专题8 第2讲 概率-【百川育人】2026版中考必刷数学真题分类

第二讲 考点1事件分类 1.(2025·湖北，6题，3分)在下列事件中，不可能事 件是( ) A.投掷一枚硬币，正面向上 B.从只有红球的袋子中摸出黄球 C.任意画一个圆，它是轴对称图形 D.射击运动员射击一次，命中靶心 考点公概率的计算 类型一一步概率 2.(2025·北京，4题，2分)一个不透明的袋子中仅 有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色 外无其他差别.从袋子中随机摸出一个球，摸出的 球是白球的概率是( ) A合 B. c日 3.(2025·广东深圳，3题，3分)某校进行《九章算 术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本 书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好 抽到《九章算术》的概率为() A司 B号 c. D.号 4.(2025·山东东营，5题，3分)2025年是乙巳蛇 年，“已已如意”将蛇年与如意相结合，表达对新 一年事事如意、顺遂美好的期盼.将分别印有 “已”、“已”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相 同的卡片放人盒中，从中随机抽取一张，则抽取 到的卡片上印有汉字“已”的概率为() A日 B.g c D 5.(2025·湖南，3题，3分)某校开展了五类社团活 动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机抽 取一类社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活 动的概率是( ) A号 c D 概率 6.(2025·天津，13题，3分)不透明袋子中装有13 个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些 球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个 球，则它是绿球的概率为 7.(2025·新疆，11题，4分)不透明袋子中有3个红 球、2个白球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差 别.从袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为 8.(2025·内蒙古，9题，3分)在单词class(班级)中 随机选择一个字母，则选中字母“s”的概率是 9.(2025·湖北，13题，3分)窗，让人足不出户便能 将室外天地尽收眼底.如图，“步步锦”“龟背锦” “灯笼锦”是我国传统的窗格构造方式，从这三种 方式中随机选出一种制作窗格，选中“步步锦”的 概率是 步步锦 龟背锦 灯笼锦 10.(2025·重庆，11题，4分)不透明袋子中有1个 红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别.从 袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是 类型二二步概率 11.(2025·甘肃兰州，8题，3分)现有甲、乙两个不 透明盒子，其中甲盒装有分别写着d,t,l的三张 声母卡片，乙盒装有分别写着a,e,i的三张韵母 卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同），若 小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两 张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是( ) A.g B吉 c. 12.(2025·辽宁，5题，3分)不透明袋子中仅有红、 黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同.从 中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀， 再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色 的小球的概率为( ) A. B c n号 13.(2025·河南，8题，3分)甲骨文是我国已发现最 早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成 就.正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四 张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这 四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则 这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概 率是( 甲 甲 骨文 鳄 骨 骨文 山 河 1 .12 B. 4 D 14.(2025·黑龙江齐齐哈尔，7题，3分)假定鸟卵孵 化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果2枚 鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概 率是() A司 B.g c号 D.i 15.(2025·山东，6题，3分)某班学生到山东省博物 馆参加研学活动.博物馆为同学们准备了以镇馆 之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三 款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为 纪念品.若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两 位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是() A司 B司 c. D.号 16.(2025·黑龙江龙东，14题，3分)如图，随机闭合 开关K1、K2、K3中的两个，能让两盏灯泡L1、L2 同时发光的概率为 第16题图 第17题图 17.(2025·安徽，13题，5分)在一个平衡的天平左、 右两端托盘上，分别放置质量为20g和70g的 物品后，天平倾斜（如图所示）.现从质量为10g, 20g,30g,40g的四件物品中，随机选取两件放 置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率 为 18.(2025·山西，14题，3分)如图是创新小组设计 的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点 击一次按钮，“心”就从一个格子向左或向右随 机移动到相邻的一个格子.当“心巴”位于格子A 时，小明连续点击两次按钮，“心”回到格子A 的概率是 〉B@… 19.(2025·山东威海，13题，3分)一个不透明的袋 子中装有2个绿球、1个白球，每个球除颜色外 都相同.小明同学从袋中随机摸出1个球（不放 回)后，小华同学再从袋中随机摸出1个球.两人 摸到不同颜色球的概率是 20.(2025·吉林长春，16题，6分)长春市人民广场 是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、 精美的建筑和多彩的绿化而驰名.甲、乙两辆车 从人民大街由南向北驶人人民广场，它们各自从 A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出.用 画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同 一出口驶出的概率 B 北 人民广场 人民大街 21.(2025·吉林，13题，6分)在“健康中国2030”与 “体重管理年”的行动引领下，某校田径社团开展 了“2025健康长跑”活动.由于参加的人数较多， 场地空间有限，活动需分A,B,C三组进行，每人 只能被随机分配到其中一组，分组工作由计算机 软件完成.请用画树状图或列表的方法，求参与 者小顺和小利被分配到同一组的概率. 22.(2025·陕西，20题，5分)某班开展主题为“我爱 陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水” “历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作A,B,C, D,E)共五个研究方向，并采取小组合作的研究方 式.同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面 绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同， (1)将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽 取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为 (2)各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片 内容作为本小组的研究方向.将这五张卡片背面 朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一 张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第 二小组从中随机抽取一张.请用列表或画树状图 的方法，求这两个小组研究方向不同的概率， 考点3统计与概率 23.(2025·四川凉山，21题，12分)某校计划在各班 设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以 “我最喜爱的书籍”为主题，抽取部分学生对最喜 爱的书籍(A类为文学，B类为科普，C类为体 育，D类为其他)进行调查（每人只能选择一项） 根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图： 个人数 20 20 18 16 14 12 10 6 20% 2 D 书籍类 请根据统计图回答下列问题： (1)本次调查的总人数是 人； (2)补全条形统计图，并求出C类所对应的扇形 的圆心角为 度； (3)现从喜欢文学的2名男生和2名女生中，随 机抽取2名参加“中华魂”演讲比赛.请用列表法 或画树状图法，求抽取的2人恰好是1名男生和 1名女生的概率. 76 24.(2025·黑龙江绥化，24题，7分)2025年1月， 哈尔滨亚冬会举办前，亚冬会组委会为使参与 服务的志愿者队伍整齐一致，随机抽取部分志 愿者，对其身高情况进行了调查，将身高x(单 位：cm)数据分为A、B、C、D、E五组，并制成了 如下不完整的统计图表 组别 身高分组 人数 A 155≤x<160 5 B 160x<165 4 165≤x170 m D 170≤x<175 12 E 175≤x<180 9 人数个 12 C 10 25% D 30% E D E 组别 根据以上信息回答： (1)这次抽查的志愿者共有 人，扇形统 计图中A的圆心角度数是 ,请补全条 形统计图 (2)若B组的4人中，男女志愿者各有2人，从中 随机抽取2人担任组长，请用列表法或画树状图 法，求出刚好抽中两名女志愿者担任组长的概率， 77 25.(2025·山东东营，20题，8分)劳动教育是新时 代党对教育的新要求，是中国特色社会主义教育 制度的重要内容，是全面发展素质教育的重要组 成部分，是大中小学必须开展的教育活动.为此， 某校拟组建A(烹饪)、B(种植)、C(陶艺)、D(木 雕)4个劳动小组，规定每个学生必须参加且只 能参加一个小组.为了解学生参加劳动小组的意 愿，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调 查结果制作了如图所示的两个不完整的统计图： 请根据信息，解决下列问题： 个人数 60--- 55 50 50- 45 45 40 0 2 25 1 D 10 25% 5 0 A B C D 类别 (1)参加这次调查的学生总人数为多少？将条形 统计图补充完整； (2)请计算扇形统计图中B部分扇形所对应的 圆心角； (3)若该校共有3600名学生，请根据调查结果， 估计该校选择D小组的学生人数； (4)若该校在A,B,C,D四项中任选两项成立课 外兴趣小组，请用画树状图或列表的方法求恰好 选中项目A和D的概率. 26.(2025·山东烟台，18题，7分)2025年4月19 日，烟台市民文化艺术季启幕.某校带领甲、乙 两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明 甲骨文化穿越千年的不朽魅力.活动结束后，两 个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展 史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整 理、分析，信息如下： ①甲社团的成绩（单位：分）情况如下： 6,6,6,6,7,7,7,7,6,7,7,6,7,8,8,8,8,9,8,8,9, 9,9,8,8,9,9,9,7,9,6,9,9,10,8,8,9,9,10,10. ②乙社团的平均成绩为 6×8+7×12+8×6+9×10+10×4=7.75(分). 8+12+6+10+4 ③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图： 甲、乙两社团成绩条形统计图 口甲社团 10 口乙社团 2 0 P 10 成绩分 根据以上信息，解决下列问题： (1)将条形统计图补充完整； (2)成绩为8分的学生在 社团的排名 更靠前（填“甲”或“乙”）； (3)已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从 甲社团满分学生中随机抽取两人，参加甲骨学 发展史宣讲活动.请用树状图或表格求所抽取 的两人恰好是一名男生和一名女生的概率。 7.(2024·山东烟台，18题，7分)“山海同行，舰回 烟台”.2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共 庆人民海军成立75周年.为此，某学校开展了 “奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学 活动.为了解学生参与情况，随机抽取部分学生 对研学活动时长（用t表示，单位：h)进行调查. 经过整理，将数据分成四组(A组：0≤t<2;B 组：2≤t<4;C组：4≤t<6;D组：6≤t<8),并绘 制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图. 人数 D A 20% a% ABCD￥ 组别 (1)请补全条形统计图； (2)扇形统计图中，a的值为 ,D组对应 的扇形圆心角的度数为 (3)D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机 抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所 抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率。 78考点4图形的折叠 13.D 14.82.5°或52.5°或37.5 15.2 16.(1)30【解析】(1)：对折正方形纸片ABCD,使AD与BC重 合，得到折痕EF, ∴.AB=BC=CD=AD=2BE,∠BEF=90° ,在AD上选一，点P,沿BP折叠，使点A落在正方形内部点 M处， .'BM=AB=2BE. 在Rt△BEM中，sin∠EMB= BEBE 1 ∴.∠EMB=30°. (2)解：结论：∠MBQ=∠CBQ,理由如下： ·四边形ABCD是正方形 .AB=BC,∠BAD=∠C=90°. 由折叠可得：AB=BM,∠BAD=∠BMP=90°， .BM=BC,∠BMQ=∠C=90° 又，BQ=BQ, ∴.Rt△BCQ≌Rt△BMQ(HL),∠MBQ=∠CBQ 专题八统计与概率 第一讲统计 考点1调查方式的选取、样本特征 1.D2.A 考点2平均数、众数、中位数和方差 3.D4.D5.B6.D7.C8.B9.A10.B11.D 12.513.8914.乙 考点3统计图（表）的分析 15.C16.D 17.1800人18.200 19.解：(1)本次调查的师生共有：40÷20%=200（人）， “文明宣传”的人数为：200-40一80一20=60（人）， 补全条形统计图如下： 人数个 80 清洁敬老文明交通项目 星服务宣传劝得 (2)在扇形统计图中，“敬老服务”对应的圆心角度数为： 360°×=144°； (3)200×60%×g0=360(名). 答：估计参加“文明宣传”项目的师生人数大约为360名 20.解：(1)这次被调查的学生人数为：(20+8+5)÷(1一34%)= 50(名)； (2)“了解较少"所对应的圆心角度数为：360×品=36 50×34%=17(人) 补全图形如下： 24 CD了解程度 (8120×8=480(名) 答：全校有480名学生“非常了解”垃圾分类问题。 21.解：(1)本次随机抽取的学生人数为94÷47%=200（人）， ∴.m=200×25%=50, .'.n=200-50-94-16=40: (2)补全条形统计图如图所示： 人数个 100 94 80 60 40 4 20- 16 ABCD组别 (3)扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是360°×4 200=72, (0200×406-560(名） 答：估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数有 560名. 第二讲概率 考点1事件分类 1.B 考点2概率的计算 类型一一步概率 2.A3.C4.D5.D 6号8号910.是 6 类型二二步概率 11.A12.C13.B14.D15.A 1 1 2 16.317.318.219.3 20.解：由题意得，可画树状图为： 开始 甲 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两辆 车从同一出口驶出的结果数有3种， “这甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是号=子 21.解：列表如下： 小顺小利 A B C A (A,A) (B,A) (C,A) B (A,B) (B,B) (C,B) C (A,C) (B,C) (C,C) 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中参与者小顺 和小利被分配到同一组的结果数有3种， 参与者小顺和小利被分配到同一组的概率为号-子 22.(1)解：依题意，一共有五张卡片，卡片内容是“科技”的有一张， ∴.将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的 卡片内容是“科技”的概率为号， 故答案为：5 (2)解：依题意，画树状图如下所示： 开始 D 代 A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E ∴.一共有25种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同 的等可能结果有20种， “这两个小组研究方向不同的概率=碧=号 考点3统计与概率 23.解：(1)10÷20%=50（人）： 故答案为：50； (2)C类人数为：50一10一20一8=12（人）：补全条形图如图： 201人数.20 18 12 10 A B C D 书籍类 C类所对应的扇形的圆，心角为360× =86.4°； 故答案为：86.4； (3)由题意，画出树状图如下： 开始 男 女 个个N 男女女男女女男男女男男女 共12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种， 24.解：(1)这次抽查的志愿者共有：12÷30%=40（人）， 扇形统计图中A的圆心角度数是360×0×100%=45， C组的人数为40一5一4一12-9=10（人）， 补全条形统计图如下： 人数 故答案为：40,45° (2)设2名男志愿者分别记作男：、男2,2名女志愿者分别记作 女1、女2 根据题意可以画出如下的树状图 开始 男，女，女男，女女明，男女男，男2 列表法如下图 男 男2 女1 女2 男 (男2，男1) (女1，男1) (女2，男1) 男2 (男1，男2) (女1，男2) (女2，男2) 女 (男1，女1) (男2，女1) (女2，女1) 女2 (男1，女2) (男2，女2) (女1，女2) 由树状图法或列表法可以看出共有12种结果出现的可能性相 等，选中的2名女志愿者担任组长的是（女1，女2）和（女2，女1） 的情况有两种 ∴P(刚好轴中2名女志愿者粗任组长）)=是-日 25.解：(1)调查总人数为：45÷25%=180（人）： 选择B人数为：180-50-45一25=60（人）； 答：参加调查的总人数为180人， 补全条形图如下， 本人数 60 0 ”5”””””””””””” 40 30 55- 20 0 0 B (2)360×180 ,60 120°， 答：B部分扇形所对应的圆心角为120°； 25 (3)3600×180=500(人)， 答：若该校共有3600名学生估计选择D小组的学生人数为 500人. (4)由题意，列表如下： A B C D A A,B A,C A,D B B,A B,C B,D C,A C,B C,D D D,A D,B D,C 共12种等可能的结果，其中，恰好选中项目A和D的结果有2种， 2 ..P- 1 12=6 26.解：(1)，由统计数据可得：甲社团满分10分有3人；乙社团7 分有12人：补全图形如下： 甲、乙两社团成绩条形统计图 14 134 口甲社团 口乙社团 10成绩/分 (2)①甲社团的成绩（单位：分）情况如下： 6,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,9, 9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,9,10,10,10. ∴.排在第20,21位的数据为8， :甲社团的成绩的中位数为2×(8+8)=8（分）： ,乙社团排在第20,21位的数据为7,8， ÷乙社团的成绩的中位数为号×(7+8)=7.5（分）， ∴.成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前； (3)记男生为甲，两个女生分别为乙，丙， 画树状图如下： 开始 25 共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男生和一名 女生的结果有4种， “两人恰好是一名男生和一名女生的概率为4=2」 6=3 27.解：(1)抽取额的人数有：10÷20%=50（人）， C组的人数有：50一10一16一4=20（人）， 补全统计图如下： 人数个 20 20 8----- 10 6. 4 ABCD组别 (2)a%= 16=32%,即a=329 5 D组对应的扇形圆心角的度数为：360×0 =28.8°； (3)画树状图为： 开始 男女女男女女男男女男男女 共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生 和一名女生的结果数为8， “所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率=是-号 第二部分重点题型突破 一、选填重难题型突破 题型一规律探索题 类型一图形累加 1.C 2.B【解析】由所给图形可知， 第一幅图中正方形的个数为：1=12； 第二幅图中正方形的个数为：5=12+22； 第三幅图中正方形的个数为：14=12十22十32； 第四幅图中正方形的个数为：30=12十22十32+42： …, 所以第n幅图中正方形的个数为：12+22+32十…十n2, 当n=6时， 12+22+32+…+62=91(个)， 即第六幅图中正方形的个数为91个， 3.12【解析】由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“O”的个数为：1=1，“●”的个数为：4 1×2+2; 第2个“小屋子”中图形“0”的个数为：3=1+2，“●”的个数为 6=2X2+2; 第3个“小屋子”中图形“O”的个数为：6=1+2+3，“●”的个数 为：8=3×2十2； 第4个“小屋子”中图形“0”的个数为：10=1十2+3十4，“●”的 个数为：10=4×2十2； 所以第n个“小屋子”中图形“O”的个数为：1十2十3十…十n= n(n十1)，“●的个数为：2n十2： 2 由题知，n(m十1)=3(2n十2)，解得m=-1,m2=12. 2 又因为n为正整数，所以n=12, 即第12个“小屋子”中图形“O”个数是图形“●”个数的3倍， 类型二数式规律 1.D【解析】按一定规律排列的代数式：2x,3x2,4x3,5x,6x5, …,.第n个代数式为(n十1)x. 2.n2一n=n(n一1)【解析】左边为正整数的平方减去这个数右边 为这个数乘以这个数减1. 3.1(或8)【解析】两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8，共 有8个数字，若2,3,4,5,6,7，其中任何一个数字填在中心位 置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的 6个圆圈中，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要 填入..位于两个中心圆圈的数字a、b,只可能是1或者8. 类型三点的坐标的变化 1.（-10,2） 27\ 2.(1+号)）【偏析】登y=0,0=5z-后，解释=1. .点A(1,0), ,A1B1C1O是正方形， ∴.OA1=A1B1=OC1=1, 点B1(1,1),点B1的横坐标是1， 当)=1时，1=5x一，解得=1+停点A(1+,, ,A2B2C2C1是正方形， AA=GG=AG=1+9点a(1+92+9）, 3 即点B,的横坐标是1+， 3 当y=2+时，2+=5x-3, 3 3 解得=号5+2.点A(2+音2+） A3B3C3C2是正方形， AB,=CC,=AC=23+4 33 点B的丝标是+专(1+）， 3 以此类推，则点B的横坐标是(1+图) 题型二二次函数的图象与性质 1.C2.C3.D4.D 5.B【解析】.抛物线开口向上， ∴.a>0, .对称轴在y轴的右侧， 4=-2a20 ∴.b<0, 抛物线与y轴交于负半轴， .c<0, ∴.abc>0,故①正确， ,二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)的图象过（一1,0）， ∴.a-b+c=0, :二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的图象与x轴交于两点（一 1,0),(x1,0),且2<x1<3.