线y=-2x2+bx十b十2上， ∴.-1=-2(b+1)2+b(b+1)+b+2, 整理得，b2+2b一1=0， 解得b=-1十√2，b2=-1-√2 .b>0, .b2=一1一√2不合，舍去， .b=-1+√2， .点D的坐标为(W2,一1)； ②.c=b-a,a<0,b>0, .∴.c>0,m>1, 在x轴上点A的左侧取点G,使GA=AC,连接GC. .∴.∠ACG=∠CGA,得∠CAB=2∠CGA. '∠CAB=2∠ABC, ∴.∠ABC=∠CGA. ∴.CG=CB,则GO=OB. 在Rt△AOC中，根据勾股定理，AC2=AO2十OC2, ∴.AC=√1+c2 .GA=1+c2」 '.G0=GA+AO=√1+c2+1. 又点B(m,0),得OB=m. ∴.√/1+c2+1=m.即c2=m2-2m 根据题意，点A和点B关于直线1对称，点F在直线1上，得 AF=BF. 又□ACEF中，AF=CE.得CE=BF, .CE+CF=BF+CF≥BC. ∴.当点F在线段BC上时，CE+CF取得最小值26，即BC=26. 在Rt△OBC中，OB2+OC2=BC2, ∴.m2+c2=24. 将c2=m2一2m代入，得m2+(m2-2n)=24. 解得m1=4,m2=-3(舍). .c=22」 .点B(4,0),C(0,22). 直线BC的解析式为y=- 2x+22. 设点F的横坐标为，则4一=-（一1）.得，=多 “点F的坐标为（会，5）。 :线段CE可以看作是由线段AF经过平移得到的， 点E的坐标为（号，1）， 2.解：(1)，抛物线y=ax2+bx一1(a≠0)与x轴交于点A(1,0),抛 物线的对称轴交x轴于点D(3,0),则对称轴为直线x=3, 1a+b-1=0 {a=-5 b 6 六抛物线解析式为y=一日+号x-1: (2)由y=-吉r+号x-1, 当y=0时一合2+号x一1=0， 解得：x1=1,x2=5, .B(5,0), 当x=0时，y=一1，则C(0,一1)， .DE⊥CD,∠COD=∠EBD=∠CDE=90°， ∴∠CDO=9o°-∠EDB=∠DEB,tan∠CDO=tan∠DEB, 即%器}品 .BE=6,则E(5,一6)， 设直线EC的解析式为y=kx一1，则一6=5k一1， 解得：=一1， ∴直线EC的解析式为y=一x一1， 如图所示，过点P作PT⊥x轴，交EC于点T, 7 BE∥PT, ∴.△PTQ△BEQ, 器照号则PT=号 设T,-4-1D,则P,-4一1-号)即P(,-1一)， 将点P(,-一智）代入y=-号2+-1, 即-智-+号-1， 解得：t=一3或t=14(舍去) 当=-8时，-一智=- r(-3,-号）： (3)A(1,0),C(0,-1), 则OA=OC=1,△AOC是等腰直角三角形， ∴.∠OAC=45°，由(2)可得∠BED=∠ADC, '∠DEF=∠ACD+∠BED, .∠DEF=∠ACD+∠ADC=∠OAC=45°， 由(2)可得P(-3,-）, 设直线BP的解析式为y=ex十f,则 15e+f=0 -3e+f=- 解得，e f=-4 4 ∴.直线BP的解析式为y=5x一4， 如图所示，以DE为对角线作正方形DMEN,则∠DEM= /DEN=45°， DB=2,BE=6,则DE=2√10， 则DM=DE=25,E(5,-6), 2 |(m-3)2+n2=(25)2 设M(m,n),则 (m-5)2+(n+6)2=(25)2 解得： /m=1m=7 n=-4'ln=-21 则M(1,-4),N(7,一2) 设直线EM的解析式为y=sx十t,直线EN的解析式为y=s1x 5s+t=-65s1十右=-6 则 s十t=-4’7s1+=-21 2s=2 解得：。 t一 7'=-16 设直线EM的解析式为y= 2x- 45 直线EN的解析式为y=2x-16, 1 7 y=-2x-2 4 (by=5x-4 解得： 则r(-), /y=2x-16 (x=10 ,解得： y--4 则F(10,4), (v=4 综上所述，F(是一得)或F100. 类型七与圆有关的问题 1.解：(1)把B的坐标(3,0)，C的坐标(0,3)代入抛物线的解析式. 1-9+3b+c=0 得 c=3 1b=2 解得：c=3 ∴.抛物线的解析式是y=一x2+2x十3； (2)①令y=-x2+2x十3=0， 解得：x1=一1，x2=3, ∴.A(-1,0), B(3,0),C(0,3) ..OB=OC=3, .△OBC是等腰直角三角形， ∴.∠OBC=45°， ,EF∥BC, ∴.∠FEA=∠CBO=45°， ∴.当∠AFE=90°时，△AEF是等腰直角三角形，且FA=FE, ∴.E0=AO=FO=1, ∴.△AEF的外接圆直径是AE=2, 则其外接圆的半径R=1, :AE=EF=AE·sin45°=号X2=2, 2 7APr+EF+AEr=AE·FP0, 即（√2+√2+2）·r=2, 解得：r=√2-1， “R=厄-1： ②.y=-x2+2x十3=-(x-1)2+4, ∴.抛物线的对称轴是直线x=1,顶点M 的坐标是(1,4)， .直线x=1与x轴的交点T的坐标是 (1,0), 作PQ上x轴于点P,则在直角三角形 BPQ中， PQ=BP·sin45°= -BP. :.MP+BP-MP+PQ. 2 ∴当M,P.Q三点共线且MQ1x轴时，MP+号BP的值最小， 此时Q、T重合 当点F在△AEC的内角∠ACE的平分线上即∠ACO=∠ECO 时，如图， :∠C0A=∠COE=90°，C0=C0, ∴.△ACO≌△ECO, ∴.A0=E0=1, .E、T重合， .B(3,0),C(0,3), .直线BC的解析式是y=一x十3， 当x=1时，y=2, 点P的坐标是(1,2)， ∴.BE=PE=2, Se=2×2X2=2 当点F在△AEC的内角∠CAE的平分线上时，如图，作FK⊥ AC于点K, 则OF=KF, 设OF=KF=a,则CF=3-a, :∠Ac0--88,且AC=干=而， 32.1 1 解得：a=√10-1 3 .0F=0-1 3 'EF∥BC, ∴.∠OEF=∠OBC=45°， ∴0E=OF=10-1 3 BE=3-0E=3-√10-1=10-10 3 5=×10-gDX2-10西 由于∠OEF=45°，∠OEC<90°， .点F不可能在△AEC的内角∠AEC的平分线上； 当点E,F重合于点O时，此时OF平分∠AEC即点F在 ∠AEC的平分线上，符合题意，则BE=BO=3, ∴SmE=2X3X2=3, 综上：△BPE的面积为2或3或10-√0 3 题型八函数图象性质标究题 1.解：(1).矩形ABCD的边AB=8cm,BC=6cm, .CD=AB=8cm,AD=BC=6cm,CD∥AB,BC∥AD, .B(8,0),C(8,6),D(0,6); (2)装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线L,于M,交抛物线L2于N, 交矩形ABCD于N,P, 图2 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线MQ是抛物线L1和L2 的对称轴，AP=BP=合AB=4,∠DNP=∠APN=90, .四边形DAPN是矩形， ∴.NP=AD=6, ,抛物线L1的高度为8cm,抛物线L2的高度为4cm,直线 MQ是抛物线L1和L2的对称轴， ..MP=MN+NP=8+6=14(cm),QP=4 cm, ∴.抛物线L1和L2的顶点坐标分别为M(4,14),Q(4,一4)， 分别设抛物线L1和L2的表达式为y=a1(x一4)2十14，y=a2 (x-4)2-4, 将D(0,6)代入y=a1(x-4)2+14, 1 解得a1=一2’ 则抛物线L1的表达式为y=一2（红一4）2+14=一 2+4 +6; 将A(0,0)代入y=a2(x-4)2-4, 解得a2= 4 则抛物线L2的表达式为y=(x一)2-4=子x-2x: (3)装置整体图案为轴对称图形， .EF⊥MG,HG⊥MG, .MQLx轴， ∴.EF∥HG∥x轴， ,EFGH是矩形 ∴.HE⊥EF, .HE⊥x轴， ..E=H, 设xE=xH=n, ∴m=-合r+4n+6yg=子r2-2m, ∴EH=3m-yg=-2+6n+6=15, 解得：n=2或6（在对称轴右侧，舍）， .xE=2, 由抛物线对称性可得EF=2(x对称轴一工E)=4, 题型九课题学习型问题 1.①1②6③60④60y+10⑤126⑥2142 【解析】项目主题： 观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六 边形和6个正三角形； 由正六边形和正三角形组件的边长均为20cm,观察图4可得 增加的长度为3个边长，即3×20=60(cm) 计算y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正 六边形左边的10cm,每增加一个拼接单元长度增加60cm,所 以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为(60y十10)cm 项目分析： 计算方案二每行可拼接的单元数量令40x十10≤740， 移项可得40x≤740-10，即40x≤730， 两边同时除以40，解得x≤18.25， ∴.每行可以先拼18块拼接单元 计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量 .拼18块拼接单元， .共用去18个正六边形和2×18=36个正三角形组件. 由40×18+10=730知，所拼长度为730cm, 剩余740一730=10cm,无法再摆放组件. 由5×18+1×36=90+36=126知，方案二每行的成本为126元. 由于每行宽度为203cm(按√3=1.73计算)，设拼成s行， 则20√3s≤600， 两边同时除以205，≤600=10/5≈17， 20W3 故需铺17行. 计算方案二的总成本126×17=2142. 方案二所需的总成本为2142元. 项目实施： 两种方案比较可知：2163>2142. 选方案二完成实践活动. 故答案为：①1②6③60④60y+10⑤126⑥2142 2.解：(1)观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数， 设该二次函数的解析式为y=ax2十bx十c, 将(0,35)，(1,56)，(2,63)代入得， /c=35 a+b+c=56, 4a+2b+c=63 1a=-7 解得b=28, c=35 47 ∴该二次函数的解析式为y=一7x2+28x十35 (2)当x=0时，y=35, .种子自然发芽率为35 ∴.当y=35时，-7x2+28x+35=35 解得x1=0,x2=4, 当y=0时，-7x2+28x+35=0, 解得x1=一1（舍去），x2=5, ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4<x≤5. 3.解：(1)设AC,BD的交点为O,如图； 四边形ABCD是矩形， .OA=OB,∠ABC=90°； ,对角线AC与BD互为双关联线段， .∠AOB=60°， ∴.△AOB是等边三角形， ∴.∠OAB=60°， ∴.∠ACB=90°-∠OAB=30°； 故答案为：30°； 问题2中的依据是：等角的补角相等； 故答案为：等角的补角相等； (2),∠AFB是△AEF的外角， ∴.∠AFB=∠EAF+∠E .∠ACB是△ACD的外角， .∠ACB=∠CAD+∠D. .∠EAF=∠CAD,∠E=∠D, ∴.∠AFB=∠ACB=60°. 即线段AD与线段BE所在直线形成的夹角中有一个角是60°」 .'AD-BE ∴.线段AD与线段BE是双关联线段 (3)答案不唯一，例如： 作法一： D 作法二： 如图，线段CD即为所求 4.问题解决：(1)旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等； (②)①见解析②3元cm:问题拓展：（号x-号5）cm 【解析【问题解决】(1)旋转前后的图形对应线段相等，对应角相 等 (2)①下图中，点O为所求 48 ②连接OB,OB', :扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A'B'C' 的位置， .∠BOB=90°，OB=OB, .BB'=6 cm,OB=OB'=x cm, ∴.x2+x2=62, .0B=OB'=32cm, 在旋转过程中，点B经过的路径长为以点O为圆心，圆心角为 90°，OB为半径的所对应的孤长， 点B经过的路径长=90XπX323 180 2 πcm; A 【问题拓展】解：连接PA',交AC于M,连接PA,PD,AA'如图 所示， 1 ∠PAC=2∠BAC=30°， 由旋转得∠PA'B′=30°， PA=PA'=4. 在Rt△PAM中， A'M=PM=PA·sin∠PAM=4Xsin30°=2. 在Rt△A'DM中， :∠DAM=∠BAC'=30, .A'D= cos2 DAM0=号5， A'M 2 DM=合AD=×=号5. .SAA'DP=- DM:Ap=×号×4= S△海书An=30X元X44 360 3， .S0=SANHAT一5AMom=专x-合E, 在△ADP和△A'DP中， :AD=AM-DM=2VF-号B=含B=AD, 文∠PAD=∠PA'D=30°，PA=PA', .△ADP≌△A'DP, 又S扇形PAC=S扇形BAP, .S阴形分BDP=S阴杯分CDP, Ssw=2S*9m=2X(告-台5）-（号-号月）em二、解答重难题型突破 题型五与圆有关的证明与计算 2.(2025·贵州，23题，12分)如图，在⊙O中，∠ACB 是直角，D为BC的中点，DE为⊙O的切线交AB 类型一与切线性质有关的证明与计算 的延长线于点E.连接CD,BD 1.(2025·甘肃兰州，24题，8分)如图，⊙O是△ABC (1)点O与AB的位置关系是 ,线段CD 的外接圆，AB是⊙O的直径，过点B的切线交 与线段BD的数量关系是 AC的延长线于点D,连接DO并延长，交⊙O于 (2)过E点作EF⊥AE,与AD的延长线交于点 点E,连接AE,CE F.根据题意补全图形，判断△DEF的形状，并说 (1)求证：∠ADB=∠AEC; 明理由； (2)若AB=4,cos∠AEC-号，求0D的长。 (3)在(2)的条件下，若⊙O的半径为3，DE=4, 求CD的长 84 3.(2025·湖南，21题，8分)如图，△ABC的顶点4.(2024·天津，21题，10分)在⊙O中，半径OC垂 A,C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB= 直于弦AB,垂足为D,∠AOC=60°，E为弦AB 120°，BC与⊙O相切于点C,连接OC. 所对的优弧上一点， (1)求∠ACO的度数； (1)如图①，求∠AOB和∠CEB的大小； (2)求证：AC=BC. (2)如图②，CE与AB相交于点F,EF=EB,过 点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G, 若OA=3,求EG的长. 0 、D/F 图① 图② 85 5.(2024·浙江，21题，10分)如图，AB是⊙O的直类型二与切线判定有关的证明与计算 径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD,交1.(2025·黑龙江绥化，26题，7分)如图，∠APO= AB的延长线于点D,过点A作AE⊥CD于点E ∠BPO,PA与⊙O相切于点M、连接OM,OP与 (1)若∠EAC=25°，求∠ACD的度数 ⊙O相交于点C,过点C作CD⊥OM,垂足为E, (2)若OB=2,BD=1,求CE的长. 交⊙O于点D,连接PD交OM于点F. (1)求证：PB是⊙O的切线， (2)当PC=6,PM-CD时，求线段MF的长. B 86 2.(2025·山东威海，21题，8分)如图，PA是⊙O3.(2025·四川泸州，24题，12分)如图，AB,CD是 的切线，点A为切点.点B为⊙O上一点，射线 ⊙O的直径，过点C的直线与过点B的切线交于 PB,AO交于点C,连接AB,点D在AB上，过点 点E,与BA的延长线交于点F,且EB=EC,连 D作DF⊥AB,交AP于点F,作DE⊥BP,垂足 接DE交AB于点G. 为点E.AD=BE,BD=AF (1)求证：EF是⊙O的切线； (1)求证：PB是⊙O的切线； (2)若AF=10,sin∠F=3求EG的长. (2)若AP=4,sim∠C-子，求⊙0的半径. 0 87 4.(2024·甘肃兰州，26题，7分)如图，△ABC内接5.(2024·山东，21题，8分)如图，在△ABC中，AB= 于⊙O,AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点， AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,DE⊥AC, BC=BD,延长BA至E,使得∠ADE=∠CBA, 垂足为E. (1)求证：ED是⊙O的切线； (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若B0=4,tan∠CBA=2,求ED的长. (2)若∠C=30°，CD=23,求BD的长 A 88 题型六几何动态探究题 2.(2024·山东，21题，12分)在探究“四点共圆的条 件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在 类型一动点类探究 平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆， 1.(2025·吉林长春，23题，10分)如图，在△ABC 请应用此结论.解决以下问题： 中，∠C=90°，AC=BC=4,点D为边AC的中 如图1，△ABC中，AB=AC,∠BAC=a(60°< 点，点E为边AB上一动点，连接DE.将线段DE a<180).点D是BC边上的一动点（点D不与 绕点E顺时针旋转45°得到线段EF. B,C重合)，将线段AD绕点A顺时针旋转a到 (1)线段AB的长为 线段AE,连接BE. (2)当EF∥AC时，求AE的长； (3)当点F在边BC上时，求证：△ADE≌△BEF; (4)当点E到BC的距离是点F到BC距离的2 倍时，直接写出AE的长. 图1 图2 D 备用图 (1)求证：A,E,B,D四点共圆； (2)如图2，当AD=CD时，⊙O是四边形AEBD 的外接圆，求证：AC是⊙O的切线； (3)已知a=120°，BC=6,点M是边BC的中点， 此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆 心P与点M距离的最小值 89 3.(2024·黑龙江龙东，26题，8分)已知△ABC是等类型二图形形状变化类探究 腰三角形，AB=AC,∠MAN=2∠BAC,∠MAN 1.(2025·黑龙江齐齐哈尔，23题，12分)综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻 在∠BAC的内部，点M,N在BC上，点M在点N 辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用 的左侧，探究线段BM,NC,MN之间的数量关系. 几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体 (1)如图①，当∠BAC=90°时，探究如下： 会几何模型的“数学之美”. 由∠BAC=90°，AB=AC可知，将△ACN绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABP,则CN=BP且 ∠PBM=90°，连接PM,易证△AMP≌△AMN, 可得MP=MN,在Rt△PBM中，BM+BP2= MP2,则有BMP+NC2=MN2, (2)当∠BAC=60°时，如图②；当∠BAC=1209 图1 图2 时，如图③，分别写出线段BM,NC,MN之间的 数量关系，并选择图②或图③进行证明 图① 图② 图③ 图3 图4 (1)【几何直观】如图1，△ABC中，∠BAC=90°， AB=AC,在△ABC内部取一点D,连接AD,将线 段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD,连接 BD,CD,则CD与BD的数量关系是 ∠AD'C与∠ADB的数量关系是 (2)【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一 点E,使∠CED=90°，将线段CE绕点C逆时针旋 转90得到线段CE,连接EB,延长EB交DE的 延长线于点F,求证：四边形CEFE是正方形： (3)【深度探究】如图3，矩形ABCD中，AB=3, BC=4,在其内部取一点E,使∠CED=90°，将线 段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE,延长 CE至点G,使0-号连接GB,延长GB交DE 的延长线于点F,连接AF,若AF=2,则BF= (4)【拓展延伸】在矩形ABCD中，点E为BC边 上的一点，连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋 转60°得到线段AE,连接DE,若AD=3V2, AB=√6，则DE的最小值为 类型三图形旋转类探究 类型四图形折叠类探究 1.(2025·黑龙江龙东，26题，8分)已知：如图， 1.(2025·山东，23题，11分)【图形感知】 △ABC中，AB=AC,设∠BAC=a,点D是直线 如图1，在四边形ABCD中，已知∠BAD= BC上一动点，连接AD,将线段AD绕点A顺时 ∠ABC=∠BDC=90°，AD=2,AB=4. 针旋转a至AE,连接DE、BE,过点E作EF⊥ A-- BC,交直线BC于点F.探究如下： 图1 图2 (1)求CD的长； 【探究发现】 图于 图2 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究. 在线段CD上取一点E,连接BE.将四边形A BED沿BE翻折得到四边形A'BED',其中A', D分别是A,D的对应点. (2)其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点D恰好落在边BC上，延长A'D'交CD B D 于点F,如图2.判断四边形DBA'F的形状，并说 图3 明理由； (1)若a=60时， ②乙：点A'恰好落在边BC上，如图3.求DE的长； 如图①，点D在CB延长线上时，易证：BF=DF (3)如图4，连接DD交BE于点P,连接CP.当 +BC; 点E在线段CD上运动时，线段CP是否存在最 如图②，点D在BC延长线上时，试探究线段 小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由. BF、DF、BC之间存在怎样的数量关系，请写出 结论，并说明理由。 (2)若=120°，点D在CB延长线上时，如图③， 猜想线段BF、DF、BC之间又有怎样的数量关 图3 图4 系？请直接写出结论，不需要证明. 91 2.(2025·山西，23题，13分)综合与探究 题型七二次函数综合题 问题情境：如图，在△ABC纸片中，AB>BC,点 类型一线段、周长问题（含最值问题） D在边AB上，AD>BD.沿过点D的直线折叠 1.(2025·四川凉山，25题，14分)如图，二次函数 该纸片，使DB的对应线段DB'与BC平行，且折 y=ax2+bx十c的图像经过A(-3,0),B(1,0), 痕与边BC交于点E,得到△DB'E,然后展平. C(0,-3)三点. 猜想证明：(I)判断四边BDBE的形状，并说明理由； (1)求抛物线的解析式； (2)点P在直线AC下方的抛物线上运动，求点P 到直线AC的最大距离； (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线QA,若 B 射线QA绕点Q逆时针旋转90°与抛物线交于点 D,是否存在点Q使AQ=QD？若存在，请直接 拓展延伸：(2)如图，继续沿过点D的直线折叠该 写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 纸片，使点A的对应点A'落在射线DB'上，且折 痕与边AC交于点F,然后展平.连接A'E交边 AC于点G,连接A'F, ①若AD=2BD,判断DE与A'E的位置关系，并 说明理由； ②若∠C=90°，AB=15,BC=9,当△A'FG是以 AF为腰的等腰三角形时，请直接写出A'F的长. 92 2.(2025·四川德阳，25题，15分)如图1，在平面直3.(2024·内蒙古呼伦贝尔，26题，13分)如图，在平 角坐标系中，已知二次函数y=一x2+bx十c的图 面直角坐标系中，二次函数y=ax2十bx十c(a十 象与x轴交于点A(一1,0)，B(3,0),与y轴交于 0)的图象经过原点和点A(4,0).经过点A的直 点C 线与该二次函数图象交于点B(1,3),与y轴交于 y个 D 点C (1)求二次函数的解析式及点C的坐标； B (2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P 在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E, 图1 图2 图3 与直线AB交于点D,设点P的横坐标为m. (1)求抛物线的函数解析式； ①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值； (2)如图2，连接BC,过点C作CD⊥BC与抛物线 ②是否存在点P,使得△BPD与△AOC相似.若 相交于另一点D. 存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由. ①求点D的坐标； ②如图3，点E,F为线段BC上两个动点（点E在 点F的右侧)，且EF=√2，连接OF,DE.求OF十 DE的最小值. 93 4.(2024·山东，23题，12分)如图，抛物线y=一x2十5.(2024·黑龙江牡丹江，23题，8分)如图，二次函 bx十c经过A(一1,0)，C(0,3)两点，并交x轴于另 数y=2x2十6x十c的图象与x轴交于A、B两 一点B,点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交 点，与y轴交于点C,点A的坐标为（一1,0），点C 于点D. 的坐标为(0，一3)，连接BC (1)求该二次函数的解析式； (2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一 点，当△BCP的面积最大时，BC边上的高PN的 备用图 值为 (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH,DH, 求MH+DH最小值； (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是 否存在点Q,使得以D,M,P,Q为顶点的四边形 是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条 件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由、 94 类型二图形面积问题 2.(2024·山西，23题，12分)如图，二次函数y= 1.(2024·黑龙江龙东，23题，6分)如图，抛物线y= 一x2十4x的图象与x轴的正半轴交于点A,经过 一x2十bx十c与x轴交于A、B两点，与y轴交于 点A的直线与该函数图象交于点B(1,3),与y 点C,其中B(1,0),C(0,3). 轴交于点C. (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P,使得 △APC的面积最大.若存在，请直接写出点P坐标 B 和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由. 图 图2 A C B D 0 图3 (1)求直线AB的函数表达式及点C的坐标； (2)点P是第一象限内二次函数图象上的一个动 点，过点P作直线PE⊥x轴于点E,与直线AB 交于点D,设点P的横坐标为m. ①当PD=0C时，求m的值： ②当点P在直线AB上方时，连接OP,过点B作 BQ⊥x轴于点Q,BQ与OP交于点F,连接DF. 设四边形FQED的面积为S,求S关于m的函数 表达式，并求出S的最大值， 95 类型三特殊三角形的存在性问题 2.(2025·青海，24题，11分)在平面直角坐标系中， 1.(2024·四川眉山，26题，12分)如图，抛物线y= 抛物线y=ax2十bx一3(a≠0)与x轴交于A,B两 一x2+bx十c与x轴交于点A(一3,0)和点B,与 点，点B的坐标为(1,0)，点C(2,5)在抛物线上 y轴交于点C(0,3),点D在抛物线上， (1)求抛物线的解析式； (1)求该抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； (2)当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3 ②当y<0时，根据图象直接写出x的取值范围 时，求点D的坐标； (3)在直线BC上是否存在点P,使△OPD是以 (3)连接AC交y轴于点D,在y轴上是否存在点 PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接 P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若 写出点P的坐标；若不存在，请说明理由， 存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若 不存在，请说明理由， A OB 96 3.(2024·山西，23题，13分)如图，二次函数y= 4.(2025·黑龙江绥化，28题，11分)综合与探究 -骨：十十4的图象与x轴交于A,B两点（点 如图，抛物线y=ax2十bx一5交x轴于A、B两 点，交y轴于点C.直线y=kx一5经过B、C两 A在点B的左侧)，与y轴交于点C.点P是第 点，若点A(1,0),B(一5,0).点P是抛物线上的 象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横 一个动点（不与点A、B重合）. 坐标为m.过点P作直线PD⊥x轴于点D,作直 线BC交PD于点E (1)求A,B,C三点的坐标，并直接写出直线BC 的函数表达式， (2)当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时， 求点P的坐标， (3)连接AC,过点P作直线l∥AC,交y轴于 备用图 备用图 点F,连接DF.试探究：在点P运动的过程中，是 (1)求抛物线的函数解析式. 否存在点P,使得CE=FD,若存在，请直接写出 (2)过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线BC m的值；若不存在，请说明理由， 于点E,当PE=3ED时，求P点坐标 (3)若点F是直线BC上的一个动点.请判断在点 B右侧的抛物线上是否存在点P,使△AFP是以 P℉为斜边的等腰直角三角形.若存在，请直接写 出点P的坐标；若不存在，请说明理由， 97 5.(2024·四川达州，24题，11分)如图1，抛物线 6.《2024·山东，27题，12分抛物线y=ar2+4z y=ax2十bx一3与x轴交于点A(-3,0)和点B (1,0),与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点. 一6与x轴交于A(t,0),B(8,0)两点，与y轴交 (1)求抛物线的解析式； 于点C,直线y=kx一6经过点B.点P在抛物线 (2)如图2，连接AC,DC,直线AC交抛物线的对 上，设点P的横坐标为m. 称轴于点M,若点P是直线AC上方抛物线上一 (1)求抛物线的表达式和t,k的值； (2)如图1，连接AC,AP,PC,若△APC是以CP 点，且S△PMC=2S△DMC,求点P的坐标； (3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的 为斜边的直角三角形，求点P的坐标 一动点，是否存在以点N,A,C为顶点的三角形 (3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上， 是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的 过点P作PQLBC,垂足为Q,求CQ+2PQ的 点N的坐标；若不存在，请说明理由 最大值 图1 图2 图 图2 98 类型四特殊四边形的存在性问题 类型五相似三角形的存在性问题 1.(2024·山东，25题，12分)如图①，抛物线y=ax2+ 1.(2025·江苏苏州，27题，10分)如图，二次函数 bx一9与x轴交于点A(一3,0)，B(6,0),与y轴 y=一x2十2x十3的图像与x轴交于A,B两点 交于点C,连接AC,BC点P是x轴上任意一点. (点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,作直线 BC,M(m,y1),N(m十2，y2)为二次函数y=一x2十 2x十3图像上两点. A0 B C 图① 图② (备用图) (1)求抛物线的表达式； (1)求直线BC对应函数的表达式； (2)点Q在抛物线上，若以点A,C,P,Q为顶点， (2)试判断是否存在实数m使得y1+2y2=10.若 AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的 存在，求出m的值；若不存在，请说明理由 坐标； (3)已知P是二次函数y=-x2+2x十3图像上 (3)如图②，当点P(m,0)从点A出发沿x轴向点 一点（不与点M,N重合），且点P的横坐标为 B运动时（点P与点A,B不重合），自点P分别 1-m,作△MNP.若直线BC与线段MN,MP分 作PE∥BC,交AC于点E,作PD⊥BC,垂足为 别交于点D,E,且△MDE与△MNP的面积的 点D.当m为何值时，△PED面积最大，并求出 比为1：4，请直接写出所有满足条件的m的值. 最大值 99 类型六角度问题 2.(2024·辽宁，25题，14分)如图，抛物线y=ax2十 1.(2025·天津，25题，10分)已知抛物线y=ax2十 bx一1(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴 bx十c(a,b,c为常数，a<0,b>0). 交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D(3,0), (1)当a=一1，b=2,c=3时，求该抛物线顶点P 过点B作直线I⊥x轴，过点D作DE⊥CD,交直 的坐标； 线l于点E. (2)点A(一1,0)和点B为抛物线与x轴的两个 交点，点C为抛物线与y轴的交点 ①当a=一2时，若点D在抛物线上，∠CAD= 90°，AC=AD,求点D的坐标； ②若点B(m,0),∠CAB=2∠ABC,以AC为边 备用图 的口ACEF的顶点F在抛物线的对称轴L上，当 (1)求抛物线的解析式； CE十CF取得最小值为26时，求顶点E的坐标. (2)如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接 CE和BP交于点Q,当昭-号时.求点P的坐标， (3)在(2)的条件下，连接AC,在直线BP上是否存 在点F,使得∠DEF=∠ACD十∠BED?若存在， 请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 100 类型七与圆有关的问题 题型八函数图象性质探究题 1.(2025·四川达州，24题，10分)如图，已知抛物线 1.(2025·内蒙古，17题，12分)问题背景： y=一x2十bx十c交x轴于A,B两点，交y轴于C 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装 点，B的坐标为(3,0)，C的坐标为(0,3)，顶点为M. 置图案，某小组设计的效果图如图所示 保温门温度健康节能 加热口口调节抑菌休眠 外形参数： B 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方 备用图 的抛物线L1,中间的矩形ABCD和下方的抛物线 (1)求抛物线的解析式； L2组成.抛物线L1的高度为8cm,矩形ABCD (2)连接BC,过第四象限内抛物线上一点作BC 的边AB=8cm,BC=6cm,抛物线L2的高度为 的平行线，交x轴于点E,交y轴于点F 4cm.在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH, ①连接AF,当∠AFE=90°时，求Rt△AFE内切 点E,F在抛物线L2上，点H,G在抛物线L1上 圆半径r与外接圆半径R的比值； ②连接CA,CE,当点F在△AEC的内角平分线 上，BC上的动点P满足MP+号BP的值最小 6 cm 时，求△BPE的面积. (0) 4 cm ←8cm 图1 图2 问题解决： 如图2，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点， 以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直 线为y轴.建立平面直角坐标系.请结合外形参 数，完成以下任务： (1)直接写出B,C,D三点的坐标； (2)直接写出抛物线L1和L2的顶点坐标，并分别 求出抛物线L1和L2的函数表达式； (3)为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求， 需要EH边的长为15cm,求此时EF边的长. 101 题型九课题学习型问题 接结束； ()第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行 1.(2025·安徽，21题，12分)综合与实践 密铺，直至不能拼接为止. 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环 (4)方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以 保组件改善小区幼儿园室内活动场地， 下两种方案。 【项目准备】 方案一：第一行沿着长度为6m的墙自左向右拼 (1)密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种 接（如图5）. 或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空 隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺， (2)密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2 图5 所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形 组件的边长均为20cm. 根据规律，令40x+10≤600，解得x≤14.75，所 (3)密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别 以每行可以先拼14块拼接单元，即共用去14个 为图1、图2的“拼接单元” 正六边形和28个正三角形组件，由40×14+ 10=570知，所拼长度为570cm,剩余30cm恰好 图1 图2 还可以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴 10cm←40cm 影正六边形).最终需用15个正六边形和28个正 T宽20w5cm 三角形组件，由5×15+1×28=103知，方案一每 图3 图4 行的成本为103元， 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3 由于每行宽度为203cm(按√3=1.73计算)，设 所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正 拼成5行，则203≤740，解得s≤373≈21.34， 3 三角形，长度增加40cm,从而x个这样的拼接单 元拼成一行的长度为(40x十10)cm. 故需铺21行.由103×21=2163知，方案一所需 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼 的总成本为2163元. 接单元，则增加① 个正六边形和② 方案二：第一行沿着长度为7.4m的墙自左向右 个正三角形，长度增加③ cm, 拼接。 从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为④ 类似于方案一的成本计算，令40x+10≤740… cm. 方案二每行的成本为⑤ 元，总成本为⑥ 【项目分析】 元 (1)项目条件：场地为长7.4m、宽6m的矩形；正 【项目实施】 三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元. 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践 (2)基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用. 活动（略）， (3)方式确定： 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： (1)考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； ① ;② ;③ (ⅱ)每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向 ④ ;⑤ ;⑥ 右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所 2.(2025·甘肃兰州，21题，7分)综合与实践 示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生 长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究.请你3.(2025·山西，21题，9分)阅读与思考 阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子 阅读并完成相应的任务， 发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽.探索生长素 双关联线段 使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模 【概念理解】 型进行解决， 如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长 是60°，且这两条线段相等，则称其中一条线段 素，以生长素浓度x(标准单位)为自变量，种子的 是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段 发芽率y(%)为因变量，进行“生长素浓度对植物 互为双关联线段， 种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 例如，下列各图中的线段AB与CD所在直线 形成的夹角中有一个角是60°，若AB=CD,则 生长素 浓度： 下列各图中的线段CD都是相应线段AB的双 0.6 1 1.7 2 2.52.7 3 3.3 4.2 x(标准 关联线段 单位) D 发芽率 35.0049.2856.0062.3763.0061.2559.5756.0051.1735.0029.12 609 y(%) 人60 60°入C 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作 A(C) 图① 图② 图③ 为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点 【问题解决】 y(6 问题1：如图，在矩形ABCD中，AB<AD,若对 80 角线AC与BD互为双关联线段，则∠ACB= 60 40 自然发芽率 20 0 x(标准单位) 6 说明：①当生长素浓度x=0时，种子的发芽率为 自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该 问题1 问题2 生长素抑制种子发芽； 问题2：如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边 ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0 BC,CA的延长线上，且AE=CD,连接AD,BE. 时，停止实验 求证：线段AD是线段BE的双关联线段， 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： 证明：延长DA交BE于点F, (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的 ,△ABC是等边三角形， 函数类型，并求出该函数的表达式； .AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°. ∠BAC+∠BAE=180°， (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围 ∠ACB+∠ACD=180°， ∴∠BAE=∠ACD(依据)， 103 .AE=CD,∴.△ABE≌△CAD, ∴.BE=AD,∠E=∠D;… =∠AB'C,∠ACB=∠ACB'() 图3 刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的 任务： 运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我 (1)问题1中的∠ACB= °，问题2中的 们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学. 依据是 【问题解决】 (2)补全问题2的证明过程； (1)上述问题情境中“()”处应填理由： (3)如图，点C在线段AB上，请在图3中作线段 (2)如图，小王将一个半径为 C AB的双关联线段CD 4cm,圆心角为60°的扇形纸 (要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； 板ABC绕点O逆时针旋转 ②作出一条即可). 90°到达扇形纸板A'B'C的 位置. ①请在图中作出点O: ②如果BB'=6cm,则在旋转过程中，点B经过 的路径长为 【问题拓展】 小李突发奇想，将与(2)中完 全相同的两个扇形纸板重叠， 一个固定在墙上，使得一边位 于水平位置，另一个在弧的中 点处固定，然后放开纸板，使 4 其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部 分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解 决这个问题 4.(2024·四川，25题，12分)在学习完《图形的旋转》 后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动 【问题情境】 刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级 下册第121页“探索”部分内容： 如图，将一个三角形纸板△ABC 绕点A逆时针旋转0到达 △AB'C的位置，那么可以得到： B AB=AB',AC=AC',BC= B'C';∠BAC=∠BAC',∠ABC 104