专题07 导数解答题考点归类（高效培优期末专项训练）高二数学人教B版

**基本信息** 以导数应用为核心，按“基础应用-综合探究-拓展创新”逻辑归类10大考点，覆盖切线、单调性、零点等高频题型，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线问题|5题|求切线方程、由切线求参数|导数几何意义的直接应用| |含参单调讨论|7题|分类讨论单调区间|导数研究函数性质的基础| |零点问题|11题|判断零点个数、求参数范围|单调性与极值的综合应用| |隐零点问题|6题|零点存在性与不等式证明|零点间接处理技巧| |不等式证明|5题|函数与数列型不等式|导数的工具性作用| |双变量问题|6题|极值点关系、取值范围|多变量转化与化归| |恒成立问题|6题|参数范围求解|函数最值与不等式转化| |极值点偏移|6题|双零点关系证明|导数与函数对称性综合|

专题07 导数解答题考点归类 考点01 切线问题 考点02 含参的讨论单调 考点03 讨论零点的个数 考点04 由零点个数求参数范围 考点05 隐零点问题 考点06 不等式的证明 考点07 数列型函数不等式证明 考点08 双变量问题 考点09 恒（能）成立问题 考点10 极值点偏移问题 考点01 切线问题 1．已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求证：； (3)证明：函数存在唯一极大值点，且． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由求导得， 则 ，又， 则曲线在处的切线方程为，即. （2）要证，即证， 因为，则得，即 ， 令 ，则， 因在上单调递增，且 ， ， 因此存在唯一的，使得， 当时，,当时，, 即函数在上单调递减，在上单调递增， 故（*）. 设 ,则 ,即函数在上单调递增， 故,则 ； 再设 ,则,当时，,当时，； 即函数在上单调递增，在上单调递减，故 , 则得 ，当且仅当时取等. 则由（*）可得, 因，故可得 ,即 , 故得证. （3）由题意可得，，则， 令 ，所以， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，则 ， 从而有解，即存在两根，，设， 则在上为正，在上为负，在上为正， 所以必存在唯一极大值点，且， 所以，由可知， 由 可知，， 在上单调递增，在上单调递减，所以， 综上，函数存在唯一极大值点，且. 2．已知函数． (1)求函数的极值； (2)若函数的图象在点处的切线方程为，求证：； (3)若函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)由（1）可知，，则函数在点处的切线方程为，即， 所以， 设函数， 求导可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，即. (3) 【分析】 【详解】（1），求导可得， 令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的极大值为，无极小值, （2）略 （3）， 因为函数的最小值为2，所以， 当时，，可得， 求导可得， 设函数，求导可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故，最小值为2，即解得. 3．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若对任意的，都有成立，求整数k的最大值． 【答案】(1) (2)函数的零点个数为2．，理由如下： 因为，定义域是， 所以．当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，．     因为，， 所以由函数零点存在定理，得在内和内各存在一个零点， 所以函数的零点个数为2． (3)3 【分析】 【详解】（1）因为，，所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 又因为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）略； （3）因为对任意的，都有，所以． 设，， 则． 由（2）知，在上单调递增． 因为，， 所以在内存在唯一的零点，即． 所以当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， ． 因为，所以． 所以，所以整数k的最大值为3． 4．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若直线与曲线相切．求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由可得； 则，切点为； 故切线方程为，即； （2）设切点坐标，则，； 则切线方程为， 即，整理得； 因为切线方程为，故，解得； 故． 5．设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求的极值点个数； (3)求与交点个数． 【答案】(1)、 (2)有两个极值点 (3)交点个数为 【分析】 【详解】（1），则， ，又，解得； （2）由（1）得，则， 令，则， 令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， ，， 故存在，使得，且有， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故有两个极值点； （3）令，则， 令，则； 若，则恒成立（不恒为零）， 故在上单调递减，又， 当时，，故在上有唯一零点， 即与有唯一交点； 若时，有两个实根， 设这两个实根分别为、，且，则、， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故为的极小值，为的极大值，且， 由，则， 则 ， 由，则， 则有、， 故，则， 又时，，故在上存在唯一零点， 即与有唯一交点； 综上所述：与交点个数为. 考点02 含参的讨论单调 6．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，对恒有，求实数的取值范围． (3)若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． (2) (3) 【分析】 【详解】（1）函数定义域为，求导得， 当时，恒成立，故在上单调递增； 当时，令得， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）已知，由（1）知，在上单调递增， 不妨设，则等价于， 整理得， 则在单调递减，即在上恒成立； 求导得，即对任意恒成立， 在上单调递减，最大值为1， ，解得， 综上，． （3）不等式整理得， 分离参数得：， 令，则， 令，求导得，令，解得， 当且仅当时等号成立，故在上单调递增， 则，即，则， 移项得， ，当且仅当时等号成立， 令，求导得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 是极小值，也是最小值，最小值为， 当时，，故，结合在上单调递减， ，由零点存在定理，内有一个零点， 故， 综上可知，，故实数的取值范围为． 7．已知函数，． (1)证明：． (2)讨论的单调性． (3)若，求的取值集合． 【答案】(1)的定义域为，．令，得， 则在上单调递增，令，得，则在上单调递减， 所以．故． (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． (3) 【分析】 【详解】（1）略. （2）由，得 ． 当时，，在上单调递减． 当时，令，得，则在上单调递减， 令，得，则在上单调递增． （3）当时，在上单调递减，当时，，不符合题意． 当时， ． 由（1）可知 ，当且仅当时，等号成立． 因为， ，所以 ， 所以，得．故的取值集合为． 8．已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围． 【答案】(1)时，在单调递增，在单调递减； 时，在，单调递增，在单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，单调递增，在单调递减 (2) 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为， ， 若，则，，， 在上单调递增，在上单调递减， 若，令，则或， 当，即时，或，， 在，上单调递增，在上单调递减； 当，即时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当，即时，或，， 在，上单调递增，在上单调递减； 综上： 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减． （2）， 令，则问题转化为的图象与直线有两个不同的交点， ，则 ， ， 在上单调递增，在上单调递减， 且时，时，，大致图象如下， 要使的图象与直线有两个不同的交点，则，即， a的取值范围是． 9．已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)已知函数，有2个不同的零点，，且． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1)当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减 (2)（i）； （ii）由，是的2个不同的零点，且， 则，， 即，， 所以，即， 要证，只需证， 由（ⅰ）知，，， 所以即证，即证． 设，则，只需证． 设，， 则，则在区间上单调递增， 所以，即，即． 【分析】（1）根据函数解析式得到该函数的定义域，再求，分和两种情况分析的符号，进而即可讨论的单调性； （2）（i）根据函数解析式得到该函数的定义域，再求，分和两种情况分析的符号，从而分析的单调性来判断的零点个数，进而结合的最值即可求解； （ii）根据零点的性质，将需证的结论转化为即证，从而构造函数，求导，结合函数的单调性，最值即可证明． 【详解】（1）由，则的定义域为，， 当时，，则在区间上单调递增； 当时，， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）（ⅰ）由题知，，定义域为，则， 当时，，则在区间上单调递增， 所以在区间上最多有一个零点，不符合题意； 当时，， 当时，；当时，， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又有2个不同的零点，且当时，，当时，， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 10．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数a的值． 【答案】(1)当时，在上递减，在上递增； 当时，在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； (2) 【分析】 【详解】（1） 则， 当时，在上递减，在上递增； 当时，在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； （2）不等式，即为， 设，，则， 设，， 当时，，可得，则单调递增， 此时当而当时，，故不满足题意； 当时，由，单调递增， 当x无限趋近0时，无限趋近于负数a，当x无限趋近正无穷大时，无限趋近于正无穷大，故有唯一的零点， 即，则，， 当时，，可得，单调递减； 当时，，可得，单调递增， 所以 ， 因为，可得，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以， 因为恒成立，即恒成立， 令，，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以，即 又由恒成立，则，所以. 11．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）当时，，易知的定义域为， ，又恒成立， 当时，，当时，， 所以是的极小值点，极小值为，无极大值. （2）的定义域为，, 当时，恒成立，当时，，当时，， 当，由，得到或， 若时，，时，，时，， 若时，，此时恒成立，当且仅当时取等号， 若时，，时，，时，， 综上所述，当时，的减区间为，增区间为， 当时，的减区间为，增区间为， 当时，的增区间为， 当时，的减区间为，增区间为. 12．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)时，在上是增函数；时，在上是减函数，在上是增函数． (2)； (3)证明见解析． 【分析】（1）求出导函数，按和分类讨论确定的正负得单调性； （2）用分离参数法化不等式为，引入函数，求出导函数，通过分子确定存在唯一零点，其中，然后求出的最小值即可得结论，对作一些变化：，利用同构法得，，代入后可得； （3）不等式化为，引入 函数，由导数求出的最小值，（确定，然后利用可证明得证． 【详解】（1）， 当时，，在上是增函数； 当时，时，，时，， 所以在上是减函数，在上是增函数． 综上，时，在上是增函数； 时，在上是减函数，在上是增函数． （2）不等式即为，， 设，则， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， ，因为， 所以，所以， 又， 所以存在唯一的，使得，即， ，， 在时，是单调增函数，所以，即，从而， 时，，即，单调递减， 时，，即，单调递增， 所以， 代入，，得， 所以； （3）要证不等式成立， 即证， 也即证不等式， 设，则， 易知是增函数， 又，， 因为，所以，所以， 所以存在唯一的，使得，时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，得， ， 因为，所以，，， 所以， 而，所以， 所以， 所以成立． 考点03 讨论零点的个数 13．已知函数. (1)设，讨论函数在上的单调性； (2)判断函数在上的零点个数. 【答案】(1)在上单调递减. (2)有唯一零点. 【分析】 【详解】（1）因为，则， 令，则， 当时，，即在上单调递减， 又因为，所以当时，，所以， 所以在上单调递减. （2）函数在上有唯一零点. 因为， 则， 令，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 因为，， 所以，使， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 又，所以，使， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，所以，使， 所以在上有唯一零点. 14．已知函数 (1)当时，解不等式：； (2)当时，判断的零点个数并证明； 【答案】(1) (2)3个；证明见解析 【分析】 【详解】（1）由得，所以的定义域为， 又 ， 所以函数的图像关于中心对称，且. 因为， 当时， ，所以. 故当时，， 即不等式的解集为. （2）当时，. 因为的图象关于中心对称， 所以只需考虑时，的零点个数. ， 当时，. 令 当时，， 所以在上单调递减. 因为， 所以存在唯一，使得. 所以当时，，即在上单调递增. 当时，，即在上单调递减. 所以在上没有零点， 又， 所以存在唯一实数使得，即在上有唯一零点， 由（1）知. 所以时，有三个零点：. 15．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的零点个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)当或时，1个零点；当或时，2个零点 (3) 【分析】 【详解】（1）当时，则， 可得，， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）因为， 令，可得， 令，则转化为与的交点个数， 因为， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 且，可得： 当或，即或时，与有1个交点； 当，即或时，与有2个交点； 综上所述：当或时，1个零点；当或时，2个零点. （3）因为恒成立，即恒成立， 当时，，因为不恒成立，所以不满足题意； 当时，由得，即恒成立， 等价于恒成立， 因为曲线与关于直线对称，所以， 等价于，可得， 由（2）可得：，则； 综上可得：的取值范围是. 16．已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)判断函数在的零点个数，并说明理由 【答案】(1) (2)1，理由见解析 【分析】 【详解】（1）由题意得，，，令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为. （2）令，则，，整理得， 令，则，， 当时，，所以在上单调递减， 又，，所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点， 当时，，，两个不等式等号无法同时成立， ，此时函数无零点， 综上所述，在上存在唯一零点， 即函数在上的零点个数为. 17．已知函数. (1)若，求函数的单调区间; (2)设,讨论函数的零点个数. 【答案】(1)若，单调递增区间，单调递减区间. (2)当或时，有一个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数没有零点. 【分析】 【详解】（1）当时，， ，令，解得， 因而函数的单调递增区间是， 令，解得,因而函数的单调递减区间是; （2）令， 分离参数得，设， ，令，解得，此时单调递增， 令，解得，此时单调递减， 的最大值是，又， 增长比要慢很多，， 因此当时，直线与无交点， 当或时，直线与有一个交点， 当时，直线与有两个交点. 所以当或时，有一个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数没有零点. 考点04 由零点个数求参数范围 18．已知函数. (1)求的单调区间； (2)是否存在正实数，使得仅有1个零点？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)存在， 【分析】（1）的定义域为，，分为和两种情况，根据导数与函数单调性的关系即可求解； （2）由（1）结合题意可知，令，则，，解方程组即可求出答案. 【详解】（1）的定义域为，， ①当时，因为，所以. 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； ②当时，令，， 解得或（舍去）， 当时，，所以的单调递增区间为， 当时，，所以的单调递减区间为， 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）知，当时，在上单调递减，在单调递增， 当时，，当时，. 由题意，当仅有1个零点时，， 令，则，即， 化简得：（）， 令，则， 所以在上单调递增，且， 所以方程（）的解为，从而，解得， 所以，存在满足条件的，且. 19．已知函数其中. (1)若曲线在点处的切线方程为，求的值； (2)判断函数的极值点个数； (3)若有且仅有个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，无极值点， 当时，有个极值点， 当时，有个极值点. (3) 【分析】 【详解】（1）由题可得：，故切点代入切线方程可得：， 即切线，，，故. （2），令 求极值点个数即求变号零点个数， 即求变号零点个数， 当时，，无零点，无极值点， 当时，，时，，故无极值点， 当时，， 变号零点数为有个极值点， 当时，当时，， 当时，，， 此时，是唯一变号零点，有个极值点， 综上当时，无极值点， 当时，有个极值点， 当时，有个极值点. （3）有唯一零点，即有唯一解， 即有唯一解， 令，即有唯一解， 由（2）可得： ①当时，即，在上单调递增， 存在唯一使得， ②当时，即， 令，当时，则， ， 当时，，当时，， 所以，当时，函数有极小值， 则 因为，所以，则， 因为，所以， 所以， 因为，当时，， 所以函数存在唯一零点； ③当时，即时，则， 此时函数在区间上单调递增，且，所以只有一个零点； ④当时，即令，则， 当，，当时，， 所以，当时，函数有极小值， 因为，故函数有极小值为负， 因为， ， 令，， 当时，， 所以函数在区间上单调递增， 因为，所以当时，， 所以， 因为， 所以函数在区间各有一个零点，不满足题意. 综上，. 20．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)记函数，已知只有1个零点，求正整数的最小值． 【答案】(1)在区间上单调递减，上单调递增 (2) 【分析】 【详解】（1）当时， ，， 则， 当时，；当时，． 故在区间上单调递减，上单调递增． （2）， ， 因为，令，则或． 当时， 由，可得或， 由，可得： 所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 当时，，，， 又，因只有1个零点，需使． 令，求导得：， 又，，易得 可知在上单调递减； 又时，，， 即存在，使得， 因，，又因，故． 21．已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． (3)若函数在上有且仅有2个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由题设且，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值； （2）由在上恒成立， 令且，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，则； （3）由且， 当时，，则在上单调递增，故不可能存在两个零点，不满足； 所以，此时，令， 若时，在上，则在上单调递减，故不可能存在两个零点，不满足； 若时，在上，则在上单调递增，故不可能存在两个零点，不满足； 综上，，则时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 由，， 要使在上有且仅有2个零点，即，则， 综上，. 22．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，证明：有且只有2个零点． 【答案】(1)时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意得的定义域为， 令，则， 当时，恒成立，在上单调递增，即在上单调递增， 当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增； 即时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：当时，， 由（1）知为增函数， 又，， 所以存在，使得，即， 且在上单调递减，在上单调递增， 所以， 显然，所以， 因为， ， 所以在和上各有一个零点， 即时，有且只有2个零点． 23．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若且函数在上没有零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，； 易知，则； 因此切线方程为， 即； （2）设函数，； 显然； 令，其中，即； 当时，， 则时，，，此时在上单调递减； 当时，，，此时在上单调递增； 因此，可知，因此在上存在零点，不合题意； 当时，由可得； 所以，使得； 可得时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 所以要使函数在上没有零点，只需，解得， 所以实数a的取值范围为. 考点05 隐零点问题 24．已知函数 (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)证明函数在区间上有且仅有两个零点. 【答案】(1)单调递增； (2) 由（1）知，，当时，，函数在上单调递增， ，，因此函数在上有唯一零点； 当时，令，求导得，在上单调递增， ，则存在，使得， 当时，，函数，即单调递减， 当时，，函数，即单调递增， 又，，则存在，使得， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 而，，因此函数上有唯一零点， 所以函数在区间上有且仅有两个零点. 【分析】 【详解】（1）函数，当时，， 所以在上的单调递增. （2）略 25．已知函数，，其中，． (1)试讨论函数的极值； (2)当时，若对任意的，，总有成立，试求b的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由题意得的定义域为，． 当时，在区间内恒成立， 在区间内单调递增，无极值． 当时，令，得；令，得． 在区间内单调递增，在区间内单调递减， 在处取得极大值，且极大值为，无极小值． 综上，当时，无极值；当时，的极大值为，无极小值． （2）由知当时，的最大值为． 由题意得，且在区间内单调递增． 又，，根据零点存在定理可得， 存在，使得， 且当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， ． ，，两边取对数可得 ， ． 令，则当时，， 即函数在区间内单调递减，故， ，即，即．对任意的，，总有成立，，即，，即． 又，故的最大值为0． 26．已知函数. (1)证明函数存在唯一零点； (2)的零点为，证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为，当时，，（这是因为） 故函数在没有零点； 当时，，易见在上是减函数， 且，故存在，使得在上递增，在上递减， 且， 所以在上存在唯一零点，又，所以在上无零点， 故在上存在唯一零点. （2）注意到，由（1）知存在唯一使得， 即有，故. 令， 令，显然当时，.故在上单调递减， 所以. 27．已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求函数的极值； (2)若，，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值，无极大值 (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以，依题意，即， 所以，定义域为，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值，无极大值； （2）因为，恒成立， 当时，，，所以， 所以对恒成立， 令，则当时，恒成立， 因为， 设， 当，即时，，所以， 即在上单调递减，所以，符合题意； 当，即时，，， 所以，由零点存在性定理可知存在，使得， 又二次函数开口向下，对称轴为， 则当时，，即， 所以在上单调递增，即存在，使得， 这与当时，恒成立矛盾，故舍去； 综上可得， 所以实数的取值范围为. 28．设函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：． 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为． (2) 证明：， 即， 的定义域为， 且． 在上单调递增， 当时，在上单调递增， 故在上单调递增， 又，当趋近于0时，， 根据零点存在定理可知，导函数存在唯一的零点， 设该零点为．当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值． ，即， 两边同时取对数得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故当时，， 即． 【分析】 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 令 因为， 所以在上单调递增， 即在上单调递增，注意到， 所以当时，； 当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）略 29．已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，，求证：． 【答案】(1)； (2)由，得， 设，则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 在单调递增区间上，，故，由得； 在单调递减区间上，，， 故在区间上存在唯一的，使得， 故，此时由， 得， 又函数在上递增，，， 所以． 综上，所述，． 【分析】 【详解】（1）依题意，，则， 则，，故所求切线方程为； （2）略 【点睛】方法点睛：研究函数有关零点(方程有根)问题常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 考点06 不等式的证明 30．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)证明：当时，． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2)由（1）知， 依题意，即证，即证， 设，求导可得， 令，解得， 所以当时，，单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点， 因为，， 所以当时，， 故当时，． 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为，求导可得， 令，解得，即， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）略 31．已知函数. (1)求函数的单调区间和极值； (2)求证：当且时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为，,令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 极小值为，无极大值. （2）令，则， 由（1）可知，即的最小值为， 已知，代入得：， 因此对任意恒成立，故在上单调递增， 当时，，即：得证. 【点睛】本题的核心是通过导数分析函数单调性，以极值为桥梁，将不等式证明转化为函数最小值的符号判断. 32．已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)试证明不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由 得 ， 。 可化为 ， 令 ，则 。 令  得 ，  得， 所以 在 单调递减，在 单调递增， 所以 的最小值为 ， 所以 ； （2）法一：由(1)可知 ，即 ，故（时，等号成立）， 下证 ，即证 , 因为， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 又不能同时取“”，所以 . 法二：要证明不等式；令，， 只需证， 由，得， 当时，，当时，， 所以在单增，在单减， 所以， ，因为， 所以. 33．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，令，求证： 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，，， 不等式， 当时，，令函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，因此； 当时，，函数， 求导得，函数在上单调递增， 则，因此， 所以. 34．函数. (1)若，求的极小值； (2)当时，证明：. 【答案】(1)； (2) 当时，， 令 ，定义域为， 则，其中， 由在上单调递增，且，， 则存在，使得， 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以的最小值为， 由，可得，， 所以，即的最小值为0， 综上，，即得证. 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为，当时，， 由，得，即在上单调递增； 由，得，即在区间上单调递减， 所以的极小值为. （2）略 考点07 数列型函数不等式证明 35．已知函数 (1)若有两个极值点，求实数a的取值范围； (2)已知，当时，恒成立，求整数a的最小值； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意可知：，令， 的解为， 时，，单调递减， 时，，单调递增， ， 有两个极值，且，，，， ，，经检验符合题意； （2）在时恒成立，即恒成立， 当时, ，此时，符合题意， 当时，转化为恒成立， 设，则 则， 设，，， 当时，，为增函数， ，即， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，，综上， 又，且，则； （3）由（2）可知，当时，当必有恒成立， 即恒成立，取， 可得， 两边同时乘以n，可得， 则必有， … ， ， 累加可得，① 再取，可得，则必有， ， … ，， 累加可得，② ①②可得，证毕． 36．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，，求的取值范围； (3)证明：，，． 【答案】(1) (2) (3)由（2）知，，当且仅当时，等号成立， 所以当时，． 当，时，，令，得，即． 因， 所以． 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率得解； （2）先探索出，此时有，再利用导数证明即可； （3）由（2）可得当，时，，令，化简即可得证. 【详解】（1）当时，，． ， 故所求切线方程为，即． （2）因为，，，所以 因，由，可得． 下面证明当时，，． 当时， 令函数，． ， 所以在上单调递减，所以， 即当时，，． 综上，a的取值范围是. （3）略 37．已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)（ⅰ）当时，恒成立，求正整数k的最大值； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)极小值，无极大值； (2)（ⅰ）3；（ⅱ）证明见解析. 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为，求导得，而， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，无极大值. （2）（ⅰ）由（1）知，当时，函数在上单调递增，，因此； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ，令函数，求导得， 函数在上单调递减，而， 则存在，，即， 因此当时，， 所以正整数k的最大值为3. （ⅱ）由（ⅰ）知，当时，恒成立， 即对恒成立，取， 则， 因此 ， 即， 所以. 38．已知函数，函数 (1)讨论函数单调性 (2)当时， ①求证：； ②设，求证：. 【答案】(1)当时，在定义域上单调递增，当时，的减区间为，增区间为 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分和两种情况，即可求解； （2）①求的单调区间，进而求出的最小值，即可求解；②构造函数，利用导数，求出的单调性，再求出的最小值，从而得到，再分和，裂项相消，即可求解. 【详解】（1）易知的定义域为，， 当时，恒成立，此时在区间上单调递增， 当时，令，即，解得， 当时，，当时，， 此时，的减区间为，增区间为， 综上所述，当时，在定义域上单调递增， 当时，的减区间为，增区间为. （2）①当时, 令，易知的定义域为， ，易知在区间上单调递增， 又，所以存在，使，即， 当时，，当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，由，得到，， 所以，当且仅当时取等号， 又，所以，即. ②由①知，令， 则，令，则， 又，则， 所以在区间上单调递增， 所以， 则在区间上单调递增， 则，所以， 则时，，即，所以， 当时，，所以时，， 当时， ， 综上所述，. 考点08 双变量问题 39．已知函数，其中 (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，，证明： 【答案】(1)当时，在内单调递增， 在和上单调递减； 当时，在上单调递减. (2)证明：由（1）知，当时，有两个极值点，， 则，是方程的两个根，由韦达定理，得，， 所以， ， 令，，则， 当时，，则在区间上单调递减， 从而， 故 【分析】 【详解】（1）由题意得，函数的定义域为，且，， 令， 当，即时，恒成立，则，所以在上是单调递减； 当，即时，函数有两个零点：，， 当x变化时，，的变化情况如下表所示： x - 0 + 0 - 单调递减 单调递增 单调递减 综上，当时，在内单调递增， 在和上单调递减； 当时，在上单调递减. （2）略 40．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)当时，若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1），. 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，由，解得，即在上单调递增， 由，解得，即在上单调递减. （2）当时，由（1）知， ，恒成立，在上单调递增，所以， 由题意知，即. 设，则，所以为增函数， 又，所以， 即的取值范围是. 41．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个极值点，，且，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为，， 设，令，， 当时，即，在单调递减， 当时，即，，令，得，， 若，，，由即，得出. 由即，得出. 当时，，由即，得出. 由即，得出. 综上所述：当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增；在上单调递减. （2）由（1）可知：当时， ，是函数两个极值点， 有，，此时， 要证明，只要证明 设， 令， 当时，， 所以当时，，单调递减， 所以有，即证 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数性质的综合应用问题，本题第二问处理双变量问题，关键是，，，从而为后面的消参，构造函数创造条件. 42．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个极值点，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）， 曲线在点处的切线方程为，即. （2）， 则函数的定义域为， 若函数有两个极值点，且． 则方程的判别式，且， ． ． 设， 则在上恒成立． 故在单调递减，从而． 因此，的取值范围是． 43．已知（且），． (1)求在上的最小值； (2)如果对任意的，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)-1 (2) 【分析】 【详解】（1）， 显然为偶函数，当时， 时，，，∴在单调递增； 时，，，∴在单调递减； ，，，∴在上的最小值为． 由偶函数图象的对称性可知在上的最小值为． （2）先证，设，则， 令，令， ∴在上单调递增，在上单调递减． 故①恒成立． 由题意可得，使得成立， 即成立． 由①可知， 参变分离得， 设，， 即只需即可． 由①知得， ∴ 令，令， ∴在上单调递减，在上单调递增． ∴， ∴， 又已知 故a的取值范围为． 44．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)任取两个正数，当时，求证：. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）. 当时，，令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 当，即时，令，得或；令，得. 所以在，上单调递增，在上单调递减. 当，即时，恒成立，所以在上单调递增. 当，即时，令，得或；令，得. 所以在，上单调递增，在上单调递减. 综上所述， 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时， 在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； （2）证明：由题意得，. 要证， 只需证， 即证， 即证. 令， 所以只需证在上恒成立， 即证在上恒成立. 令，则， 令，则. 所以在上单调递减，即在上单调递减， 所以，所以在上单调递增， 所以. 所以. 考点09 恒（能）成立问题 45．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，则． 由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）由，得．因，则得， 依题意，只需即可. 设函数，则，由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以，即的取值范围为． 46．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 (2) 【详解】（1）由题可知， 当时，，函数在上单调递增； 当时，若，，若，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，不等式恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，， ， 令，，， 所以在上单调递增. 由于，， 由零点存在定理，存在，使得，即， 所以当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为，所以， 令，， ，即在上单调递增， 所以，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围为. 47．已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）若，则，， 则，， 所以过点的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数有最小值，即， 若存在，使，则成立， 即，即， 令， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数有最小值，即， 所以在区间恒成立， 所以函数在区间上单调递增， 因为， 所以当 时， 成立，故的取值范围为. 48．设. (1)解不等式; (2)设，若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因，则， 故， 即，解得， 故原不等式的解集为. （2）因， 由，可得为奇函数. 又，因，，则 故在上单调递增. 故存在使得等价于存在使得， 等价于存在使得， 即存在使得， 因，， 则当时，取得最小值，故得. 故实数的取值范围是. 49．已知函数． (1)当时，求的单调区间与极值； (2)若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值； (2) 【分析】 【详解】（1）当时，，所以， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值； （2）在上有解， 即在上有解， 即在上有解， 令，， 则 由（1）知时，即， 所以当时，当时； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数的取值范围是. 50．已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于的不等式有实数解，求的取值范围. 【答案】(1)的极大值为，无极小值 (2) 【分析】 【详解】（1）当时，， 则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值. （2）由题得2a）， 当时，，不符合题意； 当时，令，得； 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 由 得，解得； 当时，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 由， 得，解得. 综上，的取值范围为. 考点10 极值点偏移问题 51．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）若，则，， ，又， 故曲线在点处的切线方程为； （2）由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； （3）若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证. 52．已知函数有两个零点． (1)求a的取值范围； (2)设是的两个零点，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）解：由，得， 设，则，， 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又因为，所以， ， ， 所以a的取值范围是． （2）证明：不妨设， 由（1）知，则，，， 又在上单调递增， 所以等价于，即． 设， 则． 设，则， 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，又因为，，， 所以存在，使得，当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又因为，， 所以当时，，当时，， 所以当时，，单调递减， 因为，所以， 所以，即原命题得证． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是掌握极值点偏移的解题方法，对于这些典型题型，学生要理解并灵活掌握. 53．已知函数． (1)若，证明：； (2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：． 【答案】(1)证明见详解； (2),证明见详解． 【分析】 【详解】（1）当时，，定义域为 令，则 当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故，所以，得； （2）因为有两个不同的零点，则在定义域内不单调； 由 当时，在恒成立，则在上单调递减，不符合题意； 当时，在上有，在上有， 所以在上单调递增，在上单调递减． 故，所以, 而为增函数，且，故. 而当时，，时，， 故时，确有两个零点. 不妨设 令 则 当时，，则在上单调递增 所以 故，因为 所以，又， 则，又在上单调递减， 所以，则． 54．已知函数，. （1）若为上的增函数，求的取值范围； （2）若，，且，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）由在上为增函数，可得恒成立，即恒成立，构造函数，利用导数求此函数的最小值即可； （2）由于，且在上单调递增，，且，不妨设，令，利用函数可判断在上为减函数，所以有，，而在上为增函数，从而可得，从而， 【详解】（1）. 若在上为增函数，则恒成立， 即恒成立， 设，则， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，故， ∴实数的取值范围为； （2）证明：若，由（1）知在上单调递增，由于， 已知，，不妨设， 设函数，则 ， 则，设，则 ， 由于，故在上为增函数， ∴，∴在上为减函数， ∴， ∴， 而在上为增函数， ∴，故，从而， 即. 【点睛】此题考查导数的应用，考查由导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数判断函数的单调性，考查转化思想和计算能力，属于中档题 55．已知函数． （1）判断函数的单调性； （2）若方程有两个不同的根，求实数的取值范围； （3）如果，且，求证：． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减.；（2）；（3）证明见解析. 【分析】 【详解】解：（1）因为，所以，令，解得，令，解得， 即函数在上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）可得函数在处取得最大值，， 所以函数的图象大致如下： 易知函数的值域为． 因为方程有两个不同的根， 所以，即，，解得． 即实数的取值范围为． （3）证明：由，，不妨设， 构造函数，，， 则， 所以在，上单调递增，， 也即对，恒成立． 由，则，， 所以， 即，又因为，，且在上单调递减，所以， 即证． 即． 【点睛】本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调性及最值，考查不等式与函数单调性的应用，考查转化思想，属于中档题． 56．已知函数，其中. (1)设，若不等式对恒成立，求的取值范围. (2)，若，求证： 【答案】(1) (2)函数的定义域为， ， 当时，，所以，所以单调递增； 当时，，所以，所以单调递减. 因为，所以可设，则. 令， 则， 当，所以，，所以； 当，所以，，所以， 又，所以恒成立， 所以函数是增函数. 所以，所以， 即. 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为， . 当时，令，得. 当时，，所以； 当时，，所以. 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为. 因为不等式对恒成立，所以. 设， 则恒成立， 所以在上单调递增. 因为，所以，解得，即. 综上所述：的取值范围是. （2）略 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $null