专题3 第8讲 二次函数综合题-【百川育人】2026版中考必刷数学真题分类

(Ⅱ)如图4，当m>0,且CD过顶点（一1，一3）时， :+3 xc+1 =-2,即yc+3=-2xc-2 ∴.m2+2m-2+3=10m-2. 整理得m2一8m十3=0. ∴.m=4+√13或m=4-√13， .∴.0<m≤4-√/13 综上，m≤-3或-1≤m<0或0<m≤4-√13. 8.解：(1)由题意得：M=x(x-2)=x2-2x; 而y2过(2,0)、(4,0)， 则y2=(x-2)(x-4)=x2-6x十8； (2)设点P(m,m-2m)、点A(2,0), 设直线PA的表达式为：y=k(x一2)， 将点P的坐标代人上式，得m2一2m=k(m一2)， 解得k=m, 则直线AP的表达式为：y=m(x一2). 联立上式和抛物线y2的表达式得：x2一6x十8=m(x一2)， 解得xQ=4十m, 则xQ-xp=4十m一m=4; (3)由(1)知，y1=x(x-2)=x2-2x, 联立y1、y3得：x2-2x=x2-8x十t, 解得x=合 则点c(行元-) 由点C,M的坐标得，直线CM的表达式为：y= (m+6t-2)z-m)+m-2m, 联立上式和的表达式得：x-8x十=(m+g一2x-m) +m2-2m, 整理得r-(6+m+日z十(1+日m=0, 则十zw=6十n十合，即合1十n=6十m十名，即一m=6, 即|m一n=6为定值. 第八讲二次函数综合题 考点1二次函数与函数、图形结合 1.解：(1)：抛物线y=x2+bx十c的顶点坐标为(3，-4)， ∴y=(x-3)2-4=x2-6x+5, ∴.b=-6,c=5; (2)存在，理由如下： 对于抛物线y=x2-6x十5， 当y=0,x2-6x+5=0, 解得：x1=1,x2=5, 当x=0,y=5, .OB=OC=5,AB=5-1=4, .∠COB=90°， .∴.∠OBC=∠OCB=45°， 过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线 上截取BD=BA=4,连接AD与BC交于 点E,则D(5,4), ∴.∠DBC=90°∠OBC=45°=∠OBC, ..BC LAD,ED=EA, 过点D作BC平行线与抛物线交点即为点P, SAABCXAE,SAN-BCX DE, .S△CA=SARCP, 设直线BC:y=mx十n, 则/5m+n=0 n=5 /m=-1 m=5 .直线BC:y=一x+5, .BC∥PD, .设直线PD:y=-x十q, 代入D(5,4)得：-5十q=4, 解得：q=9, .直线PD:y=一x十9， 与抛物线解析联立得.y=一x+9 y=x2-6x+5' 整理得：x2一5x一4=0 解得x=5+,④①或工=5-√红 2 2” ∴点P的横坐标为5+石或5石 2 2.解：(1)设抛物线的函数表达式为y=ax(x一l0)(a≠0). 当t=2时，BC=4,.点C的坐标为(2，一4). 将点C坐标代入表达式，得2a(2-10)=一4，解得a=子 :抛物线的西数表达式为y=女-号 (2)由抛物线的对称性得：AE=OB=t,.AB=10一2t. 当x=:时，BC=-P+名.矩形ABCD的周长为2(AB+ B0=2[0-2)+(-+号)]=-合e++20= 1 2-10+号 2. -2<0 “当=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为号， (3)连接AC,BD相交于点P,连接OC,取OC的中点Q,连接PQ. ,直线GH平分矩形ABCD的面积，.直线GH过点P. 由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，.PQ=CH, :四边形ABCD是矩形，P是AC的中点，PQ=2OA, 当t=2时，点A的坐标为(8,0)， “OG=PQ=号OA=4,抛物线平移的距离是4. 2 3.解：1)将点D的坐标代人抛物线表达式得：-1=a+号-4， 解得a=3, 5 则抛物线的表达式为y=号+亭：一41 (2)由题意得：C:y=号（x-12+号(x-1)-4十3=号(x 是- 153 =-1, 故点D在抛物线C2上： (3)存在，理由： 当∠BDP为直角时， 如图1，过点D作DE⊥BD且DE=DB,则△BDE为等腰直角 三角形，由y=号2+号x-4,求得B点坐标为(-2,0)， C 图1 图2 ,∠BDG+∠EDH=90°，∠EDH+∠DEH=90°， ∴∠BDG=∠DEH, ,∠DGB=∠EHD=90°， .△DGB≌△EHD(AAS). 则DH=BG=1,EH=GD=1十2=3， 则点E(2,2) 当x=2时y=号x-号-=号×2-号)-=2 153 15 即点E在抛物线C2上， 即点P即为点E(2,2); 当∠DBP为直角时，如图2 同理可得：△BGE≌△DHB(AAS), 则DH=3=BG,BH=1=GE, 则点E(-1,3), 当=-1时y=号-号- =5×(-1-3)2-19 15-3 5 15 即点E在抛物线C2上， 即点P即为点E(-1,3); 当∠BPD为直角时，如图3， y 图3 设点E(x,y), 同理可得：△EHB≌△DGE(AAS). 则EH=x十2=GD=y+1且BH=y=GE=1-x, 解得：x=0且y=1,即点E(0,1), 当=0时y=号--=号×0-)-1 即点E不在抛物线C2上； 综上，点P的坐标为：(2,2)或（一1,3） 4解：D:抛物线y=ar+号x十ca≠0)与x轴交于点A1, 0),与y轴交于点C(0,-4), 把A1,0,C0,-0代入y=ar+号x十ca≠0)，得 8 a+3+c=0,解得a=， 4 c=-4 c=-4 抛物线的函数解析式为y=专女+号x一4 (2)①设P(x,青2+x-4,过点C作CELPD于点E,如 图， A '.∠PEC=∠CED=90°， .C(0,-4),∴.OC=4, .PD⊥x轴，∠PDO=90°， 又∠DOC=90°，.四边形DOCE是矩形， ∴.DE=OC=4,DO=CE=-x, PE=PD-DE=-(告女+g-)-4=-手-号， 一x tan∠CpD=pE=2,心42-82， 五=一是=0（不合愿意，合去），号2+号一4-昭 16 P(-是7）： ②设P(m,青m+号m一4小，对于y=专+号x-4当y=0 时，2+-4=0, 解得，x1=1,x2=-3,∴.B(一3,0)， OC=4,由勾股定理得，BC=√OB2+OC=5; 当点P在第三象限时，如图，过点E作EF⊥y轴于点F, 则四边形DEFO是矩形，.EF=DO=一m, ,点E与点E'关于PC对称，∴·∠ECP=∠ECP,CE=CE, :PE∥y轴，∠EPC=∠PCE, ∴.∠EPC=∠ECP,PE=CE,PE=CE, ∴.四边形PECE是平行四边形，四边形PECE是菱形， ,EF∥OA, ∴∠cEF=∠co器器号- 3 ,CE 设直线BC的解析式为y=kx十b, b=-4 ∴直线BC的解析式为y=-专x-4,E(m,-专m-4, PE=-(告m2+8m-4）+(-号m-4)=-号m-4m, 又CE=-m,且PE=CE, 一专m-4m=-号m,解得，m=一m=0(合去) CE=一号×（一子）-瓷四边形PBCE的周长=4CE 当点P在第二象限时，如图， 同理可得：3m+4m=一 4 3n, 解得m=-子m=0(合去)CE=-号×(-平）-铝 四边形PBCE的周长=4CE=4×贺-， 综上，四边形PBCE的周长为要或 第九讲二次函数的实际应用 考点1销售利润问题 1.解：(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是 (60+10x)件； 故答案为：(60+10x); (2)设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：(40一30一x)(60+10x)=630, 整理可得：x2一4x十3=0， 解得：x1=1,x2=3, 由于要让利于游客，x=1舍去， ∴.该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. (3)设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则W=(40-30-x)(60+10x) =(10-x)(60+10x) =-10x2+40x+600 =-10(x-2)2+640 -10<0, .当x=2时，W取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元. 2.解：(1)按照售价从低到高排列列出表格如下： 售价（元/盆） 18 20 22 26 30 日销售量（盆） 54 50 46 38 30 (2)由表格可知，售价每涨价2元，日销售量少卖4盆； (3)①设：定价应为x元，由题意，得： (x-15)54∠x182×4]=400, 2 整理得：-2x2十120x-1750=0,解得：x1=25,x2=35 '.定价为每盆25元或每盆35元时，每天获得400元的利润； ②设每天的利润为w,由题意，得： w=x-15[54-≥18×4]-2z2+120x-1360. .w=-2x2+120.x-1350=-2(x-30)2+450, :-2<0,.当x=30时，w有最大值为450元. 3.解：(1)设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念 品每个进价为y元， (200x+300y=14000 由题意得， 00.x+200y=8000 解得=0 y=20 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每 个进价为20元； (2)设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品(400一 m)个， 由题意得，40(400一m)+20m≤12000， 解得m≥200， ∴.m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； (3)由题意得，W=(a-40)[200-5(a-60)] =(a-40)(200-5a+300) =(a-40)(500-5a) =500a-20000-5a2+200a =-5(a-70)2+4500, .'-5<0,60≤a≤100 ∴.当a一70=0，即a=70时，W最大，最大值为4500. 考点2抛物线型问题 4.2.25m【解析】竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的水平面为 x轴建立直角坐标系.则设地物线的解析式为：y=a(x一1)2十3 (0≤x≤3)，代入(3,0)求得：a=一孕.将a值代入得到抛物线 的解析式为yz1)2+3(0≤x≤3)，令工=0，则y 号=2.25，故水管长度为2.25m 5.(1)解：由题意得，顶点为（号，8，即(6,8）， 设抛物线的解析式为：y=a(x-6)2+8(a≠0) 代入点(12,0)得a(12-6)2+8=0, 2 解得：a=一9’ “抛物线解折式为y=一号(x-6P十8(0≤≤12： (2)解：能安全通过，理由如下： 如图， -12 122 由题意得：xa=2一2 -3=2, 将x=2代入y=-号（红-62+8，第八讲 二次函数综合题 考点二次函数与函数、图形结合 2.(2024·山东，25题，10分)如图，抛物线过点O(0, 0),E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上 1.(2025·黑龙江龙东，23题，6分)如图，抛物线y (点B在点A的左侧)，点C,D在抛物线上，设B x2+bx十c交x轴于点A、点B,交y轴于点C,且 (t,0),当t=2时，BC=4. 点A在点B的左侧，顶点坐标为(3，一4). (1)求抛物线的函数表达式； (1)求b与c的值 (2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？ (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P,使 最大值是多少？ △PBC的面积与△ABC的面积相等.若存在，请 (3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛 直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由. 物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 G,H,且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求 抛物线平移的距离， y 29 3.(2024·山东泰安，25题，13分)如图，抛物线C1:4.(2024·内蒙古，26题，12分)在平面直角坐标系 y=a2+专x-4的图象经过点D(1,-1),与z 中，已知抛物线)y=ar+x十c(a≠0)与x轴交 轴交于点A,点B. 于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,一4). (1)求抛物线C1的表达式； (2)将抛物线C:向右平移1个单位，再向上平移 3个单位得到抛物线C2,求抛物线C2的表达式， 并判断点D是否在抛物线C2上； (3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P,使 △PBD是等腰直角三角形.若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。 备用图 C (1)求抛物线的函数解析式； (2)P是抛物线上一动点（不与点A,B,C重合）， 作PD⊥x轴，垂足为D,连接PC. ①如图，若点P在第三象限，且tan∠CPD=2, 求点P的坐标； 备用图 ②直线PD交直线BC于点E,当点E关于直线 PC的对称点E落在y轴上时，请直接写出四边 形PECE的周长 30