精品解析：山东淄博市桓台实验中学2023-2024学年下学期九年级中考模拟数学试题

初 四 数 学 练 习 题 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题5 分，共 60 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ） 1. 下面形状的四张纸板，按图中线经过折叠可以围成一个直三棱柱的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知方程是关于x的一元一次方程，则方程的解为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中错误的是（ ） A. 实数与数轴上的点一一对应 B. 的平方根是 C. 的系数是 D. 看数a由四舍五入法得到近似数为7.30，则数a的范围是： 4. 如图，圆的两条弦相交于点和 的延长线交于点，下列结论中成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知直线是正五边形 的对称轴，且直线过点则 的度数为( ) A. B. C. D. 不确定 7. 若从1，2，3，4四个数中选取一个数，记为a，再从这四个数中选取一个数，记为c，则关于x的一元二次方程没有实数根的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点B作的垂线交于点C．以、为边作矩形 ，连接．若，，则的长为（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 9. 如图，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且的面积为8，若双曲线经过边的中点C，则k的值为（ 　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 10. 关于的分式方程的解为非负整数，且一次函数的图象不经过第三象限，则满足条件的所有整数的和为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，M，N，C三点的坐标分别为，，，点A为线段上的一个动点，连接，过点A作交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为，则b的取值范围是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，在等腰中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．请直接填写最后结果． ） 13. 函数中自变量x的取值范围是___________． 14. 若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长是_____． 15. 如图，把放在平面直角坐标系内，其中 ，．点A，B的坐标分别为，．将沿x轴向左平移，当点C落在直线上时，线段扫过的面积为___________． 16. 已知抛物线经过点，，则该抛物线的解析式_____． 17. 如图，在Rt△ABC中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论： ①若C、O两点关于AB对称，则OA=2； ②C、O两点距离的最大值为4； ③若AB平分CO，则AB⊥CO； ④斜边AB的中点D运动路径的长为； 其中正确的是_____（把你认为正确结论的序号都填上）． 三、解答题（本大题共 7 个小题，共 70 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． ） 18. 化简求值：，其中x从0、2、 中任意取一个数求值． 19. 如图，中， ，点A关于直线的对称点为P，连接并延长．过点C作 ，交射线于点D．当 为钝角时，补全图形，判断与的数量关系；并说明理由． 20. 随着手机APP技术的迅猛发展，人们的沟通方式更便捷、多样．某校数学兴趣小组为了解某社区20~60岁居民最喜欢的沟通方式，针对给出的四种APP（A微信、BQQ、C钉钉、D其他）的使用情况，对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人必选且只能选择其中一项）．根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）参与问卷调查的总人数是______； （2）补全条形统计图； （3）若小强和他爸爸要在各自的手机里安装A，B，C三种APP中的一种，求他俩选择同一种APP的概率，并列出所有等可能的结果． 21. 如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上），某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37°，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度．（参考数据：， ， ） （1）求斜坡DE的高EH的长； （2）求信号塔AB的高度． 22. “垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍． （1）求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？ （2）若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？ 23. 如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点，AF平分∠EAD，交CD于点F． (1)如图1，若点F恰好为CD中点，求证：AE=BE+2CE； (2)在(1)的条件下，求的值； (3)如图2，延长AF交BC的延长线于点G，延长AE交DC的延长线于点H，连接HG，当CG=DF时，求证：HG⊥AG． 24. 已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=2，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处． （1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式． （2）若点M是抛物线上一点，且位于线段OC的上方，连接MO、MC，问：点M位于何处时三角形MOC的面积最大？并求出三角形MOC的最大面积． （3）抛物线上是否存在一点P，使∠OAP=∠BOC？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初 四 数 学 练 习 题 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题5 分，共 60 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． ） 1. 下面形状的四张纸板，按图中线经过折叠可以围成一个直三棱柱的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三棱柱的特点作答． 【详解】解：A、围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有，故不能围成三棱柱； B、D的两底面不是三角形，故也不能围成三棱柱； 只有C经过折叠可以围成一个直三棱柱． 故选C． 【点睛】本题考查展开图折叠成几何体． 2. 已知方程是关于x的一元一次方程，则方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义得出，求出，得出方程为，再求出方程的解即可． 【详解】方程是关于x的一元一次方程， ，解得， 原方程为，解得． 故选：A． 3. 下列说法中错误的是（ ） A. 实数与数轴上的点一一对应 B. 的平方根是 C. 的系数是 D. 看数a由四舍五入法得到近似数为7.30，则数a的范围是： 【答案】C 【解析】 【分析】利用数轴上点表示的数为全体实数可对进行判断；利用算术平方根的定义对进行判断；根据单项式的系数的定义对进行判断；根据近似数的精确度对进行判断． 【详解】解：、实数与数轴上的点一一对应，所以选项的说法正确； 、，而9的平方根为，所以选项的说法正确； 、的系数为，所以选项的说法错误； 、若数由四舍五入法得到近似数为7.30，则数的范围是：，所以选项的说法正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系．也考查了单项式、算术平分根和近似数． 4. 如图，圆的两条弦相交于点和 的延长线交于点，下列结论中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相交弦定理和割线定理即可求解. 【详解】解： 由相交弦定理知，由割线定理知, 所以D正确， 故选D . 【点睛】本题考查了相交弦定理和割线定理，熟记定理是解题关键. 5. 如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道，用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在直角三角形中，先根据与的关系找出所用的正弦三角函数，再利用科学计算器选项B按键顺序求角即可． 【详解】， 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时， 按键顺序为 故选：B． 【点睛】本题考查用科学计算器求角度问题，掌握三角函数解直角三角形的方法，根据与确定使用的三角函数是解题关键． 6. 如图，已知直线是正五边形 的对称轴，且直线过点则 的度数为( ) A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】先根据∠BCD=108°，CB=CD，得出∠BDC=36°，再根据直线m是正五边形ABCDE的对称轴，可得∠FCD=36°，进而得到∠1的度数． 【详解】 ∵正五边形ABCDE的每个内角为108°， ∴∠BCD=108°， ∵CB=CD， ∴∠BDC=36°， ∵直线m是正五边形ABCDE的对称轴， ∴∠FCD=36°， ∴∠1=36°+36°=72°， 故选C. 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，正五边形的内角以及轴对称的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键. 7. 若从1，2，3，4四个数中选取一个数，记为a，再从这四个数中选取一个数，记为c，则关于x的一元二次方程没有实数根的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出树状图，共有16种等可能的结果，其中使42-4ac＜0的有8种结果，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图： 由树形图可知：共有16种等可能的结果，其中使42-4ac＜0的有8种结果， ∴关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0没有实数根的概率为， 故选：C． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 8. 如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点B作的垂线交于点C．以、为边作矩形 ，连接．若， ，则的长为（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质得到 ，进而求出的半径，再利用勾股定理求出长，利用 求解即可． 【详解】解：连接， 四边形 是矩形， 、 ， ， 在 中，由勾股定理得： ， ． 9. 如图，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且的面积为8，若双曲线经过边的中点C，则k的值为（ 　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】设、，则，根据的面积为8求出，再将C点坐标代入双曲线解析式，从而求出的值． 【详解】解：设、， ∵点C是边的中点， ， 点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上， 、 ， ， ， ， 将代入得： ． 10. 关于的分式方程的解为非负整数，且一次函数的图象不经过第三象限，则满足条件的所有整数的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解分式方程可得 且，再根据一次函数的图象不经过第三象限，可得，结合可得，且，再根据是整数和是非负整数求出的所有值，即可求解． 【详解】 经检验，不是方程的解 ∴ ∵分式方程的解为非负整数 ∴ 解得 且 ∵一次函数的图象不经过第三象限 ∴ 解得 ∴，且 ∵是整数 ∴ ∵是非负整数 故答案为：A． 【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的问题，掌握解分式方程和解不等式组的方法是解题的关键． 11. 如图，在平面直角坐标系中，M，N，C三点的坐标分别为，，，点A为线段上的一个动点，连接，过点A作交y轴于点B，当点A从M运动到N时，点B随之运动，设点B的坐标为，则b的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形与坐标、相似三角形的判定与性质、利用二次函数求坐标范围，利用相似三角形的性质得出二次函数解析式是解题的关键． 延长 交轴于点，则轴，连接，证，得出，设，则，设，代入得出，结合，得出的取值范围，选择不可能的取值即可． 【详解】解：如图，延长 交轴于点，则轴，连接， ∵，，三点的坐标分别为，，，， ∴在 与中，，， ∴， ∴， ∴， 设，则，设， ∴， ∴， ∵， ∴关于的函数图象抛物线开口向下， 又∵为线段上的一个动点， ∴， ∴当时，有最大值，此时有最小值， 当时，有最小值，此时有最大值， ∴的取值范围是． 故选：B． 12. 如图，在等腰 中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，求一点到圆上的距离的最值问题；连接，根据得出点在以为直径的上，进而勾股定理求得，当点在线段上时，最小，即可求解． 【详解】如解图①，连接， ，，， ， 为直径， ， ， 点在以为直径的上， 的半径为，连接，， ， 在中， ，， ， 如解图②，当点在线段上时，最小， ，即线段长度的最小值为 ． 故选：C． 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．请直接填写最后结果． ） 13. 函数中自变量x的取值范围是___________． 【答案】x≤2 【解析】 【详解】试题解析：根据题意得： 解得： . 14. 若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的第三边长是_____． 【答案】5或 【解析】 【分析】任何数的绝对值，以及算术平方根一定是非负数，已知中两个非负数的和是0，则两个一定同时是0；另外已知直角三角形两边、的长，具体是两条直角边或是一条直角边一条斜边，应分类讨论． 【详解】解：， ，， ，． ①在直角三角形中，当边长为4的边是斜边，则第三边的长为； ②在直角三角形中，当边长为4的边是直角边，则第三边的长为． 综上所述，该直角三角形的第三边长为5或． 故答案是：5或． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，绝对值、算术平方根的非负数的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想讨论边长为4的边是直角边还是斜边． 15. 如图，把 放在平面直角坐标系内，其中 ，．点A，B的坐标分别为，．将沿x轴向左平移，当点C落在直线上时，线段扫过的面积为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】由题知， ，，利用勾股定理计算的长，从而得出的坐标，设平移后的，将代入直线的表达式，可解出的值，从而可得平移的距离，再计算扫过的面积． 【详解】解： ，， ，， ， ， ， 如图， 设，将代入，得， 解得， ，， 由平移的性质得，， ∴四边形是平行四边形， ∴线段扫过的区域是以为底，为高的平行四边形，其面积为． 16. 已知抛物线经过点，，则该抛物线的解析式_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，点，的纵坐标相同，因此这两个点可能是关于对称轴对称的两个点，也可能是同一个点，故分两种情况进行分析解答，利用对称性找出对称轴与两点横坐标之间的关系是解决问题的关键． 【详解】抛物线的对称轴为直线 ； ①抛物线上不同两个点E和F的纵坐标相同， ∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，则对称轴，且； ∴抛物线的解析式为， ②两点重合，，， ∴代入解析式得． ∴抛物线的解析式为， 故答案为：或． 17. 如图，在Rt△ABC中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论： ①若C、O两点关于AB对称，则OA=2； ②C、O两点距离的最大值为4； ③若AB平分CO，则AB⊥CO； ④斜边AB的中点D运动路径的长为； 其中正确的是_____（把你认为正确结论的序号都填上）． 【答案】①② 【解析】 【分析】①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求AB和AC，由对称的性质可知：AB是OC的垂直平分线，所以OA=AC；②由OC≤OE+CE=4，当OC经过AB的中点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；③如图2，当∠ABO=30°时，易证四边形OACB是矩形，此时AB与CO互相平分，但所夹锐角为60°，明显不垂直，④如图3，半径为2，圆心角为90°的扇形的圆弧是点D的运动路径，根据弧长公式进行计算即可． 【详解】在Rt△ABC中，BC=2，∠BAC=30°， ∴AB=4，AC==． ①若C、O两点关于AB对称，如图1， ∴AB是OC的垂直平分线，则OA=AC=； 所以①正确； ②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE， ∵∠AOB=∠ACB=90°， ∴OE=CE=AB=2． ∵OC≤OE+CE=4， ∴当OC经过点E时，OC最大，且C、O两点距离的最大值为4； 所以②正确； ③如图2，当∠ABO=30°时，∠OBC=∠AOB=∠ACB=90°， ∴四边形AOBC是矩形， ∴AB与OC互相平分，但AB与OC的夹锐角为60°，不垂直； 所以③不正确； ④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的， 则其弧长为： =π． 所以④不正确； 综上所述，本题正确的有：①②； 故答案为：①②． 【点睛】 本题是三角形的综合题，考查了含30°角直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、动点运动路径问题、弧长公式，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是本题的关键，确定点D的运动路径是本题的难点． 三、解答题（本大题共 7 个小题，共 70 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． ） 18. 化简求值：，其中x从0、2、 中任意取一个数求值． 【答案】，1 【解析】 【分析】先计算括号里的运算，再利用平方差公式和完全平方公式进行化简，根据分式有意义的条件求出的范围，再从0、2、 中任意取一个数代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 、， 且， 取，原式． 19. 如图，中， ，点A关于直线的对称点为P，连接并延长．过点C作 ，交射线于点D．当 为钝角时，补全图形，判断与的数量关系；并说明理由． 【答案】解：补全图形如图： 结论： ， 理由：设交于点，连接、， 点A、P关于对称， 垂直平分， 、 ， 在和中， ， ， 、 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据题意补全图形，根据轴对称的性质得到 、 ，证明，根据垂线的定义和对顶角的相等求出 ，由等腰三角形的性质得到 ，从而得出结论． 【详解】略． 20. 随着手机APP技术的迅猛发展，人们的沟通方式更便捷、多样．某校数学兴趣小组为了解某社区20~60岁居民最喜欢的沟通方式，针对给出的四种APP（A微信、BQQ、C钉钉、D其他）的使用情况，对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人必选且只能选择其中一项）．根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）参与问卷调查的总人数是______； （2）补全条形统计图； （3）若小强和他爸爸要在各自的手机里安装A，B，C三种APP中的一种，求他俩选择同一种APP的概率，并列出所有等可能的结果． 【答案】（1）500；（2）补全条形统计图见解析；（3）小强和他爸爸选择同一种APP的概率为． 【解析】 【分析】（1）根据A的人数÷其所占的比例＝参与问卷调查的总人数； （2）求出C的人数−15，再将条形统计图补充完整即可； （3）列表得出所有结果，再由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）（120＋80）÷40%＝500（人）， 即参与问卷调查的总人数为500人， 故答案为：500人； （2）500×15%−15＝60（人）， 补全条形统计图如图所示： （3）根据题意列表如下： A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 共有9个等可能的结果，其中小强和他爸爸选择同一种APP的情况有3种， ∴小强和他爸爸选择同一种APP的概率为＝． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图、扇形统计图． 21. 如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上），某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37°，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度．（参考数据：， ， ） （1）求斜坡DE的高EH的长； （2）求信号塔AB的高度． 【答案】（1）25米；（2）23米 【解析】 【分析】（1）斜坡DE的坡度，推得EH：HD=1：2.4，在Rt△EHD中，由勾股定理，求出EH即可； （2）过E作EF⊥AC于F，得四边形EFCH为矩形，利用矩形性质得CF=EH=25米，EF=HC= 120米，在Rt△EFA中，利用AF=EF×tan∠AEF求得AF长，再根据 AB=AF+FC-BC进行计算即可 ． 【详解】（1）∵斜坡DE的坡度， ∴EH：HD=1：2.4， ∴HD=2.4HE， 在Rt△EHD中，由勾股定理即， ∴, ∴EH=25米； （2）过E作EF⊥AC于F， 则四边形EFCH为矩形， CF=EH=25米，DH=2.4EH=60米， EF=HC=HD+DC=60+60=120米， ∵在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37°， ∴∠AEF=37º， 在Rt△EFA中， AF=EF×tan∠AEF=120×0.75=90米， AB=AF+FC-BC=90+25-92=23米． 【点睛】本题考查解直角三角形问题，掌握坡比定义，仰角定义，锐角三角函数，矩形的性质，注意坡比，仰角，锐角三角函数都在直角三角形中使用． 22. “垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍． （1）求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？ （2）若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？ 【答案】（1）购买一个A品牌垃圾桶需100元，购买一个B品牌垃圾桶需150元；（2）该学校此次最多可购买16个B品牌垃圾桶 【解析】 【分析】（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需（x+50）元，根据“4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买（50﹣m）个A品牌垃圾桶，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过6000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】解：（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需（x+50）元， 依题意，得：， 解得：x＝100， 经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意， ∴x+50＝150． 答：购买一个A品牌垃圾桶需100元，购买一个B品牌垃圾桶需150元． （2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买（50﹣m）个A品牌垃圾桶， 依题意，得：100×0.9（50﹣m）+150×（1+20%）m≤6000， 解得：m≤． 因为m是正整数，所以m最大值是16． 答：该学校此次最多可购买16个B品牌垃圾桶． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，确定题目中数量关系并据此列出分式方程或不等式是解题关键． 23. 如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点，AF平分∠EAD，交CD于点F． (1)如图1，若点F恰好为CD中点，求证：AE=BE+2CE； (2)在(1)的条件下，求的值； (3)如图2，延长AF交BC的延长线于点G，延长AE交DC的延长线于点H，连接HG，当CG=DF时，求证：HG⊥AG． 【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析 【解析】 【分析】（1）延长BC交AF的延长线于点G，利用“AAS”证△ADF≌△GCF得AD＝CG，据此知CG＝BC＝BE＋CE，根据EG＝BE＋CE＋CE＝BE＋2CE＝AE即可得证； （2）设CE＝a，BE＝b，则AE＝2a＋b，AB＝a＋b，在Rt△ABE中，由AB2＋BE2＝AE2可得b＝3a，据此可得答案； （3）连接DG，证△ADF≌△DCG得∠CDG＝∠DAF，再证△AFH∽△DFG得，结合∠AFD＝∠HFG，知△ADF∽△HGF，从而得出∠ADF＝∠FGH，根据∠ADF＝90°即可得证． 【详解】解：(1)如图1，延长BC交AF的延长线于点G， ∵AD∥CG， ∴∠DAF=∠G， 又∵AF平分∠DAE， ∴∠DAF=∠EAF， ∴∠G=∠EAF， ∴EA=EG， ∵点F为CD的中点， ∴CF=DF， 又∵∠DFA=∠CFG，∠FAD=∠G， ∴△ADF≌△GCF(AAS)， ∴AD=CG， ∴CG=BC=BE+CE， ∴EG=BE+CE+CE=BE=2CE=AE； (2)设CE=a，BE=b，则AE=2a+b，AB=a+b， 在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即(a+b)2+b2=(2a+b)2， 解得b=3a，b=﹣a(舍)， ∴； (3)如图2，连接DG， ∵CG=DF，DC=DA，∠ADF=∠DCG， ∴△ADF≌△DCG(SAS)， ∴∠CDG=∠DAF， ∴∠HAF=∠FDG， 又∵∠AFH=∠DFG， ∴△AFH∽△DFG， ∴， 又∵∠AFD=∠HFG， ∴△ADF∽△HGF， ∴∠ADF=∠FGH， ∵∠ADF=90°， ∴∠FGH=90°， ∴AG⊥GH． 【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识点． 24. 已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=2，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处． （1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式． （2）若点M是抛物线上一点，且位于线段OC的上方，连接MO、MC，问：点M位于何处时三角形MOC的面积最大？并求出三角形MOC的最大面积． （3）抛物线上是否存在一点P，使∠OAP=∠BOC？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=﹣x2+2x；（2）,；（3）存在，P(，)或(﹣，﹣) 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得OC=OA，∠BOC=∠BAO=30°，过点C作CD⊥OA于D，求出OD、CD，然后写出点C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答； （2）求出直线OC的解析式，根据点M到OC的最大距离时，面积最大；平行于OC的直线与抛物线只有一个交点，利用根的判别式求出m的值，利用锐角三角函数的定义求解即可； （3）分两种情况求出直线AP与y轴的交点坐标，然后求出直线AP的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标． 【详解】解：（1）∵Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处， ∴OC=OA=2，∠BOC=∠BAO=30°， ∴∠AOC=30°+30°=60°， 过点C作CD⊥OA于D， 则OD=×2=， CD=2×=3， 所以，顶点C的坐标为（，3）， 设过点O，C，A抛物线的解析式为为y=ax2+bx， 则， 解得：， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x； （2）∵C（，3）， ∴直线OC的解析式为：， 设点M到OC的最大距离时，平行于OC的直线解析式为， 联立， 消掉未知数y并整理得，， △=（）2-4m=0， 解得：m=． ∴， ∴； ∴点M到OC的最大距离=×sin30°=； ∵， ∴； 此时，M，最大面积为； （3）∵∠OAP=∠BOC=∠BOA =30°， ∴， ∴直线AP与y轴的交点坐标为（0，2）或（0，﹣2）， 当直线AP经过点（，0）、（0，2）时，解析式为， 联立， 解得，． 所以点P的坐标为（，）， 当直线AP经过点（，0）、（0，﹣2）时，解析式为， 联立 解得，； 所以点P的坐标为（，）． 综上所述，存在一点P（，）或（﹣，﹣），使∠OAP=∠BOA． 【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了折叠的性质，待定系数法求二次函数解析式，联立两函数解析式求交点的方法，（2）判断出点M到OC的距离最大是，平行于OC的直线与抛物线只有一个交点是解题的关键，（3）确定出直线AP的解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $