一、选填重难题型突破-【百川育人】2026版中考必刷数学真题分类

百川育人 第二部分 重点题型突破 一、选填重难题型突破 题型一规律探索题 类型二数式规律 1.(2024·云南，10题，2分)按一定规律排列的代数 类型一图形累加 式：2x,3x,4x3,5x4,6x,…,第n个代数式是() 1.(2025·重庆，5题，4分)按如图所示的规律拼图 A.2x" B.(n-1)x" 案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8 C.nx+1 D.(n+1)x 个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有 2.(2024·湖南，13题，4分)观察下列式子： 16个圆点…按照这一规律，则第⑥个图中圆点 12-1=1×0;22-2=2×1;32-3=3×2;42-4= 的个数是() 4×3;52-5=5×4;… 依此规律，则第n(n为正整数)个等式是 ①② ③ ④ 3. (2024·四川德阳，17题，4分)数 A.32 B.28 C.24 D.20 学活动课上，甲组同学给乙组同学 2.(2024·山东济宁，10题，3分)如图，用大小相等 出示了一个探究问题：把数字1至 的小正方形按照一定规律拼正方形.第一幅图有 8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有 1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有 线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于 14个正方形…按照此规律，第六幅图中正方形 1.经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个 的个数为( 中心圆圈的数字a、b,你认为a可以是 (填上一个数字即可). 类型三点的坐标的变化 口 第一幅图 第二幅图第三幅图第四幅图 1.(2025·山东烟台，15题，3分) A.90 B.91 C.92 D.93 如图，在平面直角坐标系 3 3.(2024·山东泰安，18题，4分)如图所示，是用图 中，点P的坐标为(6，》， B 形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”， △ABC的顶点A的坐标为0123456元 00 000 (4,3).以点P为位似中心作△A1B1C1与△ABC 88 88 8o8 ●●●●● 位似，相似比为2，且与△ABC位于点P同侧；以 (1) (2) (3) (4) (5) 点P为位似中心作△A2B2C2与△A1B1C1位似， 按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子” 相似比为2，且与△A1B1C1位于点P同侧…，按 中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍： 照以上规律作图，点A的坐标为 2.(2024·山东，18题，4分)如图，在平面直角坐标 中正确的有( 系中，直线1：y=3x一√3与x轴交于点A1,以 Y OA1为边作正方形A1B1C1O,点C1在y轴上，延 长C,B1交直线l于点A2,以C1A2为边作正方形 01: 4 A2B2C2C1,点C2在y轴上，以同样的方式依次作 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 正方形A3B3C3C2,…,正方形A223B2o23C2023 3.(2025·四川凉山，12题，4分)二次函数y=ax2 C2022,则点B2023的横坐标是 +bx十c的部分图像如图所示，其对称轴为x=2, B Ca 且图像经过点(6,0)，则下列结论错误的是() C3 C2 2 6 C B A2 A.bc0 B.4a+b=0 题型口二次函数的图象与性质 C.若ax十bx1=ax号十bx2且x1≠x2,则c1十x2 =4 1.(2025·山东威海，7题，3分)已知点（-2，y1), D.若（一1，y1),(3,y2)两点都在抛物线y=ax2+ (3,y2),（(7,y3)都在二次函数y=-(x-2)2+c bx十c的图像上，则y2<y1 的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是( 4.(2025·山东烟台，9题，3分) A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 如图，二次函数y=a.x2十bx十c的部分图象与x C.y2>y1>y3 D.y3>y2>y1 2.(2025·四川遂宁，10题，4分)如图，已知抛物线 轴的一个交点A位于（一2,0）和（一1,0）之间，顶 y=ax2+bx十c(a、b、c为常数，且a≠0)的对称轴 点P的坐标为(1，n).下列结论：①abc<0;②对于 是直线x=1,且抛物线与x轴的一个交点坐标是 任意实数m,都有am2+bm-a-b≥0；③3b<2c; (4,0),与y轴交点坐标是(0，m)且2<m<3.有下列 ④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为 结论：①abc<0,②9a一3b+c>0,®是<y*量< B,且△PAB是等边三角形，则n=一3其中所 :④关于x的一元二次方程ar+(-1)z+G 有正确结论的序号是() 一2=0必有两个不相等实根；⑤若点A(x1,y1), B(x2,y2),C(x3,y3)在抛物线y=ax2+bx+c 上，且n<x1<n+1<x2<n十2<x3<n+3,当y1 9<为时，则n的取值范围为一名<<0.其 A.①② B.①③ C.①④ D.①③④ 5.(2025·黑龙江齐齐哈尔，10题，3分)如图，二次 题型目分析判断函数图象 函数y=ax2+bx十c(a≠0)的图象与x轴交于两 类型一与实际问题结合 点(-1,0)，(x1,0),且2<x1<3.下列结论：①abc 1.(2025·山东，10题，3分)在水分、养料等条件一 >0;②2a十c<0;③4a-b+2c<0;④若m和n是 定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光 关于x的一元二次方程a(x十1)(x一x1)十c=0(a≠ 照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照 0)的两根，且m<n,则m<一1，n>2;⑤关于x的 强度范围(200≤x<1000)内，y与x近似成一次 不等式a牛b十c>-x十c(a≠0)的解集为0< 函数关系；在中高光照强度范围(x≥1000)内，y 与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示 x<.其中正确结论的个数是() 根据图象，下列结论正确的是() A.2 B.3 C.4 D.5 y个 0.6 0.3 31 0:12 02001000 3000元 A.当x≥1000时，y随x的增大而减小 第5题图 第6题图 B.当x=2000时，y有最大值 6.(2024·山东，10题，3分)二次函数y=ax2+bx+c C.当y≥0.6时，x≥1000 (a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1,下列 D.当y=0.4时，x=600 结论：①abc<0;②方程ax2+bx十c=0(a≠0)必 2.(2024·内蒙古呼伦贝尔，12题，3分)已知某同学 有一个根大于2且小于3：③若(0，)，（受，）是 家、体育场、图书馆在同一条直线上.下面的图象 反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里 抛物线上的两点，那么y1<y2;④11a+2c>0; 锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车 ⑤对于任意实数m,都有m(am+b)≥a+b,其中 到图书馆.图中用x表示时间，y表示该同学离家 正确结论的个数是() 的距离.结合图象给出下列结论： A.5 B.4 Ay/km C.3 D.2 7.(2025·陕西，8题，3分)在平面直角坐标系中，二 015306588103/min 次函数y=ax2-2ax+a一3(a≠0)的图象与x轴 (1)体育场离该同学家2.5千米； 有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则 (2)该同学在体育场锻炼了15分钟； 下列关于该函数的结论正确的是() (3)该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍； A.图象的开口向下 (4)若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的 B.当x>0时，y的值随x值的增大而增大 1.5倍，则a的值是3.75；其中正确结论的个数 C.函数的最小值小于一3 是( D.当x=2时，y<0 A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2024·山东，15题，3分)一辆汽车在行驶过程 中能反映S与x之间函数关系的是() 中，其行驶路程y(千米)与行驶时间x(小时)之 间的函数关系如图所示，当0≤x≤0.5时，y与x 之间的函数表达式为y=60x;当0.5≤x≤2时，y 与x之间的函数表达式为 S 千米 150 AS米) 10 2000 A B. 800 4 00.5 2 x小时 1016分钟) 第3题图 第4题图 6 C 4.(2024·四川资阳，14题，4分)小王前往距家2000 米的公司参会，先以（米/分）的速度步行一段时 间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会 3.(2024·辽宁，10题，3分)如图，在Rt△ABC中， 议开始还有14分钟，小王距家的路程S(单位：米) ∠ACB=90°，∠A=30°，AB=3cm.动点P从点 与距家的时间t(单位：分钟)之间的函数图象如图 A出发，以1cm/s的速度沿射线AB匀速运动， 所示.若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到 到点B停止运动，同时动点Q从点A出发，以 达时距会议开始还有 分钟 √3cm/s的速度沿射线AC匀速运动.当点P停止 类型二与几何图形结合 运动时，点Q也随之停止运动.在PQ的右侧以PQ 1.(2024·河南，10题，3分)如图1，点P从等边三 为边作菱形PQMN,点N在射线AB.设点P的运 角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内 动时间为x(s),菱形PQMN与△ABC的重叠部分 部一点，再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运 的面积为y(cm),则能大致反映y与x之间函数 动的路程为工，咒-y,图2是点P运动时y随x变 关系的图象是( 化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为( M A(P) P N ↑y/cm y/cm2 A 23 43元 图1 图2 11.5 0 11.5 3 A.6 B.3 C.43 D.23 y/cm2 y/cm2 2.(2024·黑龙江，8题，3分)如图，在正方形AB D 0 0 CD中，AB=4,动点M,N分别从点A,B同时出 11.5 11.5 发，沿射线AB,射线BC的方向匀速运动，且速度 4.(2024·黑龙江齐齐哈尔，9题，3分)如图，在等腰 的大小相等，连接DM,MN,ND.设点M运动的 Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12,动点E,F 路程为x(0≤x≤4)，DMN的面积为S,下列图象 同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的 方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运 题型四阴影部分面积的计算 动时，点F也随之停止运动，连接EF,以EF为边 1.(2025·山东，8题，3分)在中国古代文化中，玉璧 向下做正方形EFGH,设点E运动的路程为x 寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身 (0<x<12),正方形EFGH和等腰Rt△ABC重 合部分的面积为y.下列图象能反映y与x之间 齐家的象征.下图是某玉璧的平面示意图，由一个 函数关系的是( ) 正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半 径是2，则图中阴影部分的面积是( ) 32 A.π B.2π C.3π D.4π 32 D 2.(2024·江苏，8题，3分)如图，矩形ABCD内接 12 于⊙O,分别以AB,BC,CD,AD为直径向外作半 5.(2024·山东，16题，3分)如图1，在△ABC中，动 圆.若AB=4,BC=5,则阴影部分的面积是() 点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动 至点A后停止.设点P的运动路程为x,线段AP 的长度为y,图2是y与x的函数关系的大致图 象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的 高CG的长为 A.4x-20 &号0-20 C.20π D.20 3.(2024·四川资阳，15题，4分)如图，在矩形AB CD中，AB=4,AD=2.以点A为圆心，AD长为 P B 半径作弧交AB于点E,再以AB为直径作半圆， 图1 与DE交于点F,则图中阴影部分的面积为 E P 83 81215 图2共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男生和一名 女生的结果有4种， “两人恰好是一名男生和一名女生的概率为4=2」 6=3 27.解：(1)抽取额的人数有：10÷20%=50（人）， C组的人数有：50一10一16一4=20（人）， 补全统计图如下： 人数个 20 20 8----- 10 6. 4 ABCD组别 (2)a%= 16=32%,即a=329 5 D组对应的扇形圆心角的度数为：360×0 =28.8°； (3)画树状图为： 开始 男女女男女女男男女男男女 共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生 和一名女生的结果数为8， “所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率=是-号 第二部分重点题型突破 一、选填重难题型突破 题型一规律探索题 类型一图形累加 1.C 2.B【解析】由所给图形可知， 第一幅图中正方形的个数为：1=12； 第二幅图中正方形的个数为：5=12+22； 第三幅图中正方形的个数为：14=12十22十32； 第四幅图中正方形的个数为：30=12十22十32+42： …, 所以第n幅图中正方形的个数为：12+22+32十…十n2, 当n=6时， 12+22+32+…+62=91(个)， 即第六幅图中正方形的个数为91个， 3.12【解析】由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“O”的个数为：1=1，“●”的个数为：4 1×2+2; 第2个“小屋子”中图形“0”的个数为：3=1+2，“●”的个数为 6=2X2+2; 第3个“小屋子”中图形“O”的个数为：6=1+2+3，“●”的个数 为：8=3×2十2； 第4个“小屋子”中图形“0”的个数为：10=1十2+3十4，“●”的 个数为：10=4×2十2； 所以第n个“小屋子”中图形“O”的个数为：1十2十3十…十n= n(n十1)，“●的个数为：2n十2： 2 由题知，n(m十1)=3(2n十2)，解得m=-1,m2=12. 2 又因为n为正整数，所以n=12, 即第12个“小屋子”中图形“O”个数是图形“●”个数的3倍， 类型二数式规律 1.D【解析】按一定规律排列的代数式：2x,3x2,4x3,5x,6x5, …,.第n个代数式为(n十1)x. 2.n2一n=n(n一1)【解析】左边为正整数的平方减去这个数右边 为这个数乘以这个数减1. 3.1(或8)【解析】两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8，共 有8个数字，若2,3,4,5,6,7，其中任何一个数字填在中心位 置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的 6个圆圈中，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要 填入..位于两个中心圆圈的数字a、b,只可能是1或者8. 类型三点的坐标的变化 1.（-10,2） 27\ 2.(1+号)）【偏析】登y=0,0=5z-后，解释=1. .点A(1,0), ,A1B1C1O是正方形， ∴.OA1=A1B1=OC1=1, 点B1(1,1),点B1的横坐标是1， 当)=1时，1=5x一，解得=1+停点A(1+,, ,A2B2C2C1是正方形， AA=GG=AG=1+9点a(1+92+9）, 3 即点B,的横坐标是1+， 3 当y=2+时，2+=5x-3, 3 3 解得=号5+2.点A(2+音2+） A3B3C3C2是正方形， AB,=CC,=AC=23+4 33 点B的丝标是+专(1+）， 3 以此类推，则点B的横坐标是(1+图) 题型二二次函数的图象与性质 1.C2.C3.D4.D 5.B【解析】.抛物线开口向上， ∴.a>0, .对称轴在y轴的右侧， 4=-2a20 ∴.b<0, 抛物线与y轴交于负半轴， .c<0, ∴.abc>0,故①正确， ,二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图象过（一1,0）， ∴.a-b+c=0, :二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象与x轴交于两点（一 1,0),(x1,0),且2<x1<3. 对稀轴计<<13，即<-名<1， 2 2 .a<-b<2a, ..a-b+c>a+a+c=2a+c;2a+b>0 ∴.2a十c<0,故②正确； .b=a十c, .∴.4a-b+2c =4a-b+2(b-a) =2a十b>0, .4a一b十2c>0,故③错误； ④如图， 关于x的一元二次方程a(x十l)(x-x1)十c=0(a≠0)的两个 根，即函数y=ax2十bx十c(a≠0)与y=一c的交点的横坐标， .m<-1<2<n, .若m和n是关于x的一元二次方程a(x十1)(x一x1)十c=0 (a≠0)的两根，且m<n,则m<一1，n>2;故④正确； ⑤，二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象与x轴交于两点 (-1,0),(x1,0), ..y=ax2+bx+c=a(x+1)(x-z)=az2+a(1-z)z-az, .∴.b=a(1-x1),c=-ax1, ∴.b-a=-ax1, -c=--az1=a, ar+c+c>-r+c可化为ar+-ar>0, 即ax2-ax1x>0, ,a>0, .x2-x1x>0, 解得：x<0或x>x1, 小关于x的不等式ar2+b虹+c>一x十c(a≠0)的解集为 x<0或x>x1不是0<x<x1故⑤错误 故正确的有①②④，共3个， 故选B. 6.C【解析】抛物线开口向上，对称轴为直线x=一 =1,与y 2a 轴交于负半轴， ∴.a>0,b=-2a<0,c<0,abc>0;故①错误； :抛物线关于直线x=1对称， .横坐标的取值范围为：2<x<3, .方程ax2十bx+c=0(a≠0)必有一个根大于2且小于3； 故②正确； (0,),(号）是抛物线上的两点， 且10-1>名-1>%做③错送： a>0,b=-2a,11a+2c=5a+2a-2b+2c=5a+2(a-b+c), 由图象知：x=-1,y=a-b+c>0,11a+2c=5a+2(a-b+c)>0; 故④正确； 当x=1时，函数值最小为：a十b十c,am2十bm十c≥a十b十c, 即：am2十bm≥a十b,m(am十b)≥a十b;故⑤正确；综上：正确的 有3个. 7.D 题型三分析判新函数图象 类型一与实际问题结合 1.B 2.C【解析】由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故(1)正确； 该同学在体育场锻炼了30一15=15（分钟），故(2)正确； 该同学的跑步速度为2.5÷15=日（千来/分钟），步行速度为 2.5÷(65-90)=1(千米/分钟)，则跑步魂度是步行递度的日 音-号倍，故3)蜡深： 1 若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学 骑行的平均追度为1.5×日=子（千来/分钟），所以a=子× (103-88)=3.75,故(4)正确. 3.y=80x-10(0.5≤x≤2)【解析】把x=0.5代入y=60x 得y=60×0.5=30, 设当0.5≤x≤2时，y与x之间的函数表达式为y=kx十b, /0.5x+b=30 把(0.5,30)，(2,150)分别代入，得 2x+b=150 条行：低仁00 .y与x之间的函数表达式为y=80x-10(0.5≤x≤2). 4.5【解析】根据题意可得：=800÷10=80（米/分），小王全程 以（米/分）的速度步行，则他到达需要时间为：2000÷80=25 (分)，由图可知，会议开始时间为出发后16十14=30（分）. 若小王全程以（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开 始还有30一25=5（分）. 类型二与几何图形结合 1.A【解析】当点P在AO.上运动时，PB=PC,AO=2W3,易知 ∠BAO=∠CAO=30°，当点P在OB上运动时，可知，点P到达 点B时的路程为4√3，可知AO=OB=2W3,过点O作OD⊥ AB,解直角三角形可得AD=AO·c0s30°=3，进而可求得等边 三角形ABC的边长. 2.A【解析】S=SE方彩ABCD一SAADM一SADCN一S△BMN, =4×4-×4红-×44-)-合(4-0 =2(x-202+6, 故S与x之间函数关系为二次函数，图象开口向上，x=2时，函 数有最小值6. 3.A【解析】证明：PQMN是边长为x,一个角为60°的菱形，找到 临界点，分情况讨论，即可求解. 4.A【解析】在解题之前我们一定要对此类面积问题的动，点函数 图象有判断方法，切不可小题大作，去把每一个解析式求出来再 判断，那是此类题型最不优先考虑的解法，面积问题函数图象判 断方法：①底和高一个是定值一个是变量，则图象是一次函数， 如果变量是增加的，则是y随x增大而增大的一次函数；如果 变量是减小的，则是y随x增大而减小的一次函数；②边底和 高两个都是变量，则函数图象一定是二次函数，两个变量同增或 同减，则是开口向上的二次函数；两个变量一增一减，则是开口 向下的二次函数 运用：本题中正方形EFGH与等腰Rt△ABC的重合部分主要 分两部分， ①当重合部分全部在等腰Rt△ABC内部时，我们发现重合部 分实际就是正方形EFGH的面积，此时正方形边长在增大，就 是底和高同增，所以这一部分是开口向上的二次函数，选项只有 AB符合； ②当重合部分是正方形EFGH的一部分时，我们发现这一部分 的长在增大，但是宽在减小，就是底和高一增一减，所以这一部 分是开口向下的二次函数，选项A符合 5.5【解析】过点A作AQ⊥BC于点Q,当点P与Q重合时， 2 在图2中F点表示当AB十BQ=12时，点P到达点Q,此时当 P在BC上运动时，AP最小，勾股定理求得AQ,然后等面积法 即可求解. 题型四阴影部分面积的计算 1.D 2.D【解析】阴影部分面积为2个直径分别为AB,BC的半圆的 面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角线长的圆的面积即可 求解. 3.B十号x【解析】如周，连接AF,ER 由题意易知△AEF是等边三角形，Sm=S半国一S扇形AEF一S万卷A5 2m-60:2 360 (02×8x)-vg+号 二、解答重难题型突破 题型五与圆有关的证明与计算 类型一与切线性质有关的证明与计算 1.(1)证明：BD是⊙O的切线， ∴.∠ABD=90°， ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， ∴∠ADB=90°-∠DBC=∠ABC, AC=AC, ∴.∠AEC=∠ABC, .∠ADB=∠AEC; (2)解：由(1)得∠ADB=∠ABC=∠AEC, ∴.cos∠ADB=cos∠ABC=cos∠AEC, .BDBC√5 AD AB3' AB=4, ..BC= 3 Ac=VAB-Bc-√e-(y-8, ,'∠ADB=∠ABC,∠ABD=∠ACB=90°， .∴.△ADBD△ABC, 8 8S即 解得AD=6, ∴.BD2=AD2-AB2=36-16=20, :0B=1AB=2, ∴.OD=/OB+BD=√22+20=26. 2.解：1)∠ACB是直角， .AB为直径， O为圆心， .O在线段AB上； D为BC的中点， ..CD=BD, ..CD-=BD: (2)补图如下，△DEF为等腰三角 形，理由如下： 连接OD, ,DE为⊙O的切线交AB的延长线 于点E, .∠ODE=90°， ∴.∠ADO+∠EDF=90°， .OA=OD. .∠OAD=∠ODA, ∴.∠DAO+∠EDF=90°， AE⊥EF, .∠F+∠DAO=90°， .∠F=∠EDF, ∴.ED=EF, △EDF是等腰三角形； (3)如图，过D作DH⊥AB于H, ⊙O的半径为3，DE=4,∠ODE=90°， .0E=√32+42=5， Sao0E-ODX DE-DHXOE, 1 “2X3X4=2×5XDH, DH-12. 5 ∴OH=VOD-DF-号， ∴BD=VB+DH=65 .CD=BD=6/5 5 3.(1)解：BC与⊙O相切与点C, .OC⊥BC, .∠OCB=90°， .∠ACB=120°， ∴.∠AC0=∠ACB-∠OCB=120°-90°=30°； (2)证明：OA=OC, .∠OAC=∠ACO=30°， .∠ACB=120°，∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴.∠B=30°， .∠A=∠B, ∴.AC=BC. 4.解：(1)在⊙O中，半径OC垂直于弦AB, .AC=BC,得∠AOC=∠BOC ∠AOC=60°，.AOB=2∠AOC=120°. :∠CEB=号∠B0C=号∠A0C,∠CEB=30 (2)连接OE.同(1)得∠CEB=30°， ,在△BEF中，EF=EB, ∴.∠EBF=∠EFB=75°，∠AOE=2∠EBA=150°，