专题2 第2讲 一元二次方程及其应用-【百川育人】2026版中考必刷数学真题分类

第二讲一元 考点1解一元二次方程 1.(2024·四川凉山州，9题，4分)若关于x的一元 二次方程(a十2)x2十x十a2一4=0的一个根是 x=0,则a的值为() A.2 B.-2 C.2或-2D. 2.(2024·广东深圳，9题，3分)一元二次方程x2 3x十a=0的一个解为x=1,则a= 3.(2025·黑龙江齐齐哈尔，19题，5分)解方程： x2-7x=-12. 考点一元二次方程根的判别式 4.(2025·甘肃兰州，6题，3分)若关于x的一元二 次方程x2十2x十a=0有两个不相等的实数根， 则a的值可以是() A.3 B.2 C.1 D.0 5.(2025·北京，5题，2分)若关于x的一元二次方 程ax2+2x十1=0有两个相等的实数根，则实数 a的值为() A.-4 B.-1 C.1 D.4 6.(2025·河南，5题，3分)一元二次方程x2一2x= 0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 7.(2025·甘肃，5题，3分)关于x的一元二次方程 3x2一6x十m=0有两个实数根，则m的取值范围 是() 次方程及其应用 A.m<3 B.m≤3 C.m>3 D.m≥3 8.(2025·山东，13题，3分)若关于x的一元二次方 程x2+4x一m=0有两个不相等的实数根，则实 数m的取值范围是 考点一元二次方程根与系数的关系 9.(2025·河北，6题，3分)若一元二次方程x(x+ 2)一3=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则 点(m,n)在平面直角坐标系中位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10.(2024·黑龙江绥化，6题，3分)小影与小冬一起 写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简 过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是 6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数， 因而得到方程的两个根是一2和一5.则原来的 方程是( A.x2+6.x+5=0 B.x2-7x+10=0 C.x2-5x+2=0 D.x2-6.x-10=0 11.(2024·山东烟台，13题，3分)若一元二次方程 2x2-4x-1=0的两根为m,n,则3m2-4m+n2 的值为 12.(2024·四川内江，26题，12分)已知关于x的一 元二次方程x2一x十1=0(p为常数)有两个不 相等的实数根x1和x2 (1)填空：x1十x2= ℃1x2= (3)已知x十x=2p+1,求p的值 10 13.(2024·四川遂宁，21题，9分)已知关于x的一 元二次方程x2-(m十2)x十m-1=0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等 的实数根； (2)如果方程的两个实数根为1，x2,且x十x吃 x1x2=9,求m的值 考点一元二次方程的实际应用 14.(2025·山东威海，19题，8分)如图，某校有一块 长20m、宽14m的矩形种植园.为了方便耕作 管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小 路（图中阴影部分）.小路把种植园分成面积均为 24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度， 20m 4 m 11 5.(2024·山东烟台，20题，8分)每年5月的第三 个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助 残，共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携 式轮椅计划在该月销售.根据市场调查，每辆轮 椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低 10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变 的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于 180元.设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润 为y元. (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元 时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润 12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？9.解：(1)设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得/70x+900y=460 10x+15y=70. 解得/4， （y=2. 答：应选用A种食品4包，B种食品2包； (2)设选用A种食品m包，则选用B种食品(7一m)包， 根据题意，得10m+15(7一m)≥90. 解得m≤3. 设每份午餐的总热量为心kJ, 则u=700m+900(7-m),即=一200m+6300. .-200<0, .w随m的增大而减小. ∴.当m=3时，w取得最小值，此时7一m=7一3=4， 答：应选用A种食品3包，B种食品4包， 类型二销售利润问题 10.解：(1)设甲种电子产品的销售单价是x元，乙种电子产品的 单价为y元 /2x=3y 根据题意得3z一2y-1500解得，900 y=600 答：甲种电子产品的销售单价是900元，乙种电子产品的单价 为600元. (2)设销售甲种电子产品a万件，则销售乙种电子产品(8一a) 万件. 根据题意得：900a+600(8一a)≥5400.解得：a≥2. 答：至少销售甲种电子产品2万件. 第二讲一元二次方程及其应用 考点1解一元二次方程 1.A【解析】，关于x的一元二次方程(a十2)x2十x十a2一4=0 的一个根是x=0,∴.a2一4=0且a十2≠0.解得a=2. 2.2【解析】由题知，将x=1代入一元二次方程得，1一3十a=0, 解得a=2. 3.解：整理得：x2-7x十12=0， 因式分解得：(x一4)(x一3)=0， 所以x一4=0或x一3=0， 解得x1=4,x2=3. 考点2一元二次方程根的判别式 4.D5.C6.A7.B8.m>-4 考点3一元二次方程根与系数的关系 9.C 10.B【解析】设原来的方程为ax2十bx十c=0(a≠0)，由题知， =6+1=7,合=-2X(-5)=10,6=-7a,c=10a, a ∴.原来的方程为ax2-7ax十10a=0.则x2-7x十10=0. 11.6【解析】，一元二次方程2x2-4x-1=0的两根为m,n, 2m-m=1m十=-之=2，m=-分 1 ∴.3m2-4m+n2=2m2-4m+m2+n2=1+(m+n)2-2mn= 1+2-2×(-2）=6. 12.(1)p,1; 【解析】由根与系数的关系，得x1十x2=p,x1x2-1； (2)解：x十x2=p,x1x2=1, ,关于x的一元二次方程x2一px十1=0(p为常数)有两个不 相等的实数根x1和x2, .x好-p1+1=0, 函一p叶=0，即西+名-p (3)解：由根与系数的关系得：x1十x2=p,x1x2=1, 'x十x=2p十1， .(x1十x2)2-2x1x2=2p十1. .p2-2=2p+1. 解得1=3,2=一1. 当p=3时，4=p2-4=9-4=5>0; 当p=-1时，△=p2-4=-3<0; ∴.p=3. 13.(1)证明：x2-(m+2)x+m-1=0, 这里a=1,b=一(m十2)，c=m一1， △=b2-4ac =[-(m+2)]2-4×1×(m-1) =m2+4m+4-4m+4 =m2+8. .m2≥0， .△>0. '.无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)解：设方程x2-(m十2)x十m-1=0的两个实数根为x1,x2, 则x1十x2=m+2,x1x2=m-1. ,x7十x-x1x2=9,即(x1十x2)2-3x1x2=9, .(m十2)2-3(m-1)=9. 整理，得m2十m一2=0. .(m+2)(m-1)=0. 解得m1=-2,m2=1. .m的值为-2或1. 考点4一元二次方程的实际应用 14.解：设小路的宽度为xm,则9块矩形地块可合成长为(20一 4x)m,宽为(14一4x)m的矩形， 根据题意得：(20一4x)(14一4x)=24×9, 整理得：2x2-17x+8=0, 解得= 之x=8(不符合题意，舍去). 答：小路的宽度为号m 15.解：(1)y=(200-x)(60+4×品) =-0.4x2+20x+12000. =-0.4(x2-50x+625)+12250 =-0.4(x-25)2+12250. 200-x≥180， .x≤20. .当x=20时，利润最大，最大利润为：一0.4(20-25)2+ 12250=12240(元). 答：y与x的函数关系式为：y=一0.4x2十20x十12000；每辆轮 椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元； (2)12160=-0.4(x-25)2+12250 0.4(x-25)2=12250-12160 0.4(x-25)2=90 (x-25)2=225. 解得1=40（不合题意，舍去），x2=10. “售出轮椅的辆数为：60+4×10 ,10 64(辆) 答：这天售出了64辆轮椅.