专题05 数列解答题归纳（高效培优期末专项训练）高二数学人教B版

**基本信息** 聚焦数列解答题全题型，以“求通项-求和-综合应用”为主线，系统整合11类核心方法，构建从基础到创新的解题逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等差等比数列|5题|定义法/基本量法|概念生成基础，推导通项与求和公式| |累加累乘法|5题|递推式转化法|从特殊到一般，构建递推关系求解模型| |Sn与an关系|6题|公式法/分类讨论|连接前n项和与通项，强化逻辑推理| |分段递推|4题|分段转化法|培养分类整合的数学思维| |分组（并项）求和|5题|拆分重组法|化整为零，提升运算能力| |错位相减法|5题|错位相消技巧|等差乘等比模型的核心解法| |裂项相消法|5题|分式裂项规律|培养数据意识与化简能力| |插项/公共项数列|8题|构造新数列法|拓展应用场景，发展创新意识| |存在性/新定义问题|10题|假设验证/抽象建模|强化理性精神与数学表达能力|

专题05 数列解答题归纳 考点01 等差等比数列 考点02 累加累乘法 考点03 Sn与an求通项公式 考点04 分段递推数列求通项公式 考点05 分组（并项）求和法 考点06 错位相减法 考点07 裂项相消法 考点08 插项数列 考点09 公共项型数列 考点10 数列中的存在性问题 考点11 数列新定义问题 考点01 等差等比数列 1．在数列中，，． (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求的前项和． 2．在正项数列中，已知. (1)证明：为等比数列； (2)若，，求的前项和. 3．设数列是等比数列，已知，. (1)求； (2)若，证明数列是等差数列，并求其前项和的最小值. 4．已知数列为等差数列，，数列满足. (1)求； (2)求证数列为等比数列，并求该数列前项的和. 5．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求使成立的n的最小值. 考点02 累加累乘法 6．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 7．记为等差数列的前n项和，已知， (1)求的通项公式； (2)若数列满足，，求的通项公式. 8．已知数列满足，，是常数. (1)当时，求及的值； (2)当时，求数列的通项公式. 9．已知数列的首项为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数． 10．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式及； (2)若，，求数列的通项公式． 考点03 Sn与an求通项公式 11．已知数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 12．已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 13．已知数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项的积为，且，求的最大值. 14．记为数列的前n项和.已知. (1)证明：是等差数列； (2)若，，成等比数列，求的最小值.以及此时的n的值 15．已知数列的前项和为，且满足. (1)求的值； (2)求数列的通项公式. 16．已知是数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 考点04 分段递推数列求通项公式 17．已知数列满足，． (1)证明：求，的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 18．已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 19．已知数列中，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 20．已知数列满足． (1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求数列的前2n项和； 考点05 分组（并项）求和法 21．在公差不为0的等差数列中，已知成等比数列， . (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足 ，求数列的前项和. 22．已知数列满足：，，n∈N*. (1)求证：数列为等比数列； (2)记，若，求n的最大值. 23．已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求. 24．已知数列中，其前项和记为，且. (1)数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； (2)若，记，求的前20项的和. 25．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，令，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 考点06 错位相减法 26．已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列，求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 27．记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 28．在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 29．在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 30．已知数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 考点07 裂项相消法 31．已知正项数列的前n项和为，满足（）． (1)求和； (2)若，求证：（）． 32．已知数列为等差数列，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 33．已知等差数列的前项和为，且，；数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 34．设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 35．已知正项数列的前n项积为，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求的前200项和． 考点08 插项数列 36．已知等比数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式; (2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求 37．已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． 38．已知数列为递增的等比数列，其前n项和为，已知，，成等差数列，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前n项和. 39．已知等差数列的前项和记为，满足. (1)求等差数列的公差； (2)若数列为单调递减数列，求的取值范围； (3)若，在数列的第项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前项，形成新数列，记数列的前项和为，求. 40．已知数列的前项和，设数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，求数列的前2026项和. 考点09 公共项型数列 41．已知等比数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，，将数列与的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求的前10项和． 42．已知数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)已知，在数列中剔除与的公共项后余下的项按原顺序构成一个新数列，求数列的前192项和． 43．等差数列的前项和为，，，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)将数列与数列项从小到大排在一起，公共项只记一次，得到新的数列，求数列的前50项和. 44．已知各项均为正数的数列中， ，且满足，数列的前项和，满足 . (1)求数列的通项公式； (2)将数列中的公共项按照从小到大重新排列构成新数列，求数列的前项和. 45．已知等差数列满足，且.又数列中，且. (1)求数列，的通项公式； (2)若，则称（或）是，的公共项. ①直接写出数列，的前4个公共项； ②从数列的前100项中将数列与的公共项去掉后，求剩下所有项的和. 考点10 数列中的存在性问题 46．已知数列是等差数列，满足，，数列是首项为1的等比数列，且，，成等差数列． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，则在数列中是否存在不同的三项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 47．已知公差不为的等差数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若，是否存在不相等的正整数，使得成等差数列？若存在，求出，；若不存在，说明理由． 48．已知在数列中， (1)求数列的通项公式. (2)记，在数列中，是否存在三项能构成等差数列?若存在，求出该三项;若不存在，请说明理由. 49．已知为数列的前项和，且满足．单调递增的等比数列满足：． (1)计算的值并求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式并求； (3)记为数列的前项和，是否存在正整数使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 考点11 数列新定义问题 50．已知正项数列的前项和为，若，，其中，，则称为“数列”． (1)若是“数列”，求的值； (2)若是“数列”，且，探究是否为等比数列？请说明理由． 51．已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； (2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 52．设数列满足：①；②所有项；③．设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3． (1)若数列的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列 (2)若，数列的伴随数列为，求． (3)若数列的前n项和（其中c为常数），求数列的伴随数列的前m项和． 53．已知项数为m（，）的数列满足如下条件：①（，2，…，）；②.若数列满足，其中，2，…，，则称为“默契数列”. (1)数列1，5，9，13，17是否存在“默契数列”，若存在，写出其默契数列，若不存在请说明理由； (2)若为的“默契数列”，判断数列的单调性，并予以证明； (3)已知数列存在“默契数列”，且，，求的最大值. 54．已知数列满足：对任意的，都有（为常数），则称数列为“友好数列”，特别地，当时，数列为“极好数列”. (1)若数列的通项公式分别为，求证：数列为“友好数列”； (2)若数列为“极好数列”，，求数列的通项公式； (3)已知正整数列为“友好数列”，数列为等比数列，且，求证：数列为等差数列. 55．已知数列 ，设 .若 满足“存在常数 ，对任意两两不同的正整数，有 ”，则称 具有性质. (1)若 ，判断数列 是否具有性质（无需说明理由）. (2)若 ，判断数列 是否具有性质，并说明理由. (3)若数列 具有性质 ，判断 是否一定为等差数列，并说明理由. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数列解答题归纳 考点01 等差等比数列 考点02 累加累乘法 考点03 Sn与an求通项公式 考点04 分段递推数列求通项公式 考点05 分组（并项）求和法 考点06 错位相减法 考点07 裂项相消法 考点08 插项数列 考点09 公共项型数列 考点10 数列中的存在性问题 考点11 数列新定义问题 考点01 等差等比数列 1．在数列中，，． (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）已知，，. 对递推式变形： 即（常数）. 当时，. 因此数列是以为首项，为公比的等比数列. 由等比数列通项公式得： . 整理得的通项公式：. （2）由，前项和：. 等比数列求和：. 常数项求和：. 因此. 2．在正项数列中，已知. (1)证明：为等比数列； (2)若，，求的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为，所以，，所以为等比数列. （2）设公比为，因为，，所以， 所以，所以，所以， 所以的前项和为. 3．设数列是等比数列，已知，. (1)求； (2)若，证明数列是等差数列，并求其前项和的最小值. 【答案】(1) (2)证明：由，将变形为代入， 得. 计算相邻两项差值，结果为与无关的常数， 又， 故是首项为，公差为的等差数列. 根据等差数列前项和公式，. 根据二次函数性质，结合，可知当或时取得最小值， 代入计算得，， 即的最小值为. 【分析】 【详解】（1）设等比数列的公比为，由等比数列通项的推广性质得. 代入，，得，整理得，即. 由，得， 因此数列的通项公式为. （2）略 4．已知数列为等差数列，，数列满足. (1)求； (2)求证数列为等比数列，并求该数列前项的和. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【详解】（1）因为为等差数列，且， 设的首项为，公差为，则，解得， 所以. （2）因为， 所以， 因此为等比数列， 所以的前项和. 5．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)求使成立的n的最小值. 【答案】(1)； (2)6. 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为，首项为， 由题意可得，化简得， 解得，，所以. （2）由（1）可知. 由，得，即， 即，解得或. 因为，所以n的最小值是6. 即使成立的n的最小值为6. 考点02 累加累乘法 6．已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，则 ，，…，又， 累加可得. （2）由（1），则，故 7．记为等差数列的前n项和，已知， (1)求的通项公式； (2)若数列满足，，求的通项公式. 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 因为，， 解得，， 故的通项公式为； （2）由题意，可得， 当时， ， 当时，也成立， 所以的通项公式为 8．已知数列满足，，是常数. (1)当时，求及的值； (2)当时，求数列的通项公式. 【答案】(1), (2) 【分析】 【详解】（1），所以， （2）当时，，即, 当时，， 所以，因为，所以， 经检验符合，所以. 9．已知数列的首项为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数． 【答案】(1) (2)8 【分析】 【详解】（1）当时，， 将以上等式两边分别累加，可得， ， 当时，也符合上式．． （2）， ， ， ， ， 的最大值为8. 10．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式及； (2)若，，求数列的通项公式． 【答案】(1)，； (2). 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为．因为，， 所以，，则，． （2）因为，即，所以当时,． 所以当时, ． 当时，，符合上式. 故数列的通项公式为. 考点03 Sn与an求通项公式 11．已知数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）已知，当时，有， 两式相减得， 整理得，又当时， 得，所以是以为首项，为公比的等比数列， 其通项公式为，则的通项公式为. （2）由（1）可得 . 12．已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，故，两式相减 所以即，故等比数列的公比为， 当时，，故， 故 （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前项和 13．已知数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项的积为，且，求的最大值. 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）①， 当时，，解得， 当时，②，式子①-②得 ，即， 故为首项为2，公比为2的等比数列， 所以； （2）， 所以， 因为在R上单调递增， 所以只需求出的最大值， 其中， 又，所以当或时，取得最大值， 最大值为， 所以的最大值为. 14．记为数列的前n项和.已知. (1)证明：是等差数列； (2)若，，成等比数列，求的最小值.以及此时的n的值 【答案】(1)证明见解析 (2)或13，最小值为. 【分析】 【详解】（1）由，得①， 所以②， 由②-①，得， 化简得， 所以数列是公差为1的等差数列. （2）由（1）知数列的公差为1. 由，得， 解得. 所以， 所以当或13时，取得最小值，最小值为. 15．已知数列的前项和为，且满足. (1)求的值； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，可得，解得，. 当时，可得，， 解得. （2）因为，当时，. 所以， 即，（）， 另由得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. . 16．已知是数列的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由， 当时，， 当时，可得， 两式相减得：，所以有， 也符合上式， 所以； （2）当时，有 当时，有， 所以有 . 考点04 分段递推数列求通项公式 17．已知数列满足，． (1)证明：求，的值，并证明数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)，， 证明：当时，可得， 当时，可得， 因为，，， 所以，， 所以数列为首项为，公比为的等比数列． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）得，， 则，， 所以 ， 所以， 则， 所以， 即． 18．已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2)数列为单调递增数列，理由见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）因为，， 所以，， ，， . 又， 所以，，. （2）因为， 且. 所以是以32为首项，4为公比的等比数列. 因为，公比， 所以数列为单调递增数列. （3）由（2）可知，，所以， 所以. 由， 所以. 所以. 19．已知数列中，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)依题意，， 因此， 即，又， ， 所以数列 是以为首项，3为公比的等比数列. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）得，即，又 ， 则， 因此， 则， 所以数列的前项和为. 20．已知数列满足． (1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求数列的前2n项和； 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】 【详解】（1）由题意得： ， 又，所以， 所以数列是以为公比，首项为的等比数列， 所以； （2）由（1）有，所以， 所以， 又，所以 所以 ， 所以 . 考点05 分组（并项）求和法 21．在公差不为0的等差数列中，已知成等比数列， . (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足 ，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为 ，所以，即，即 又因为成等比数列，所以，即，即， 联立方程组，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 所以 ， 因为，， 可得，， 所以，所以数列的前2n项的和为． 22．已知数列满足：，，n∈N*. (1)求证：数列为等比数列； (2)记，若，求n的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)50 【分析】 【详解】（1）由，得，即， 又， 所以数列为等比数列，首项为，公比为. （2）由（1）知，，所以， 所以. 由，得，即. 易知是递增数列， 令，，， 所以， 所以. 23．已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以当时，； 当时，， 又因为，满足上式， 所以的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 所以 ． 24．已知数列中，其前项和记为，且. (1)数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； (2)若，记，求的前20项的和. 【答案】(1)当时，，解得， 当时，，， 所以，化简得 ①， ，化简得   ②， ①-②得，化简得， 所以数列是以1为首项的等差数列. (2)600. 【分析】 【详解】（1）略 （2） 由（1）可知，数列是以1为首项的等差数列，，公差为2， 所以， 因为， 所以， 所以 . 25．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，令，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，为所有不小于的偶数 【分析】 【详解】（1）当时，， 当时， ， 因为也满足，所以． （2）①当时，， 所以， 所以当时，为递增数列， 又当时，， 当时，， 当时，， 故存在正整数，使得． ②当时，， 所以， 因为，所以， 所以当时，为递减数列，所以， 故不存在正整数，使得． 综上，存在满足条件的正整数，其取值为所有不小于的偶数． 考点06 错位相减法 26．已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列，求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以. 所以，则. 因为，所以， 所以数列是首项和公比均为的等比数列. 所以，所以. （2）由（1）得，所以，所以. 所以 . 设， 则， ， ， ， 所以. 27．记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 所以， 两式相减并整理得， 则， 当时，，则， 所以， 所以数列为首项为的等比数列，故各项均为，则， 所以. （2）由（1）知，， 则， ， 两式相减得 ， 故. 28．在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，得， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，解得； （2）①， ②， ①②得， ， 所以． 29．在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)在数列中，，，则， 所以，即，解得， ，即，解得，， 以此类推可知，对任意的，，所以，即， 所以，所以数列为等比数列，首项为，公比为. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，所以， 所以， 设数列的前项和为， 则， ①， ②， ①②得 ，所以， 故. 30．已知数列满足，，，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2) 【详解】（1）由已知，， 可得，， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，则 数列是以为首项，2为公差的等差数列， 从而可以得到，； （2）由（1）可得， 设数列的前项和为， 所以， ， 错位相减得 ， 所以. 考点07 裂项相消法 31．已知正项数列的前n项和为，满足（）． (1)求和； (2)若，求证：（）． 【答案】(1)，； (2)由（1）可知，则      于是有： ． 【分析】 【详解】（1）（），①， （），②， 由②-①得（）， 即． 又，所以，． 又，解得或0（舍）， 故，． （2）略 32．已知数列为等差数列，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由得， 由得， 解得，. 所以. （2），则， 所以. . 33．已知等差数列的前项和为，且，；数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，得， ； ， ， 当且时，， 两式相减得，则； 当时，，满足； 综上所述：； （2）， 则； 34．设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）设的公比为，则，而，得， 已知，所以， 所以，则. （2）， ． 35．已知正项数列的前n项积为，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求的前200项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由，得，则，                当时，则，得，                      所以数列是以4为首项，3为公差的等差数列． （2）由（1）得，， 则，                 所以         ， 所以． 考点08 插项数列 36．已知等比数列的前n项和为， (1)求数列的通项公式; (2)在数列的相邻项与之间插入k个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前n项和，求 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由，得， 两式相减得， 即，， 得等比数列的公比， 又当时，，所以，所以 （2）数列为：3，，，1，1，，，，， 以如下划分：3，，，1，1，，，，，，得项数， 当时共有项数， 当时共有项数， 所以 . 37．已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：因为， 所以当时，， 两式相减得，所以， 当时，，满足， 故的通项公式为． （2）解：因为在和之间插入个数后构成等差数列，公差为， 所以，即，， 所以① ② ①－②得：， 所以． 38．已知数列为递增的等比数列，其前n项和为，已知，，成等差数列，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设数列公比为，由题意可得，， 可得，解得， 所以， 化简得，解得或， 因为数列为递增数列，所以，则. （2）由题意可得，则， 设数列的前n项和为， 则， 即， 两式作差得， . 39．已知等差数列的前项和记为，满足. (1)求等差数列的公差； (2)若数列为单调递减数列，求的取值范围； (3)若，在数列的第项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前项，形成新数列，记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为，由于， 所以，解得. （2）由（1）可得， 若数列为单调递减数列，则对于恒成立， 所以在上恒成立， 则，所以，又数列为递增数列，所以，即， 故的取值范围为； （3）若，则， 根据题意数列为： 第一组为：1，； 第二组为：，，； 第三组为：，，，； …… 第组为：，，，，…，； 则前组一共有项，当时，项数为. 故相当于是前组的和再加上这三项，即： 设，则可看成是数列的前项和 所以. 40．已知数列的前项和，设数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，求数列的前2026项和. 【答案】(1)， (2) (3)2646 【分析】 【详解】（1）当时，， 则， 当时，，符合上式，故； 由，则， 则时，有， 故，即； 当时，，符合上式，故； （2）， 则； （3）：，1，，，，，3，3，3，，…，，…， 从到共有项， 所以，当时，， . 考点09 公共项型数列 41．已知等比数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，，将数列与的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求的前10项和． 【答案】(1)； (2)243 【分析】 【详解】（1）设等比数列的公比为q，依题意可得，，，故， 又，解得（负值舍去），故， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知，所以， ， 当时，， 当时，． 所以， 由与公共项按从小到大的顺序组成，可设，m为正整数． 若，则，公共项为0； 若，则由，可得，n必须为偶数，令，， 则公共项为． 故且从第2项起，是以3为首项、6为公差的等差数列， 即， 所以数列的前10项和为． 42．已知数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)已知，在数列中剔除与的公共项后余下的项按原顺序构成一个新数列，求数列的前192项和． 【答案】(1) (2)79380 【分析】 【详解】（1）当时，，所以； 当时，，所以； 当n为偶数时，； 当n为奇数时，； 综上所述：. （2）设的前n项和为，的前n项和为， 由（1）可知，， 当时，可知与的公共项为4，8，16，，共8项， 所以数列的前192项和. 43．等差数列的前项和为，，，数列满足. (1)求数列和的通项公式； (2)将数列与数列项从小到大排在一起，公共项只记一次，得到新的数列，求数列的前50项和. 【答案】(1)， (2)3421 【详解】（1）因数列是等差数列，则，得， 又，所以，所以等差数列的公差， 则； 因，① 当时，，② 得，，即， 当时， ，解得，满足上式， 则， 综上所述，数列的通项公式为， 数列的通项公式为. （2）由（1）可得，数列是递增数列，且，， 又因为，，，，，，，， 经验证数列中的，，均在中的前50项， 从而数列中需要取47项， 所以数列的前50项和. 44．已知各项均为正数的数列中， ，且满足，数列的前项和，满足 . (1)求数列的通项公式； (2)将数列中的公共项按照从小到大重新排列构成新数列，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）已知且满足，将等式移项变形得， 由题意数列 的各项均为正数，所以 ，得， 说明数列是一个首项，公差的等差数列。 故数列的通项公式为， 由于数列的前项和满足，则，即， 当时，有和，两式相减得：，即， 这说明数列是一个首项，公比的等比数列， 因此，数列 的通项公式为. （2）首先找数列和的公共项，以确定数列的通项公式， 数列为：（即的倍数，且大于等于） 数列为：（即的幂次） 观察两数列，可以发现： 第个公共项是， 第个公共项是，第个公共项是， 以此类推，第个公共项对应的是数列中的第项，所以， 因此，则数列的前项和， 设，则， 两式相减得，即， 而， 因此. 45．已知等差数列满足，且.又数列中，且. (1)求数列，的通项公式； (2)若，则称（或）是，的公共项. ①直接写出数列，的前4个公共项； ②从数列的前100项中将数列与的公共项去掉后，求剩下所有项的和. 【答案】(1)，； (2)①；②9880. 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则有，解得， 因此；由，得，而， 则数列是以为首项，公比为3的等比数列，， 所以数列，的通项公式分别为，. （2）①由（1）知，，， 则，， 所以数列，的前4个公共项依次为. ②，而， 因此数列的前100项中是数列与的公共项的只有这4项， 所以剩下所有项的和为. 考点10 数列中的存在性问题 46．已知数列是等差数列，满足，，数列是首项为1的等比数列，且，，成等差数列． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若，则在数列中是否存在不同的三项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不存在这样的三项，理由见解析 【分析】 【详解】（1）设公差为，由得， 又，故，所以． 设公比为，由且， 得，解得（舍），故． （2）由（1）知，，则， ． 两式相减得． 故． （3）， 假设存在三项，，成等比数列，且， 则，即，整理得． 由得， 代入得， 整理得，即，与矛盾，故不存在这样的三项． 47．已知公差不为的等差数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若，是否存在不相等的正整数，使得成等差数列？若存在，求出，；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，则， 整理得，且，所以．                      又因为，则， 解得，所以． （2）由（1）可得，             则， ． 两式相减得 ， 所以． （3）由（1）可得，则，                  假设存在，使得成等差数列， 则，即，化简得， 则， 又，为不相等的正整数，                                         若，则（舍去）； 若，则，符合题意； 综上可得. 48．已知在数列中， (1)求数列的通项公式. (2)记，在数列中，是否存在三项能构成等差数列?若存在，求出该三项;若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）令，则由得 　①，　②， 由得， 数列是首项分别为公差均为的等差数列. . 综上，数列的通项公式为 （2）由(1)可知，，假设数列中存在三项 (其中)成等差数列， 则即， 两边同时除以，得. 为偶数，为奇数， 等式不成立， 数列中不存在三项构成等差数列. 49．已知为数列的前项和，且满足．单调递增的等比数列满足：． (1)计算的值并求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式并求； (3)记为数列的前项和，是否存在正整数使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)；. (3)存在符合条件的正整数． 【分析】 【详解】（1）当时，由； 当时，由. 又当时，， ， 上两式相减得： 是公差为2，首项为1的等差数列，. （2）由得：， 单调递增等比数列的通项公式为， 所以. （3）由（1）可得：是首项为1，公比为的等比数列，故其前项和， 故不等式等价于，即，也即， 所以， 所以. 由即成立， 又为正整数，故可得，将其代入， 可得：，又为正整数，故． 故存在符合条件的正整数，其中． 考点11 数列新定义问题 50．已知正项数列的前项和为，若，，其中，，则称为“数列”． (1)若是“数列”，求的值； (2)若是“数列”，且，探究是否为等比数列？请说明理由． 【答案】(1)； (2)不是，理由见解析. 【分析】 【详解】（1）由正项数列是“数列”，得，则，而， 所以. （2）由正项数列是“数列”，得，， 则，即，而， 因此，当时，， 两式相减得，即，而， 则，又，即，则， 由，得，即不满足， 所以数列不是等比数列. 51．已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； (2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】 【详解】（1）由题意可知数列，得 ， 则； （2）（i）设等比数列的公比为， 由题意可知，， 解得或（不符合题意舍去）， 所以， 此时数列， 因为， 所以集合中元素最多为个，即， 对于数列，此时， 若存在，则，其中， 故， 若，不妨设，则，而， 故为偶数，为奇数，矛盾，故， 故由得到彼此互异， 所以； （ii）， ， 则 . 52．设数列满足：①；②所有项；③．设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3． (1)若数列的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列 (2)若，数列的伴随数列为，求． (3)若数列的前n项和（其中c为常数），求数列的伴随数列的前m项和． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】 【详解】（1）依题意，数列为. （2）由，得， 当时，，共2项；当时，，共6项； 当时，，共18项；当时，，共54项； ；当时，，共项， 则 令， 于是， 两式相减得， 因此，所以. （3）由数列的前n项和，得，解得，即 当时，，而满足上式，因此， 由，，得， 由使得成立的的最大值为，得， 当时，， 当时，， 所以. 53．已知项数为m（，）的数列满足如下条件：①（，2，…，）；②.若数列满足，其中，2，…，，则称为“默契数列”. (1)数列1，5，9，13，17是否存在“默契数列”，若存在，写出其默契数列，若不存在请说明理由； (2)若为的“默契数列”，判断数列的单调性，并予以证明； (3)已知数列存在“默契数列”，且，，求的最大值. 【答案】(1)存在；11，10，9，8，7. (2)单调递减，证明见解析 (3)46 【分析】 【详解】（1）数列1，5，9，13，17存在“默契数列” 因为， ，， ，， 所以数列1，5，9，13，17存在“默契数列”为：11，10，9，8，7. （2）数列为单调递减数列． 因为，，， 又因为，所以有， 所以， 即成立 所以数列为单调递减数列． （3），都有， 因为，． 所以， 所以， 所以 因为， 所以， 又 ， 则，即，，所以． 所以的最大值是46． 54．已知数列满足：对任意的，都有（为常数），则称数列为“友好数列”，特别地，当时，数列为“极好数列”. (1)若数列的通项公式分别为，求证：数列为“友好数列”； (2)若数列为“极好数列”，，求数列的通项公式； (3)已知正整数列为“友好数列”，数列为等比数列，且，求证：数列为等差数列. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为数列的通项公式分别为， 所以. 设， 则， 两式相减，可得 ， 所以. 又， 所以对任意，都有， 所以为“友好数列”. （2）因为，所以，，， 且， 所以，① 当时，，② ①-②得，即. 当时，①可化为，即 所以成立，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. （3）因为数列为“友好数列”， 所以对任意的，都有. 设等比数列的公比为，则. 当时，可得，即. 由得或. 当时，. 当时，，则. 当时，，则. 这与矛盾，所以不符合题意. 当时，， 进而时，恒有，① 所以时，恒有，② ①-②可得. 故数列为等差数列. 55．已知数列 ，设 .若 满足“存在常数 ，对任意两两不同的正整数，有 ”，则称 具有性质. (1)若 ，判断数列 是否具有性质（无需说明理由）. (2)若 ，判断数列 是否具有性质，并说明理由. (3)若数列 具有性质 ，判断 是否一定为等差数列，并说明理由. 【答案】(1)数列不具有性质. (2)数列具有性质，理由见解析. (3) 一定为等差数列，理由见解析. 【分析】 【详解】（1），是以为首项，公比为的等比数列，其前项和，. 取代入计算. 再取代入计算. 两次计算结果不相等，不存在常数满足性质的定义，故不具有性质. （2），是以为首项，公差为的等差数列，其前项和，. 将代入表达式： . 故存在满足性质的定义，故数列具有性质. （3）具有性质， 故对任意两两不同的正整数，有 ， 同理两两不同的正整数，有，故. 由性质的定义知， ，再令，记数列的前项和为， 则有， 故，， 故. 作差可得， 故，其中， 而，故，故满足此式， ，故满足此式， 综上，，其中， 故，故是等差数列. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $