专题08 图形的相似与锐角三角函数（6大题型65题）（浙江专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 专题汇编涵盖图形相似与锐角三角函数8大核心考点，65题整合浙江各地二模真题，突出情境化应用与分层能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约20题|解直角三角形、相似判定、位似性质|结合汽车智能大灯、卫星观测等科技情境| |填空|约20题|三角函数求值、比例线段、图形变换|融入七巧板、支摘窗等文化元素| |解答|约25题|综合应用、函数与几何结合|设置光伏板安装、大跳台滑雪等实际问题，体现真题命题趋势|

专题08 图形的相似与锐角三角函数（6大题型65题） 8大考点概览 考点01正弦、余弦、正切求值 考点02特殊角的三角函数 考点03解直角三角形及其应用 考点04平行线分线段成比例定理 考点05相似三角形 考点06位似 正弦、余弦、正切求值 考点1 1．（2026·浙江温州·二模）如图，正方形由四个全等的直角三角形（、、，）和中间一个小正方形组成．若，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得出，根据全等三角形的性质得出，结合图形得出，从而求出的长，最后在中利用正切定义求解． 【详解】解：四边形是正方形，， . ， ， 由图可知点在线段上， . 在中，， ． 2．（2026·浙江台州·二模）如图1，三脚支架直立在水平地面上，支架脚的长为，与水平地面的夹角为，其示意图如图2，若，则点A到水平地面的距离的长为______． 【答案】 【分析】在中，，利用正弦的定义，代入已知数值即可求出的长． 【详解】解：由题意得，是直角三角形，， ， ． 3．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，，，过点作，垂足为点，交于点．若点为射线上一点（不与点重合），连接，点为的中点，连接，且，则______． 【答案】或 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识点． 分情况讨论，当点不在之间时，过点作于点，过点作于点，根据等腰直角三角形的判定和性质得到，通过证明，得到，通过证明是的中位线得到，根据勾股定理得到，进而得到，，继而得到；当点在之间时，同理得到． 【详解】解：情况一，如图，当点不在之间时，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 情况二，如图，当点在之间时，过点作于点，过点作于点， 由情况一可知，，，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为或． 4．（2026·浙江台州·二模）如图，在矩形中，，E为中点，以为半径，在矩形外作半圆，连接，并延长交半圆于点F，连接，，，则_________． 【答案】 【分析】设，根据题意表示出的长度，在中利用勾股定理求出，由圆的性质得，过点作于点，证明 ，求出的长，进而求出，再过点作交的延长线于点，构造矩形，求出的长，最后在中利用正切定义求解 【详解】解：四边形是矩形 ∴ 设 为中点 在中，由勾股定理得 以为半径作半圆，在圆上 过点作于点 又 即 过点作交的延长线于点 四边形是矩形 在中， 5．（2026·浙江舟山·二模）如图，在正方形中，，是上一点，连接，， (1)求的长度． (2)求． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先根据正切求出，即可求解； （2）将转化为即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∴； （2）解：∵四边形是正方形 ∴， ∴，， ∴． 6．（2026·浙江绍兴·二模）计算：．正弦、余弦、正切求值 考点1 【答案】 【分析】先分别计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值，再由有理数加减运算求解即可． 【详解】解： ． 7．（2026·浙江宁波·二模）按要求完成下列各题： (1)计算：． (2)解方程组：． 【答案】(1)4 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：， 由解得， 把代入得， 所以方程组的解为． 8．（2026·浙江舟山·二模）计算： 【答案】5 【分析】本题考查实数的混合运算，先分别计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值，再合并计算得到结果. 【详解】解： 9．（2026·浙江金华·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数值的混合运算、零次幂、算术平方根等知识点，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 先用特殊角三角函数值、零次幂、算术平方根化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 10．（2026·浙江台州·二模）计算：． 【答案】 【分析】先计算绝对值，算术平方根，特殊角的三角函数值，再加减即可． 【详解】解： ． 11．（2026·浙江台州·二模）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 12．（2026·浙江舟山·二模）计算： 【答案】 【详解】解：原式 13．（2026·浙江宁波·二模）如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的值为（     ）解直角三角形及其应用 考点3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作于G，过点F作于H，由正方形的性质得到；由线段中点的定义得到，由勾股定理求出，解直角三角形可得；可证明，解得到，由三线合一定理得到，则；解得到，，则，即可解答． 【详解】解：如图所示，过点D作于G，过点F作于H， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴； ∵为的中点， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，， ∵，， ∴， ∴； 在中，， ， ∴， ∴． 14．（2026·浙江温州·二模）如图，在中，，，过点作，交的平分线于点，交于点．若点是的中点，连接，延长交于点，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等腰三角形的性质可得，，，． 由直角三角形的性质可得，，容易判断是等边三角形，则，，从而得到，．利用三角函数可计算出，，计算比值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴． 15．（2026·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，为线段上一点，且，连接，将绕点逆时针旋转交轴于点，若，则点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入求出，进而求出，得出是等腰直角三角形，，，，，证明是等腰直角三角形，得出，，利用旋转的性质及外角性质得出，根据得出，即可求出，根据点在轴负半轴可得点坐标． 【详解】解：如图，过点作于， ∵直线分别交轴，轴于，两点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，，， ∵， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转交轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：， ∴点坐标为． 16．（2026·浙江温州·二模）汽车智能随动大灯能实时根据路况转动．如图，一汽车转弯时，车灯照明的中心线会主动转至，转动的角度，若的长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，，，， ∵， ∴． 17．（2026·浙江温州·二模）小文同学为“伯温动漫节”设计了一道蓝色闪电几何纹样，如图，小文将矩形沿水平方向等分为4个完全相同的小矩形，点，，，分别为，上的四等分点，连接，分别交于，，若，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，过点作，垂足为K，根据，点，分别为，上的四等分点，得出,即,结合，得出，设，则， ，得，， 又因为，得出，证明是的角平分线，，即可求出结果． 【详解】解：连接，过点作，垂足为K，如下图所示 ，点，分别为，上的四等分点， ，，即， ， ，， 设，则，，，， 得， ， 即 解得，即， ，， 平分， ． 18．（2026·浙江温州·二模）某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电．如图，长为2米的光伏板斜靠在竖直于地面的支架上，倾斜角为，为提高发电效率，将底端沿方向移动到点，顶端向下滑动到点，此时倾斜角为，则顶端下降的垂直高度为（） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据题意可知，在和 中，分别利用正弦函数求出和的长，最后根据 即可求解． 【详解】解：由题意可知，光伏板长度不变，即米，且． 在 中，， ， ． 在中， ， ∵， ． ∴米． 19．（2026·浙江台州·二模）如图，已知，点在上，，以为圆心，长为半径画弧交于点，则的长为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】连接，过点D作于点F，解直角三角形，求出，再根据三线合一进行求解即可． 【详解】解：连接，过点D作于点F， ∴， 在中，，， ∴； 依题意可得：， ∴是等腰三角形； ∵， ∴； ∴． 20．（2026·浙江金华·二模）图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图：过C作于G，解直角三角形可得，再根据线段的和差以及点到直线的距离求解即可． 【详解】解：如图：过C作于G， ∵， ∴， ∴， ∵机器人上半身垂直于地面水平线，手臂， ∴该机器人拳头（点）到地面的高度为． 21．（2026·浙江温州·二模）一辆卡车沿倾斜角为的斜坡向上行驶，已知，当行驶时，高度约上升了（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点B作于点C， 在中，， ∴， 即高度约上升了． 22．（2026·浙江宁波·二模）如图是某机器人举起手帕的示意图，点为手帕的最高点，垂直水平地面，且，，在同一直线上，其中机械手臂，手臂与身体连接处到大腿上方，大腿和小腿长度一样都是，即，此时手臂与身体所成角度，身体与大腿所成角度的正切值为，则此时手帕最高点到水平地面的距离是_______（结果保留根号）．      【答案】 【分析】过点作垂直水平地面的垂线，垂足为，过点作，垂足为，连接，过点作垂足为，通过构造直角三角形和矩形解三角形求出即可. 【详解】解：过点作垂直水平地面的垂线，垂足为，过点作，垂足为，连接，过点作垂足为，    ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 解得：， ∴ ∴， ∴. 23．（2026·浙江绍兴·二模）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，停靠时汽车靠墙一侧与墙平行，小汽车车门宽为1.2米．当车门打开角度至少为时，人方可顺利下车．为了车门不碰到墙且能顺利下车，车可以停靠离墙最近的距离是________米．（结果保留一位小数，参考数据：，，） 【答案】 【分析】作，根据三角函数计算即可． 【详解】解：如图，作， ∵，， ∴． 24．（2026·浙江温州·二模）如图，跨江大桥的主塔顶端为点A，塔底正下方江面处为点B，江面上的点C处有一艘过往船只．测得A处到C处的距离为500米，从点A观测点C的俯角为，则B，C之间的距离为________米． 【答案】 【分析】根据俯角的定义及平行线的性质求出的度数，在中利用锐角三角函数定义求解即可． 【详解】解：由题意可知，主塔垂直于江面， ∴ ，即． ∵ 从点观测点的俯角，且水平线与江面平行， ∴ ， 在中，，米，， ∴ ∴ ． 25．（2026·浙江台州·二模）如图，一卫星运行到地球表面P点的正上方A点时，可观测到地球表面一个最远的点Q．已知地球半径约为6400 km，在中，测得，则卫星到地面高度约为_________km． 【答案】1600 【分析】由题可知，可得，再由求解． 【详解】解：， ， ． 26．（2026·浙江台州·二模）如图①，是我国传统中式建筑中较为常见的支摘窗，具有古朴的外观和实用的功能，窗户的上窗扇可绕窗顶的转轴向上推开，形成一个倾斜的角度，当关闭窗户时窗扇的边与窗户重合，．如图②，当窗户推开角度（），则支撑窗扇的杆子长为_________． 【答案】 【分析】根据题意，作，在中求出，利用勾股定理求，则得到长，利用勾股定理即可求出长． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，，， ， ， ， ， ． 27．（2026·浙江金华·二模）如图，小明用七巧板拼成小狗图案（如图），则的值是___________． 【答案】 【分析】先辨别七巧板的排序，根据七巧板的性质设①的边长为，在图中，根据等腰直角三角形性质和三角函数可推出、，推出，在图中，过点作与点，过点作与点，根据等腰直角三角形性质，推出，再进行比较即可． 【详解】由七巧板可知，图中，①、②、④、⑥、⑦为等腰直角三角形，③为平行四边形，⑤为正方形，且①和②、④和⑥全等，图与图2中一一对应， 在图中，设①的边长为， ∴， ∵①、②为等腰直角三角形，①和②全等， ∴， ∵⑤为正方形，④为等腰直角三角形，为共边， ∴， ∵④和⑥全等， ∴， ∵④为等腰直角三角形， ∴， 根据图可得：， 由图，过点作与点，过点作与点， ∵①和②全等， ∴， ∵①为等腰直角三角形，， ∴为中点， ∴， ∴， ∴． 28．（2026·浙江金华·二模）如图，四边形是以为对称轴的轴对称图形，．点在上，，将沿折叠得到，则点到的距离为___________． 【答案】 【分析】由轴对称的性质、折叠的性质可得、、、；如图：过点A作于P，过点F作于H，过点D作的延长线于N，过点F作于M，四边形是矩形；进而得到是等腰直角三角形，即；同理可得：；再利用含30度直角三角形的性质、勾股定理、线段的和差可得，进而得到，最后利用矩形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是以为对称轴的轴对称图形，，， ∴，， 又∵将沿折叠得到， ∴，， 如图：过点A作于P，过点F作于H，过点D作的延长线于N，过点F作于M， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴在四边形中，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即点到的距离为． 29．（2026·浙江宁波·二模）某校数学创新小组使用圭表测量正午太阳高度角，圭表由铅垂的表（高2.0米）和水平的圭组成．冬至日正午，测得太阳光线与圭的夹角，则冬至日正午表落在圭面的影长为____________米．（精确到0.1米，参考数据：） 【答案】2.1 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据的正切值求解即可． 【详解】∵，， ∴（米）． ∴冬至日正午表落在圭面的影长为2.1米． 故答案为：2.1． 30．（2026·浙江绍兴·二模）已知：如图，点，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）直接利用证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论； （2）先说明，再利用等边对等角以及三角形内角和公式可得，解直角三角形可得，利用勾股定理可得，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 31．（2026·浙江温州·二模）如图1和图2，将一个直角三角形形状的楔子（）从木桩的底端沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动，其中． (1)如果楔子从木桩①的底端点打入，并沿水平方向前进了，那么木桩①上升了多少厘米？ (2)已知木桩②和①完全相同，水平宽度为，两个木桩在同一水平上．施工时要求楔子沿水平方向先后从木桩①和②的底端点和点打入木桩底下，木桩①比木桩②多上升．求两个木桩之间的施工预留水平间隙（即两桩在楔子上的水平间距）． 【答案】(1)上升了厘米 (2)厘米 【分析】（1）根据坡比的定义进行计算即可； （2）设楔子从P点开始前进的距离为，表示出两个木桩上升的高度，然后建立方程并求解即可． 【详解】（1）解：， 答：木桩①上升了2厘米． （2）解：设楔子从P点开始前进的距离为， 根据题意，可得：， 解得， 答：两个木桩之间的施工预留水平间隙为厘米． 32．（2026·浙江绍兴·二模）如图1，在中，，，（），过点作斜边的高，垂足为，设．如图2，第一象限被直线和直线分成四个区域．    (1)求关于的函数解析式． (2)证明：且，观察并判断函数图象上的点在图2第一象限的哪个区域． (3)请根据要求，探究题（1）中求得的函数在第一象限内的图象与性质． 列表：（备注：无理数四舍五入到0.001） … 0.2 0.5 0.8 1 1.2 2 3 4 … … 0.2 0.5 0.8 1 1.2 1.732 2 3 3.873 4 … … … … 0.196 0.447 0.625 0.707 0.768 0.866 0.894 0.949 0.968 0.970 … ①描点：在平面直角坐标系中（图3），先用铅笔描点、连线，确定无误后再用黑色水笔描图． ②写出性质：观察图象（），类比已学函数的研究方法，另外写出一条不同于性质1的性质． 性质1：该函数图象在第一象限． 性质2：___________________． (4)在上取靠近点的四分点，以点为圆心，长为半径作弧，且与交于点．已知当约为时，取得最大值．据此，求关于的方程有两个不同的正数解时的取值范围（端点值若为无理数则四舍五入到0.001）． 【答案】(1) (2)在第二区域，理由见解析（理由不唯一） (3)①见解析；②见解析（答案不唯一，合理即可） (4) 【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用等面积法求解，即可解题； （2）根据无理数的估算推出，，进而即可证明且，再根据不等式，结合图形判断，即可解题． （3）①根据作图步骤描点、连线画出图象即可； ②根据图象写出其不同于性质1的性质，可从增减性、与坐标轴交点情况等分析； （4）利用线段的和差，结合方程，推出，再约为时，取得最大值，结合（3）问①中表格数据，求得其最大值，根据方程有两个不同正数解，推出函数和有两个不同的交点，结合图象分析求解，即可解题． 解题的关键在于灵活运用相关知识． 【详解】（1）解：，，（）， ， ， ； （2）解：在第二区域， 理由如下：     方法一：从解析式说理， ， ， ， ， ， 在第二区域； 方法二：从几何图形性质说理 中，（直角三角形中，斜边长度大于任意直角边的长度．） ； Rt中，（直角三角形中，斜边长度大于任意直角边的长度．） ； ， 在第二区域； 方法三：从几何图形性质说理 直线外一点与直线AB上各点连接的线段中，垂线段最短； 即， ， 在第二区域； （3）解： ①根据表格数据作图如下：      ②性质：     随的增大而增大； ，函数图象随的增大而越来越接近直线； 函数值时，图象与直线没有交点； 时，图象在直线和直线下方（答案不唯一，合理即可）； （4）解：由 ， ，即， 已知约为时，取得最大值 （根据题（3）①表格时的数据） 又方程有两个不同正数解， 函数和有两个不同的交点， 结合图象可得：则， 所以． 33．（2026·浙江温州·二模）为半圆的直径，半径交弦于点，已知． (1)如图1，连接， ①求证：； ②若，，求的长． (2)如图2，连接，，若，，求半圆的半径． 【答案】(1)①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ② (2) 【分析】（1）①由和可得； ②容易证明，则，代入求值即可； （2）连接，过点作于点，由（1）可得，则，从而证明，则，进一步可得，结合，可得，因此是等腰直角三角形，则．利用三角函数和勾股定理计算出和，从而得到． 【详解】（1）①证明略 ②解：由①得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：如图，连接，过点作于点， ∵由①可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵为半圆的直径， ∴， 在中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， 在中，， ∴，即半圆的半径为． 34．（2026·浙江宁波·二模）如图，四边形内接于，，的延长线相交于点，，相交于点． (1)求证：． (2)已知，，且． ①求证：； ②当时，求的周长． 【答案】(1)证明：是的外角， ， 又四边形内接于，           （同弧所对的圆周角相等）， ． (2)①证明：由题知是的外角， ， ． 四边形内接于， （同弧所对的圆周角相等） （同弧所对的圆周角相等）， ， ， ． ， ． ② 【分析】（1）根据三角形外角的性质得，因同圆中同弧所对的圆周角相等，得，即可得出结论． （2）①根据三角形外角的性质得，同弧所对的圆周角相等得，得出，根据三角形相似的判定定理：，根据三角形相似的性质：，得出结论． ②作辅助线如下图，根据三角形外角的性质和同弧所对的圆周角相等得出，由题意，，求出，，由已知，得出，，，又根据，得，根据平行线的判定定理：，又得，即，进而得出结论． 【详解】（1）证明：略 （2）① 证明： 略 ②解：如图，过点作交于点，过点作交于点． 是的外角， ， （同弧所对的圆周角相等）， ． 由题知，， 设：，则， 根据勾股定理得：， 即： 解得 ，． 设，则． 由（2）①知：，即． 在中，，即，解得，（舍去）， ，，， 又，设， ，， 根据勾股定理: 解得 ． ， 弧弧， ， ， ， ． ． 弧=弧， 弧=弧， （在同一个圆中，相等的弧所对的弦相等）， ， ． 35．（2026·浙江嘉兴·二模）生态公园是以生态学和生态文化为核心理念，融合传统城市公园与主题公园特征的新型城市公园形态．如图，某生态公园有，，三个停车场，米，，． (1)求点到的距离． (2)求的长． （，，，结果精确到0.1） 【答案】(1)点到的距离米 (2)的长米 【分析】（1）过点作，然后根据三角函数进行求解即可； （2）由（1）可知：米，进而根据三角函数进行求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： 在中，，米， ∴（米）； 答：点到的距离米． （2）解：由（1）可知：米， 在中，， ∴米， 在中，，米， ∴米， ∴米； 答：的长米． 36．（2026·浙江宁波·二模）如图，在中，，，． (1)求的长． (2)求的面积（结果保留根号）． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）过点作于点，然后根据三角函数进行求解即可； （2）由（1）可知：，，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， 在中，，， ． ， ． （2）解：由（1）可知：在中，， 在中，， ∴， ． 37．（2026·浙江温州·二模）在中，，以边为直径作半圆交边于点，过点作的切线交于点，交的延长线于点． (1)求证：为直角三角形． (2)若，且，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质可得，由等边对等角得出，则，再由平行线的性质可得，即，从而得证； （2）设，则，，，再由正切的定义求出，从而可得，结合，求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴为直角三角形； （2）解：∵在中，， ∴， 设，则，，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径为． 38．（2026·浙江台州·二模）图1是一款可折叠的晾衣架，图2是其侧面结构的几何示意图．已知晾衣架侧面结构中，晾晒杆．若晾晒杆平行于地面时，晾晒杆的端点到的距离为；当支撑杆，向上调节到时，，此时点距离地面的高度最大，求晾晒杆的端点距离地面的最大高度．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】点距离地面的最大高度约为 【分析】过点作于点，与交于点，由题意得，，，，在中，求得的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，与交于点， 由题意得，，，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点距离地面的最大高度约为． 39．（2026·浙江舟山·二模）2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计． (1)求攀登难点N的高度（即的长）； (2)求观察点B的铅直高度（结果保留根号）． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）解，即可得攀登难点N的高度； （2）过点作交于点，交于点，由矩形的判定和性质，可得，，由已知结合等腰三角形的判定可得，设米，可得米，米，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，米，， ∴（米）， 故该攀登难点N的高度为米． （2）解：如图，过点作交于点，交于点， 又， ∴四边形是矩形． ∴，， 设米，则米， ∵在中，， ∴米，米， ∵在中，， ∴， 又米，米， ∴， 解得． 故观察点B的铅直高度为米． 40．（2026·浙江绍兴·二模）大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，中国选手谷爱凌从离水平地面100米高的A点出发（AB=100米），沿俯角为30°的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，求： (1)若AD=140米，则她滑行的水平距离BC为多少米？ (2)若她滑行的两段路线AD与CD的长度比为，求路线AD的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点D作DE⊥BC于E，过A作AF⊥ED交延长线于F，在Rt△ADF中，根据三角函数求出DF，AF，在Rt△CDE中，根据三角函数求出CE，即可得到BC； （2）设CD=x，AD=4x，分别求出DF、DE，由DF+DE=EF=100，求出x即可得到AD的长． 【详解】（1）解：如图，过点D作DE⊥BC于E，过A作AF⊥ED交延长线于F， 则四边形ABEF是矩形， ∴AF=BE，EF=AB， 在Rt△ADF中，AD=140，∠FAD=30°， ∴DF=，AF=， 在Rt△CDE中，∠DCE=60°，DE=EF-DF=100-70=30， ∴CE=， ∴BC=BE+CE=（米）； （2）设CD=x，AD=4x， 在Rt△ADF中，∠FAD=30°， ∴DF=， 在Rt△CDE中，∠DCE=60°， ∴， ∵DF+DE=EF=100， 解得x=， ∴AD=4x=（米）． 【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意构造合适的直角三角形是解题的关键． 41．（2026·浙江丽水·二模）【阅读理解】 如图1，在中，，，求的值． 求解过程如下：在上取点，使得，构造出等腰（如图2）．可得的外角，设，则，， 所以． 【类比尝试】 (1)如图3，在中，，，类比上述解题过程求的值． 【拓展应用】 (2)如图4，在中，，，，，用含，的代数式表示的值，并写出推理过程． 【答案】(1) (2)，过程如下 解：如图，延长至点，使得，连接， 则， 由题意得， ， ． 【分析】（1）根据题干，在上取一点，使得，构造出等腰，即可求解； （2）延长至点，使得，则，即可求解． 【详解】（1）解：如图，在上取一点，使得，构造出等腰， 可得的外角， 设，则，， ． （2）略 42．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，，点为线段上靠近点的黄金分割点，点为线段上靠近点的黄金分割点，点为线段上靠近点的黄金分割点，点为线段上靠近点的黄金分割点，连接，，连接分别与，交于点，，则________．平行线分线段成比例定理 考点4 【答案】 【分析】由题意得，，证，得，由分别为上靠近B，C的黄金分割点，得，连接，，证四边形是平行四边形， 取为中点，则，连接， 证，由平行线分线段成比例得，即，将代入计算即可． 【详解】解：连接，， 分别为，上靠近的黄金分割点， ∴， ． ∴ 又 ， ∴，， ∴． 分别为上靠近B，C的黄金分割点， ∴， ，， ， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵交于M， ∴， ，， ∴， ∴，即， 取为中点，则． 连接则，即， 由平行线分线段成比例得： ∴． ， ． 43．（2026·浙江台州·二模）如图，在中，，点D和点E分别是和上一点．将沿折叠得，点F落在边上，若，，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】过点A作于点H，则；证明与平行，由平行线分线段成比例定理得到，设，可推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于点H， ∵， ∴； ∵， ∴与平行， ∴， 设， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 44．（2026·浙江温州·二模）如图，以的顶点为圆心，长为半径作弧交于点，经过三点的交于点，连接交于点．若，则的值是___________． 【答案】 【分析】连接并延长交于点M，根据垂径定理可得，，再由，可得，从而得到，设，则，根据勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点M， ， ，， ， ， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． 45．（2026·浙江绍兴·二模）如图，已知固定点，动点，动点（t为实数），则的最小值是（     ）相似三角形 考点5 A．24 B．26 C．28 D．以上答案都不正确 【答案】D 【分析】此题考查一定点两动点最小值问题，需要构建模型作把转化为，从而的值是，则根据两点之间，线段最短，当A、B、N三点共线时，最短，因为动点是沿运动，经过计算当A、B、N三点共线时，此时正好垂直于轴，最短，所以的最小值就是当A、B、N三点共线时． 【详解】 设定点，动点可看作由沿x轴向右平移t个单位得到，因此； 作轴于点，则垂足， 即点由沿x轴向右平移个单位得到， 由此可得， ． 在x轴上方构造（相似比为），且保证轴． 由相似三角形的性质可得：， 已知，得， 因此点为定点．且． 原式可转化为： 当A、B、N三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长度． 由可知，点纵坐标恒为6，其轨迹为平行于x轴的定直线； 根据直线外一点到直线的连线中，垂线段最短， 当时，最小，此时． 将代入坐标解析式，得，对应动点，该位置恰好满足A、B、N三点共线，且值最小． 将代入，则计算各段线段长度： ， ， 则， ， 因此，的最小值为：． 46．（2026·浙江宁波·二模）如图，在直角坐标系中，的顶点，．以点为位似中心，在第三象限内作与的相似比为的位似图形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由与以点为位似中心，相似比为，可得，由，，可得轴，则轴，延长，分别交轴于点，，则，可得，，证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵与以点为位似中心，相似比为， ∴， ∵，， ∴轴， ∴轴， 延长，分别交轴于点，，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵点在第三象限， ∴点的坐标为． 47．（2026·浙江温州·二模）如图，在平面直角坐标系中，线段与是以坐标原点为位似中心的位似图形，垂直于轴，点，在轴上．已知点的坐标为，的长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，，，由可得，代入计算即可． 【详解】解：∵，轴， ∴，， 根据题意可得，， ∴，即， 解得． 48．（2026·浙江绍兴·二模）如图，坐标系中有一等边，点，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，点横坐标为，与轴交于点，与轴交于点，记四边形面积为，面积为，，用的代数式表示________． 【答案】 【分析】过作轴于，则．过作轴于，连接.作，垂足分别为，先求出求出，进一步求出，代入即可求出． 【详解】解：∵点在上，横坐标为，故． 过作轴于，则．过作轴于，连接.作，垂足分别为， ∵， ∴， ∴， 即为中点，则． ∵为等边三角形，为中点， ∴，即． ∵， ∴． 又， ∴． 设，则． ∴， ∵， ∴， ∵． ∴； 解得：． ∴ ∵点在上， ∴ ∴ 同理可得， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵为中点， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， 解得： ∴ 49．（2026·浙江舟山·二模）如图，在中，，以为直径作⊙分别交于点D，E，过点E作交⊙于点F，连接，若，则的长为_____． 【答案】/ 【分析】连接设相交于点，证明，得到，证明，则，得到，解方程即可求出的长． 【详解】解：如图，连接设相交于点， ∵以为直径作⊙分别交于点D，E， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴半圆， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 整理得到， 解得或（不合题意，舍去） 即的长为． 50．（2026·浙江宁波·二模）如图，在中，点为上一点，将沿翻折得到，点的对应点恰好落在的中点处，延长交于点，则与四边形的面积比为________． 【答案】 【分析】设，根据折叠的性质和三角形等积变化可以求出，再利用中点模型倍长中线模型证明，由此可得，进而可求，，再结合图形求面积即可. 【详解】解：如图，延长交延长线于，连接、，设，， 由折叠可知：，，， ∴， ∵， ∴，， 又∵在中，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵在中，，， ∴，， ，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ∴, ∴与四边形的面积比为. 51．（2026·浙江嘉兴·二模）如下图，在中，平分交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接，若，则_____． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，设的垂直平分线交于点，交于点，交于点，过点作交的延长线于点，证明得出，进而同理证明， 得出，，证明，得出，即，设，则，分别表示出，代入，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，设的垂直平分线交于点，交于点，交于点，过点作交的延长线于点， ∵平分交于点 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 设，则, ∵的垂直平分线交的延长线于点， ∴， ∴ 同理可得， ∴， ∴，， ∵， ∴ 又∵，， ∴ ∴ ∴ 即 设，则 ∴， ∴ ∵ ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 52．（2026·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，点在边上，连结，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)证明：， ． 四边形为矩形， ， ． ， (2) 【分析】（1）找直角相等，根据平行线找角相等，根据两个角相等的三角形相似证明即可； （2）由勾股定理计算的长，再根据相似三角形对应边成比例计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：在矩形中，， 在中，， 由（1）得，， ∴，即， 解得：． 53．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形和矩形位似，位似中心为点O．已知点A，D，G都在轴上，且点B的坐标为．若E为的中点，则点F的坐标为______．位似 考点6 【答案】 【分析】连接，根据矩形的性质以及点的坐标得出相关线段的长度，根据线段中点的性质得出，然后利用位似图形的性质得出，即可求出坐标． 【详解】解：如图所示，连接， 根据位似图形的性质可得，点在上，点在上， ∵四边形和四边形为矩形，且点B的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴，， 由位似图形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 54．（2026·浙江丽水·二模）如图，与是位似图形，位似中心为点O，若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用位似图形的面积比等于位似比的平方进行求解即可． 【详解】解：， 与的位似比为， 与的面积比是． 55．（2026·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，线段与线段是位似图形，位似中心为点．已知点，．则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点，，且线段与线段是位似图形， ∴，即． 56．（2026·浙江绍兴·二模）如图，长方形与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出位似比，进而根据点的坐标可知点的坐标． 【详解】解：∵长方形与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，， ∴长方形与的位似比是， ∵点的坐标为， ∴点的坐标是即． 57．（2026·浙江嘉兴·二模）如下图，和是以点为位似中心的位似图形．已知，，若的面积为4，则的面积为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 【答案】D 【分析】根据位似变换的概念得到，，从而得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积等于4， ∴的面积为 ． 58．（2026·浙江舟山·二模）如图，四边形,是以点为位似中心的位似图形．已知，则四边形与四边形的周长之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似的性质得到四边形和四边形的相似比为，然后根据相似多边形的周长之比等于相似比求解． 【详解】解：四边形和是以点为位似中心的位似图形， 若， 四边形和的相似比为， 相似多边形的周长之比等于相似比， 四边形和的周长比为． 59．（2026·浙江温州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心．若的面积为4，则的面积为（     ）    A．12 B．18 C．36 D．48 【答案】C 【分析】由题意可得，，由位似图形的性质可得与相似，相似比为，再由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵与位似，原点O是位似中心， ∴与相似，相似比为， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积为． 60．（2026·浙江温州·二模）如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为（   ） A． B．7 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的性质．根据位似图形的对应边成比例，利用点和点的坐标求出位似比，进而求出的长． 【详解】解：矩形与矩形是以坐标原点为位似中心的位似图形， ， ． 点的坐标为，点的坐标为 ， ， ． ， ， ． 61．（2026·浙江台州·二模）如图，在平面直角坐标系中，和是位似图形，位似中心为点O，若点的对应点为点，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点的坐标可得到位似比为，再根据位似比即可求解． 【详解】解：与是位似图形，位似中心为点O，点的对应点为， 与的相似比为， 点的对应点的坐标为，即． 62．（2026·浙江台州·二模）如图，与是位似图形，点是位似中心，若位似比为，的周长为6，则的周长等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】根据位似图形的性质得到，且相似比为，进而根据相似三角形的性质作答即可． 【详解】解：∵与是位似图形，位似比为， ∴，且相似比为， ∴， ∵的周长为6， ∴， ∴． 63．（2026·浙江金华·二模）如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 与是位似图形， 与的位似比是． 与的相似比为， 与的面积比为， 故选：B． 64．（2026·浙江杭州·二模）如图，与是以为位似中心的位似图形，若已知，的面积为，则的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比相似比的平方，解题的关键是理解题意，灵活运用相似三角形的性质． 【详解】解：∵与是以为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为， 故选：． 65．（2026·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若，，且，则线段的长度为（　  　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的性质计算得到答案．掌握位似图形是相似图形以及相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：与是以坐标原点为位似中心的位似图形， ， ，， ，， 与的相似比为， ， ， ， 故选：B． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 图形的相似与锐角三角函数（6大题型65题） 8大考点概览 考点01正弦、余弦、正切求值 考点02特殊角的三角函数 考点03解直角三角形及其应用 考点04平行线分线段成比例定理 考点05相似三角形 考点06位似 正弦、余弦、正切求值 考点1 1．（2026·浙江温州·二模）如图，正方形由四个全等的直角三角形（、、，）和中间一个小正方形组成．若，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 2．（2026·浙江台州·二模）如图1，三脚支架直立在水平地面上，支架脚的长为，与水平地面的夹角为，其示意图如图2，若，则点A到水平地面的距离的长为______． 3．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，，，过点作，垂足为点，交于点．若点为射线上一点（不与点重合），连接，点为的中点，连接，且，则______． 4．（2026·浙江台州·二模）如图，在矩形中，，E为中点，以为半径，在矩形外作半圆，连接，并延长交半圆于点F，连接，，，则_________． 5．（2026·浙江舟山·二模）如图，在正方形中，，是上一点，连接，， (1)求的长度． (2)求． 6．（2026·浙江绍兴·二模）计算：．正弦、余弦、正切求值 考点1 7．（2026·浙江宁波·二模）按要求完成下列各题： (1)计算：． (2)解方程组：． 8．（2026·浙江舟山·二模）计算： 9．（2026·浙江金华·二模）计算：． 10．（2026·浙江台州·二模）计算：． 11．（2026·浙江台州·二模）计算：． 12．（2026·浙江舟山·二模）计算： 13．（2026·浙江宁波·二模）如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的值为（     ）解直角三角形及其应用 考点3 A． B． C． D． 14．（2026·浙江温州·二模）如图，在中，，，过点作，交的平分线于点，交于点．若点是的中点，连接，延长交于点，则的值是（     ） A． B． C． D． 15．（2026·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，为线段上一点，且，连接，将绕点逆时针旋转交轴于点，若，则点坐标为（     ） A． B． C． D． 16．（2026·浙江温州·二模）汽车智能随动大灯能实时根据路况转动．如图，一汽车转弯时，车灯照明的中心线会主动转至，转动的角度，若的长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 17．（2026·浙江温州·二模）小文同学为“伯温动漫节”设计了一道蓝色闪电几何纹样，如图，小文将矩形沿水平方向等分为4个完全相同的小矩形，点，，，分别为，上的四等分点，连接，分别交于，，若，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 18．（2026·浙江温州·二模）某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电．如图，长为2米的光伏板斜靠在竖直于地面的支架上，倾斜角为，为提高发电效率，将底端沿方向移动到点，顶端向下滑动到点，此时倾斜角为，则顶端下降的垂直高度为（） A．米 B．米 C．米 D．米 19．（2026·浙江台州·二模）如图，已知，点在上，，以为圆心，长为半径画弧交于点，则的长为（     ） A． B．2 C． D．4 20．（2026·浙江金华·二模）图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（   ） A． B． C． D． 21．（2026·浙江温州·二模）一辆卡车沿倾斜角为的斜坡向上行驶，已知，当行驶时，高度约上升了（   ） A． B． C． D． 22．（2026·浙江宁波·二模）如图是某机器人举起手帕的示意图，点为手帕的最高点，垂直水平地面，且，，在同一直线上，其中机械手臂，手臂与身体连接处到大腿上方，大腿和小腿长度一样都是，即，此时手臂与身体所成角度，身体与大腿所成角度的正切值为，则此时手帕最高点到水平地面的距离是_______（结果保留根号）．      23．（2026·浙江绍兴·二模）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，停靠时汽车靠墙一侧与墙平行，小汽车车门宽为1.2米．当车门打开角度至少为时，人方可顺利下车．为了车门不碰到墙且能顺利下车，车可以停靠离墙最近的距离是________米．（结果保留一位小数，参考数据：，，） 24．（2026·浙江温州·二模）如图，跨江大桥的主塔顶端为点A，塔底正下方江面处为点B，江面上的点C处有一艘过往船只．测得A处到C处的距离为500米，从点A观测点C的俯角为，则B，C之间的距离为________米． 25．（2026·浙江台州·二模）如图，一卫星运行到地球表面P点的正上方A点时，可观测到地球表面一个最远的点Q．已知地球半径约为6400 km，在中，测得，则卫星到地面高度约为_________km． 26．（2026·浙江台州·二模）如图①，是我国传统中式建筑中较为常见的支摘窗，具有古朴的外观和实用的功能，窗户的上窗扇可绕窗顶的转轴向上推开，形成一个倾斜的角度，当关闭窗户时窗扇的边与窗户重合，．如图②，当窗户推开角度（），则支撑窗扇的杆子长为_________． 27．（2026·浙江金华·二模）如图，小明用七巧板拼成小狗图案（如图），则的值是___________． 28．（2026·浙江金华·二模）如图，四边形是以为对称轴的轴对称图形，．点在上，，将沿折叠得到，则点到的距离为___________． 29．（2026·浙江宁波·二模）某校数学创新小组使用圭表测量正午太阳高度角，圭表由铅垂的表（高2.0米）和水平的圭组成．冬至日正午，测得太阳光线与圭的夹角，则冬至日正午表落在圭面的影长为____________米．（精确到0.1米，参考数据：） 30．（2026·浙江绍兴·二模）已知：如图，点，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)若，，求的值． 31．（2026·浙江温州·二模）如图1和图2，将一个直角三角形形状的楔子（）从木桩的底端沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动，其中． (1)如果楔子从木桩①的底端点打入，并沿水平方向前进了，那么木桩①上升了多少厘米？ (2)已知木桩②和①完全相同，水平宽度为，两个木桩在同一水平上．施工时要求楔子沿水平方向先后从木桩①和②的底端点和点打入木桩底下，木桩①比木桩②多上升．求两个木桩之间的施工预留水平间隙（即两桩在楔子上的水平间距）． 32．（2026·浙江绍兴·二模）如图1，在中，，，（），过点作斜边的高，垂足为，设．如图2，第一象限被直线和直线分成四个区域．    (1)求关于的函数解析式． (2)证明：且，观察并判断函数图象上的点在图2第一象限的哪个区域． (3)请根据要求，探究题（1）中求得的函数在第一象限内的图象与性质． 列表：（备注：无理数四舍五入到0.001） … 0.2 0.5 0.8 1 1.2 2 3 4 … … 0.2 0.5 0.8 1 1.2 1.732 2 3 3.873 4 … … … … 0.196 0.447 0.625 0.707 0.768 0.866 0.894 0.949 0.968 0.970 … ①描点：在平面直角坐标系中（图3），先用铅笔描点、连线，确定无误后再用黑色水笔描图． ②写出性质：观察图象（），类比已学函数的研究方法，另外写出一条不同于性质1的性质． 性质1：该函数图象在第一象限． 性质2：___________________． (4)在上取靠近点的四分点，以点为圆心，长为半径作弧，且与交于点．已知当约为时，取得最大值．据此，求关于的方程有两个不同的正数解时的取值范围（端点值若为无理数则四舍五入到0.001）． 33．（2026·浙江温州·二模）为半圆的直径，半径交弦于点，已知． (1)如图1，连接， ①求证：； ②若，，求的长． (2)如图2，连接，，若，，求半圆的半径． 34．（2026·浙江宁波·二模）如图，四边形内接于，，的延长线相交于点，，相交于点． (1)求证：． (2)已知，，且． ①求证：； ②当时，求的周长． 35．（2026·浙江嘉兴·二模）生态公园是以生态学和生态文化为核心理念，融合传统城市公园与主题公园特征的新型城市公园形态．如图，某生态公园有，，三个停车场，米，，． (1)求点到的距离． (2)求的长． （，，，结果精确到0.1） 36．（2026·浙江宁波·二模）如图，在中，，，． (1)求的长． (2)求的面积（结果保留根号）． 37．（2026·浙江温州·二模）在中，，以边为直径作半圆交边于点，过点作的切线交于点，交的延长线于点． (1)求证：为直角三角形． (2)若，且，求的半径． 38．（2026·浙江台州·二模）图1是一款可折叠的晾衣架，图2是其侧面结构的几何示意图．已知晾衣架侧面结构中，晾晒杆．若晾晒杆平行于地面时，晾晒杆的端点到的距离为；当支撑杆，向上调节到时，，此时点距离地面的高度最大，求晾晒杆的端点距离地面的最大高度．（结果精确到．参考数据：，，） 39．（2026·浙江舟山·二模）2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计． (1)求攀登难点N的高度（即的长）； (2)求观察点B的铅直高度（结果保留根号）． 40．（2026·浙江绍兴·二模）大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，中国选手谷爱凌从离水平地面100米高的A点出发（AB=100米），沿俯角为30°的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，求： (1)若AD=140米，则她滑行的水平距离BC为多少米？ (2)若她滑行的两段路线AD与CD的长度比为，求路线AD的长． 41．（2026·浙江丽水·二模）【阅读理解】 如图1，在中，，，求的值． 求解过程如下：在上取点，使得，构造出等腰（如图2）．可得的外角，设，则，， 所以． 【类比尝试】 (1)如图3，在中，，，类比上述解题过程求的值． 【拓展应用】 (2)如图4，在中，，，，，用含，的代数式表示的值，并写出推理过程． 42．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在中，，点为线段上靠近点的黄金分割点，点为线段上靠近点的黄金分割点，点为线段上靠近点的黄金分割点，点为线段上靠近点的黄金分割点，连接，，连接分别与，交于点，，则________．平行线分线段成比例定理 考点4 43．（2026·浙江台州·二模）如图，在中，，点D和点E分别是和上一点．将沿折叠得，点F落在边上，若，，则的值为_________． 44．（2026·浙江温州·二模）如图，以的顶点为圆心，长为半径作弧交于点，经过三点的交于点，连接交于点．若，则的值是___________． 45．（2026·浙江绍兴·二模）如图，已知固定点，动点，动点（t为实数），则的最小值是（     ）相似三角形 考点5 A．24 B．26 C．28 D．以上答案都不正确 46．（2026·浙江宁波·二模）如图，在直角坐标系中，的顶点，．以点为位似中心，在第三象限内作与的相似比为的位似图形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 47．（2026·浙江温州·二模）如图，在平面直角坐标系中，线段与是以坐标原点为位似中心的位似图形，垂直于轴，点，在轴上．已知点的坐标为，的长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 48．（2026·浙江绍兴·二模）如图，坐标系中有一等边，点，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，点横坐标为，与轴交于点，与轴交于点，记四边形面积为，面积为，，用的代数式表示________． 49．（2026·浙江舟山·二模）如图，在中，，以为直径作⊙分别交于点D，E，过点E作交⊙于点F，连接，若，则的长为_____． 50．（2026·浙江宁波·二模）如图，在中，点为上一点，将沿翻折得到，点的对应点恰好落在的中点处，延长交于点，则与四边形的面积比为________． 51．（2026·浙江嘉兴·二模）如下图，在中，平分交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接，若，则_____． 52．（2026·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，点在边上，连结，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 53．（2026·浙江绍兴·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形和矩形位似，位似中心为点O．已知点A，D，G都在轴上，且点B的坐标为．若E为的中点，则点F的坐标为______．位似 考点6 54．（2026·浙江丽水·二模）如图，与是位似图形，位似中心为点O，若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 55．（2026·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，线段与线段是位似图形，位似中心为点．已知点，．则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 56．（2026·浙江绍兴·二模）如图，长方形与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 57．（2026·浙江嘉兴·二模）如下图，和是以点为位似中心的位似图形．已知，，若的面积为4，则的面积为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 58．（2026·浙江舟山·二模）如图，四边形,是以点为位似中心的位似图形．已知，则四边形与四边形的周长之比是（     ） A． B． C． D． 59．（2026·浙江温州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心．若的面积为4，则的面积为（     ）    A．12 B．18 C．36 D．48 60．（2026·浙江温州·二模）如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为（   ） A． B．7 C． D．8 61．（2026·浙江台州·二模）如图，在平面直角坐标系中，和是位似图形，位似中心为点O，若点的对应点为点，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 62．（2026·浙江台州·二模）如图，与是位似图形，点是位似中心，若位似比为，的周长为6，则的周长等于（    ） A．6 B．8 C．9 D．12 63．（2026·浙江金华·二模）如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 64．（2026·浙江杭州·二模）如图，与是以为位似中心的位似图形，若已知，的面积为，则的面积是（　　） A． B． C． D． 65．（2026·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若，，且，则线段的长度为（　  　）． A． B． C． D． / 学科网（北京）股份有限公司 $