专题4 第5讲 锐角三角函数及其应用-【百川育人】2026版中考必刷数学真题分类

第五讲 锐角三 考点锐角三角函数的概念及计算 1.(2025·云南，15题，2分)如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°.若AB=13,BC=5,则 sin A=() A “品 c品 D 2.(2025·吉林长春，5题，3分)如图，已知某山峰的 海拔高度为m米，一位登山者到达海拔高度为n 米的点A处.测得山峰顶端B的仰角为α.则A、 B两点之间的距离为( ) m C E 一海平面 A.(m-n)sina米 B.m-米 sin a C.(m-n)cosa米 D.m-”米 cos a 3.(2025·山东东营，6题，3分)如图为一节楼梯的 示意图，BC⊥AC,∠BAC=a,AC=5m.现要在 楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1m,则地毯的长 度需要()m. Q A.,5十5 B.5tan a+5 tan a C.5 D.5 cos a sin a 4.(2025·辽宁，14题，3分)如图， 为了测量树AB的高度，在水平 地面上取一点C,在C处测得 角函数及其应用 ∠ACB=51°，BC=6m,则树AB的高约为 m(结果精确到0.1m.参考数据：sin51 ≈0.78，cos51≈0.63，tan51°≈1.23). 5.(2025·浙江，13题，3分)无人机警戒在高速公路 场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重 要实践方向.如图，在高速公路上，交警在A处操 控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬 停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生 故障.测得A处到P处的距离为500m,从点A 观测点P的仰角为a,cosa=0.98,则A处到B 处的距离为 m. A工正 考点公直角三角形边角关系的相关计算 6.(2025·内蒙古，11题，3分)如图，因地形原因，湖 泊两端A,B的距离不易测量，某科技小组需要用 无人机进行测量.他们将无人机上升并飞行至距 湖面90m的点C处.从C点测得A点的俯角为 60°，测得B点的俯角为30°(A,B,C三点在同一 竖直平面内)，则湖泊两端A,B的距离为 m(结果保留根号). B 60>℃30 B 第6题图 第7题图 7.(2025·黑龙江绥化，19题，3分)如图，某水库堤 坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i=1：√2（斜面 坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的 比)，堤坝高BC=15m,则迎水坡面AB的长度是 8.(2025·四川眉山，16题，4分) 人字梯为现代家庭常用的工 具.如图，若AB、AC的长都为 2m,当a=65°时，人字梯顶端 B 离地面的高度是 m. (结果精确到0.1m,参考依据：sin65°≈0.91， c0s65°≈0.42，tan65°≈2.14) 9.(2025·贵州，22题，10分)某小区在设计时，计划 在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心. 设计示意图如图②所示，已知BD=28m,CD 21m,该地冬至正午太阳高度角a为35°.如果你 是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下 列任务. 阳光 住 <ia 心 图① 图② 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与 地面之间的距离AB的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住 宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳 光，需将活动中心沿BD方向移动一定的距离（活 动中心高度不变)，求该活动中心移动了多少米？ (参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈ 0.70.结果保留小数点后一位) 考点3锐角三角函数的实际应用 类型一母子型 10.(2024·四川雅安，11题，3分)在数学课外实践 活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如 图)，他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再 往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°， 那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）() A.253米 B.25米 C.25√2米D.50米 北 60° 459 309 人60° A B B 第10题图 第11题图 11.(2024·四川，17题，4分)一渔船在海上A处测 得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方 向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的 北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则 渔船与灯塔C的最短距离是 海里， 12.(2025·四川达州，20题，8分)为了让莲花湖湿 地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利 用无人机指引工作人员清理湖中垃圾.已知无人 机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在 A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正 前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角 为45°，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值） 个309 45 A B 44 13.(2025·天津，22题，10分)综合与实践活动中， 要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的 高度（如图①）. 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A, E,C依次在同一条水平直线上，CD⊥AC,EF⊥ AC,且CD=EF=1.7m.在D处测得世纪钟建 筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑 顶部B的仰角为31°，CE=32m.根据该学习小 组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度（结 果取整数). 参考数据：tan22°≈0.4，tan31°≈0.6. h 3122°D C 图① 图② 45 4.(2025·甘肃，22题，8分)如图1，位于嘉峪关的 长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城 最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年(1539 年).该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守 丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共 同构成河西走廊的军事防御体系随着岁月的变 迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降 低，为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们 开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动 如图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意 图，点A为最高点，点B,F,D是地面同一直线 上的三个点（点D,F都在保护栅栏外），在D,F 处分别用测角仪测得∠ACG=16.7°，∠AEG= 22°，其中CD=EF=1.7m(测角仪的高度)， DF=CE=5.5m,求长城第一墩的高度AB(结果 精确到0.1m)(参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈ 0.93,tan22°≈0.40，sin16.7°≈0.29，cos16.7°≈ 0.96,tan16.7°≈0.30) 图1 图2 类型二背靠背型 15.(2024·内蒙古呼伦贝尔，20题，6分)综合实践 活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的 高度.如图，无人机在离地面40米的D处，测得 操控者A的俯角为30°，测得楼BC楼顶C处的 俯角为45°，又经过人工测量得到操控者A和大 楼BC之间的水平距离是80米，则楼BC的高 度是多少米？（点A,B,C,D都在同一平面内， 参考数据：√3≈1.7) D 30*45o B 类型三实物模型 16.(2025·湖北，18题，6分)如图，甲、乙两栋楼相 距30m,从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为 35°，A到地面的距离为18m,求乙楼的高.（参 考数据：tan35°≈0.7) ,何 互 口■ 18m 口 30m 甲 7.(2024·四川成都，16题，8分)中国古代运用“土 圭之法”判别四季.夏至时日影最短，冬至时日影 最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日 影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探 索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB垂直 于地面，AB长8尺.在夏至时，杆子AB在太阳光 线AC照射下产生的日影为BC;在冬至时，杆子 AB在太阳光线AD照射下产生的日影为BD.已 知∠ACB=73.4°，∠ADB=26.6°，求春分和秋分 时日影长度.（结果精确到0.1尺；参考数据： sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈ 0.50,sin73.4°≈0.96，cos73.4°≈0.29，tan73.4°≈ 3.35) 日光 3.4 B 26.6°D 圭立春立 夏分春 46 18.(2024·四川广安，23题，8分)风电项目对于调 整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义， 某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图 (1),某校实践活动小组对其中一架风力发电机 的塔杆高度进行了测量，图(2)为测量示意图（点 A,B,C,D均在同一平面内，AB⊥BC).已知斜 坡CD长为20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜 坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰 角为20°，坡底与塔杆底的距离BC=30米，求该 风力发电机塔杆AB的高度.（结果精确到个位； 参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈ 0.36,√3≈1.73) 20D 160°E (2) 47 类型四其他类型 19.(2025·四川泸州，23题，8分)如图，在水平地面 上有两座建筑物AD,BC,其中BC=18m.从 A,B之间的E点(A,E,B在同一水平线上)测 得D点，C点的仰角分别为75°和30°，从C点测 得D点的仰角为30°， (1)求∠CDE的度数； (2)求建筑物AD的高度（计算过程和结果中的 数据不取近似值). D 30°cC 75 130°13.D【解析】由折叠的性质可知， ∠AEB=∠AEF=90°，BE=EF, 在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=6, .∠BAE=∠B=45°，BC=AB=6, ..AE=BE, ∴，AB=√/AE2+BE2=√2BE=6, ∴.BE=32, ∴.BF=2BE=62, .CF=BF-BC=62-6.故选D. 14.D【解析】如图，连接AD,交CC于点O, 由旋转的性质得：AC=AC=4, ∠ACB'=∠ACB=90°， ∴.∠ACD=90°， 在Rt△ACD和Rt△ACD中， AD=AD AC-AC' ∴.Rt△ACD≌Rt△ACD(HL), ∴.CD=CD=3, ∴.AD垂直平分CC', ∴.CC=2OC,AD⊥CC, .∠ACB=90°，AC=4,CD=3, ∴.AD=/AC2+CD2=5, 又：Sam=2AD:0C=2AC.CD, 0c=Ac0-48-号， AD 5 cc=2x号-4 15.9 16.1【解析设点P的运动时间为x(s),由题意得AP=2x,BP =AB-AP=6-2x, :PQ⊥AB,∴∠QPA=90°，△PQD和△ABC是等边三角形， ∴.∠A=∠B=∠DPQ=60°，PQ=PD,∠BPD=30°， ∠PDB=90°，PD⊥BC, ∴.△APQ≌△BDP(AAS),BD=AP=2x .BP=2BD,∴.6-2x=4x,解得x=1. 考点4等腰直角三角形的判定与计算 17.号【解折：CE=7,△CF的网长为32， ∴.CF+EF=32-7=25. .F为DE的中点，∴DF=EF ∴∠BCD=90,CF=2DE, EF-CF-DE-12.5,DE-2EF-25, CD=√/DE-CE2=24. 四边形ABCD是正方形，∴.BC=CD=24,O为BD的中点， OF是△BDE的中位线， 0F=2(Bc-cB)=号x×24-7)-号， 第五讲锐角三角函数及其应用 考点1锐角三角函数的概念及计算 1.D2.B3.B 4.7.45.490 考点2直角三角形边角关系的相关计算 6.12037.153m8.1.8 9.解：任务一：如图，过A作AE⊥CD于E, 结合题意可得：四边形AEDB为矩形， ∠AEC=90°， .BD=28m,CD=21m, ∴.AE=BD=28m,AB=DE .∠CAE=a=35°， .∴.CE=AE·tana≈28×0.7=19.6， .∴.AB=DE=21-19.6=1.4m; 任务二：如图，过B作AC的平行线，过C作 BD的平行线，两线交于点Q,BQ,AE交于点 T,过Q作QK⊥BD于K, .∠QBK=∠ATB=∠CAE=35°， 四边形CDKQ为矩形， ∴.CD=QK=21, 8-}30m QK ..BK= ∴.DK=30-28=2m; .该活动中心移动了2米。 考点3锐角三角函数的实际应用 类型一母子型 10.A11.63+6 12.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D, 30° 了450 A B 依题意∠CAD=30°，∠CBD=459 设CD=x, 在Rt△BCD中，∠CBD=45° ..BD=CD tan 456=x, .AB=30 ∴.AD=AB+BD=30+x, 在Rt△ACD中，tan∠CAD=CP LAD 9平丽 解得：x=153+15 答：无人机离湖面的高度为(153+15)米。 13.解：如图，延长DF与AB相交于点G, G..318522D 根据题意，可得DG∥CA, 有∠GDB=22°，∠GFB=31°，∠DGB=90°，AG=EF=CD= 1.7,DF=CE=32, 在Rt△FGB中，tan∠GFB=G3, GE' ∴.GF= GB tan 313, 在Rt△DGB中，tan∠GDB GB GD ..GD=GB tan 22 GF+DF-GD. GB=32Xtan22tam,31°≈32×0.4X0.6=38.4 tan31°-tan22° 0.6-0.4 .AB=AG+GB≈1.7+38.4≈40. 答：世纪钟建筑AB的高度约为40m. 14.解：由题意，得：BG=CD=EF=1.7m, ∠AGE=∠AGC=90°， 设AG=xm, AG AG 在Rt△AEG中，EG= tan∠AEGtan22≈0.4m, AG 在R△ACG中，cc=anm2%CGtam.7≈03m, AG .CE=CG-EG=5.5 m, 品0=5.5，解得：z=66, C ..AG=6.6 m,.'.AB=AG+BG=8.3 m; 答：长城第一墩的高度AB为8.3m. 类型二背靠背型 15.解：过点D作DE⊥AB于点E,过点C 30 459 作CF⊥DE于点F, C▣ 则四边形BCFE是矩形， 由题意得，AB=80米，DE=40米，A ∠ADE=90°-30°=60°，∠CDF=90°-45°=45° 在Rt△ADE中，∠AED=90°， an∠ADE-8能=tan60”=5, ∴.AE=√3DE=403(米) .BE=AB-AE=(80-403)(米). 四边形BCFE是矩形， ..CF=BE=(80-403)米」 在Rt△DCF中，∠DFC=90°，∠CDF=∠DCF=45°， .DF=CF=(80-403)米. ,.BC=EF=DE-DF=40-80+40W3≈28（米）. 答：楼BC高约28米. 类型三实物模型 16.解：如图， 35 18 30m 甲 D 由题意得，四边形AEDC为矩形， ∠BAC=35°，AE=18m,DE-30m, ∴.∠ACB=180°-∠ACD=180°-90°=90°，CD=AE=18m, AC=DE=30 m, 在R△ABC中，am∠BAC-C ∴.BC=AC·tan∠BAC=30×tan35°=30×0.7=21m, ∴.BD=BC+CD=21+18=39m, 答：乙楼的高为39m. 17.解：在Rt△ABC中，AB=8尺，∠ACB=73.4°， tan73.4°=BC, 8 .tan73.4°≈3.35， B0*昆≈2.4R): 在Rt△ABD中，AB=8尺，∠ADB=26.6°， .tan26.6°=BD' 8 .tan26.6°≈0.50， ∴.BD≈16.0（尺）： ∴.CD=BD-BC=16.0-2.4=13.6(尺)， 观察可知，春分和秋分时日影顶端为CD的中点， 2.4+18,6=9.2尺)， ∴.春分和秋分时日影长度为9.2尺 18.解：过点D作DF⊥AB于点F,作DH⊥Ar BE于点H, 20 2D 由题意得：DC=20m,∠DCH=60°， 60P 在Rt△DCH中， co60-器sn60-8恶， CH CD' ∴.CH=CD·cos60°=10m. .∴DH=CDsin60°=10/3≈17.3m :∠DFB=∠B=∠DHB=9O°， '.四边形DFBH为矩形， ∴.BH=FD,BF=DH, .BH=BC+CH=30+10=40m, .FD=40m. AF 在RtAAFD中，D-tan20, ∴.AF=FD·tan20°=40×0.36=14.4m. ∴.AB=AF+BF=17.3+14.4=31.7≈32m 答：该风力发电机塔杆AB的高度为32m. 类型四其他类型 19.解：(1)如图所示，过点C作CH⊥AD于 H,则∠DHC=90°， 由题意得，∠DCH=30°，∠AED=75°， ..302C ∠DAE=90°， ∴.∠CDH=180°-∠DCH-∠DHC= 75% 130° 60°，∠ADE=180°-∠AED-∠DAE= 15°， .∠CDE=∠CDH-∠ADE=45°； (2)如图所示，过点E作ET⊥CD于T, 则∠ETD=∠ETC=90°， ∠DET=90°-∠EDT=45°， H .300 '.∠CET=180°-∠AED-∠DET- ∠BEC=30°； 75230 在Rt△BCE中，CE=Sin∠BEC BC 18 sin30=36m, 在Rt△CTE中，CT=CE·sin∠CET=36·sin30°=18m, ET=CE·cos∠CET=36·cos30°=185m, 在Rt△DET中，DT= ET 18/3 tan∠EDT tan45 6=183m, ∴.CD=DT+CT=(18+183)m, 在Rt△DCH中， DH=CD·sin∠DCH=(18+183)·sin30=(9+9/3)m; .CH⊥AD,AD⊥AB,BC⊥AB, .四边形ABCH是矩形， ..AH=BC=18 m, ∴.AD=AH+DH=(27+93)m; 答：建筑物AD的高度为(27+9√3)m. 第六讲图形的相似（含位似） 考点1平行线分线段成比例 1.D2.B3.g 考点2相似三角形的判定及性质的有关计算 4.C5.C6.B7.A8.B9.B 10.3或号 11.证明：，BE=3,EC=6,CF=2 .BC=3+6=9, ,四边形ABCD是正方形， .AB=BC=9,∠B=∠C=90°， :AB-9=3BE3 CE62'CF=2' 0膘 ∴.△ABEP△ECF. 考点3图形的位似 12.B13.B14.号 15.解：(1)如图所示，点D即为边AB的中点， A(-1,-3),B(-3,1), ∴.点D的坐标为（一2，一1）. (2)如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形. B 4 -- 1-3--6-1-7-1-3291037003 专题五四边形 第一讲平行四边形及多边形 考点1平行四边形的判定 1.D 考点2平行四边形的性质 2.C3.B 4.B【解析】由已知可得，P从A到D需12s,Q从C到B(或从 B到C)需4S,设P,Q运动时间为ts, ①当0≤≤4时，过Q作QH⊥AD于H,过C作CG⊥AD于 G,如图： Q 由题可知，AP=tcm,CQ=3tcm=GH, PD∥CQ,PQ=CD,.四边形CQPD是等腰梯形. ∴.∠QPH=∠D=∠B=60°. .PQ=CD=AB=6 cm, ∴PH=号PQ=3cm,DG=2CD=3cm 1 .AP+PH+GH+DG=AD=BC=12, .t+3+3t+3=12, 解得t=1.5; 当四边形CQPD是平行四边形时，如图： P C 0 此时PD=CQ=3tcm,∴.t+3t=12,解得t=3. t为1.5s或3s时，PQ=CD; ②当4<t≤8时，若四边形CQPD是平行四边形，如图： P→ D Q 此时BQ=3(t-4)cm,AP=tcm,.AD=BC,PD=CQ, .BQ=AP,∴.3(t-4)=t,解得t=6; 由①知，若四边形CQPD是CD,PQ为腰的等腰梯形，则PD> 6cm,这种情况在4<t≤8时不存在； .t为6s时，PQ=CD; ③当8<t≤12时，若四边形CQPD是平行四边形，如图： A D B4 此时CQ=3(t一8)，PD=12一t,∴.3(t-8)=12一t,解得t=9. ∴.t为9s时，PQ=CD; 综上所述，t为1.5s或3s或6s或9s时，PQ=CD. 5.B【解析】平行四边形的性质得到CD=AB=4, 菱形得到EC=CD=4,然后求解即可. 6.C【解析】过D作DH⊥BC,交BC延长线于H, 四边形ABCD是平行四边形，.AB=DC,AD∥BC .AE⊥BC,DH⊥BC,.AE=DH. ∴.Rt△DCH≌Rt△ABE(HL)..CH=BE=x, BC=y,..EC=BC-BE=y-x,BH=BC+CH=y+x, AE2=AC2-EC2,DH2=BD2-BH2, .22-(y-x)2=(23)2-(y十x)2, ∴.xy=2. 7.2(答案不唯一)8.43 9.证明：(1).点O为AB的中点 ..OA=OB, .AE∥BC