精品解析：广东深圳市南山区中国科学院深圳先进技术研究院实验学校2025-2026学年八年级第二学期数学学科期中考试

中科实验学校2025-2026学年第二学期数学学科期中考试 一．选择题（共8题，每题3分，合计24分） 1. 近几年，我国人工智能技术迅猛发展，各种AI工具层出不穷，包含AI聊天、AI搜索、AI编程、AI绘画等多项功能．下列AI工具图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在直角坐标系中，点P（-2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（ ） A. （3，6） B. （1，3） C. （1，6） D. （3，3） 3. 若 ，则下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 把ax2-4ax+4a分解因式，下列结果正确的是（ ） A. a(x-2)2 B. a(x+2)2 C. a(x-4)2 D. a(x-2)(x+2) 5. 如果分式的值为0，那么的值为（ ） A. -1 B. 1 C. -1或1 D. 1或0 6. 某平板电脑支架如图所示，，为了使用的舒适性，可调整的大小．若，则的长度为（ ） A. 12 B. 18 C. D. 15 7. 海盗船是游乐园中的热门项目．巨大的海盗船围绕顶端横梁左右摇摆，给人们带来非常刺激的体验．小明同学绘制了海盗船在不同时刻的摇摆状态，如图所示，若将横梁视为一点，那么在小明的绘画中，横梁应在图中哪个位置？ A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 8. 如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（ ） 平分；    ； ；    ． A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每题3分，合计15分） 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 10. 如图，将绕着点O顺时针旋转得到 ，若，则旋转角度是 _______． 11. 已知的值为，若分式中的均变为原来的倍，则的值为 _______． 12. 若方程组的解满足，则k的取值范围是_____________． 13. 如图，在 中， ， ，平分 交于， 于．请直接写出线段、、的数量关系_________ 三．解答题（共7题，合计61分） 14. 解不等式组与因式分解： （1）解不等式组：． （2）因式分解： ① ； ②． 15. 小坪在计算下题时发现计算结果与答案不同，解答过程如下： 先化简，后求值：，其中 ，任选一个合适的整数作为x的值代入． 解：原式① ② ③ 当时，原式④ 请帮助小坪找出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程． （1）小坪在第________步出错，错误原因是________． （2）请在下方写出正确解答过程． 16. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）请画出关于坐标原点成中心对称的； （2）若绕点顺时针旋转 后得到，写出点的坐标_____； （3）若将绕某点逆时针旋转 后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为_____． 17. 如图，在中，点E在边上， ，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证： ； （2）若，求的度数． 18. “梅兰竹菊”是花中四君子，是中国传统文化中的象征，它们各自代表着不同的品质和精神．梅花象征着坚强，兰花象征着高洁，竹子象征着坚韧不屈，菊花象征着淡泊．某校为了落实双减政策，丰富学生的课外活动，开设了绘画社团，计划为学生购买水彩画、创意字当做教具，经过调查得知：每组水彩画比每组创意字的价格贵元，买2组水彩画和3组创意字共用元． （1）求每组水彩画、创意字的价格分别是多少？ （2）若学校需购进水彩画、创意字共组，总费用不超过 元，并且根据学生需求，要求购进创意字的数量必须低于水彩画数量的5倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 19. 【背景】如图是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图为其信息图． 【主题】如何接到最佳温度的温水． 【素材】温水水流速度是， 水杯容积：． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温． 【操作】先从饮水机接温水秒，再接开水，直至接满的水杯为止．（备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况） 【问题】 （1）接到温水的体积是　　　，接到开水的体积是 ；（用含的代数式表示） （2）若所接的温水的体积不少于开水体积的倍，则至少应接温水多少秒？ （3）若水杯接满水后，水杯中温度是，求的值； （4）记水杯接满水后水杯中温度为，则关于的关系式是　　　；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出的取值范围是 ． 20. 某研究性学习小组在学习第三章第4节《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形 中， ，，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？ 探究一： （1）如图2，已知“等补四边形” ，若，将“等补四边形” 绕点顺时针旋转 ，可以形成一个直角梯形（如图3）．若，，则“等补四边形”的面积为______ 探究二： （2）如图4，已知“等补四边形” ，若，将“等补四边形”绕点顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转，可以形成一个等边三角形（如图5）．若，，求“等补四边形” 的面积． 探究三： （3）由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道，的长度，就可以求它的面积．那么如图6，已知“等补四边形” ，连接，若 ，， ，试求出“等补四边形” 的面积（用含，的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中科实验学校2025-2026学年第二学期数学学科期中考试 一．选择题（共8题，每题3分，合计24分） 1. 近几年，我国人工智能技术迅猛发展，各种AI工具层出不穷，包含AI聊天、AI搜索、AI编程、AI绘画等多项功能．下列AI工具图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义． 把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 在直角坐标系中，点P（-2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（ ） A. （3，6） B. （1，3） C. （1，6） D. （3，3） 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的平移规律：左减右加，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P（-2，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（1，3） ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了点的平移规律,熟练掌握点的平移规律：左减右加，上加下减是解题的关键． 3. 若 ，则下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质，即可解答． 【详解】解：A、x＞y，根据不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，x−3＞y−3，正确，不符合题意； B、不等式两边同时乘以−1，再加上3，不等号的方向改变，故3−x＞3−y，错误，符合题意； C、x＞y，根据不等式的基本性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，故−2x＜−2y，正确，不符合题意； D、不等式两边乘（或除以）同一个数，不等号的方向不改变，故，正确，不符合题.故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解决本题的关键，（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 4. 把ax2-4ax+4a分解因式，下列结果正确的是（ ） A. a(x-2)2 B. a(x+2)2 C. a(x-4)2 D. a(x-2)(x+2) 【答案】A 【解析】 【分析】首先提公因式，然后利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：＝ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了提取公因式及完全平方公式分解因式，掌握提取公因式及完全平方公式是解题的关键． 5. 如果分式的值为0，那么的值为（ ） A. -1 B. 1 C. -1或1 D. 1或0 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【详解】根据题意，得 |x|-1=0且x+1≠0， 解得：x=1． 故选B． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 6. 某平板电脑支架如图所示，，为了使用的舒适性，可调整的大小．若，则的长度为（ ） A. 12 B. 18 C. D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质． 过E作 于H，由等腰三角形的性质推出 ，，求出，由含30度角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，即可得到的长度． 【详解】解：过E作 于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7. 海盗船是游乐园中的热门项目．巨大的海盗船围绕顶端横梁左右摇摆，给人们带来非常刺激的体验．小明同学绘制了海盗船在不同时刻的摇摆状态，如图所示，若将横梁视为一点，那么在小明的绘画中，横梁应在图中哪个位置？ A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握旋转对称的定义． 根据旋转中心在对应点所连线段的中垂线上进行逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，四边形与四边形成旋转对称，其旋转中心为M． 故选：A． 8. 如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（ ） 平分；    ； ；    ． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作 于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点作 于， ∵平分 ，平分，， ∴ ，， ∴， ∵， ∴点在的角平分线上，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分 ，平分 ， ∴， ∵， ∴ ∴，③正确； ④由②可知，， ∴，， ∴，故④正确， 综上可知，正确的结论有：①②③④，共有4个． 二．填空题（共5小题，每题3分，合计15分） 9. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 10. 如图，将绕着点O顺时针旋转得到 ，若，则旋转角度是 _______． 【答案】##度 【解析】 【分析】对应线段构成的 即为旋转角度． 【详解】解：由旋转角度的定义可知： 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转角度的定义．掌握相关定义是解题关键． 11. 已知的值为，若分式中的均变为原来的倍，则的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 12. 若方程组的解满足，则k的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】观察方程的特征，可以把两个方程相减后，用含k的式子表示出 ，再代入到求解k的取值范围即可． 【详解】解： ①②得：， ∴， ∵ ∴ 解得： 13. 如图，在 中， ， ，平分 交于， 于．请直接写出线段、、的数量关系_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得出 ，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出 ， ，进而得出 ． 【详解】解： 中， ， ， ， ， ， 平分 交于， ， ， ， ， ， ． 三．解答题（共7题，合计61分） 14. 解不等式组与因式分解： （1）解不等式组：． （2）因式分解： ① ； ②． 【答案】（1） （2）①； ② 【解析】 【分析】（1）分别解两个不等式，求公共部分的解集，即可求解． （2）①根据平方差公式因式分解即可求解． ②先取提公因式，再根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【小问1详解】 解：解不等式得，， 解不等式得， ， 所以不等式组的解集为． 【小问2详解】 解：① ； ② ． 15. 小坪在计算下题时发现计算结果与答案不同，解答过程如下： 先化简，后求值：，其中 ，任选一个合适的整数作为x的值代入． 解：原式① ② ③ 当 时，原式④ 请帮助小坪找出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程． （1）小坪在第________步出错，错误原因是________． （2）请在下方写出正确解答过程． 【答案】（1）②，括号前面是负号，去括号时 没改变符号 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据解题过程即可得出结论； （2）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可． 【小问1详解】 解：小坪在第②步出现错误，错误的原因是：括号前面是负号，去括号时 没改变符号， 故答案为：②，括号前面是负号，去括号时 没改变符号； 【小问2详解】 解： ， ∵ 且x为整数， ∴ ，1，2， ∵， ∴， ∴当 时，原式； 当 时，原式． 16. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）请画出关于坐标原点成中心对称的； （2）若绕点顺时针旋转 后得到，写出点的坐标_____； （3）若将绕某点逆时针旋转 后，其对应点分别为，，，则旋转中心的坐标为_____． 【答案】（1）画图见解析； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的绘制、旋转的坐标变换及旋转中心的确定，涉及的知识点有中心对称点的坐标特征、旋转的性质、垂直平分线的求法． （1）先确定各顶点坐标，再根据关于原点中心对称点的坐标规律找到对应点，最后依次连线得到对称图形； （2）画出绕点顺时针旋转 后得到的，从图中直接读出的坐标； （3）根据旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，依次作出两组对应点连线的垂直平分线，从而得到交点即旋转中心的坐标． 【小问1详解】 解：画出关于坐标原点成中心对称的如图所示： 【小问2详解】 解：画出绕点顺时针旋转 后得到的如图所示： 得到的坐标为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：根据旋转的性质，旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点，作图如图所示： 旋转中心的坐标为． 故答案为： 17. 如图，在中，点E在边上， ，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证： ； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）利用等边对等角，结合三角形的内角和定理求出的度数，进而得到的度数，利用全等三角形的对应角相等，得到 的度数，利用三角形的外角的性质求出的度数即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵将线段绕A点旋转到的位置， ∴ ． 在与中， ， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 18. “梅兰竹菊”是花中四君子，是中国传统文化中的象征，它们各自代表着不同的品质和精神．梅花象征着坚强，兰花象征着高洁，竹子象征着坚韧不屈，菊花象征着淡泊．某校为了落实双减政策，丰富学生的课外活动，开设了绘画社团，计划为学生购买水彩画、创意字当做教具，经过调查得知：每组水彩画比每组创意字的价格贵元，买2组水彩画和3组创意字共用元． （1）求每组水彩画、创意字的价格分别是多少？ （2）若学校需购进水彩画、创意字共组，总费用不超过 元，并且根据学生需求，要求购进创意字的数量必须低于水彩画数量的5倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】（1）每组水彩画的价格是元，则每组创意字的价格是元 （2）共有种购买方案，总费用最少为 元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的应用等知识．熟练掌握二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的应用是解题的关键． （1）设每组水彩画的价格是元，则每组创意字的价格是元，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设需购进水彩画组，则需购进创意字组，由题意可得：，可求，则满足要求的的值为3，4，然后确定方案，分别计算各方案的总费用，比较大小，最后作答即可． 【小问1详解】 解：设每组水彩画的价格是元，则每组创意字的价格是元， 依题意得，， 解得， 答：每组水彩画的价格是元，则每组创意字的价格是元； 【小问2详解】 解：设需购进水彩画组，则需购进创意字组， 由题意可得：， 解得，， 又 为正整数， 可以取3，4， 共有2种购买方案， 方案1：购进3组水彩画，9组创意字；费用为（元）； 方案2：购进4组水彩画，8组创意字；费用为（元）； ∵， ∴最低费用为 元， 答：共有2种购买方案，购进3组水彩画，9组创意字总费用最少，为 元． 19. 【背景】如图是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图为其信息图． 【主题】如何接到最佳温度的温水． 【素材】温水水流速度是， 水杯容积：． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温． 【操作】先从饮水机接温水秒，再接开水，直至接满的水杯为止．（备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况） 【问题】 （1）接到温水的体积是　　　，接到开水的体积是 ；（用含的代数式表示） （2）若所接的温水的体积不少于开水体积的倍，则至少应接温水多少秒？ （3）若水杯接满水后，水杯中温度是，求的值； （4）记水杯接满水后水杯中温度为，则关于的关系式是　　　；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出的取值范围是 ． 【答案】（1）， （2）秒 （3） （4）， 【解析】 【分析】（1）先根据等量关系“速度乘时间等于体积”列式即可． （2）根据（1）求出的温水的体积，开水体积，列不等式求解即可． （3）根据等量关系“开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度”列出等式，代入数值，即可求出的值． （4）根据等量关系“开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度”列出等式，代入数值，即可列出关于的函数关系式，再根据不等式，代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵温水水流速度是， ∴当从饮水机接温水秒时，温水的体积是， ∴再接开水，接满的水杯时，开水的体积为， 故答案为，． 【小问2详解】 解：由上可得温水的体积是，开水的体积为， 当所接的温水的体积不少于开水体积的倍时， 可得 解得 ∴则至少应接温水秒． 【小问3详解】 解：由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为， ∴ 解得： 【小问4详解】 解：由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为， ∴ 解得： 若要使杯中温度达到最佳水温时， 则有 代入，可得， 故答案为， 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、代数式、一次函数的实际应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出关系式是解题的关键． 20. 某研究性学习小组在学习第三章第4节《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形中， ，，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？ 探究一： （1）如图2，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点顺时针旋转 ，可以形成一个直角梯形（如图3）．若，，则“等补四边形”的面积为______ 探究二： （2）如图4，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转，可以形成一个等边三角形（如图5）．若，，求“等补四边形”的面积． 探究三： （3）由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道，的长度，就可以求它的面积．那么如图6，已知“等补四边形”，连接，若 ，， ，试求出“等补四边形”的面积（用含，的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查“等补四边形”，旋转、等边三角形，勾股定理的知识等，解题的关键是掌握“等补四边形”的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用，即可． （1）根据旋转的性质，则四边形的面积等于直角梯形面积的一半，结合题意，求出直角梯形的面积，即可； （2）根据旋转的性质，四边形的面积等于等边三角形的面积的，根据等边三角形的性质，则，，根据直角三角形的中所对的直角边等于斜边的一半，，根据勾股定理求出三角形的高，即可求出等边三角形的面积，即可； （3）作于点，根据等补四边形中， ，推出，；当点，，在同一直线上，则， 求出，根据，则， 求出，根据“等补四边形”的面积等于的面积，即可． 【详解】（1）等补四边形”的面积为， 故答案为：． （2）如图，过点作交于点， 根据题意可得：， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在 中，，， ∴， ∴， ∴“等补四边形”的面积为：． （3）如图，将绕点顺时针旋转得到， 作于点， ∴，，，， 在等补四边形中， ， ∴， ∴点，，在同一直线上， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴“等补四边形”的面积等于的面积：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $