专题3 第9讲 二次函数的实际应用-【百川育人】2026版中考必刷数学真题分类

第九讲 二次函数的实际应用 考点销售利润问题 2.(2024·山东，23题，12分)小莹妈妈的花卉超市 以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了 1.(2025·四川达州，22题，8分)为弘扬达州地方文 确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A,B,C,D,E 化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多 五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量 款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是 情况，记录如下： 30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调 查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件. 售价（元/盆） 日销售量（盆） (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的 20 50 数量是 件； 心 30 30 (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多 18 54 少元，文旅公司每天的利润是630元； D 22 46 (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润 E 26 38 为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？ 数据整理 最大利润是多少？ (1)请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填 写在下表中： 售价（元/盆） 日销售量（盆） 模型建立 (2)分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间 的关系； 拓广应用 (3)根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中， ①要想每天获得400元的利润，应如何定价？ ②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？ 31 3.(2025·四川内江，26题，12分)2025年春节期 考点公抛物线型问题 间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了 4.(2024·山东，15题，3分)要修一个圆形喷水池， 中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪 在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个 吒”文旅纪念品.已知购进A款200个，B款300 喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水 个，需花费14000元；购进A款100个，B款200 平距离为1m处达到最高，高度为3m,水柱落地 个，需花费8000元 处离池中心3m,水管长度应为 (1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为 5.(2025·新疆，21题，10分)天山胜利隧道预计于 多少元？ 2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公 (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超 路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发 过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品 展.如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物 共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ 线的一部分.若隧道底部宽12米，高8米，按照如 (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价 图所示的方式建立平面直角坐标系， 60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量 将减少5个.设每个A款纪念品售价a(60≤a≤ 100)元，W表示该商家销售A款纪念品的利润 (单位：元)，求W关于a的函数表达式，并求出 甲 W的最大值. 12 (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖 直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车 在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两 车至少间隔2米（中心线宽度不计）.若宽3米，高 3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说 明理由。 32 6.(2025·广东，18题，7分)如图，某跨海钢箱梁悬 考点3与一次函数综合的问题 索桥的主跨长1.7km,主塔高0.27km,主缆可 7.(2024·江西，22题，9分)如图，一小球从斜坡O 视为抛物线，主缆垂度0.1785km,主缆最低处距 点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次 离桥面0.0015km,桥面距离海平面约0.09km.请 函数y=ax2+bx(a<0)刻画，斜坡可以用一次函 在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该 抛物线的表达式 数y=子x刻画，小球飞行的水平距离x(米)与小 球飞行的高度y(米)的变化规律如表： 0 1 2 4 5 6 7 0 7 6 15 15 y 8 2 2 2 n 2 -1.7km 主塔 主塔 (1)①m= ,n= 主缆 不 0.1785k 桥面 ②小球的落点是A,求点A的坐标 0.00L5k0.27km 0.09k 海平面 (2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关 入 系：y=-5t+vt. ①小球飞行的最大高度为 米； ②求v的值. y/米 小球 斜坡 A 新米 33 8.(2024·湖北黄冈，22题，9分)加强劳动教育，落 9.(2024·四川遂宁，20题，9分)某酒店有A、B两 实五育并举.孝礼中学在当地政府的支持下，建成 种客房，其中A种24间，B种20间.若全部入住， 了一处劳动实践基地.2023年计划将其中 一天营业额为7200元；若A、B两种客房均有10 1000m2的土地全部种植甲、乙两种蔬菜.经调 间入住，一天营业额为3200元 查发现：甲种蔬菜种植成本y(单位：元/m)与其 (1)求A、B两种客房每间定价分别是多少元？ 种植面积x(单位：m)的函数关系如图所示，其中 (2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价， 200≤x≤700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m. 房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10 (1)当x= m2时，y=35元/m2; 元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价 (2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如 为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最 何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ 大营业额为多少元？ (3)学校计划今后每年在这1000m2土地上，均 按(2)中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成 本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降 10%,乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%,当a 为何值时，2025年的总种植成本为28920元？ ↑y/元/m) 40 20 0 200 600700x/m2) 34b=-4 ∴直线BC的解析式为y=-专x-4,E(m,-专m-4, PE=-(告m2+8m-4）+(-号m-4)=-号m-4m, 又CE=-m,且PE=CE, 一专m-4m=-号m,解得，m=一m=0(合去) CE=一号×（一子）-瓷四边形PBCE的周长=4CE 当点P在第二象限时，如图， 同理可得：3m+4m=一 4 3n, 解得m=-子m=0(合去)CE=-号×(-平）-铝 四边形PBCE的周长=4CE=4×贺-， 综上，四边形PBCE的周长为要或 第九讲二次函数的实际应用 考点1销售利润问题 1.解：(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是 (60+10x)件； 故答案为：(60+10x); (2)设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：(40一30一x)(60+10x)=630, 整理可得：x2一4x十3=0， 解得：x1=1,x2=3, 由于要让利于游客，x=1舍去， ∴.该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. (3)设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则W=(40-30-x)(60+10x) =(10-x)(60+10x) =-10x2+40x+600 =-10(x-2)2+640 -10<0, .当x=2时，W取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元. 2.解：(1)按照售价从低到高排列列出表格如下： 售价（元/盆） 18 20 22 26 30 日销售量（盆） 54 50 46 38 30 (2)由表格可知，售价每涨价2元，日销售量少卖4盆； (3)①设：定价应为x元，由题意，得： (x-15)54∠x182×4]=400, 2 整理得：-2x2十120x-1750=0,解得：x1=25,x2=35 '.定价为每盆25元或每盆35元时，每天获得400元的利润； ②设每天的利润为w,由题意，得： w=x-15[54-≥18×4]-2z2+120x-1360. .w=-2x2+120.x-1350=-2(x-30)2+450, :-2<0,.当x=30时，w有最大值为450元. 3.解：(1)设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念 品每个进价为y元， (200x+300y=14000 由题意得， 00.x+200y=8000 解得=0 y=20 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每 个进价为20元； (2)设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品(400一 m)个， 由题意得，40(400一m)+20m≤12000， 解得m≥200， ∴.m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； (3)由题意得，W=(a-40)[200-5(a-60)] =(a-40)(200-5a+300) =(a-40)(500-5a) =500a-20000-5a2+200a =-5(a-70)2+4500, .'-5<0,60≤a≤100 ∴.当a一70=0，即a=70时，W最大，最大值为4500. 考点2抛物线型问题 4.2.25m【解析】竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的水平面为 x轴建立直角坐标系.则设地物线的解析式为：y=a(x一1)2十3 (0≤x≤3)，代入(3,0)求得：a=一孕.将a值代入得到抛物线 的解析式为yz1)2+3(0≤x≤3)，令工=0，则y 号=2.25，故水管长度为2.25m 5.(1)解：由题意得，顶点为（号，8，即(6,8）， 设抛物线的解析式为：y=a(x-6)2+8(a≠0) 代入点(12,0)得a(12-6)2+8=0, 2 解得：a=一9’ “抛物线解折式为y=一号(x-6P十8(0≤≤12： (2)解：能安全通过，理由如下： 如图， -12 122 由题意得：xa=2一2 -3=2, 将x=2代入y=-号（红-62+8， 则y=-号×2-6+8= 9, 9-35=将>0.5 能安全通过 6.解：建立平面直角坐标系，如图所示： -1.7km 主塔 主塔 主缆 0.1785km 桥面 0.001 5 km 0.27km 0.09km 海平面 则抛物线顶点坐标为(0,0.0015)，A(,7, ,0.27-0.09),即A 2 (0.85,0.18), 设该抛物线的表达式为y=ax2十0.0015， 将A(0.85,0.18)代入y=ax2+0.0015得0.18=0.852a+ 0.0015, 解得a一， :该抛物线的表达式为y-十0.015， 考点3与一次函数综合的问题 7.解：(1)①根据小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y (米)的变化规律表可知，抛物线顶点坐标为(4,8) b 1 =4,解得a=一乞， 16a+4b=8b=4. 二次函数解析式为y=一名女+红， 当=受时，产+红=号， 1 解得x=3或x=5(舍去)， ∴.m=3, 当x=6时，m=y=-2×62+4X6=6, 故答案为：3,6. 2+4x 5 V- 2 x=2 ②联立得： 解得 x=0, 或 1 y=0, 15 y=4x y=8 “点A的坐标是（受，安）》】 (2)①由题干可知小球飞行最大高度为8米.故答案为：8. @y-5r+u=-51-02+6 201 则6=8，解得=4V10(负值合去). 8.解：(1)当200≤x≤600时，设甲种蔬菜种植成本y(单位：元/ m)与其种植面积x(单位：m)的函数关系式为y=kx十b,把点 (200,20),(600,40)代入得， 200k+b=20 .1 k20 1606+6=40,解 6=10 当200≤x≤600时，y=20x+10, 当600<x≤700时，y=40, ·当y=35时，35=20x+10,解得x=500, 即当x=500m2时，y=35元/m2; (2)当200≤x≤600时， w=(0x+10）+50(100-)=02-40x+5000= .1 1 (x-400)2+42000, ∴.当x=400时，W有最小值，最小值为42000， 当600<x<700时，W=40x十50(1000一x)=-10x+50000, 一10<0，W随着x的增大而减小， .当x=700时，W有最小值， 最小值为W=一10×700+50000=43000， 综上可知，当甲种蔬菜的种植面积为400，乙种蔬菜的种植 面积为600m2时，W最小； (3)由题意可得40(20×400+10）×(1-10%)2+600×50(1- a%)2=28920, 解得a1=20,a2=180(不合题意，舍去)， .当a为20时，2025年的总种植成本为28920元. 9.解：(1)设A种客房每间定价是x元，B种客房每间定价是y 元， ÷0 答：A、B两种客房每间定价分别是200元、120元. (2)由题意，设A种客房每间定价为m元， ÷w=m(24-m80)=-bm-202+4840. 10 .当m=220时，W取最大值，最大值为4840. 答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额 W最大，最大营业额为4840元. 专题四三角形 第一讲线段、角、相交线与平行线 考点1相交线与角 1.A2.C3.C 考点2平行线性质的相关计算 4.C5.C6.B7.A8.B9.A10.A11.C 12.13013.43 14.5515.10516.2 17.(1)证明：DE∥BC, ∴∠C=∠AED, ,∠EDF=∠C, ∴∠AED=∠EDF, .DF∥AC, ∴.∠BDF=∠A: (2)解：∠A=45°， .∠BDF=45°， .DF平分∠BDE, .∠BDE=2∠BDF=90°， .DE∥BC, ∴.∠B=90°，∠C=45°， ∴.△ABC是等腰直角三角形 第二讲三角形的基本概念及性质 考点1三角形的三边关系 1.B2.B 考点2三角形内角和外角的关系 13 3.C4.C