专题3 第6讲 二次函数的图象与性质&第7讲 抛物线的平移(含表达式的确定)-【百川育人】2026版中考必刷数学真题分类

第六讲 二次函数的图象与性质 考点二次函数的图象与性质 考点公二次函数图象与a,b,c的关系 1.(2024·陕西，8题，3分)已知一个二次函数y= 3.(2025·安徽，9题，4分)已知二次函数y=ax2十 a.x2+bx十c的自变量x与函数y的几组对应值 bx十c(a≠0)的图象如图所示，则( ) 如下表： —2 0 3 y 24 -8 0 -3 15 则下列关于这个二次函数的结论正确的是( A.图象的开口向上 A.abc<0 B.2a+b<0 B.当x>0时，y的值随x值的增大而减小 C.2b-c<0 D.a-6+c<0 C.图象经过第二、三、四象限 4.(2024·山东，9题，3分)如图，抛物线y=a.x2十bx十 D.图象的对称轴是直线x=1 c(a≠0)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,对 2.(2024·北京，26题，6分)在平面直角坐标系xOy 称轴为直线x=一1，若点A的坐标为（一4,0），则 中，点(1，m),(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c(a> 下列结论正确的是( ) 0)上，设抛物线的对称轴为直线x=t. A.2a+b=0 (1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐 B.4a-2b+c>0 标及t的值； C.x=2是关于x的一元二次方程ax2+bx十c= (2)点(xo,m)(xo≠1)在抛物线上，若m<n<c, 求t的取值范围及xo的取值范围。 0(a≠0)的一个根 D.点(x1,y1),(x2,y2)在抛物线上，当x1>x2> -1时y1<y2<0 1 B x 2 第4题图 第5题图 5.(2024·内蒙古，12题，3分)如图，抛物线y=a.x2+ bx十c(a≠0)与x轴交于点(x1,0),(2,0),其中 0<x1<1,下列四个结论：①abc<0;②a+b+c> 0;③2b+3c<0;④不等式a.x2+bx十( 2x 的解集为0<x<2.其中正确结论的个数是( A.1 B.2 C.3 第七讲 抛物线的平移（含表达式的确定） 考点1二次函数的平移 6.(2025·河南，22题，10分)在二次函数y=ax2+ bx一2中，x与y的几组对应值如下表所示 1.(2024·江苏，7题，3分)在平面直角坐标系中，将 二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单 0 位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对 2 一2 应的函数表达式为( A.y=(x+3)2+2 B.y=(x-1)2+2 4 C.y=(x-1)2+4 D.y=(x+3)2+4 -3 2.(2024·内蒙古包头，6题，3分)将抛物线y= x2十2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶 -4-3-2-10引 1234 点式为( A.y=(x+1)2-3 B.y=(x+1)2-2 C.y=(x-1)2-3 D.y=(x-1)2-2 3.(2025·上海，11题，4分)将函数y=3x2的图像 (1)求二次函数的表达式. 向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式 (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面 为 直角坐标系中画出二次函数的图象， 4.(2024·山东滨州，11题，3分)将抛物线y=一x2 (3)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后， 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位 当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小 长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 值的差为5，请直接写出n的值. 考点二次函数表达式的确定 5.(2024·黑龙江，22题，6分)已知抛物线y=-x2十 bx十c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y 轴交于点C,顶点为D. (1)求该抛物线的解析式； (2)连接BC,CD,BD,P为BD的中点，连接CP, 则线段CP的长是 27 7.(2024·吉林长春，24题，12分)在平面直角坐标8.(2024·江苏宿迁，27题，12分)如图①，已知抛物 系中，点O是坐标原点，抛物线y=x2十2x十c(c 线y1=x2十bx十c与x轴交于两点O(0,0)、A(2, 是常数)经过点（一2，一2）.点A、B是该抛物线上 0),将抛物线y1向右平移两个单位长度，得到抛 不重合的两点，横坐标分别为m、一，点C的横 物线y2.点P是抛物线y1在第四象限内一点，连 坐标为一5，点C的纵坐标与点A的纵坐标相 接PA并延长，交抛物线y2于点Q. 同，连结AB,AC. (1)求抛物线y2的表达式； (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)设点P的横坐标为xP,点Q的横坐标为xQ, (2)求证：当m取不为零的任意实数时，tan∠CAB 求xQ一xp的值； 的值始终为2； (3)如图②，若抛物线y3=x2一8x+t与抛物线 (3)作AC的垂直平分线交直线AB于点D,以 y1=x2+bx+c交于点C,过点C作直线MN,分 AD为边、AC为对角线作菱形ADCE,连结DE. 别交抛物线y和y3于点M、N(M、N均不与点C ①当DE与此抛物线的对称轴重合时，求菱形 重合)，设点M的横坐标为m,点N的横坐标为 ADCE的面积； n,试判断|m一n是否为定值.若是，直接写出这 ②当此抛物线在菱形ADCE内部的点的纵坐标y 个定值；若不是，请说明理由， 随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围. 图① 图② 28.SA0cP=4S△0BD=4, 设点P的坐标为(m,品】 2×2x3-=4 解得m=一是 点P(-,-4) 考点2反比例函数的实际应用 12.解：(1).含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为(2， 2),反比例函数y=(x>0)的图象经过点C, .k=2X2=4, “反比例函数的表达式为：y=4 (2)C(2,2), ∴.C0=22+22=8 ,含45°角的三角板OAC为等腰直角三角形，∠ACO=90°， ∴.AC=CO,AO=√/CO+AC=4, 如图，连接OD,△OAB旋转到△OEF的 位置， ∴.OE=OA=4, :D的对应点G在y=4的图象上， y6=1, .EG=1, 由旋转可得：AD=GE=1, .D(-1,4). 13.解：(1)这个反比例函数的解析式为I=36R: (2)I=36÷3=12(A) 14.解：(1)设h关于p的函数解析式为h=飞， 0 把p=1,h=20代人解析式，得k=1×20=20. h关于p的函数解析式为h=20 (2)把h=25代入h=20,得25=20，解得：p=0.8. 0 第六讲二次函数的图象与性质 考点1二次函数的图象与性质 1.D【解析】由题知， |4a-2b+c=-8, 1a=-1, c=0, 解得{b=2, 9a+3b+c=-3.c=0. .二次函数的解析式为y=一x2十2x.a=一1<0，.抛物线 的开口向下.故A选项不符合题意. y=-x2十2x=-(x-1)2十1，∴当x>1时，y随x的增大而 减小，故B选项不符合题意. 令y=0得，一x2十2x=0,解得x1=0,x2=2.∴.抛物线与x轴 的交点坐标为(0,0)和(2,0). 又抛物线的顶，点坐标为(1,1)，抛物线经过第一、三、四象 限.故C选项不符合题意 二次函数解析式为y=一(x一1)2十1，.抛物线的对称轴为 直线x=1,故D选项符合题意. 2.解：(1)将点(1，m),N(3,n)代入抛物线解析式，得 m=a+b+c, 1n=9a+3b+c. .m=n, .a+b+c=9a+3b+c. 整理，得b=一4a. :抛物线的对称轴为直线工=一名= 一4=2. t=2. .c=2, ∴.抛物线与y轴交点的坐标为(0,2). (2).'m<n<c,∴.a+b+c<9a+3b十c<c. 解得-4a<b<-3a. ∴.3a<-b<4a. ÷2貂<-品<铝即是<K2 当=名时，x=2: 当t=2时，x0=3. ∴.x0的取值范围2<xo<3. 考点2二次函数图象与a,b,c的关系 3.C4.C 5.C【解析】，抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于 正半轴， .a>0,b<0,c>0,abc<0,故①正确. ,当x=1时，y<0,.a十b十c<0,故②错误 抛物线y=ax2十bz十c与x轴交于两，点(x1,0),(2,0), 其中0<x1<1, 生<品<2告1<品<号 当-6<号时，b>-3a,x=2时y=4a+2b+c=0, 1 六b=-2a-zc.-2a-zc>-3a,2a-c>0, ∴.2b+3c=-4a-c+3c=一4a+2c=-2(2a-c)<0,故③正确； 设=ax2+bx十c,y2=-2x十c,如图： 0 由图得，y1<y时，0<x<2,故④正确. 综上，正确的有①③④，共3个. 第七讲抛物线的平移（含表达式的确定） 考点1二次函数的平移 1.B 2.A【解析】y=x2+2x=(x+1)2一1.将抛物线y=x2十2x向下 平移2个单位后，所得新抛物线的顶，点式为y=(x十1)2一3. 3.y=3x2-24.(1,2) 考点2二次函数表达式的确定 5.解：(1)，抛物线y=一x2十bx十c与x轴交于A(一1,0)，B(3, 0)两点， 计0架日 ,b=2, c=3. 抛物线的解析式为y=一x2+2x十3. (2)W5【解析】，y=一x2十2x十3=-(x-1)十4， .D(1,4). 把x=0代入y=-x2+2x十3，得y=3,.C(0,3). P为BD的中点，.P(2,2) ∴.CP=√(2-0)2+(3-2)2=√5. 6.解：(1)把点(-2，一2)，(1,1)代入得 /a+b-2=1 4a-2b-2=-21 解得：公 .二次函数的解析式为y=x2+2x-2; (2)y=x2+2x-2=(x十1)2-3， ∴.二次函数图象的顶点坐标为（一1，一3），对称轴为直线x=一1， .点(1,1)关于直线x=一1的对称点为（一3,1）， 画出函数图象，如图， 个y 4210234x }…-2-… (3)根据题意得：平移后的抛物线解析式为y=(x+1一n)2一3， ∴.平移后的抛物线的对称轴为直线x=n一1， 当平移后抛物线的对称轴在直线x=号左侧时，此时最小值为 -3-1<,即<号， 4-3 -2 /12/34 当x=3时，取得最大值，最大值为(3十1一)2一3=n2一8n十13， 图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴.n2-8n+13-(-3)=5, 解得：n=4-√5或4+√5（舍去）； 当平移后抛物线对称轴在直线x=是右侧时，此时最小值为一3， n-1,即心 5 --- r--1- 当x=0时，取得最大值，最大值为(1一n)2一3=n2一2一2， 图象对应的函数最大值与最小值的差为5， .n2-2n-2-(-3)=5, 解得：n=1+√5或1-√5（舍去）， 综上所述，n的值为1十√5或4一√5. 7.解：(1)将点（一2，一2）代入抛物线解析式得：4一4+c=一2， ∴.c=-2. .抛物线解析式为：y=x2十2x一2. (2)证明：A(m,m2+2m-2),B(-m,m2-2m-2),C(-5m,m2 +2m-2), ①当m<0时，如图1，作BH⊥AC于点H, tan∠CAB=B是=m-2m-2-m+2m-2=二m=2, AH —m-n -2m ②当m>0时，如图2，作BH⊥AC于点H, an∠CAB-盟-+2m22m2-=2 AH m-(-m) 综上，当m取不为零的任意实数时，tan∠CAB的值始终为2. y C HY 图1 图2 (3)①y=x2十2z-2=(x十1)2-3，.对称轴x=-1. 由题可得A(m,m2+2m-2),B(-m,m2-2m-2),C(-5m,m2 +2m-2), ,四边形ABCD是菱形，且DE与对称轴重合， xnm+（25m）=-2m. 2 .-2m=-1. 1 m22 AM=号AC-3, an.CAB-- ∴.DM=3,DE=6, S要形AcD=子X3X6=9. 2 ②(I)如图3，当m<0,且AE过顶点(-1，-3)时， 4十3=-2，即y+3=-2xA-2, A+1 .m2+2m-2+3=-2m-2. 整理得m2十4m十3=0. ∴.m=一1或m=-3. .m≤-3或-1≤m<0. y B A 图3 图4 (Ⅱ)如图4，当m>0,且CD过顶点（一1，一3）时， :+3 xc+1 =-2,即yc+3=-2xc-2 ∴.m2+2m-2+3=10m-2. 整理得m2一8m十3=0. ∴.m=4+√13或m=4-√13， .∴.0<m≤4-√/13 综上，m≤-3或-1≤m<0或0<m≤4-√13. 8.解：(1)由题意得：M=x(x-2)=x2-2x; 而y2过(2,0)、(4,0)， 则y2=(x-2)(x-4)=x2-6x十8； (2)设点P(m,m-2m)、点A(2,0), 设直线PA的表达式为：y=k(x一2)， 将点P的坐标代人上式，得m2一2m=k(m一2)， 解得k=m, 则直线AP的表达式为：y=m(x一2). 联立上式和抛物线y2的表达式得：x2一6x十8=m(x一2)， 解得xQ=4十m, 则xQ-xp=4十m一m=4; (3)由(1)知，y1=x(x-2)=x2-2x, 联立y1、y3得：x2-2x=x2-8x十t, 解得x=合 则点c(行元-) 由点C,M的坐标得，直线CM的表达式为：y= (m+6t-2)z-m)+m-2m, 联立上式和的表达式得：x-8x十=(m+g一2x-m) +m2-2m, 整理得r-(6+m+日z十(1+日m=0, 则十zw=6十n十合，即合1十n=6十m十名，即一m=6, 即|m一n=6为定值. 第八讲二次函数综合题 考点1二次函数与函数、图形结合 1.解：(1)：抛物线y=x2+bx十c的顶点坐标为(3，-4)， ∴y=(x-3)2-4=x2-6x+5, ∴.b=-6,c=5; (2)存在，理由如下： 对于抛物线y=x2-6x十5， 当y=0,x2-6x+5=0, 解得：x1=1,x2=5, 当x=0,y=5, .OB=OC=5,AB=5-1=4, .∠COB=90°， .∴.∠OBC=∠OCB=45°， 过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线 上截取BD=BA=4,连接AD与BC交于 点E,则D(5,4), ∴.∠DBC=90°∠OBC=45°=∠OBC, ..BC LAD,ED=EA, 过点D作BC平行线与抛物线交点即为点P, SAABCXAE,SAN-BCX DE, .S△CA=SARCP, 设直线BC:y=mx十n, 则/5m+n=0 n=5 /m=-1 m=5 .直线BC:y=一x+5, .BC∥PD, .设直线PD:y=-x十q, 代入D(5,4)得：-5十q=4, 解得：q=9, .直线PD:y=一x十9， 与抛物线解析联立得.y=一x+9 y=x2-6x+5' 整理得：x2一5x一4=0 解得x=5+,④①或工=5-√红 2 2” ∴点P的横坐标为5+石或5石 2 2.解：(1)设抛物线的函数表达式为y=ax(x一l0)(a≠0). 当t=2时，BC=4,.点C的坐标为(2，一4). 将点C坐标代入表达式，得2a(2-10)=一4，解得a=子 :抛物线的西数表达式为y=女-号 (2)由抛物线的对称性得：AE=OB=t,.AB=10一2t. 当x=:时，BC=-P+名.矩形ABCD的周长为2(AB+ B0=2[0-2)+(-+号)]=-合e++20= 1 2-10+号 2. -2<0 “当=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为号， (3)连接AC,BD相交于点P,连接OC,取OC的中点Q,连接PQ. ,直线GH平分矩形ABCD的面积，.直线GH过点P. 由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，.PQ=CH, :四边形ABCD是矩形，P是AC的中点，PQ=2OA, 当t=2时，点A的坐标为(8,0)， “OG=PQ=号OA=4,抛物线平移的距离是4. 2 3.解：1)将点D的坐标代人抛物线表达式得：-1=a+号-4， 解得a=3, 5 则抛物线的表达式为y=号+亭：一41