专题6 第2讲 与圆有关的位置关系-【百川育人】2026版中考必刷数学真题分类

∴.AD∥BC,AD=AB=BC=CD,∠D=∠B, ,点E,F分别是BC,CD的中点， :BE-CE->BC.DF-CF-CD. ∴BE=DF, .△ADF≌△ABE(SAS). ∴.AF=AE=5. ∴.GF=AF-AG=2. :AD∥BC, ∴∠D=∠FCH. 又，∠AFD=∠HFC, ∴.△ADF≌△HCF(ASA) ∴.AF=HF=5,AD=CH, ..AB=BC=CH,GH=GF+HF=2+5=7. ∴.EH=√EG2+GH=√42+72=√/65， 六AB=BC=号EH=2丽 3 15.证明：.四边形ABCD是菱形 .AB=BC=CD=AD,∠A=∠C, .BE=BF, ..AB-BE=BC-BF, ..AE=CE, 在△DAE和△DCF中， (DA=DC, ∠A=∠C, AE=CF. ∴.△DAE≌△DCF(SAS). .DE=DF. ∴.∠DEF=∠DFE 考点3正方形的判定及性质的相关计算 类型一正方形的判定 16.AC=BD(答案不唯一) 类型二与正方形性质有关的证明与计算 17.C 专题六圆 第一讲圆的基本性质 考点1垂径定理及其推论的相关计算 1.A 2.B【解析】如图，连接OA,D为AB的中点，C为 拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，AB= 1m,'.CD⊥AB,AD=BD=0.5.设拱门所在圆的 半径为rm,∴.OA=OC=r,而CD=2.5m..OD= ADB 2.5-r..2=0.52十(2.5-r)2.解得：r=1.3..拱门所在圆的 半径为1.3m 3.手4.厄 考点2圆周角定理及其推论的相关计算 5.D【解析】，∠E=35°，∴.∠AOD=2∠E=70°.∴.∠BOD= 180°-70°=110°. 6.C7.B 8.66° 9.解：(1)如图1中，过点O作OH⊥BC于点H. OC=OB,OH⊥BC, ∴∠COH=∠BOH,CH=BH, .'∠BOC=2∠BCE, ∴∠BOH=∠BCE, .∠BOH+∠OBH=90°， '.∠BCE+∠OBH=90°， .∠CEB=90°， ∴.BC=√EC2+EB2=√5+1=√6， CH=BH=6 ’ “∠0BH器腮。 6 .OB=3, .⊙O的半径为3. (2)如图2中，过点O作OK⊥BD于点K,则BK=DK, .BD=20E, ..OE=BK. .∠CEO=∠OKB=90°，OC=OB .Rt△OEC≌Rt△BKO(HL), .∠COE=∠OBK, .OC∥BD 图1 图2 10.解：(1)：对角线BD是⊙0的直径，OA⊥BD,.AB=AD, ∠BCA=∠DCA,CA平分∠BCD. (2)BD是⊙O的直径， ∴.∠BAD=90°，∠BCD=90°， .DA⊥AB,DC⊥BC, 又CE⊥AB,AE⊥BC, ∴.DA∥CE,DC∥AE, .四边形AECD是平行四边形， ∴.DC=AE=3. 在Rt△BDC中，BC=√BD2-DC2=/I8=32. 考点3圆内接四边形的相关计算 11.C12.C13.B14.60 15.(1)解：如图，点∠ADB即为所求： 图① (2)解：如图，∠AEC即为所求 图② 第二讲与圆有关的位置关集 考点1点、直线与圆的位置关系 1.B2.5 考点2与切线有关的证明与计算 类型一与切线的性质有关的证明与计算 3.C4.D 570°67.9820 9.(1)证明：连接OD,如图， ,AB为⊙O的切线， .OD⊥AB, .∠ODA=∠ODB=90°， .∠ACB=90°， ∴∠ABC+∠COD=180°， ,∠AOD+∠COD=180°， ∴∠ABC=∠AOD, .∠AOD=2∠ACD, ∴.∠ABC=2∠ACD: (2)解：设⊙O的半径为r,则OD=OC=r,OA=8-r, 在Rt△ACB中， .∠ACB=90°，AC=8,BC=6, ∴.AB=√/62+82=10. .∠OAD=∠BAC,∠ADO=∠ACB, ∴.△AODp△ABC, 8C-A8即后-86， 解得r=3.即⊙O的半径为3. 10.证明：连接OD, .⊙O与边BC相切于点D, ∴.OD⊥BC,即∠ODC=90°， ,△ABC为直角三角形， .∠ODC=∠B=90°， .OD∥AB, ∠1=∠3， .OD=OA .∠1=∠2， ∠3=∠2， ∴.AD平分∠BAC 11.(1)证明：如图，连接OD, 以OC为半径的⊙O与AB相切于点D, .OD⊥AB, ∠F=45° ∴.∠DOE=2∠F=90°，即EF⊥OD, ∴.AB∥EF ∴.∠OEC=∠B .OE=OC, ∴∠C=∠OEC, .∠B=∠C, ..AB=AC; (2)解：AB=8,AB=AC, .AC=8, 设⊙O的半径为r, A0=8-r,0D=r,而∠AD0=90°，sinA=3 8,号解得8 ..OF=OD=3,AO=5,AD-AO-DO=4, OD⊥EF,则∠DOF=90°， ∴.DF=√/32+32=32， EF∥AB, ∴.△OFGn△ADG, 照器= DG=3年DF-号X3g-12 类型二与切线的判定有关的证明与计算 12.(1)证明：连接OC, .AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， ∴.∠A+∠ABC=909 .OB=OC,∴.∠ABC=∠OCB .∠BCD=∠A, ∴.∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°， .OC⊥CD. :OC为⊙0的半径， .CD是⊙O的切线， (2)解：点B是AD的中点， ∴.BD=AB=2OC. .OB=OC, ∴.OD=OB+BD=3OC 慌 ,BE⊥AD ∴.∠DBE=90° 又∠OCD=90°， m∠D-器-8%- .DE=3BE=9. 在Rt△DBE中，BD-√DE-BE-√92-32-6N2. ∴.0C=32 即⊙0半径为32 13.(1)证明：如图1，连接AE, :∠BCD=∠A0B,∠E=∠AOB, '.∠BCD=∠E .OA=OE,∴.∠OAE=∠E, .∠OAE=∠BCD. ,BE是⊙O的直径 ∴.∠BAE=90°，即∠BAO+∠OAE=90° :∠BAO=∠BCO, ∴.∠BCO+∠BCD=90°，即OC⊥DC. ,OC为⊙O的半径， .CD是⊙O的切线 图1 图2 (2)解：如图2， 四边形ABCO是平行四边形， .OF-OB. 又.OF+OE=EF=3,OB=OE, ÷20B+0B=3, 21 ∴.OB=2. .OA=OC, ∴.口ABCO是菱形， .BC=OC=OB=2. ∴.△BOC为等边三角形， .∠BOC=60° ∴.在Rt△ODC中，DC=OC·tan∠DOC=2Xtan60°=23 14.(1)证明：，AD⊥OB ∴.∠DAC+∠ACD=90° .0A=OC, ∴.∠OAC=∠OCA, AC是∠BAD的平分线 ∴.∠DAC=∠BAC, ∴.∠BAC+∠OAC=∠DAC+∠OCA=90°， 即AB⊥OA且OA为半径， .AB为⊙O的切线； (2)解：，∠AOB=45°，又AB⊥OA, .△OAB等腰直角三角形， ⊙O的半径为2， ..0A=2=OC, ∴.OB=√2OA=2/2」 ∴.CB=OB-OC=22-2. 考点3三角形与内切圆、外接圆 15.D16.65 17.（1)证明：如图，连接AO并延长交 ⊙O于点E,连接BE, .'BD=AB, .∠D=∠BAD, ∴.∠ABC=∠D+∠DAB=2∠D 又：∠ABC=2∠C, .∠D=∠C, ∴.∠BAD=∠C .'AB=AB, ∠C=∠E, ∴.∠BAD=∠E .AD是直径， ∴.∠ABE=90°，∠BAE+∠E=90°， .∴.∠BAD+∠BAE=90°即AD⊥AE, ∴，AD是⊙O的切线； (2)解：，∠D=∠D,DAB=∠C, .△DABp△DCA, 把-恶 .∠D=∠C, ∴.AD=AC=8, 又，DB=AB=5 8 5 六5+BC=8' 解得：BC=39, 5 如图，过点A作AF⊥DC于点F, .AD=AC, ..DF=FC -(DB+BC) 32 AF=AD-DF=8-()‘-4, 24 又∠E=∠D, ..AE=AB AB525 sin∠Esin∠D33' 5 ⊙0的半径为 18.（1)证明：如图，连接OC, .OB=OC, .∠1=∠2， .AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=∠1+∠3=90°， ∴.∠2+∠3=90°， .∠ACD=∠2， ∴.∠ACD+∠3=90°，即∠OCD=90°， .DC⊥OC, 又.OC是⊙O的半径， ∴.DC是⊙O的切线. (②)解：80号， ∴.设OA=OB=OC=2x,则OD=3x, ..AD=OD-0A=3x-2x=x,BD=OB+OD=5x, .CO⊥DC,BE⊥DC, ∴.BE//CO, ∴.△DCO~△DEB, 品-品即得 解得x=3, ∴.DA=3. 第三讲与圆有关的计算 考点1与弧长有关的计算 1.C2.A3.B4.π 5.28.7【解折】由题意72m:0A_72x0C=36,0A-0C= 180 180 90≈28.7（米）.AC=0A-0C=28.7米. π【解析】由对折可知，四边形AOMD是矩 6.3 形，∠EOM=∠FOM,则OM=AD,DM= 12 CD.过点E作OM的垂线，垂足为P,则EP DM-CD.OE-OM-AD.CD-AD, EP=2OE.在Rt△EOP中，sin∠EOP= .∠EOP=30°，则∠EOF=30°×2=60°， “示的长度为：002-餐 考点2扇形面积的计算 7.A8D9.专r-25 考点3圆锥的相关计算 10.B11.A12.15π13.160 14.√/1515.90第二讲 与圆有关的位置关系 考点点、直线与圆的位置关系 的各边都相切，且⊙O的面积为16π，则点B到 CD的距离为 1.(2024·贵州，5题，3分)如图是“光盘 积极参与 “光盘行动” 7.(2024·河南，14题，3分)如图，PA与⊙0相切于 行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可 点A,PO交⊙O于点B,点C在PA上，且CB= 看成直线和圆的位置关系是( ) CA.若OA=5,PA=12,则CA的长为 A.相切 B.相交 C.相离 D.平行 B 2.(2025·云南，16题，2分)已知⊙0的 B 半径为5cm,若点P在⊙O上，则点P到圆心O 的距离为 cm. C 第7题图 第8题图 考点与切线有关的证明与计算 8.(2025·安徽，12题，5分)如图，AB是⊙O的弦， 类型一与切线的性质有关的证明与计算 PB与⊙O相切于点B,圆心O在线段PA上.已 3.(2025·福建，9题，4分)如图，PA与⊙O相切于 知∠P=50°，则∠PAB的大小为 点A,PO的延长线交⊙O于点C.AB∥PC,且交 9.(2024·内蒙古通辽，22题，8分)如图，△ABC中， ⊙O于点B.若∠P=30°，则∠BCP的大小为( ∠ACB=90°，点O为AC边上一点，以点O为圆 A.30° B.459 C.60° D.75° 心，OC为半径作圆与AB相切于点D,连接CD. (1)求证：∠ABC=2∠ACD; (2)若AC=8,BC=6,求⊙O的半径， 第3题图 第4题图 4.(2024·山西，7题，3分)如图，已知△ABC,以 AB为直径的⊙O交BC于点D,与AC相切于点 A,连接OD.若∠AOD=80°，则∠C的度数为() A.30° B.40° C.45 D.50° 5.(2025·黑龙江龙东，16题，3分)如图，PA、PB 是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，∠BAC= 35°，∠P= 第5题图 第6题图 6.(2025·四川泸州，16题，3分)如图，梯形ABCD 56 中，AD∥BC,AB=CD=10,⊙O与梯形ABCD 10.(2025·广东，17题，7分)如图，点O是Rt△ABC类型二与切线的判定有关的证明与计算 斜边AC边上的一点，以OA为半径的⊙O与边12.(2025·黑龙江齐齐哈尔，21题，3分)如图， BC相切于点D.求证：AD平分∠BAC. △ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径，点D 在AB的延长线上，连接CD,∠BCD=∠A, 过点B作BE⊥AD,交CD于点E. 0 (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若点B是AD的中点，且BE=3,求⊙O的 半径. 11.(2025·陕西，24题，8分)如图，点O在△ABC 的边AC上，以OC为半径的⊙O与AB相切于 点D,与BC相交于点E,EF为⊙O的直径，FD 与AC相交于点G,∠F=45°. (1)求证：AB=AC; (2若snA=子，AB=8,求DG的长。 57 13.(2025·甘肃，25题，8分)如图，四边形ABC014.(2025·山东，20题，10分)如图，在△OAB中， 的顶点A,B,C在⊙O上，∠BAO=∠BCO,直 点A在⊙O上，边OB交⊙O于点C,AD⊥OB 径BE与弦AC相交于点F,点D是EB延长线 于点D.AC是∠BAD的平分线. 上的一点，∠BCD=2∠AOB, (1)求证：AB为⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为2，∠AOB=45°，求CB的长 (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若四边形ABCO是平行四边形，EF=3,求 CD的长. 考点3三角形与内切圆、外接圆 15.(2024·山东滨州，8题，3分)刘徽（今山东滨州 人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数 学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰 斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多 解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式 的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB,BC,CA的长 分别为c,a,b.则可以用含c,a,b的式子表示出 △ABC的内切圆直径d,下列表达式错误的 是( ) A.d=a+b-c B.d=_ 2ab +b+c C.d=√2(c-a)(c-b) D.d=|(a-b)(c-b) 0 B 15题图 第16题图 16.(2024·黑龙江龙东，16题，3分)如图，△ABC内 接于⊙O,AD是直径，若∠B=25°，则∠CAD 17.(2025·山东烟台，22题，10分)如图，△ABC内18.(2025·山东东营，21题，8分)如图，AB是⊙O 接于⊙O,∠ABC=2∠C,点D在线段CB的延 的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、 长线上，且BD=AB,连接AD BC,点D在BA的延长线上，且∠DCA=∠ABC, (1)求证：AD是⊙O的切线； 点E在DC的延长线上，且BELDC. (2)当AB=5,AC=8时，求BC的长及⊙O的半径 (1)求证：DC是⊙O的切线； (2)若80-号，BE=10,求DA的长. ●0 D 0 59