专题4 第4讲 特殊三角形-【百川育人】2026版中考必刷数学真题分类

第四讲 特殊三角形 考点等腰三角形的判定与计算 CF=DC,连接EF.求证：EF⊥AB, (3)在(2)的条件下，作∠ACE的平分线，交AF 1.(2025·四川凉山，11题，4分)如图，AB=AC, 于点H,求证：AH=FH. AE=AD,点E在BD上，∠EAD=∠BAC, ∠BDC=56°，则∠ABC的度数为( A.56° B.60° C.62° D.64° 第1题图 第2题图 2.(2025·安徽，6题，4分)如图，在△ABC中，∠A= 120°，AB=AC,边AC的中点为D,边BC上的点E 满足ED⊥AC.若DE=√5，则AC的长是( ) 7.(2024·湖北，19题，9分)如图，BD是等边△ABC A.43 B.6 C.23 D.3 的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC 3.(2025·江苏扬州，6题，3分)在如图的房屋人字 的延长线于E,连接DE.求证：CD=CE. 梁架中，AB=AC,点D在BC上，下列条件不能 说明AD⊥BC的是( ) A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C C.BD-CD D.AD平分∠BAC A B 第3题图 第4题图 4.(2024·重庆B,15题，4分)如图，在△ABC中， AB=AC,∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点 D.若BC=2,则AD的长度为 考点公等边三角形的判定与计算 5.(2024·四川内江，23题，6分) 8.(2025·甘肃兰州，14题，3分)如图，在菱形ABCD 如图，在△ABC中，∠DCE 中，AE⊥BC,垂足为E,交BD于点F,BE=CE. =40°，AE=AC,BC=BD,则 若AB=43,则AF= ∠ACB的度数为 6.(2024·山东，22题，10分)如图，∠A=90°，AB AC,BD⊥AB,BC=AB+BD. (1)写出AB与BD的数量关系； E (2)延长BC到E,使CE=BC,延长DC到F,使 第8题图 第9题图 9.(2025·甘肃，14题，3分)如图，把平行四边形纸 A.2 B.6-3/2 片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B'处， C.2/2 D.6/2-6 B'C与AD相交于点E,此时△CDE恰为等边三 14.(2025·天津，11题，3分)如图，B 角形，若AB=6cm,则AD= cm 在△ABC中，∠ACB=90°，将 考点3直角三角形的判定与计算 △ABC绕点A顺时针旋转得到 10.(2024·陕西，5题，3分)如图，在△ABC中，∠BAC △AB'C',点B,C的对应点分别 =90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连 为B',C,BC'的延长线与边 接AE,则图中的直角三角形共有() BC相交于点D,连接CC.若AC=4,CD=3,则 线段CC的长为( ) A号 B号 C.4 n 15.(2024·吉林，14题，3分)如图，在Rt△ABC中， A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ∠C=90°，BC<AC.点D,E分别在边AB,BC 11.(2025·山东东营，8题，3分)如图，小丽在公园 上，连接DE,将△BDE沿DE折叠，点B的对 里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂 应点为点B'.若点B刚好落在边AC上， 直，摆绳长2m,向前荡起到最高点B处时距地 ∠CBE=30°，CE=3,则BC的长为 面高度1.3m,摆动水平距离BD为1.6m,然后 A 向后摆到最高点C处.若前后摆动过程中绳始 终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时 距离地面的高度是( 第15题图 第16题图 16.(2024·内蒙古，16题，3分)如图，等边三角形 ABC的边长为6cm,动点P从点A出发以 2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P A.0.9m B.1.3mC.1.6m D.2 m 12.(2025·辽宁，7题，3分)如图，在矩形ABCD 作PQ⊥AB,交边AC于点Q,以PQ为边作等 中，点E在边AD上，BE=BC,连接CE,若AB= 边三角形PQD,使点A,D在PQ异侧，当点D 3,AE=4,则CE的长为() 落在BC边上时，点P需移动 S. A.1 B.5 C.22 D./10 考点本等腰直角三角形的判定与计算 D 17.(2024·山东，15题，3分)如图，在正方形ABCD 中，对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一 点，CE=7,F为DE的中点，若△CEF的周长为 B 32,则OF的长为 第12题图 第13题图 13.(2025·河南，9题，3分)如图，在菱形ABCD 中，∠B=45°，AB=6,点E在边BC上，连接 AE,将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延 长线上的点F处，则CF的长为() 42∴直线AD为线段BC的垂直平分线， ..BA=CA, 由(1)可知：△BDE≌△CDA, ∴.BE=CA, ∴.BA=BE 考点3全等三角形的应用 9.(1)证明：.四边形ABCD是矩形， ..AB=CD,∠B=∠C=90°， ∠BAE=∠CDF, ∴.△ABE≌△DCF(ASA); (2)解：，△ABE≌△DCF, .AE=DF=13, .∠B=90°，AB=12, ∴.BE=√AE2-AB2=5. 10.(1)证明：在△ABC和△ADE中， BC=DE, ∠B=∠D, AB=AD. ∴.△ABC≌△ADE(SAS). (2)解：由(1)得△ABC≌△ADE, .AC=AE,∠BAC=∠DAE=60°， ∴.∠AEC=∠ACE, :∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180°-∠DAE=120°， .∠ACE=60°， ∴.∠ACE的度数是60° 第四讲特殊三角形 考点1等腰三角形的判定与计算 1.C2.B3.B4.2 5.100°【解析】.AC=AE,BC=BD, ∴.设∠AEC=∠ACE=x,∠BDC=∠BCD=y, .∠EDC+∠DEC+∠DCE=180°， ∴.x+y+40°=180°， ..x+y=140° :∠ACB=x+y-40°， ∴.∠ACB=140°-40°=100° 6.(1)(1)解：.∠A=90°，AB=AC,.BC=√2AB, BC=AB+BD,.√2AB=AB+BD,即（√2-1）AB=BD: (2)证明：如图所示， .∠A=90°，AB=AC,.∠ABC=45°， .BD⊥AB,.∠DBC=45°， .CE=BC,∠1=∠2，CF=DC,△CBD≌△CEF, ∴∠E=∠DBC=45°，EF∥BD,AB⊥EF; (3)证明：如图所示，延长EF、CH交于点G, ,EF⊥AB,AC⊥AB,.GE∥AC,∠CGE=∠ACG, ,CH是∠ACE的角平分线， ∴.∠ACG=∠ECG,∠CGE=∠ECG, ∴.EG=EC, △CBD≌△CEF,∴.EF=BD,CE=CB,EG=CB, 又，BC=AB+BD,∴.EG=AB+BD=AC+EF, 即FG+EF=AC+EF,AC=FG,又AC∥FG 则∠HAC=∠HFG, ∠HAC=∠HFG 在△AHC与△FHG中，（∠AHC=∠FHG, AC=FG .△AHC≌△FHG(AAS),AH=HF 7.证明：，BD为等边△ABC的中线， A ∴.BD⊥AC,∠1=60°，∠3=30°， .BD=DE,∴.∠E=∠3=30°， :∠2+∠E=∠1=60°， .∠E=∠2=30°，CD=CE, 考点2等边三角形的判定与计算 8.4【解析】连接AC,CF, 'AE⊥BC,BE=CE, .AE垂直平分BC, ..AB=AC, 菱形ABCD, ∴.BC=AB=43, .△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=60°， ∴.∠BAE=∠FBC=30°， :BE=2AB=合×43=23， ÷AE=5BE=3X2W3=6,EF=BE-25=2, ∴.AF=AE-EF=6-2=4. 故答案为：4. 9.12【解析】，△CDE为等边三角形， .∠D=∠DCE=∠CED=60°， 折叠， ∴.∠BCA=∠ECA, 'ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD=6,AD∥BC, ∴.∠EAC=∠BCA, ∴.∠EAC=∠ECA, '∠EAC+∠ECA=∠DEC=60°， ∴.∠EAC=∠ECA=30°， .∠DCA=90°， ∴.AD=2CD=12cm 考点3直角三角形的判定与计算 15 10.C11.A12.D 13.D【解析】由折叠的性质可知， ∠AEB=∠AEF=90°，BE=EF, 在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=6, .∠BAE=∠B=45°，BC=AB=6, ..AE=BE, ∴，AB=√/AE2+BE2=√2BE=6, ∴.BE=32, ∴.BF=2BE=62, .CF=BF-BC=62-6.故选D. 14.D【解析】如图，连接AD,交CC于点O, 由旋转的性质得：AC=AC=4, ∠ACB'=∠ACB=90°， ∴.∠ACD=90°， 在Rt△ACD和Rt△ACD中， AD=AD AC-AC' ∴.Rt△ACD≌Rt△ACD(HL), ∴.CD=CD=3, ∴.AD垂直平分CC', ∴.CC=2OC,AD⊥CC, .∠ACB=90°，AC=4,CD=3, ∴.AD=/AC2+CD2=5, 又：Sam=2AD:0C=2AC.CD, 0c=Ac0-48-号， AD 5 cc=2x号-4 15.9 16.1【解析设点P的运动时间为x(s),由题意得AP=2x,BP =AB-AP=6-2x, :PQ⊥AB,∴∠QPA=90°，△PQD和△ABC是等边三角形， ∴.∠A=∠B=∠DPQ=60°，PQ=PD,∠BPD=30°， ∠PDB=90°，PD⊥BC, ∴.△APQ≌△BDP(AAS),BD=AP=2x .BP=2BD,∴.6-2x=4x,解得x=1. 考点4等腰直角三角形的判定与计算 17.号【解折：CE=7,△CF的网长为32， ∴.CF+EF=32-7=25. .F为DE的中点，∴DF=EF ∴∠BCD=90,CF=2DE, EF-CF-DE-12.5,DE-2EF-25, CD=√/DE-CE2=24. 四边形ABCD是正方形，∴.BC=CD=24,O为BD的中点， OF是△BDE的中位线， 0F=2(Bc-cB)=号x×24-7)-号， 第五讲锐角三角函数及其应用 考点1锐角三角函数的概念及计算 1.D2.B3.B 4.7.45.490 考点2直角三角形边角关系的相关计算 6.12037.153m8.1.8 9.解：任务一：如图，过A作AE⊥CD于E, 结合题意可得：四边形AEDB为矩形， ∠AEC=90°， .BD=28m,CD=21m, ∴.AE=BD=28m,AB=DE .∠CAE=a=35°， .∴.CE=AE·tana≈28×0.7=19.6， .∴.AB=DE=21-19.6=1.4m; 任务二：如图，过B作AC的平行线，过C作 BD的平行线，两线交于点Q,BQ,AE交于点 T,过Q作QK⊥BD于K, .∠QBK=∠ATB=∠CAE=35°， 四边形CDKQ为矩形， ∴.CD=QK=21, 8-}30m QK ..BK= ∴.DK=30-28=2m; .该活动中心移动了2米。 考点3锐角三角函数的实际应用 类型一母子型 10.A11.63+6 12.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D, 30° 了450 A B 依题意∠CAD=30°，∠CBD=459 设CD=x, 在Rt△BCD中，∠CBD=45° ..BD=CD tan 456=x, .AB=30 ∴.AD=AB+BD=30+x, 在Rt△ACD中，tan∠CAD=CP LAD 9平丽 解得：x=153+15 答：无人机离湖面的高度为(153+15)米。 13.解：如图，延长DF与AB相交于点G, G..318522D 根据题意，可得DG∥CA, 有∠GDB=22°，∠GFB=31°，∠DGB=90°，AG=EF=CD= 1.7,DF=CE=32, 在Rt△FGB中，tan∠GFB=G3, GE' ∴.GF= GB tan 313, 在Rt△DGB中，tan∠GDB GB GD