2026年中考数学二轮专项复习题———圆的综合

**基本信息** 以圆的性质为核心，通过15道综合题系统整合切线证明、线段计算、角度转化等专题，突出几何直观与逻辑推理的结合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线证明|5题|连半径证垂直、全等/相似转化|圆的切线性质→垂直关系→三角形全等/相似| |线段计算|6题|勾股定理、三角函数、相似比|直径性质→直角三角形→边角关系| |综合应用|4题|辅助线构造、多知识点融合|圆与三角形综合→方程思想→动态几何|

2026年中考专项复习题———圆的综合 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD＝BC． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若，AE＝1，求的长． 2．已知点O为△ABC边BC上一点，以点O为圆心，OA为半径作圆与AC相切于点A，与边BC交于点B，D． （Ⅰ）如图①，过点O作OE⊥BC，交AB于点E，交CA延长线于点G，若∠OBE＝30°，BD＝10，求AG的长； （Ⅱ）如图②，CM与⊙O切于点M，连接MB，与直径AN交于点H，若AN⊥BM，且BM＝AC＝8，求AH的长． 3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，过圆心O的直线PF⊥AB于D，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，B为切点，连接AP，AF． （1）求证：直线PA为⊙O的切线； （2）求证：EF2＝4OD•OP； 4．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，sinA，求BH的长． 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，过点C作CE⊥AB于点E，CH⊥AD交AD的延长线于点H，连接BD交CE于点G． （1）求证：CH是⊙O的切线； （2）若点D为AH的中点，求证：AD＝BE； （3）若cos∠DBA，CG＝10，求BD的长． 6．如图，在⊙O中，直线CD垂直直径AB于E，直线GF为⊙O的切线，切点为H，GF与直线CD相交于点F，与AB延长线交于点G，AH交CD于M，其中MH2＝MD•MF． （1）连接OH，求证：△FMH为等腰三角形； （2）求证：AC∥FG； （3）若cosF，AM＝2，求线段GH的长． 7．如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于点P． （1）求证：AC•PC＝BP•DC； （2）求证：CD是⊙O的切线； （3）已知：CB＝6，AC＝8，求sin∠BAF的值． 8．如图，已知AB是⊙O直径，且AB＝8；C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC，∠CBD＝30°，过点D作射线交AB延长线于点F． （1）求∠COA的度数； （2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）； （3）若FD2＝FA•FB，试证明FD是⊙O的切线． 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BE＝8，sinB，求⊙O的半径； （3）求证：AD2＝AB•AF． 10．如图，四边形ABCE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，延长AE交BC的延长线于点F，点C是BF的中点，∠BCD＝∠CAE． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求证：△CEF是等腰三角形； （3）若BD＝1，CD＝2，求EF的长． 11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH； （3）连接DE，若DE＝3，DC＝1，求⊙O的半径． 12．如图AB为⊙O的直径，且AB＝2，点C是弧AB上的一动点（不与A，B重合），过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC． （1）若BD＝4，求线段AC的长度； （2）求证：EC是⊙O的切线； （3）当∠D＝30°时，求图中阴影部分面积． 13．如图，△ABC内接于⊙O，点D为的中点，连接AD、CD，CE平分∠ACB交AD于点E，过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）求证：DE＝DC； （3）若DE＝5，BF＝3，求AC的长． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：yx+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点P（x，y）为直线l在第二象限的点． （1）求A、B两点的坐标； （2）设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时，求⊙C的半径． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D和点E分别在AB和AC边上（不与端点重合），且AD＝AE，延长DE和射线BC交于点F，作DG⊥DF，与BC边交于点G，作△FDG的外接圆⊙O在BF上方的部分，连接OD． （1）若∠OFD＝30°，OD＝2，求的长． （2）求证：AB是⊙O的切线． （3）若AC＝3，BC＝4，直接写出tan∠DFG的值． 2026年中考专项复习题———圆的综合 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD＝BC． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若，AE＝1，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OC， 在△ODB和△OCB中， ， ∴△ODB≌△OCB（SSS）， ∴∠ODB＝∠ACB＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且AB⊥OD于点D， ∴AB是⊙O的切线． （2）解：设⊙O的半径为R， 在Rt△OAD中，， ∴， 解得R＝1， ∴OD＝1，∠AOD＝60°， ∴∠COD＝120°， 由（1）知△OBD≌△OBC， ∴， ∴的长π． 2．已知点O为△ABC边BC上一点，以点O为圆心，OA为半径作圆与AC相切于点A，与边BC交于点B，D． （Ⅰ）如图①，过点O作OE⊥BC，交AB于点E，交CA延长线于点G，若∠OBE＝30°，BD＝10，求AG的长； （Ⅱ）如图②，CM与⊙O切于点M，连接MB，与直径AN交于点H，若AN⊥BM，且BM＝AC＝8，求AH的长． 【答案】（1）；（2）4． 【解答】解：（1）∵OB＝OA， ∴∠OAB＝∠OBE＝30°， ∵OA为半径作圆与AC相切于点A， ∴OA⊥CG， ∴∠OAG＝90°， ∴∠CAE＝60°． ∵OE⊥BC， ∴∠COG＝90°， ∴∠OEB＝90°﹣∠OBE＝60°， ∴∠AEG＝∠OEB＝60°． ∴△AEG为等边三角形， ∴∠G＝60°， ∵BD＝10，BD为圆的直径， ∴OA＝5． ∴在Rt△OAG中，AG． （2）连接OM，如图， ∵直径AN⊥BM， ∴MH＝BH4， ∵OA为半径作圆与AC相切于点A， ∴OA⊥AC， ∵AN⊥BM， ∴MB∥AC， ∵BM＝AC， ∴四边形ABMC为平行四边形， ∴AB＝CM． ∵CM与⊙O切于点M， ∴OM⊥CM． 在Rt△OMC和Rt△OAC中， ， ∴Rt△OMC≌Rt△OAC（HL）， ∴CM＝CA＝8， ∴AB＝CM＝8， ∴AH4． 3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，过圆心O的直线PF⊥AB于D，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，B为切点，连接AP，AF． （1）求证：直线PA为⊙O的切线； （2）求证：EF2＝4OD•OP； 【解答】证明：（1）连接OB， ∵PB是⊙O的切线， ∴∠PBO＝90° ∵PF⊥AB于D， ∴AD＝BD， ∵OA＝OB， ∴∠POA＝∠POB， 在△PAO△和PBO中， ， ∴△PAO≌△PBO（SAS）． ∴∠PAO＝∠PBO＝90°， ∵AO是半径， ∴直线PA为⊙O的切线． （2）由（1）可知，直线PA为⊙O的切线． 即∠OAP＝90°， ∵PF⊥AB， ∴∠ADO＝90°， ∴∠OAP＝∠ADO＝90°， ∵∠DOA＝∠AOP， ∴△AOD∽△POA， ∴， 即OA2＝OD•OP， ∵EF是⊙O直径，OE，OA是⊙O半径 ∴， ∵OA2＝OD•OP， ∴， 整理得EF2＝4OD•OP； 4．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，sinA，求BH的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解答】（1）证明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC， ∴∠ODB＝∠ABC， ∵OF⊥BC， ∴∠BFD＝90°， ∴∠ODB+∠DBF＝90°， ∴∠ABC+∠DBF＝90°， 即∠OBD＝90°， ∴BD⊥OB， ∴BD是⊙O的切线； （2）解：连接BE， ∵AB是直径， ∴∠AEB＝90°， ∵⊙O的半径为5，sinA， ∴AB＝10，BE＝AB•sinA＝10， 在Rt△ABE中，由勾股定理得： EA8， ∵OF⊥BC， ∴， ∴BE＝CE＝6，∠EBH＝∠EAB， ∵∠BEH＝∠AEB， ∴△EBH∽△EAB， ∴BE2＝EH•EA， ∴EH， 在Rt△BEH中，由勾股定理得： BH． 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，过点C作CE⊥AB于点E，CH⊥AD交AD的延长线于点H，连接BD交CE于点G． （1）求证：CH是⊙O的切线； （2）若点D为AH的中点，求证：AD＝BE； （3）若cos∠DBA，CG＝10，求BD的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OC，OD， ∵BC＝CD， ∴∠BOC＝∠COD∠BOD， 又∵∠BAH∠BOD， ∴∠BAH＝∠BOC， ∴AH∥OC， ∵AH⊥CH， ∴OC⊥CH， ∵OC是⊙O的半径， ∴CH是⊙O的切线； （2）证明：如图，连接AC， ∵BC＝CD， ∴， ∴∠BAC＝∠CAH， 又∵CE⊥AB，CH⊥AH， ∴CE＝CH， ∵BC＝CD， ∴Rt△CEB≌Rt△CHD（HL）， ∴BE＝DH， ∵点D为AH的中点， ∴AD＝DH， ∴AD＝BE； （3）解：如图，延长CE交⊙O于点F， ∵AB是⊙O的直径，CF⊥AB， ∴， ∴∠BCE＝∠CBD， ∴GB＝GC＝10， 在Rt△GEB中，cos∠DBA， ∴BE＝8，GE＝6， ∴CE＝CG+GE＝10+6＝16， ∵∠EAC＝∠CAD＝∠CBD＝∠BCE，∠AEC＝∠CEB＝90°， ∴Rt△AEC∽△Rt△CEB， ∴，即， ∴AE＝32， ∴AB＝AE+BE＝32+8＝40， 在Rt△ADB中，cos∠DBA， ∴BDAB40＝32． 6．如图，在⊙O中，直线CD垂直直径AB于E，直线GF为⊙O的切线，切点为H，GF与直线CD相交于点F，与AB延长线交于点G，AH交CD于M，其中MH2＝MD•MF． （1）连接OH，求证：△FMH为等腰三角形； （2）求证：AC∥FG； （3）若cosF，AM＝2，求线段GH的长． 【解答】（1）证明：∵直线GF为⊙O的切线， ∴OH⊥GF， ∴∠OHA+∠MHF＝90°， 又∵OA＝OB， ∴∠OHA＝∠OAH， ∵CD⊥AB， ∴∠AEM＝90°， ∴∠OAH+∠AME＝90°， ∴∠MHF＝∠AME， 又∠AME＝∠HMF， ∴∠MHF＝∠HMF， ∴HF＝MF， ∴△FNH为等腰三角形； （2）证明：∵MH2＝MD•MF． ∴， 又∵∠HMD＝∠FMH， ∴△HMF∽△DMH， ∴∠HDM＝∠MHF， ∵∠HDM＝∠CAH， ∴∠MHF＝∠CAH， ∴AC∥GF； （3）解：∵AC∥GF， ∴∠C＝∠F， ∴cosC＝cosF， ∵∠FHM＝∠HMF，∠CAM＝∠MHF，∠HMF＝∠CMA， ∴∠CMA＝∠CAM， ∴AC＝CM， 设CE＝3x，AC＝4x， ∴AEx，EM＝x， ∴AM2， 解得x， ∴CE＝3，AE， 连接OC， 在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2， 设OC＝OA＝a， ∴， 解得a， ∵AC∥GF， ∴∠G＝∠CAE， 又∵∠OHG＝∠CEA＝90°， ∴△CEA∽△OHG， ∴， ∴， ∴GH． 7．如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于点P． （1）求证：AC•PC＝BP•DC； （2）求证：CD是⊙O的切线； （3）已知：CB＝6，AC＝8，求sin∠BAF的值． 【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CD⊥DA，∴∠D＝90°， ∴∠D＝∠ACB． ∵∠DAC＝∠FBC， ∴△DAC∽△CBP， ∴， ∴AC•PC＝BP•DC； （2）证明：连接OC，如图， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠OCA＝∠DAC， ∴AD∥OC， ∵CD⊥DA， ∴OC⊥CD， ∵OC为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （3）解：连接OC，设OC交BF于点E，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CB＝6，AC＝8， ∴AB10， ∴OC＝OBAB＝5， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∴BF⊥AD， ∵CD⊥DA，OC⊥CD， ∴四边形CDFE为矩形， ∴OC⊥BF， ∴BE＝EFBF． 设OE＝x，则CE＝5﹣x， ∵BE2＝BO2﹣OE2＝52﹣x2，BE2＝BC2﹣CE2＝62﹣（5﹣x）2， ∴52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2， ∴x．∴OE， ∴BE． ∴BF＝2BE． ∴sin∠BAF． 8．如图，已知AB是⊙O直径，且AB＝8；C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC，∠CBD＝30°，过点D作射线交AB延长线于点F． （1）求∠COA的度数； （2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）； （3）若FD2＝FA•FB，试证明FD是⊙O的切线． 【答案】（1）60°； （2）π﹣4； （3）见解析过程． 【解答】（1）解：∵OC∥BD， ∴∠OCB＝∠CBD＝30°， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC＝30°， ∴∠COA＝∠OCB+∠OBC＝60°； （2）解：如图，连接OD， ∵∠CBD＝∠OBC＝30°， ∴∠BOD＝60°， ∵OB＝OD， ∴△BOD是等边三角形， ∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD44π﹣4； （3）证明：∵FD2＝FA•FB， ∴， 又∵∠F＝∠F， ∴△DBF∽△ADF， ∴∠FDB＝∠DAB， ∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OA＝OD＝OB， ∴∠OAD＝∠ODA＝∠BDF， ∴∠DBF+∠ODB＝∠ADO+∠ODB＝∠ADB＝90°， ∴∠ODF＝90°， ∴OD⊥DF， 又∵OD是半径， ∴FD是⊙O的切线． 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A、D的⊙O分别交AB、AC于点E、F． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BE＝8，sinB，求⊙O的半径； （3）求证：AD2＝AB•AF． 【答案】（1）见解析；（2）5；（3）见解析． 【解答】（1）证明：如图，连接OD， 则OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠OAD＝∠CAD， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴OD∥AC， ∴∠ODB＝∠C＝90°， ∵点D在⊙O上， ∴BC是⊙O的切线． （2）解：∵∠BDO＝90°， ∴sinB， ∴OD＝5， ∴⊙O的半径为5． （3）证明：连接EF， ∵AE是直径， ∴∠AFE＝90°＝∠ACB， ∴EF∥BC， ∴∠AEF＝∠B， 又∵∠AEF＝∠ADF， ∴∠B＝∠ADF， 又∵∠OAD＝∠CAD， ∴△DAB∽△FAD， ∴， ∴AD2＝AB•AF． 10．如图，四边形ABCE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，延长AE交BC的延长线于点F，点C是BF的中点，∠BCD＝∠CAE． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求证：△CEF是等腰三角形； （3）若BD＝1，CD＝2，求EF的长． 【解答】（1）证明：连接OC，如图1， ∵C是BF的中点，O是AB的中点， ∴OC∥AF， ∴∠CAE＝∠ACO， ∵∠BCD＝∠CAE， ∴∠ACO＝∠BCD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 即∠ACO+∠BCO＝90°， ∴∠BCD+∠BCO＝90°， ∴∠OCD＝90°， ∵OC是半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）证明：∵点C是BF的中点，∠ACB＝90°，即AC⊥BF， ∴AF＝AB， ∴∠F＝∠ABC， ∵四边形ABCE内接于⊙O， ∴∠ABC＝∠FEC， ∴∠F＝∠FEC， ∴△CEF是等腰三角形； （3）解：连接BF，如图2， ∵∠BCD＝∠ACO＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB， ∴△DCB∽△DAC， ∴，即， ∴AD＝4，AC＝2BC， ∴AB＝AD﹣BD＝4﹣1＝3； 在Rt△ACB中，由勾股定理得AC2+BC2＝AB2， 即4BC2+BC2＝32， 解得，则， ∵AB是圆O的直径， ∴BE⊥AF， ∴AB2﹣AE2＝BF2﹣EF2，即． 解得． 11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH； （3）连接DE，若DE＝3，DC＝1，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：如图1，连接OE， ∵OB＝OE， ∴∠OBE＝∠OEB， 又∵BE平分∠ABC， ∴∠OBE＝∠CBE， ∴∠CBE＝∠OEB， ∴OE∥BC， ∵∠C＝90°， ∴∠OEA＝∠C＝90°， ∴OE⊥AC， ∵OE是圆的半径， ∴AC是圆O的切线； （2）证明：∵EH⊥AB，EF⊥BE， ∴∠EHB＝∠EHA＝90°，∠BEF＝90°， ∴∠EBH+∠BEH＝∠FEH+∠BEH＝90°， ∴∠EBH＝∠FEH， ∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE， ∵∠EBH+∠OFE＝90°， ∴∠FEH+∠OEF＝90°， 又∵∠FEA+∠OEF＝90°， ∴∠FEH＝∠FEA， 即：EF平分∠AEH； （3）解：如图2，连接OE，DE， ∵BE是∠ABC的平分线，且EC⊥BC，EH⊥AB， ∴EC＝EH， ∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°， ∴∠CDE＝∠HFE， 在△CDE和△HFE中， ， ∴△CDE≌△HFE（AAS）， ∴HF＝CD＝1，EF＝DE＝3， ∴EH2＝EF2﹣HF2＝32﹣12＝8， 设OE＝OF＝r，则OH＝OF﹣HF＝r﹣1， 在Rt△OEH中，由勾股定理得：OH2+EH2＝OE2， ∴（r﹣1）2+8＝r2， 解得：r＝4.5， ∴圆O的半径为4.5． 12．如图AB为⊙O的直径，且AB＝2，点C是弧AB上的一动点（不与A，B重合），过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC． （1）若BD＝4，求线段AC的长度； （2）求证：EC是⊙O的切线； （3）当∠D＝30°时，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）； （2）证明见解析过程； （3）． 【解答】（1）解：如图，连接BC， ∵BD是⊙O的切线， ∴∠ABD＝90°， ∵AB＝2，BD＝4， ∴， ∵AB为⊙O的直径， ∴BC⊥AD， ∴， ∴； （2）证明：连接OC，OE， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△BDC中， ∵BE＝ED，∴DE＝EC＝BE， ∵OC＝OB，OE＝OE， ∴△OCE≌△OBE（SSS）， ∴∠OCE＝∠OBE， ∵BD是⊙O的切线， ∴∠ABD＝90°， ∴∠OCE＝∠ABD＝90°， ∵OC为半径， ∴EC是⊙O的切线； （3）解：∵OA＝OB，BE＝DE， ∴AD∥OE， ∴∠D＝∠OEB， ∵∠D＝30°， ∴∠OEB＝30°，∠EOB＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∵AB＝2，∴OB＝1， ∴． ∴四边形OBEC的面积为， ∴阴影部分面积为． 13．如图，△ABC内接于⊙O，点D为的中点，连接AD、CD，CE平分∠ACB交AD于点E，过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）求证：DE＝DC； （3）若DE＝5，BF＝3，求AC的长． 【答案】（1）证明：连结OD，如图， ∵点D为的中点， ∴OD⊥BC， ∵DF∥BC， ∴OD⊥DF， ∵OD为⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线； （2）证明：∵点D为的中点， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠BCD＝∠BAD， ∴∠CAD＝∠BCD， ∵CE平分∠ACB， ∴∠ECB＝∠ECA， ∵∠DEC＝∠ECA+∠CAD，∠DCE＝∠ECB+BCD， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴DE＝DC； （3）． 【解答】（1）证明：连结OD，如图， ∵点D为的中点， ∴OD⊥BC， ∵DF∥BC， ∴OD⊥DF， ∵OD为⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线； （2）证明：∵点D为的中点，∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠BCD＝∠BAD，∴∠CAD＝∠BCD， ∵CE平分∠ACB，∴∠ECB＝∠ECA， ∵∠DEC＝∠ECA+∠CAD，∠DCE＝∠ECB+BCD， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴DE＝DC； （3）解：连结BD，如图， 由（2）得DC＝DE＝5， ∵点D为的中点， ∴DB＝DC＝5， ∵BC∥DF， ∴∠ABC＝∠F，∠CBD＝∠BDF， ∵∠ABC＝∠ADC，∠CBD＝∠CAD， ∴∠F＝∠ADC，∠BDF＝∠CAD， ∴△BDF∽△CAD， ∴BF：CD＝BD：AC， 即3：5＝5：AC， 解得AC． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：yx+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点P（x，y）为直线l在第二象限的点． （1）求A、B两点的坐标； （2）设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时，求⊙C的半径． 【答案】（1）A（﹣8，0），B（0，4）；（2）S＝2x+16（﹣8＜x＜0）；（3）4． 【解答】解：（1）∵直线yx+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点， ∴当x＝0时，y＝4； 当y＝0时，x＝﹣8， ∴A（﹣8，0），B（0，4）； （2）∵点P（x，y）为直线l在第二象限的点， ∴P（x，）， ∴S△APO2x+16（﹣8＜x＜0）； ∴S＝2x+16（﹣8＜x＜0）； （3）∵A（﹣8，0），B（0，4）， ∴OA＝8，OB＝4， 在Rt△AOB中，由勾股定理得： AB， 在⊙C中，∵PQ是直径， ∴∠POQ＝90°， ∵∠BAO＝∠Q， ∴tanQ＝tan∠BAO， ∴， ∴OQ＝2OP， ∴S△POQ， ∴当S△POQ最小时，则OP最小， ∵点P在线段AB上运动， ∴当OP⊥AB时，OP最小， ∴S△AOB， ∴， ∵sinQ＝sin∠BAO， ∴， ∴， ∴PQ＝8， ∴⊙C半径为4． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D和点E分别在AB和AC边上（不与端点重合），且AD＝AE，延长DE和射线BC交于点F，作DG⊥DF，与BC边交于点G，作△FDG的外接圆⊙O在BF上方的部分，连接OD． （1）若∠OFD＝30°，OD＝2，求的长． （2）求证：AB是⊙O的切线． （3）若AC＝3，BC＝4，直接写出tan∠DFG的值． 【解答】（1）解：∵∠OFD＝30°，OD＝OF， ∴∠ODF＝30°， ∴∠GOD＝60°， ∵OD＝2， ∴； （2）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠CFE+∠CEF＝90°． ∵AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE． ∵∠AED＝∠CEF， ∴∠CFE+∠ADE＝90°． ∵OD＝OF， ∴∠CFE＝∠ODF， ∴∠ODF+∠ADE＝90°＝∠ADO， ∴AD⊥OD． ∵OD是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线； （3）解：∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°， ∴． 设⊙O的半径为r，BG＝x， ∴BF＝FG+BG＝2r+x． ∵，即， ∴， ∴， ∴． ∵OD＝OF， ∴∠DFG＝∠ODF． ∵AB是⊙O的切线，DG⊥DF， ∴∠FDG＝∠ODB＝90°， ∴∠ODF+∠ODG＝∠ODG+∠BDG＝90°， ∴∠DFG＝∠ODF＝∠BDG． ∵∠B＝∠B， ∴△BFD∽△BDG， ∴（相似三角形的对应边成比例）， ∴BD2＝BF•BG， ∴， ∴， 解得（舍去）． ∴． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $