专题04 四大分布及其分布列（高效培优期末专项训练）高二数学人教B版

**基本信息** 聚焦四大分布（两点、二项、超几何、正态分布）的概念理解与应用，构建从离散到连续分布的知识体系，通过典型问题培养数据分析与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |两点分布|5题|定义辨析、数字特征计算|基础分布，为二项分布铺垫| |二项分布|15题|分布列、均值方差、概率最值|独立重复试验模型，连接两点分布与应用问题| |超几何分布|6题|不放回抽样的分布列与期望|区别于二项分布的抽样模型| |正态分布|7题|概率计算、性质应用|连续型分布，体现统计规律| |应用问题|17题|决策、比赛、疾病检验|综合运用分布知识解决实际问题|

专题04 四大分布及其分布列 考点01 两点分布问题 考点02 二项分布的均值与方差 考点03 二项分布的分布列 考点04 二项分布中的概率最值问题 考点05 超几何分布的概率、分布列 考点06 正态分布的概率计算 考点07 正态分布的性质应用 考点08 决策问题 考点09 比赛问题 考点10 疾病检验问题 考点01 两点分布问题 1．已知随机变量均服从两点分布，若，且，则（   ） A． B． C． D． 2．若随机变量X服从两点分布，其中，、分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知随机变量服从两点分布，且，则______，______. 4．若随机变量服从两点分布，其中，则______． 5．已知随机变量，均服从两点分布，与相互独立，且．若，则__________，的期望为__________． 考点02 二项分布的均值与方差 6．月日是我国的植树节，这一天，小明参加了学校组织的植树活动，种植了，两种树苗各棵，种树苗的成活率为，种树苗的成活率为，记，两种树苗最终成活的棵数分别为，，则（     ） A．15 B．16 C．17 D．18 7．将一张正方形纸片连续进行6次折叠操作，每次操作中，沿中线折叠（记为“直线操作”）的概率为，沿对角线折叠（记为“斜线操作”）的概率为，各次操作相互独立．记X为6次操作中“斜线操作”的次数，且，则6次操作中“直线操作”次数的期望为（    ） A． B． C． D． 8．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则（    ） A． B． C． D． 9．小王到某公司面试，一共要回答3道题，每道题答对得2分，答错减1分，设他每道题答对的概率均为（），且每道题答对与否相互独立，记小王答完3道题的总得分为，则当取得最大值时，______________． 10．已知随机变量，，且，则_______ 考点03 二项分布的分布列 11．根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示． 假设每名队员每次射击相互独立． (1)求图中的值． (2)队员甲进行三次射击，求击中目标靶的环数不低于8环的次数的分布列及数学期望（频率当作概率使用）； (3)由图判断，在甲、乙两名队员中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论不需证明） 12．在一次招聘中，应聘者要进行三项测试，至少通过两项测试即可被录用.已知甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是，且所有测试结果相互独立. (1)求甲没有被录用的概率； (2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列及期望. 13．根据统计数据，某会员店的本地会员占70%，外地会员占30%．现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 14．某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件，其中不合格的零件占，从中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为X． (1)求随机变量X的分布列和期望； (2)对抽取的3个零件进行检测，若每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品，需额外支出25元的处理费用．本次检测的总费用为Y元，求随机变量Y和X的关系式，并利用它求出Y的数学期望． 15．甲､乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为.现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为. (1)求甲､乙两条生产线的产量之比. (2)从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望. 考点04 二项分布中的概率最值问题 16．某环境监测站对一款水质检测设备进行算法优化，规定检测误差率低于3%的检测结果为合格．技术人员分别采集该设备优化前、优化后对同一批水样的检测数据并加以统计，得到如下列联表： 单位：份 设备 检测结果 合计 合格 不合格 优化前 82 18 100 优化后 98 2 100 合计 180 20 200 (1)根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为该设备算法优化与检测结果的准确性有关联？ (2)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取该设备算法优化后的水样1000份，记其中检测结果为合格的份数为，求使事件“”的概率最大时的值． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．某智能制造工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同款精密零件，其中甲生产线产能占总产量的，乙占，丙占；三条生产线的次品率分别为、、，所有零件外观无差异，随机混装入库． (1)随机抽取1件入库零件，求该零件为次品的概率； (2)若抽检发现该零件为次品，求该次品来自甲生产线的概率； (3)现从入库产品中随机独立抽取（，）件产品，记次品数量为，若，求正整数的最大值与最小值． 18．某商场举行五一节优惠活动，顾客每消费满100元可抽奖一次.抽奖规则如下：箱中共有4个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，顾客每次随机摸出3个球，若摸出的红球不少于2个则中奖，否则不中奖.各次抽奖互不影响. (1)求抽奖一次中奖的概率； (2)商场规定每中奖一次，返现10元.设某顾客在活动期间消费元，按规定返现元.若事件“”的概率最大，求的最小值. 19．为了丰富校园文化生活，某校举办了一年一度的文体艺术周活动，其中学校文艺社团组织了趣味答题比赛，比赛规则如下： ①每位参赛学生参加5轮答题比赛； ②每一轮比赛，参赛学生从10道题中随机选择4道作答，每答对一道题积1分，答错或不答积0分； ③每一轮比赛，参赛学生获得积分不低于3分可获得一张“挑战达人”票． 从文艺社团负责人处了解到：这10道题有7道参赛学生都会，有3道参赛学生都不会． (1)求参赛学生甲在一轮比赛中获得积分X的分布列和数学期望； (2)若参赛学生甲每轮获得“挑战达人”票的概率稳定且每轮是否获得“挑战达人”票相互独立，则学生甲在5轮比赛中获得多少张“挑战达人”票的概率最大？最大概率是多少？ 20．随着AI技术的发展，计算机科学受到越来越多的人关注，计算机内部数的计算采用的是二进制．一般地，k位二进制数可以表示为，其中，并约定，比如全体3位二进制数构成的集合为．设全体位二进制数构成的集合为，其中正整数，从集合中等可能地取出一个二进制数，设这个二进制数中数码0出现的次数为． (1)若，求概率； (2)若，记的概率为，当取得最大值时，求的值． 考点05 超几何分布的概率、分布列 21．有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地任取2件，若X表示取得次品的件数，则（ ） A． B． C． D．0.7 22．已知盒子中装有个红球和2个白球，从中任取3个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A．4 B．5 C．6 D．9 23．一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个黄球、6个白球，从中随机地摸出3个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． (1)若抽出黄球赋1分，白球赋2分，求随机摸出3个球得分大于3分的概率； (2)求X的分布列、期望和方差． 24．2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放.冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约､安全､精彩”的冬奥盛会拉开序幕. 为了解“开幕式”当晚的收看情况，对某地区居民进行简单随机抽样，获得数据如下表：（用频率估计概率） 收看方式 通过电视收看 通过手机收看 没有收看 人数（人） 200 300 100 (1)从该地区被调查对象中随机选取1人，估计此人是通过电视收看的概率； (2)采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用表示这3人中通过手机收看的人数，求的分布列和期望； (3)从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人没有收看的概率为；若3人都用手机收看的概率为.试比较与的大小.（直接写出结论） 25．在产品质量检测领域，生产不合格电子产品极易造成使用隐患，我国的（产品质量法）中将生产不合格电子产品的行为分成两个类别：“轻微不合格”和“严重不合格”．市场监管部门对某电子厂的一次抽检行动中，依法检查了400件电子产品的质量情况，其中查出轻微不合格的有8件，查出严重不合格的有4件． (1)记在生产的1件产品为不合格产品的条件下，该产品为严重不合格产品的概率为，求的估计值； (2)从不合格的12件产品中抽取3件，求抽取到严重不合格产品的数量的分布列和期望． 26．某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有10个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为． (1)求的值．小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故．请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； (2)对抽取的3个零件进行检测，每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品，需额外支出25元的处理费用．设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布与数学期望． 考点06 正态分布的概率计算 27．（多选）某次多省联考中，所有学生数学考试成绩服从正态分布，且有．现按16％，34％，34％，16%的比例将成绩由高到低划分为A，B，C，D四个等级，下列说法正确的有（   ） A．所有学生成绩的标准差为100 B．若某考生成绩为105分，则其等级为B C． D．随机抽取名考生，得A等级的人数记为，则 28．（多选）小张上班有时坐地铁，有时骑电动车，他各记录了100次坐地铁和骑电动车上班所用的时间，经数据分析得到：坐地铁平均用时30分钟，样本标准差为6；骑电动车平均用时36分钟，样本标准差为2．已知随机变量，则．假设小张坐地铁用时X和骑电动车用时Y都服从正态分布，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若某天有40分钟可用，小张要想尽可能不迟到应选择骑电动车 D．若某天有37分钟可用，小张要想尽可能不迟到应选择乘地铁 29．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（    ） A． B．若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车 C． D．若某天只有38分钟可用，小明应选择坐公交车 30．为了调查某梨园中梨的生长情况，在梨园中随机采摘了个梨．经整理分析后发现，梨的重量（单位：kg）近似服从正态分布，且，．若从该梨园中随机采摘个梨，则该梨的重量在内的概率为（    ） A． B． C． D． 31．某校高一年级学生的身高（单位：厘米）近似服从正态分布．若规定高一年级学生的身高至少要有160厘米才算达标，现从该校高一年级学生中随机抽取一名学生，则该学生身高达标的概率约为（    ） 附：若随机变量服从正态分布，则． A．0.6827 B．0.9545 C．0.85135 D．0.84135 32．在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为（单位：，以下同），且. (1)分别写出，的值； (2)若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在内的铜棒根数； (3)若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在内的概率. 参考数据：若，则，，. 考点07 正态分布的性质应用 33．设，且，则（     ） A．0.3 B．0.35 C．0.4 D．0.45 34．已知随机变量X服从正态分布，若，则的最大值为（     ） A． B． C．1 D．2 35．已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为（    ） A． B． C．120 D．160 36．已知随机变量服从正态分布，若，其中，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 37．若随机变量，且，则________． 考点08 决策问题 38．某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生．该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的． (1)求乙恰好答对两个问题的概率； (2)请从期望和方差两个数字特征的角度考虑选择哪名同学去参赛更合理? 39．某游戏共设置了三关，选手按顺序通关挑战，若选手通过本关，则进入下一关挑战，否则游戏结束，且第三关无论通过与否，游戏结束.甲参加该游戏，他通过第一、二、三关的概率分别是，，，假设他每关通过与否相互独立. (1)求甲通过三关的概率； (2)设随机变量X为甲参与挑战的关数，求X的分布列； (3)现有两种奖励方案，方案A为三关全通过则获奖200元，否则得0元，方案B为每通过一关获奖60元，以游戏结束时甲获奖的期望为依据，分析甲应该选择哪种方案，说明你的理由. 40．某校开展了“学党史”知识竞赛活动，竞赛试题由若干选择题和填空题两种题型构成，每位选手共需要回答三个问题.对于每一个问题，若回答错误得0分；若回答正确，填空题得30分，选择题得20分.现设置了两种活动方案供选手选择.方案一：只回答填空题；方案二：先回答填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次选择填空题；若上题回答错误，则下一次选择选择题.已知甲、乙两位同学能正确回答填空题的概率均为，能正确回答选择题的概率均为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若甲同学采用方案一答题，求甲得分不低于60分的概率； (2)分别列出乙同学选择两种方案得分的分布列，并说明乙同学应该选择何种方案参加比赛更加有利. 41．某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案． 方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元； 方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元． (1)设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； (2)设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差； (3)如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由． 42．某学校进行趣味投篮比赛，设置了A，B两种投篮方案.方案A：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案B：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案A投中的概率都为，选择方案B投中的概率都为，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响. (1)若甲选择方案A投篮，乙选择方案B投篮，记他们的得分之和为X，，求X的分布列； (2)若甲、乙两位员工都选择方案A或都选择方案B投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？ 43．甲､乙去某公司应聘面试．该公司的面试方案为：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)分别求甲､乙两人正确完成面试题数的分布列； (2)请从均值和方差的角度分析比较甲､乙两人谁的面试通过的可能性较大？ 考点09 比赛问题 44．（多选）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．随着n的增大而增大 45．甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分． (1)求一局比赛中，甲6：0获胜的概率； (2)记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望； (3)若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率． 46．某射击比赛决赛阶段，甲、乙两名选手争夺金牌，比赛无平局，每局比赛结果相互独立.决赛采用全新的“抢赛制”：每局比赛胜者得3分，负者得1分；若某选手连续2局获胜，或积分率先达到分，则该选手获得冠军，比赛结束.设决出冠军时的比赛总局数为． (1)请在①②两个问题中选择一个作答： ①若甲、乙在每局比赛中获胜的概率均为，求的分布列与数学期望； ②由于心理素质差异，甲在单局比赛中获胜的概率为．试求出平均比赛总局数关于的函数解析式，并求当为何值时，达到最大； (2)经赛后数据分析，甲在该项目单局比赛的实际胜率为．在某训练赛中，甲乙共进行了局比赛，试求为何值时，甲获胜局的概率最大？ 47．已知甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊赛，比赛规则如下：①每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分；②若其中一队的累计得分先达到5分及以上，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未决出最终的胜负，则进行双打比赛，每场双打比赛获胜的一方得2分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为；每场双打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为． (1)设5场单打比赛后，甲队的累计得分为随机变量，求的概率分布列和数学期望； (2)求决出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率． (3)求甲队赢得最终胜利的概率． 48．已知A、B、C三名同学在体育课上进行投篮比赛，每人进行两次投篮，三名同学第一次投篮命中的概率均为，在第一次投篮命中的条件下第二次投篮命中的概率依次为，，，三名同学投篮互不影响． (1)求三名同学至少有两名同学在第一轮投中的概率； (2)设三名同学中两次都投进的人数为随机变量X，求X的分布列； (3)若三名同学完成投篮后，恰有一名同学投进两次，求该同学是A的概率． 49．某校社团举行“网络安全”知识竞赛，规则如下：每位选手需要独立完成3道题目，答对一题得2分，答错一题得分，3道题目累加得分多者获胜，甲、乙两位同学报名参加比赛，两人分别独立答题，互不影响，若甲、乙正确回答每道题的概率分别为、. (1)求比赛结束后甲得3分的概率； (2)已知在甲获胜的前提下，乙恰好得3分的概率为，求的值. 考点10 疾病检验问题 50．荆州疫情期间，要对荆州市民做一次全员检测，彻底摸清荆州市的详细情况某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式： 方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验次． 方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血就只需检验一次这时认为每个人的血化验次；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验这样，该组个人的血总共需要化验次假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立． (1)设，在方案②中按分组，求某一组的混合血液呈阴性的概率； (2)设方案②中，某组个人中每个人的血化验次数为，求的分布列； (3)设 试比较方案②中，分别取，，时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以减少多少次？最后结果四舍五入保留整数 51．某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．（参考数值：） (1)按照这种化验方法能减少化验次数吗？ (2)如果携带病毒的人只占2%，按照个人一组，求每个人需要的化验次数的期望？ 52．某检测中心在化验血液时有两种化验方法： ①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次. ②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验1次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次. (1)现有5份血液样本，其中有2份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率； (2)现有10份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用5份为一组的混合化验法进行化验，记这10份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列；. (3)现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为，当时，求的最大值. （参考数据：） 53．卫生检疫部门在进行病毒检疫时常采用“逐一检测”或“混采检测”（随机地按人一组平均分成组，然后将各组个人的血样混合再化验．如果混管血样呈阴性，说明这个人全部阴性；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次）．已知某种病毒性疾病在某地的患病率（患病率）为． (1)当时，已知某组混管血样呈阳性，且这5人中只有1人患病． （i）将该组每个人的血液逐个化验，直到查出患病人员为止．用表示所需化验次数，求的期望； （ii）先从该组中取3人的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这3人的血液再逐个化验，直到查出患病人员；若不呈阳性，则对剩下的2人再逐个化验，直到查出患病人员．用表示所需化验次数，求的期望； (2)已知某次“混采检测”的血样总数为20000，记检验总数次数为，当时，求的最大值. 54．由于X病毒正在传染蔓延，对人的身体健康造成危害，某校拟对学生被感染病毒的情况进行摸底调查，首先从两个班共100名学生中随机抽取20人，并对这20人进行逐个抽血化验，化验结果如下：.已知指数不超过8表示血液中不含病毒；指数超过8表示血液中含病毒且该生已感染病毒. (1)从已获取的20份血样中任取2份血样混合，求该混合血样含病毒的概率； (2)已知该校共有1020人，现在学校想从还未抽血化验的1000人中，把已感染病毒的学生全找出. 方案A：逐个抽血化验； 方案B：按40人分组，并把同组的40人血样分成两份，把其中的一份血样混合一起化验，若发现混合血液含病毒，再分别对该组的40人的另一份血样逐份化验； 方案C：将方案中的40人一组改为4人一组，其他步骤与方案相同. 如果用样本频率估计总体频率，且每次化验需要不少的费用.试通过计算回答：选用哪一种方案更合算？（可供参考数据：） 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 四大分布及其分布列 考点01 两点分布问题 考点02 二项分布的均值与方差 考点03 二项分布的分布列 考点04 二项分布中的概率最值问题 考点05 超几何分布的概率、分布列 考点06 正态分布的概率计算 考点07 正态分布的性质应用 考点08 决策问题 考点09 比赛问题 考点10 疾病检验问题 考点01 两点分布问题 1．已知随机变量均服从两点分布，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为服从两点分布，且． 设，则， 由，解得．于是． 2．若随机变量X服从两点分布，其中，、分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，的分布列为 则，，故A，C正确； ，故B正确； ，故D错误. 3．已知随机变量服从两点分布，且，则______，______. 【答案】 / / 【详解】两点分布满足所有概率和为，即. 已知，代入得， 解得，同时得. 对于服从两点分布的随机变量，方差公式为（其中）， 代入得. 4．若随机变量服从两点分布，其中，则______． 【答案】 【详解】随机变量服从两点分布，，则， ，. 5．已知随机变量，均服从两点分布，与相互独立，且．若，则__________，的期望为__________． 【答案】 0.21 1 【详解】两点分布中仅取或，当且仅当且， 已知，，故， 又相互独立，因此： ； 根据期望的线性性质：， 对于两点分布，，， 因此： . 考点02 二项分布的均值与方差 6．月日是我国的植树节，这一天，小明参加了学校组织的植树活动，种植了，两种树苗各棵，种树苗的成活率为，种树苗的成活率为，记，两种树苗最终成活的棵数分别为，，则（     ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【详解】，都服从二项分布，即， 则，， 所以. 7．将一张正方形纸片连续进行6次折叠操作，每次操作中，沿中线折叠（记为“直线操作”）的概率为，沿对角线折叠（记为“斜线操作”）的概率为，各次操作相互独立．记X为6次操作中“斜线操作”的次数，且，则6次操作中“直线操作”次数的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，若， 则，即，解得， 设为6次操作中“直线操作”次数，则，期望为 8．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用X表示小球落入格子的号码，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设 “向右下落”，则“向左下落”，且， 设，因为小球在下落过程中共碰撞5次，所以， 于是（）. 所以，A错误； ， ， 所以，B错误，D正确； ，C错误. 9．小王到某公司面试，一共要回答3道题，每道题答对得2分，答错减1分，设他每道题答对的概率均为（），且每道题答对与否相互独立，记小王答完3道题的总得分为，则当取得最大值时，______________． 【答案】 【详解】设答对题的个数为，由已知可得， 所以，， 因为每道题答对得分，答错倒扣分，为小王答完道题的总得分， 所以， 所以， ， 所以，又， 所以当时，取最大值，最大值为. 10．已知随机变量，，且，则_______ 【答案】1 【详解】由题意得，， 由， 得，即，由知， 故，，， 而，， 故． 故答案为：1． 考点03 二项分布的分布列 11．根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示． 假设每名队员每次射击相互独立． (1)求图中的值． (2)队员甲进行三次射击，求击中目标靶的环数不低于8环的次数的分布列及数学期望（频率当作概率使用）； (3)由图判断，在甲、乙两名队员中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论不需证明） 【答案】(1) (2)分布列为 (3)甲队员 【分析】 【详解】（1）由频率分布性质，甲队员各击中环数对应的频率总和为， 可得 ， 因此， . （2）甲单次射击击中环数不低于环的概率， 结合射击相互独立的条件， 三次射击中击中环数不低于环的次数服从二项分布， 的可取值为. ， ， ， . 则的分布列为： . （3）甲队员的射击成绩更稳定．理由如下：由图可知， 甲队员的射击成绩主要集中在8环和9环，分布比较集中； 而乙队员的射击成绩分布较为分散（从5环到10环均有分布）， 故甲队员的方差较小，成绩更稳定． 12．在一次招聘中，应聘者要进行三项测试，至少通过两项测试即可被录用.已知甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是，且所有测试结果相互独立. (1)求甲没有被录用的概率； (2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列及期望. 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 3 【分析】 【详解】（1）设“甲被录用”为事件， 则， 所以甲没有被录用的概率为. （2）由（1），三人被录用与否相互独立，且概率相同，均为， 所以， 的可能取值为， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望为. 13．根据统计数据，某会员店的本地会员占70%，外地会员占30%．现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 【分析】 【详解】（1）设事件表示“随机抽取1名会员对该店商品质量满意”，事件表示“抽取的会员是本地会员”，事件表示“抽取的会员是外地会员”. 因为本地会员占70%，外地会员占30%，. 本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为，. . 即该店所有会员中随机抽取1名会员，其对该店商品质量满意的概率为. （2）从该店所有会员中随机抽取3名会员，每名会员对该店商品质量满意的概率为，且每名会员对该店商品质量满意与否相互独立，故随机变量. 由题意，可取. . 的分布列为 0 1 2 3 . 14．某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件，其中不合格的零件占，从中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为X． (1)求随机变量X的分布列和期望； (2)对抽取的3个零件进行检测，若每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品，需额外支出25元的处理费用．本次检测的总费用为Y元，求随机变量Y和X的关系式，并利用它求出Y的数学期望． 【答案】(1)X的分布列为： X 0 1 2 3 P 期望； (2) ，元. 【分析】 【详解】（1）由题意，这批零件数量足够大，抽取3个可看作独立重复试验，随机变量，的所有可能取值为，可得对应概率为： ，， ，， 因此的分布列为： X 0 1 2 3 P 由二项分布期望公式得： （2）3个零件的基础检测费用为元，每发现1个不合格品额外支出25元， 因此总费用满足关系式：, 由期望的线性性质：, 即的数学期望为元. 15．甲､乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为.现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为. (1)求甲､乙两条生产线的产量之比. (2)从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 ，数学期望为 【分析】 【详解】（1）设甲生产线生产的这批电子产品有件，乙生产线生产的这批电子产品有件， 事件“混合在一起的电子产品来自甲生产线”， 事件“混合在一起的电子产品来自乙生产线”， 事件“混合在一起的某一产品是合格品”， 则，． 由，得． 所以甲、乙两条生产线的产量之比为． （2）由（1）可知，甲生产线产品占总量的，所以． ，， ，， 所以的分布列： 0 1 2 3 . 考点04 二项分布中的概率最值问题 16．某环境监测站对一款水质检测设备进行算法优化，规定检测误差率低于3%的检测结果为合格．技术人员分别采集该设备优化前、优化后对同一批水样的检测数据并加以统计，得到如下列联表： 单位：份 设备 检测结果 合计 合格 不合格 优化前 82 18 100 优化后 98 2 100 合计 180 20 200 (1)根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为该设备算法优化与检测结果的准确性有关联？ (2)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取该设备算法优化后的水样1000份，记其中检测结果为合格的份数为，求使事件“”的概率最大时的值． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)能认为该设备算法优化与检测结果的准确性有关联 (2) 【分析】 【详解】（1）提出零假设：设备算法优化与检测结果的准确性无关联. 由列联表可知，， 得到， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即能认为该设备算法优化与检测结果的准确性有关联. （2）由题意，优化后检测结果合格的概率，则， 要使最大，需满足，， 即，解得， 由于，所以. 17．某智能制造工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同款精密零件，其中甲生产线产能占总产量的，乙占，丙占；三条生产线的次品率分别为、、，所有零件外观无差异，随机混装入库． (1)随机抽取1件入库零件，求该零件为次品的概率； (2)若抽检发现该零件为次品，求该次品来自甲生产线的概率； (3)现从入库产品中随机独立抽取（，）件产品，记次品数量为，若，求正整数的最大值与最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)最小值为，最大值为. 【分析】 【详解】（1）设表示“零件来自第条生产线”（，对应甲、乙、丙），表示“零件为次品”. 由题意，，，，，，. 由全概率公式，. （2）由贝叶斯公式，. （3）由题意，，故（）. 要使最大，需满足且. 由，得， 化简得，解得，故. 由，得， 化简得，解得，故. 综上，正整数的最小值为，最大值为. 18．某商场举行五一节优惠活动，顾客每消费满100元可抽奖一次.抽奖规则如下：箱中共有4个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，顾客每次随机摸出3个球，若摸出的红球不少于2个则中奖，否则不中奖.各次抽奖互不影响. (1)求抽奖一次中奖的概率； (2)商场规定每中奖一次，返现10元.设某顾客在活动期间消费元，按规定返现元.若事件“”的概率最大，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设 “抽奖一次中奖”为事件，则. （2）设抽奖次数为，则（表示的整数部分）. 事件“”表示中奖次数为次，设表示中奖次数， 则. 因为事件“”的概率最大， 所以， 所以. 又，所以. 由，解得，即的最小值为. 19．为了丰富校园文化生活，某校举办了一年一度的文体艺术周活动，其中学校文艺社团组织了趣味答题比赛，比赛规则如下： ①每位参赛学生参加5轮答题比赛； ②每一轮比赛，参赛学生从10道题中随机选择4道作答，每答对一道题积1分，答错或不答积0分； ③每一轮比赛，参赛学生获得积分不低于3分可获得一张“挑战达人”票． 从文艺社团负责人处了解到：这10道题有7道参赛学生都会，有3道参赛学生都不会． (1)求参赛学生甲在一轮比赛中获得积分X的分布列和数学期望； (2)若参赛学生甲每轮获得“挑战达人”票的概率稳定且每轮是否获得“挑战达人”票相互独立，则学生甲在5轮比赛中获得多少张“挑战达人”票的概率最大？最大概率是多少？ 【答案】(1) 1 2 3 4 (2)获得张或张的概率最大，最大概率为 【分析】 【详解】（1）由题可知：X的可能取值为1，2，3，4， ，， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 所以数学期望； （2）由（1）知，每一轮比赛，参赛学生甲获得“挑战达人”票的概率为． 设参赛学生甲在5轮比赛中获得“挑战达人”票的张数为Y，则， 所以，， ，， ，， ，， 所以当获得张或张时，概率最大，最大概率为. 20．随着AI技术的发展，计算机科学受到越来越多的人关注，计算机内部数的计算采用的是二进制．一般地，k位二进制数可以表示为，其中，并约定，比如全体3位二进制数构成的集合为．设全体位二进制数构成的集合为，其中正整数，从集合中等可能地取出一个二进制数，设这个二进制数中数码0出现的次数为． (1)若，求概率； (2)若，记的概率为，当取得最大值时，求的值． 【答案】(1)； (2)1013． 【分析】 【详解】（1）5位二进制数形如，由于每个有0，1两个取值， 所以全体5位二进制数总量为个．其中满足的二进制数有5个， 分别为，所以． （2）2026位二进制数首位数码为1，数码0独立且等可能出现在剩下的2025个数位上， 每个数位出现0的概率为，所以0出现的次数服从二项分布，即， 所以，所以， 记，则最大等价于最大： ， 所以，此时单调递增；，此时单调递减， 所以为最大值．综上，当取得最大值时求的值为1013． 考点05 超几何分布的概率、分布列 21．有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地任取2件，若X表示取得次品的件数，则（ ） A． B． C． D．0.7 【答案】C 【详解】由题意知的所有可能取值为，，，服从超几何分布， 则，，， 所以. 22．已知盒子中装有个红球和2个白球，从中任取3个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】B 【详解】由题意可得，解得或（舍去）. 因为，， 所以， 则. 23．一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个黄球、6个白球，从中随机地摸出3个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． (1)若抽出黄球赋1分，白球赋2分，求随机摸出3个球得分大于3分的概率； (2)求X的分布列、期望和方差． 【答案】(1) (2)分布列： 0 1 2 3 期望为，方差为． 【分析】 【详解】（1）Y表示取出中白球的个数，事件A表示摸出3个球得分大于3分； 则， 其中，，互斥； 故, ， ， 故； （2）由题意知，，X的取值为：0，1，2，3， ； ； ； ； 故X的分布列： 0 1 2 3 ； ； 故期望为，方差为． 24．2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放.冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约､安全､精彩”的冬奥盛会拉开序幕. 为了解“开幕式”当晚的收看情况，对某地区居民进行简单随机抽样，获得数据如下表：（用频率估计概率） 收看方式 通过电视收看 通过手机收看 没有收看 人数（人） 200 300 100 (1)从该地区被调查对象中随机选取1人，估计此人是通过电视收看的概率； (2)采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，再从这6人中随机选出3人，用表示这3人中通过手机收看的人数，求的分布列和期望； (3)从该地区被调查对象中随机选取3人，若3人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人没有收看的概率为；若3人都用手机收看的概率为.试比较与的大小.（直接写出结论） 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望； (3)； 【分析】 【详解】（1）由频率估计概率，总人数为(人)， 通过电视收看的人数为200(人)，； （2）由题意，～，可能的值为，服从超几何分布： ； ； ； ； 分布列如下： ； （3）由题意知，指随机抽取的人中恰有1人用手机收看，1人用电视收看，1人没有收看的概率. 从人中任选人有种，其中人用手机收看的概率为， 再从剩下的两人中任选人，有种，用电视收看的概率为，还有人没有收看的概率为， 由分步计数原理得：； 同理得， 所以. 25．在产品质量检测领域，生产不合格电子产品极易造成使用隐患，我国的（产品质量法）中将生产不合格电子产品的行为分成两个类别：“轻微不合格”和“严重不合格”．市场监管部门对某电子厂的一次抽检行动中，依法检查了400件电子产品的质量情况，其中查出轻微不合格的有8件，查出严重不合格的有4件． (1)记在生产的1件产品为不合格产品的条件下，该产品为严重不合格产品的概率为，求的估计值； (2)从不合格的12件产品中抽取3件，求抽取到严重不合格产品的数量的分布列和期望． 【答案】(1) (2)(2)分布列见解析，期望为 【分析】 【详解】（1）记“生产的1件产品为不合格产品”为事件A，“产品为严重不合格产品”为事件B， 则，， 由条件概率公式得， 所以在生产的1件产品为不合格产品的条件下，该产品为严重不合格产品的概率. （2）由题意可得可以取0，1，2，3 则， ， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 P 所以. 26．某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件共有10个，其中不合格的零件占总数的，从中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为． (1)求的值．小明的求解过程如下：因为不合格的零件占总数的，所以，故．请问以上解答过程是否正确？如果正确，请说明解题依据；如果不正确，请写出正确的解答过程； (2)对抽取的3个零件进行检测，每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品，需额外支出25元的处理费用．设本次检测的总费用为元，求随机变量的分布与数学期望． 【答案】(1)小明解答不正确，根据超几何分布， (2) 数学期望 【分析】 【详解】（1）小明的解答不正确，正确的解答过程如下： 根据题意，这个零件中是有个不合格零件，个合格零件， 则从这个零件中抽到个不合格零件与个合格零件的方法数是种， 因此. （2）由于随机变量表示抽到的不合格的零件数，可能取值为，而对于每个的值，总费用， 因此随机变量的可能取值为，，， 由于，，， 因此，，， 所以随机变量的分布列为： 数学期望为. 考点06 正态分布的概率计算 27．（多选）某次多省联考中，所有学生数学考试成绩服从正态分布，且有．现按16％，34％，34％，16%的比例将成绩由高到低划分为A，B，C，D四个等级，下列说法正确的有（   ） A．所有学生成绩的标准差为100 B．若某考生成绩为105分，则其等级为B C． D．随机抽取名考生，得A等级的人数记为，则 【答案】BD 【详解】由学生数学考试成绩服从正态分布，所以学生成绩的标准差为，故A错误； 又， ， 由于考试成绩从高到低分为四个等级，所以等级对应“”， 所以等级对应“”，由，所以等级对应“”， 所以考生成绩为105分，则其等级为，故B正确； 又由，， 所以，故C错误； 由，所以， 所以，故D正确. 28．（多选）小张上班有时坐地铁，有时骑电动车，他各记录了100次坐地铁和骑电动车上班所用的时间，经数据分析得到：坐地铁平均用时30分钟，样本标准差为6；骑电动车平均用时36分钟，样本标准差为2．已知随机变量，则．假设小张坐地铁用时X和骑电动车用时Y都服从正态分布，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若某天有40分钟可用，小张要想尽可能不迟到应选择骑电动车 D．若某天有37分钟可用，小张要想尽可能不迟到应选择乘地铁 【答案】BCD 【详解】根据题意可知，故A选项错误，B选项正确. 若某天有40分钟可用，，. ，且，. 所以小张要想尽可能不迟到应该选择电动车，C选项正确. 若某天有37分钟可用，则, ，且，. 所以小张要想尽可能不迟到应选择乘地铁，D选项正确. 29．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（    ） A． B．若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车 C． D．若某天只有38分钟可用，小明应选择坐公交车 【答案】C 【详解】由题意得：坐公交车用时（均值，标准差），骑自行车用时（均值，标准差）. 选项A：正态分布中，， 因此，A错误. 选项B：对来说，34是均值，故； 对来说，，由正态曲线的对称性，，因此，坐公交车准时概率更高，应选坐公交车，B错误. 选项C：对：，，因此38在与之间； 对：，即38恰好是， 由原则对比得，C正确. 选项D：38分钟可用时，由选项C的结论，，即骑自行车准时到达的概率更高，应选择骑自行车，D错误. 30．为了调查某梨园中梨的生长情况，在梨园中随机采摘了个梨．经整理分析后发现，梨的重量（单位：kg）近似服从正态分布，且，．若从该梨园中随机采摘个梨，则该梨的重量在内的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又，所以．故C正确． 31．某校高一年级学生的身高（单位：厘米）近似服从正态分布．若规定高一年级学生的身高至少要有160厘米才算达标，现从该校高一年级学生中随机抽取一名学生，则该学生身高达标的概率约为（    ） 附：若随机变量服从正态分布，则． A．0.6827 B．0.9545 C．0.85135 D．0.84135 【答案】D 【详解】由题意可知，身高Y近似服从正态分布，所以， 身高至少要有160厘米才算达标，即求， 因为，所以， 根据正态分布的对称性 . 32．在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为（单位：，以下同），且. (1)分别写出，的值； (2)若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在内的铜棒根数； (3)若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在内的概率. 参考数据：若，则，，. 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】 【详解】（1）, 则，； （2）， 因，则直径在内概率约为， 则直径在内的铜棒根数估计为； （3）， 因，， 则， ， 则. 考点07 正态分布的性质应用 33．设，且，则（     ） A．0.3 B．0.35 C．0.4 D．0.45 【答案】A 【详解】因为， 所以， 设，则，又， 所以， 因为，所以， 解得，所以. 34．已知随机变量X服从正态分布，若，则的最大值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由随机变量X服从正态分布，所以， 又因为，所以， 由对称性可知，即，所以， 当时，可得，等号成立时. 35．已知随机变量，且，则的展开式中的常数项为（    ） A． B． C．120 D．160 【答案】A 【详解】随机变量，则，而， 由对称性，得，解得， 的通项公式为， 当时得到展开式的常数项为. 36．已知随机变量服从正态分布，若，其中，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 由正态分布的对称性可知，故， 因为，所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 37．若随机变量，且，则________． 【答案】 【详解】因为，由正态分布的对称性可知， 所以． 考点08 决策问题 38．某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生．该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的． (1)求乙恰好答对两个问题的概率； (2)请从期望和方差两个数字特征的角度考虑选择哪名同学去参赛更合理? 【答案】(1) (2)选择甲去参赛更合理 【分析】 【详解】（1）由题知，令“乙回答问题的正确个数”为，则， 则乙恰好答对两个问题的概率为. （2）令“甲回答问题的正确个数”为，“乙回答问题的正确个数”为， 则所有可能的取值为， 则，，， 所以， 由题意，随机变量，所以， 又，， 所以， 可见乙与甲的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定，所以选择甲去参赛更合理． 39．某游戏共设置了三关，选手按顺序通关挑战，若选手通过本关，则进入下一关挑战，否则游戏结束，且第三关无论通过与否，游戏结束.甲参加该游戏，他通过第一、二、三关的概率分别是，，，假设他每关通过与否相互独立. (1)求甲通过三关的概率； (2)设随机变量X为甲参与挑战的关数，求X的分布列； (3)现有两种奖励方案，方案A为三关全通过则获奖200元，否则得0元，方案B为每通过一关获奖60元，以游戏结束时甲获奖的期望为依据，分析甲应该选择哪种方案，说明你的理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)甲应该选择方案B，理由见解析 【分析】 【详解】（1）设事件“甲通过三关”，则， 则甲通过三关的概率为. （2）X的可能取值为1，2，3， ， ， ， 则X的分布列为 X 1 2 3 P （3）若甲选择方案A，则他所获奖金的期望为元. 若甲选择方案B，设随机变量Y为甲通过的关数，则Y的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 则， 所以甲选择方案B获得奖金的期望为120元. 因为，所以甲应该选择方案B. 40．某校开展了“学党史”知识竞赛活动，竞赛试题由若干选择题和填空题两种题型构成，每位选手共需要回答三个问题.对于每一个问题，若回答错误得0分；若回答正确，填空题得30分，选择题得20分.现设置了两种活动方案供选手选择.方案一：只回答填空题；方案二：先回答填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次选择填空题；若上题回答错误，则下一次选择选择题.已知甲、乙两位同学能正确回答填空题的概率均为，能正确回答选择题的概率均为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若甲同学采用方案一答题，求甲得分不低于60分的概率； (2)分别列出乙同学选择两种方案得分的分布列，并说明乙同学应该选择何种方案参加比赛更加有利. 【答案】(1) (2)分布列见解析，乙同学选择方案二参加比赛更加有利，理由见解析 【分析】 【详解】（1）甲同学采用方案一答题，得分不低于60分的情况为至少答对两道填空题， ∴其概率； （2）乙同学选择方案二参加比赛更加有利，理由如下：若采用方案一，则其得分X的可能取值为0，30，60，90，∴；； ；， ∴X的分布列为 X 0 30 60 90 P ∴X的数学期望； 若采用方案二，则其得分Y的可能为取值为0，20，30，50，60，90， ∴；； ；； ；， ∴Y的分布列为 Y 0 20 30 50 60 90 P ∴Y的数学期望， ∵，∴乙同学选择方案二参加比赛更加有利. 41．某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案． 方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元； 方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元． (1)设方案一摸出的红球个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差； (2)设方案二摸出的红球个数为随机变量Y，求Y的分布列、数学期望和方差； (3)如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由． 【答案】(1)分布列见解析，， (2)分布列见解析，，． (3)应选择方案一的抽奖方式，理由见解析 【分析】 【详解】（1）设方案一摸出的红球个数为X，则X的所有可能取值为， ，，． X的分布列为： X 1 2 3 P 所以，． （2）设方案二摸出的红球个数为Y，则Y的所有可能取值为． 则， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以，． （3）因为，， 即两种方案抽取的红球个数的数学期望一样，但方案一更稳定， 所以应选择方案一的抽奖方式． 42．某学校进行趣味投篮比赛，设置了A，B两种投篮方案.方案A：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案B：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案A投中的概率都为，选择方案B投中的概率都为，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响. (1)若甲选择方案A投篮，乙选择方案B投篮，记他们的得分之和为X，，求X的分布列； (2)若甲、乙两位员工都选择方案A或都选择方案B投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？ 【答案】(1)分布列见解析 (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）依题意，甲投中的概率为，乙投中的概率为， 于是得，解得， X的所有可能值为0，2，3，5， ，， ，， 所以X的分布列为： 0 2 3 5 （2）设甲、乙都选择方案A投篮，投中次数为，都选择方案B投篮，投中次数为， 则，， 则两人都选择方案A投篮得分和的均值为， 都选择方案B投篮得分和的均值为， 则， ， 若，即，解得； 若，即，解得； 若，即，解得. 所以当时，甲、乙两位同学都选择方案A投篮，得分之和的均值较大； 当时，甲、乙两位同学都选择方案A或都选择方案B投篮，得分之和的均值相等； 当时，甲、乙两位同学都选择方案B投篮，得分之和的均值较大. 43．甲､乙去某公司应聘面试．该公司的面试方案为：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． (1)分别求甲､乙两人正确完成面试题数的分布列； (2)请从均值和方差的角度分析比较甲､乙两人谁的面试通过的可能性较大？ 【答案】(1)答案见解析； (2)甲通过面试的概率较大． 【分析】 【详解】（1）设为甲正确完成面试题的数量， 为乙正确完成面试题的数量， 由题意可得的可能取值为：， 所以， ， 所以的分布列为 由题意随机变量的可能值为，可得， 所以， ， 所以的分布列为： （2）由（1）可得， ， ， ， ， 因为，， 所以甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大． 考点09 比赛问题 44．（多选）小王、小张两人进行象棋比赛，共比赛2n（）局，且每局小王获胜的概率和小张获胜的概率均为.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记小王赢得比赛的概率为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．随着n的增大而增大 【答案】ACD 【详解】由题意知，要使小王赢得比赛，则小王至少赢局， 因为每局赢的概率是相同的，所以服从二项分布， 由二项分布的概率公式可得赢局的概率为， 赢局的概率为， ， 赢局的概率为， 小王赢的概率为 有 ， 有，，，，可知选项A，C正确，选项B错误； 由， 又由， 可得，可知D选项正确. 45．甲和乙进行定点投篮游戏，当投篮者命中时继续投篮，否则由对方投篮．已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为．规定：每局游戏进行3次投篮，均由甲先投，命中一次得2分． (1)求一局比赛中，甲6：0获胜的概率； (2)记一局比赛中乙投篮次数为，求的期望； (3)若甲、乙共进行了5局比赛，记得分高者为获胜方，得分相同为平局，求甲至少获胜3局的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）记为甲第投篮命中，记为乙第投篮命中，则甲6：0获胜的概率， . （2）一局比赛中乙投篮次数为可能取值有0，1，2， 则， ， ， 所以. （3）甲6：0获胜概率； 甲4：0获胜概率； 甲2：0获胜概率； 记事件C为一局比赛中甲获胜，则， 由题意知，进行5局比赛甲获胜的局数， 所以. 46．某射击比赛决赛阶段，甲、乙两名选手争夺金牌，比赛无平局，每局比赛结果相互独立.决赛采用全新的“抢赛制”：每局比赛胜者得3分，负者得1分；若某选手连续2局获胜，或积分率先达到分，则该选手获得冠军，比赛结束.设决出冠军时的比赛总局数为． (1)请在①②两个问题中选择一个作答： ①若甲、乙在每局比赛中获胜的概率均为，求的分布列与数学期望； ②由于心理素质差异，甲在单局比赛中获胜的概率为．试求出平均比赛总局数关于的函数解析式，并求当为何值时，达到最大； (2)经赛后数据分析，甲在该项目单局比赛的实际胜率为．在某训练赛中，甲乙共进行了局比赛，试求为何值时，甲获胜局的概率最大？ 【答案】(1)①的分布列 2 3 4 5 期望；② ，时达到最大； (2) 【分析】 【详解】（1）（1）①比赛结束的条件为：（I）某选手连续2局获胜；（II）积分率先达到分， 由赛制规则分析可得，， ：前2局连胜（甲甲或乙乙），总积分8分未达分，满足条件（I）， ， ：前2局交替，第3局与第2局连胜（甲乙乙或乙甲甲），满足条件（I）， ， ：前3局交替，第4局与第3局连胜（甲乙甲甲或乙甲乙乙），此时胜者积分分， 满足条件（I），， ：前4局交替（甲乙甲乙或乙甲乙甲），两人各得8分，第5局无论谁胜， 胜者积分必达分，满足条件（II），， 的分布列如下： 2 3 4 5 ， ②设乙在单局比赛中获胜的概率为， （甲甲）（乙乙）， （乙甲甲）（甲乙乙）， （甲乙甲甲）（乙甲乙乙）， （甲乙甲乙）（乙甲乙甲）， 令，由且，可得： ， 由基本不等式，，故， 则， ， 设 ，其在区间上单调递增， 当（即）时，取得最大值， ， 故 ， 当时，比赛的平均总局数达到最大． （2）由已知，， 设， ， 令， 当时，，即随增大而增大； 当时，，即随增大而减小； ， 故是最大值，即的估计值为． 47．已知甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊赛，比赛规则如下：①每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分；②若其中一队的累计得分先达到5分及以上，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未决出最终的胜负，则进行双打比赛，每场双打比赛获胜的一方得2分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为；每场双打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为． (1)设5场单打比赛后，甲队的累计得分为随机变量，求的概率分布列和数学期望； (2)求决出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率． (3)求甲队赢得最终胜利的概率． 【答案】(1)的分布列为： 0 1 2 3 4 5 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由已知可得，则的可能取值为0，1，2，3，，4，5，对应的概率为： ，， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 数学期望. （2）决出最终胜负时，共进行了6场比赛，则进行5场比赛后，可能的比分为， 最后一场的获胜者一定是原来的领先方，可分为以下两种： ①前5场比赛中，乙队:甲队是或，第六场乙获胜，结束比赛， 则； ②前5场比赛中，甲队:乙队是或，第六场甲获胜，结束比赛， 则； 则决出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率为. （3）甲队赢得最终胜利分为以下几种： ①甲前5场直接获胜，则； ②甲在前5场未决出胜负，进行一场双打即可获胜， 则； ③甲在前5场未决出胜负，进行两场双打中需连续打赢两场或第一场未赢第二场赢即可获胜， 则 ， 依题意可知，最多进行两场双打即可分出胜负， 则甲队赢得最终胜利的概率为. 48．已知A、B、C三名同学在体育课上进行投篮比赛，每人进行两次投篮，三名同学第一次投篮命中的概率均为，在第一次投篮命中的条件下第二次投篮命中的概率依次为，，，三名同学投篮互不影响． (1)求三名同学至少有两名同学在第一轮投中的概率； (2)设三名同学中两次都投进的人数为随机变量X，求X的分布列； (3)若三名同学完成投篮后，恰有一名同学投进两次，求该同学是A的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）设三名同学第一次投篮命中分别为事件,,,设至少两人命中为事件. 则,未命中的概率为，利用二项分布计算， （2）两次都投进的概率为，两次都投进的概率为，两次都投进的概率为. 可取0，1，2，3，因为三名同学投篮互不影响，所以， ， ， ， . 所以X的分布列为 （3）由第2问可知恰有一人两次都命中的概率为，其中恰有两次都命中的概率为，所以三名同学完成投篮后，恰有一名同学投进两次，该同学是的概率为. 49．某校社团举行“网络安全”知识竞赛，规则如下：每位选手需要独立完成3道题目，答对一题得2分，答错一题得分，3道题目累加得分多者获胜，甲、乙两位同学报名参加比赛，两人分别独立答题，互不影响，若甲、乙正确回答每道题的概率分别为、. (1)求比赛结束后甲得3分的概率； (2)已知在甲获胜的前提下，乙恰好得3分的概率为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设“比赛结束后甲得3分”为事件， 则； （2）记“比赛结束后甲获胜”为事件，记“比赛结束时乙恰好得3分”为事件， 设甲的得分为，则， ，， 设乙的得分为，的可能取值为，，，，则 ，， ，，                                         又， 所以， 解得 考点10 疾病检验问题 50．荆州疫情期间，要对荆州市民做一次全员检测，彻底摸清荆州市的详细情况某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式： 方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验次． 方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血就只需检验一次这时认为每个人的血化验次；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验这样，该组个人的血总共需要化验次假设此次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立． (1)设，在方案②中按分组，求某一组的混合血液呈阴性的概率； (2)设方案②中，某组个人中每个人的血化验次数为，求的分布列； (3)设 试比较方案②中，分别取，，时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以减少多少次？最后结果四舍五入保留整数 【答案】(1)0.81 (2) (3)次，次，次，次． 【分析】 【详解】（1）已知，则每人血样阴性概率为， 时，混合血液呈阴性等价于2人血样均为阴性，且相互独立， 则该组混合血液呈阴性的概率为，故该组混合血液呈阴性的概率为0.81； （2）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则， 所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为， 依题意可知可能取值为，所以的分布列为： （3）方案中，结合（2）知每个人的平均化验次数为： ， 所以当时，，此时人需要化验的总次数为次； 当时，，此时人需要化验的总次数为次； 当时，，此时人需要化验的总次数为次， 即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少， 而采用方案则需化验次，故在这三种分组情况下，相比方案， 当时化验次数最多可以平均减少次． 51．某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．（参考数值：） (1)按照这种化验方法能减少化验次数吗？ (2)如果携带病毒的人只占2%，按照个人一组，求每个人需要的化验次数的期望？ 【答案】(1)能 (2) 【分析】 【详解】（1）设平均每个人需要的化验次数为， 若混合血样呈阴性，则；若混合血样呈阳性，则； 因此，X的分布列为，， ， 说明每5个人一组，平均每个人大约需要化验0.43次，， 所以能减少化验次数. （2）假设个人一组，设平均每个人需要的化验次数为， 若混合血样呈阴性，则；若混合血样呈阳性，则； 因此，的分布列为，， ， 所以每个人需要的化验次数的期望为. 52．某检测中心在化验血液时有两种化验方法： ①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次. ②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验1次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次. (1)现有5份血液样本，其中有2份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率； (2)现有10份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用5份为一组的混合化验法进行化验，记这10份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列；. (3)现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为，当时，求的最大值. （参考数据：） 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）记事件“恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来”， 则， 故恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来的概率为. （2）每组化验的次数可能是1或6， 记事件“每组化验次数为1”，则事件“每组化验次数为6”， 则， 可知， ， ， 所以的分布列为： 7 12 （3）， ， 所以， 令，则，即， 当时，，两边取以为底的对数，得到， 设函数，则， 当时；当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以的最大值为. 53．卫生检疫部门在进行病毒检疫时常采用“逐一检测”或“混采检测”（随机地按人一组平均分成组，然后将各组个人的血样混合再化验．如果混管血样呈阴性，说明这个人全部阴性；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次）．已知某种病毒性疾病在某地的患病率（患病率）为． (1)当时，已知某组混管血样呈阳性，且这5人中只有1人患病． （i）将该组每个人的血液逐个化验，直到查出患病人员为止．用表示所需化验次数，求的期望； （ii）先从该组中取3人的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这3人的血液再逐个化验，直到查出患病人员；若不呈阳性，则对剩下的2人再逐个化验，直到查出患病人员．用表示所需化验次数，求的期望； (2)已知某次“混采检测”的血样总数为20000，记检验总数次数为，当时，求的最大值. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)20 【分析】 【详解】（1）（i）根据题意知可以取的值有1，2，3，4， ∴，，， ， ∴； （ii）根据题意知可以取的值有2，3， ∵当时可以分两类， 第一类：混检的3人中有一人患病，并且在第2次就检测出患病人员； 第二类：混检3人均没有患病，并且在第2次就检测出患病人员或未患病人员： ∴，， ∴； （2）由题知将20000份血样随机地按份一组平均分成组， 则的可能取值为，，，⋯，， 其中每一组检测结果为阴性的概率为，检测结果为阳性的概率为， ∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， 可得，两边取自然对数，化简得， 不妨设，则， 令，， ∴在单调递增，， ∴在单调递增． 由题知是20000的正因数且，， ∵， ， ∴的最大值为20． 54．由于X病毒正在传染蔓延，对人的身体健康造成危害，某校拟对学生被感染病毒的情况进行摸底调查，首先从两个班共100名学生中随机抽取20人，并对这20人进行逐个抽血化验，化验结果如下：.已知指数不超过8表示血液中不含病毒；指数超过8表示血液中含病毒且该生已感染病毒. (1)从已获取的20份血样中任取2份血样混合，求该混合血样含病毒的概率； (2)已知该校共有1020人，现在学校想从还未抽血化验的1000人中，把已感染病毒的学生全找出. 方案A：逐个抽血化验； 方案B：按40人分组，并把同组的40人血样分成两份，把其中的一份血样混合一起化验，若发现混合血液含病毒，再分别对该组的40人的另一份血样逐份化验； 方案C：将方案中的40人一组改为4人一组，其他步骤与方案相同. 如果用样本频率估计总体频率，且每次化验需要不少的费用.试通过计算回答：选用哪一种方案更合算？（可供参考数据：） 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】 【详解】（1）分血样中，不含病毒的有份，含有病毒的有份， 混合血样含病毒的概率 （2）设每次化验的费用为，每个人感染病毒的概率为， 方案：费用为； 方案：每组化验次数的分布列为： , 故总费用为； 方案：每组化验次数的分布列为： , 故总费用为； 综上所述：选用方案更合算. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $