专题03 条件概率与全概率公式、独立事件（高效培优期末专项训练）高二数学人教B版

**基本信息** 聚焦条件概率与独立事件，以考点分层构建知识体系，通过生活情境题培养数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |条件概率计算|6题|古典概型与实际情境结合|从定义计算到性质应用，逐步深化概念理解| |全概率与贝叶斯公式|10题|分层抽样与逆概率问题|体现“原因推结果”到“结果溯原因”的逻辑链条| |独立事件|14题|判断与概率综合计算|从基础判断到复杂情境下的综合应用| |马尔科夫链|4题|状态转移概率模型|拓展概率应用，培养动态思维|

专题03 条件概率与全概率公式、独立事件 考点01 条件概率的计算 考点02 条件概率的性质 考点03 全概率公式及其应用 考点04 贝叶斯公式及其应用 考点05 相互独立的判断 考点06 独立事件的概率计算 考点07 独立事件与条件概率的综合 考点08 马尔科夫链 考点01 条件概率的计算 1．已知6道试题中有4道语文题和2道数学题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第一次抽到语文题的条件下，第二次抽到数学题的概率为（    ） A． B． C． D． 2．一个家庭有两个孩子，其血型为、、、型之一（假设等可能）．已知其中一个孩子是型血，则另一个孩子也是型血的概率为__________． 3．为了增强法治观念，甲、乙两位老师在A，B，C，D，E，F共6所学校中各自选1所学校开展普法讲座．在甲、乙选择了2所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择A学校开展讲座的概率为_______． 4．从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首届全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛．要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试，，三个项目，三个测试项目相互不受影响．若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能地从，，三个项目中选一项测试，且他测试，，三个项目“通过”的概率分别为，，．已知他第一项测试“通过”，求他第一项测试选择的项目是的概率． 5．某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分．测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮．甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在处和处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数分别得到如下图表，若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率．    (1)求甲同学通过测试的概率； (2)若甲、乙两位同学均通过了测试，求甲得分比乙得分高的概率． 6．甲、乙两位同学组队参加“十五届全国运动会”知识竞赛活动，比赛具体规则如下：第一阶段由其中一位同学答一道题，答对则进入第二阶段，答错则比赛结束；第二阶段由另一位同学答题，第二阶段有两道题，两题全部答对得分，两题恰有题答对得分，两题都答错得分，第二阶段的得分为总得分.已知甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，每个阶段答题相互独立，每道题答对与否相互独立. (1)甲参加第一阶段比赛，求总得分为分的概率； (2)为使总得分不低于分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 考点02 条件概率的性质 7．已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知随机事件满足，，，，则（ ） A． B．事件与相互独立 C． D．若，则 10．已知离散型随机事件A，B发生的概率，，若，事件，，分别表示A，B不发生和至少有一个发生，则__________，__________. 11．已知随机事件满足，，． (1)求； (2)求； (3)证明． 考点03 全概率公式及其应用 12．若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂能将的患病者测出阳性，可能将的未患病者错误的测出阳性．现随机抽取该地区的一个被检者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（     ） A．0.0688 B．0.0198 C．0.049 D．0.05 13．小明在某不透明的盒子中放入4红5黑共9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色），现从剩下8个小球中取出两个小球，则这两个小球都是黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 14．四个外观完全相同的密封不透明信封，每个信封内各装一张纸条．其中一张纸条写有“恭喜中奖”，其他三张纸条均写有“未中奖”，首先由A同学不放回抽取一个信封，但没有打开；然后B同学从剩下的三个信封中也抽取一个，并立刻打开，发现是“未中奖”．则A同学放弃手中未打开的信封，重新从剩下的两个信封中任取一个，打开后获奖的概率为________；A同学直接打开第一次抽取的信封，打开后中奖的概率为________． 15．若甲、乙两名同学进行投篮游戏，甲投球入篮的概率为，乙投球入篮的概率为.经过两人约定，游戏规则如下：若甲投球未入篮，则下一球由乙投球；若乙投球未入篮，则下一球等可能地由甲、乙投球，如此循环，直到一名同学投球入篮，则该学生获胜.通过硬币裁定，由甲先进行投篮.若甲、乙两名同学的投篮次数不限，则最终乙获胜的概率为________. 16．某AI对话系统的对话轮次分配规则如下：若当前大模型生成的回答符合要求（回答合格），则下一轮继续由该模型生成；若回答不合格，则切换为另一个模型生成.已知模型A每次回答合格的概率为0.6，模型B每次回答合格的概率为0.7，两次回答相互独立.若第1轮生成回答的是模型A，则第1轮A回答不合格且第2轮B回答合格的概率为______；若第1轮生成回答的是模型A、B的概率各为0.5，则第2轮生成回答的是模型A的概率为______． 考点04 贝叶斯公式及其应用 17．某不透明的袋子中有4张蓝色卡片，3张红色卡片，现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几张卡片．若已知取出的卡片全是红色，则掷出3点的概率为（     ） A． B． C． D． 18．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1，假设发送信号0和1是等可能的.已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（   ） A． B． C． D． 19．装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为（   ） A． B． C． D． 20．芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的，不合格率分别为，现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为_____；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为_____． 21．甲盒装有1个白球和2个黑球，乙盒装有3个白球和2个黑球，丙盒装有4个白球和1个黑球．采取掷骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒．在选出的盒子中随机摸一球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得1个白球，则此球来自乙盒的概率是___________． 考点05 相互独立的判断 22．抛掷质地均匀的骰子两次，记第1次和第2次出现的点数分别为，，设事件A=“”，事件B=“”，事件C=“”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与B相互独立 C． D． 23．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A=“第一次出现2点”，B=“第二次的点数小于5点”，C=“两次点数之和为9”，D=“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（    ） A．B与A 不互斥且B与A 相互独立 B．B与C不互斥且B与C相互独立 C．C与A互斥且C与A 不相互独立 D．D与A不互斥且D与A相互独立 24．（多选）连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A表示“第一次掷出的点数为偶数”，事件B表示“第一次掷出的点数为3的倍数”，事件C表示“两次掷出的点数之和大于6”，事件D表示“第二次掷出的点数比第一次掷出的点数大”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与B相互独立 C．B与C相互独立 D． 25．（多选）将一枚质地均匀的骰子随机抛掷两次，甲表示事件“第一次点数为奇数”，乙表示事件“第二次点数为偶数”，丙表示“两次点数相同”，丁表示“两次点数之和为偶数”，则下列选项中的两个事件相互独立的有（    ） A．甲与丙 B．乙与丙 C．乙与丁 D．丙与丁 26．对于一个古典概型的样本空间和事件A、B、C、D，用表示事件中的样本点个数.若，，则（    ） A．与不互斥 B．与不对立 C．与互斥 D．与相互独立 考点06 独立事件的概率计算 27．甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲两轮活动中恰好猜对一个成语的概率为_________；“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为___________． 28．甲，乙两人进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响，若甲，乙两人总共进行4局比赛. (1)求甲恰好有2局比赛获胜的概率； (2)求甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率. 29．某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛．决赛阶段进行线上答题．题型分为选择题和填空题两种，每次答题相互独立.选择题答对得5分，否则得0分．填空题答对得4分，否则得0分．将得分逐题累加． (1)若小明直接做3道选择题，他做对这3道选择题的概率依次为，，．求他得分不低于10分的概率； (2)规定每人最多答3题，若得分高于7分，则通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到答完3题为止．已知小红做对每道选择题的概率均为，做对每道填空题的概率均为． 现有两种方案 方案一：依次做一道选择题两道填空题； 方案二：做三道填空题． 请你推荐一种合理的方式给小红． 30．某百科知识竞答比赛的半决赛阶段，每两人一组进行PK，胜者晋级决赛，败者终止比赛.比赛最多有三局.第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答.比赛双方首先各自进行一局限时答题，依据答对题目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，则需进入快问快答局；若快问快答平局，则需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局.已知甲､乙两位选手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，甲限时答题局获胜与平局的概率分别为，，快问快答局获胜与平局的概率分别为，抢答局获胜的概率为，且各局比赛相互独立. (1)求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率； (2)已知乙最后晋级决赛，但不知甲､乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率. 31．某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､延迟5分钟内送达､延迟5至10分钟送达､其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励3元､奖励0元､罚款3元､罚款6元.假定评定为等级的概率分别是. (1)若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率； (2)若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率. 考点07 独立事件与条件概率的综合 32．某前沿科技公司邀请某专业棋手与公司新研发的两款机器人和分别进行一局比赛，若在一局比赛中专业棋手获胜，则该专业棋手获得该局比赛对应的奖金，否则不获得奖金．已知该专业棋手与两款机器人比赛获胜的概率均为，则在该专业棋手获得奖金的条件下，其只获得一局比赛胜利的概率为（    ） A． B． C． D． 33．甲、乙两人为一组玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶，无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为.第3次投壶的人是乙的概率为________，已知在第2次投壶的人是甲的情况下，第1次投壶的人是乙的概率为________. 34．某公司的技术员进行技能操作竞赛，规则如下：技能竞赛按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都操作失败，则竞赛结束；每一个阶段随机分配一个甲任务或乙任务，分配到甲任务的概率为，分配到乙任务的概率为.已知一个技术员能成功完成甲任务与乙任务的概率分别为和，且各阶段任务完成情况相互独立，完成阶段越多的获得胜利. (1)求该技术员在一个阶段中成功完成任务的概率； (2)记为该技术员在执行完第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率，求，. 35．某智能设备装有3个独立运行的芯片，，，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中，正常运行的概率均为，正常运行的概率为． (1)若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求正常运行的概率； (2)若该设备正常工作的概率大于，求的取值范围． 36．为了缓解学生的学习压力，某班级组织了一次趣味知识竞赛，经过初赛､复赛，甲､乙两个代表队（每队3人）进入了决赛.决赛规定每人回答一个问题，答对者为本队赢得10分，答错者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)记随机变量表示甲队的总得分，求的分布列和数学期望； (2)在甲､乙两队总得分之和等于30分的条件下，求甲队得分比乙队得分高的概率. 考点08 马尔科夫链 37．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则错误的是（    ） A． B．数列为等比数列 C． D．第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种 38．（多选）某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响．记表示事件“第n次分类正确”，表示第n次分类正确的概率．已知，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为；若第n次分类错误，则第次分类正确的概率为．记，则下列结论正确的是（   ） A． B．若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为 C．数列是等比数列 D．数列的前n项和为 39．小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，小明第1天随机等可能选择一家用午餐．若他在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择去餐厅的概率为．记小明同学第天选择去餐厅用午餐的概率为． (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求的通项公式． 40．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天中午选择米饭套餐的概率为． ①证明：为等比数列，并求数列的通项公式； ②证明：当时，恒成立． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 条件概率与全概率公式、独立事件 考点01 条件概率的计算 考点02 条件概率的性质 考点03 全概率公式及其应用 考点04 贝叶斯公式及其应用 考点05 相互独立的判断 考点06 独立事件的概率计算 考点07 独立事件与条件概率的综合 考点08 马尔科夫链 考点01 条件概率的计算 1．已知6道试题中有4道语文题和2道数学题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第一次抽到语文题的条件下，第二次抽到数学题的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件表示“第一次抽到语文题”，事件表示“第二次抽到数学题”， 则，，故. 2．一个家庭有两个孩子，其血型为、、、型之一（假设等可能）．已知其中一个孩子是型血，则另一个孩子也是型血的概率为__________． 【答案】 【详解】由题意可得总样本空间为种， 令E事件为至少一个型血孩子， F事件为两个孩子都为型血，则F事件只有1种，故 E事件有，共7种情况，故 因此. 3．为了增强法治观念，甲、乙两位老师在A，B，C，D，E，F共6所学校中各自选1所学校开展普法讲座．在甲、乙选择了2所不同的学校的条件下，恰有一位老师选择A学校开展讲座的概率为_______． 【答案】 【详解】由题意，甲、乙分别选择了2所不同的学校有种， 恰有一位老师选择学校开展讲座，甲或乙选学校有种， 另一位老师在其它5所学校中任选一种有种， 所以在甲、乙分别选2所不同的学校条件下，恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为. 4．从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首届全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛．要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试，，三个项目，三个测试项目相互不受影响．若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能地从，，三个项目中选一项测试，且他测试，，三个项目“通过”的概率分别为，，．已知他第一项测试“通过”，求他第一项测试选择的项目是的概率． 【答案】． 【详解】记事件“第一项测试选择了项目”，“第一项测试选择了项目”， “第一项测试选择了项目”，记事件“第一项测试通过”，由题意知， ， ， ，，， 又事件，，互斥，则 ， 所以在居民甲第一项测试“通过”的条件下，他第一个项目选择了的概率为： ． 即已知居民甲第一项测试“通过”，他第一项测试选择的项目是的概率是． 5．某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分．测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮．甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在处和处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数分别得到如下图表，若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率．    (1)求甲同学通过测试的概率； (2)若甲、乙两位同学均通过了测试，求甲得分比乙得分高的概率． 【答案】(1)0.3 (2) 【分析】 【详解】（1）甲同学两分球投篮命中的概率为， 甲同学三分球投篮命中的概率为， 设甲同学累计得分为X， 则， 则， 则甲同学通过测试的概率为0.3． （2）同（1）可求，乙同学两分球投篮命中的概率为0.4，三分球投篮命中的概率为0.2， 设乙同学累计得分为Y， 则，， 设“甲得分比乙得分高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B， 则， ， 则. 6．甲、乙两位同学组队参加“十五届全国运动会”知识竞赛活动，比赛具体规则如下：第一阶段由其中一位同学答一道题，答对则进入第二阶段，答错则比赛结束；第二阶段由另一位同学答题，第二阶段有两道题，两题全部答对得分，两题恰有题答对得分，两题都答错得分，第二阶段的得分为总得分.已知甲每道题答对的概率为，乙每道题答对的概率为，每个阶段答题相互独立，每道题答对与否相互独立. (1)甲参加第一阶段比赛，求总得分为分的概率； (2)为使总得分不低于分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【答案】(1) (2)甲 【分析】 【详解】（1）总得分为分的条件是： 甲第一阶段答对（从而进入第二阶段），且乙在第二阶段两题全部答对， 甲第一阶段答对的概率为；乙第二阶段两题全对的概率为； 由于事件独立，总概率为. （2）总得分不低于分等价于：第一阶段答对，且第二阶段答对至少题（得分或分），分两种情况计算： 情况一：甲参加第一阶段，乙参加第二阶段 甲第一阶段答对的概率：； 乙第二阶段答对至少题的概率：； 总概率， 情况二：乙参加第一阶段，甲参加第二阶段 乙第一阶段答对的概率：； 甲第二阶段答对至少题的概率：； 总概率， 因为，故应选甲参加第一阶段. 考点02 条件概率的性质 7．已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C 8．已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，由，是互斥事件知，， 所以， 故选：A． 9．（多选）已知随机事件满足，，，，则（ ） A． B．事件与相互独立 C． D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，由，可得，A正确；    对于B，，事件与不是相互独立的，B错误； 对于C，由， 所以，C正确； 对于D，因，且，解得， 故， 则，D正确. 10．已知离散型随机事件A，B发生的概率，，若，事件，，分别表示A，B不发生和至少有一个发生，则__________，__________. 【答案】 0.8/ 0.6/ 【详解】由题意得， ， ， ， 故答案为：0.8；0.6.    11．已知随机事件满足，，． (1)求； (2)求； (3)证明． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为，，，所以，，． （2）因为，所以， 所以． （3）因为，所以， 所以，， 所以，， 所以． 考点03 全概率公式及其应用 12．若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂能将的患病者测出阳性，可能将的未患病者错误的测出阳性．现随机抽取该地区的一个被检者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（     ） A．0.0688 B．0.0198 C．0.049 D．0.05 【答案】A 【详解】测出阳性有两种可能，一种是阳性且试剂准确测出，一种是阴性但被误测为阳性， 概率为. 13．小明在某不透明的盒子中放入4红5黑共9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色），现从剩下8个小球中取出两个小球，则这两个小球都是黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球， 则， 由全概率公式可得. 14．四个外观完全相同的密封不透明信封，每个信封内各装一张纸条．其中一张纸条写有“恭喜中奖”，其他三张纸条均写有“未中奖”，首先由A同学不放回抽取一个信封，但没有打开；然后B同学从剩下的三个信封中也抽取一个，并立刻打开，发现是“未中奖”．则A同学放弃手中未打开的信封，重新从剩下的两个信封中任取一个，打开后获奖的概率为________；A同学直接打开第一次抽取的信封，打开后中奖的概率为________． 【答案】 【详解】空1：记同学第次抽取抽到中奖纸条为， B同学从剩下的三个信封中抽取一个抽到未中奖纸条为事件， 则， ， 所以； 空2：， 所以. 15．若甲、乙两名同学进行投篮游戏，甲投球入篮的概率为，乙投球入篮的概率为.经过两人约定，游戏规则如下：若甲投球未入篮，则下一球由乙投球；若乙投球未入篮，则下一球等可能地由甲、乙投球，如此循环，直到一名同学投球入篮，则该学生获胜.通过硬币裁定，由甲先进行投篮.若甲、乙两名同学的投篮次数不限，则最终乙获胜的概率为________. 【答案】 【详解】设为当轮到甲投篮时，最终乙获胜的概率，为当轮到乙投篮时，最终乙获胜的概率， 当轮到甲投篮时，有两种情况: 甲投中（概率为）：游戏结束，甲获胜，此时乙获胜的概率为0， 甲未中（概率为）：根据规则，下一球必由乙投，状态转移到乙投篮， 由此可得，化简得， 当轮到乙投篮时，有三种情况: 乙投中（概率为）：游戏结束，乙获胜，此种情况下乙最终获胜的概率为1， 乙未中，且下一球抽到甲投（概率为）：状态转移到甲投篮， 乙未中，且下一球抽到乙投（概率为）：状态继续留在乙投篮， 由此可得，化简得， 联立，解得. 16．某AI对话系统的对话轮次分配规则如下：若当前大模型生成的回答符合要求（回答合格），则下一轮继续由该模型生成；若回答不合格，则切换为另一个模型生成.已知模型A每次回答合格的概率为0.6，模型B每次回答合格的概率为0.7，两次回答相互独立.若第1轮生成回答的是模型A，则第1轮A回答不合格且第2轮B回答合格的概率为______；若第1轮生成回答的是模型A、B的概率各为0.5，则第2轮生成回答的是模型A的概率为______． 【答案】 / / 【详解】；. 考点04 贝叶斯公式及其应用 17．某不透明的袋子中有4张蓝色卡片，3张红色卡片，现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几张卡片．若已知取出的卡片全是红色，则掷出3点的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设表示骰子投掷出点，均匀的骰子满足， 设表示“取出卡片全为红色”，已知红色共3张，则时，， 时，； 时，； 时，； 则， ， 则． 18．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1，假设发送信号0和1是等可能的.已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”， “接收到的信号为1”， 由题意得，，，，， ， ． 19．装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件A为从箱中任取2件产品都是一等品，事件表示丢失的是等品，， 则 ， 因此. 20．芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的，不合格率分别为，现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为_____；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为_____． 【答案】 【详解】设事件D表示“任取一瓶是不合格品”，事件A表示“产品A厂生产的”，事件B表示“产品B厂生产的”，事件C表示“产品C厂生产的”， 因为A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的， 所以， 因为A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，不合格率分别为， 所以不合格率分别为， 现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为： ， ； 由贝叶斯公式得：， 故答案为：， 21．甲盒装有1个白球和2个黑球，乙盒装有3个白球和2个黑球，丙盒装有4个白球和1个黑球．采取掷骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒．在选出的盒子中随机摸一球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得1个白球，则此球来自乙盒的概率是___________． 【答案】/ 【详解】设{摸出的球来自甲盒}，{摸出的球来自乙盒}， {摸出的球来自丙盒}，{摸出白球}， 则，，， ，，， 所以 ， 所以． 考点05 相互独立的判断 22．抛掷质地均匀的骰子两次，记第1次和第2次出现的点数分别为，，设事件A=“”，事件B=“”，事件C=“”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与B相互独立 C． D． 【答案】B 【详解】对于A，事件为第一次出现的点数为3且第二次出现的点数为4，这是可能发生的，故不互斥，故A错误； 对于B，由题意，所以，即A与B相互独立，故B正确； 对于C，事件C=“”包含的样本子空间为， 而事件包含的样本点对应的子空间为，故C错误； 对于D，，， 所以也不成立，故D错误. 故选：B. 23．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件A=“第一次出现2点”，B=“第二次的点数小于5点”，C=“两次点数之和为9”，D=“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（    ） A．B与A 不互斥且B与A 相互独立 B．B与C不互斥且B与C相互独立 C．C与A互斥且C与A 不相互独立 D．D与A不互斥且D与A相互独立 【答案】B 【详解】如第一次出现2点，第二次出现1点，此时事件A,B均发生，所以A与B不是互斥事件， 依题意，，， 又，即A与B相互独立，故A正确； 第一次出现5点，第二次出现4点，此时事件C,B均发生，所以C与B不是互斥事件， ，即B与不相互独立，故B错误； ，即与不相互独立，C与A互斥，故C正确； ，即A与相互独立，第一次出现2点，第二次出现1点， 此时事件A、均发生，所以A与不是互斥事件，故D正确； 故选：B. 24．（多选）连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A表示“第一次掷出的点数为偶数”，事件B表示“第一次掷出的点数为3的倍数”，事件C表示“两次掷出的点数之和大于6”，事件D表示“第二次掷出的点数比第一次掷出的点数大”，则（    ） A．A与B互斥 B．A与B相互独立 C．B与C相互独立 D． 【答案】BD 【详解】当第一次掷出6点时，事件A与事件B同时发生，故A与B不是互斥事件，故A错误； 因为，，， 所以， 所以A与B相互独立，故B正确； 通过列举发现满足事件C有21种情况，则, ， 所以，而，， 所以B与C不相互独立，故C错误； 因为 所以，因此，故D正确. 25．（多选）将一枚质地均匀的骰子随机抛掷两次，甲表示事件“第一次点数为奇数”，乙表示事件“第二次点数为偶数”，丙表示“两次点数相同”，丁表示“两次点数之和为偶数”，则下列选项中的两个事件相互独立的有（    ） A．甲与丙 B．乙与丙 C．乙与丁 D．丙与丁 【答案】ABC 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子，每次都有种不同的结果. 事件甲：第一次点数为奇数，即第一次掷出、、，共种情况，所以. 事件乙：第二次点数为偶数，即第二次掷出、、，共种情况，所以. 事件丙：两次点数相同，即、、、、、，共种情况，所以. 事件丁：两次点数之和为偶数，可分为“两次点数均为奇数”和“两次点数均为偶数”. “两次点数均为奇数”有种情况，“两次点数均为偶数”也有种情况，所以. 甲与丙：甲与丙同时发生，即第一次点数为奇数且两次点数相同，有、、， 共种情况，所以. 而，即，所以甲与丙相互独立. 乙与丙：乙与丙同时发生，即第二次点数为偶数且两次点数相同，有、、，共种情况，所以. 而，即，所以乙与丙相互独立. 乙与丁：乙与丁同时发生，即第二次点数为偶数且两次点数之和为偶数， 也就是第一次点数也为偶数，有种情况，所以. 而，即，所以乙与丁相互独立. 丙与丁：丙与丁同时发生，即两次点数相同且两次点数之和为偶数， 也就是两次点数均为偶数或均为奇数，有、、、、、，共种情况， 所以. 而，即，所以丙与丁不相互独立. 甲与丙、乙与丙、乙与丁相互独立. 故选：ABC. 26．对于一个古典概型的样本空间和事件A、B、C、D，用表示事件中的样本点个数.若，，则（    ） A．与不互斥 B．与不对立 C．与互斥 D．与相互独立 【答案】D 【详解】由题意可得：，，，，，，. 因为，所以与互斥，故A错误； 因为，所以与对立，故B错误； 因为与对立，所以,，所以与不互斥，故C错误； 因为，所以与相互独立，故D正确. 故选：D 考点06 独立事件的概率计算 27．甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲两轮活动中恰好猜对一个成语的概率为_________；“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为___________． 【答案】 /0.375 【详解】解：设分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件．根据独立事件的性质，可得 设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与，与分别相互独立， 所以 因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是． 故答案为：, 28．甲，乙两人进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响，若甲，乙两人总共进行4局比赛. (1)求甲恰好有2局比赛获胜的概率； (2)求甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）记“甲在第局获胜”为事件， 记“甲恰好有2局比赛获胜”为事件， 所以， 所以. （2）记“甲获胜的局数比乙获胜的局数多”为事件， 所以， 所以 . 即甲获胜的局数比乙获胜的局数多的概率为. 29．某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛．决赛阶段进行线上答题．题型分为选择题和填空题两种，每次答题相互独立.选择题答对得5分，否则得0分．填空题答对得4分，否则得0分．将得分逐题累加． (1)若小明直接做3道选择题，他做对这3道选择题的概率依次为，，．求他得分不低于10分的概率； (2)规定每人最多答3题，若得分高于7分，则通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到答完3题为止．已知小红做对每道选择题的概率均为，做对每道填空题的概率均为． 现有两种方案 方案一：依次做一道选择题两道填空题； 方案二：做三道填空题． 请你推荐一种合理的方式给小红． 【答案】(1) (2)推荐方案二给小红 【分析】 【详解】（1）记“他得分不低于10分”为事件，则 ； （2）记“方案一通过决赛”为事件， 则， 记“方案二通过决赛”为事件， 则， 因为， 所以推荐方案二给小红． 30．某百科知识竞答比赛的半决赛阶段，每两人一组进行PK，胜者晋级决赛，败者终止比赛.比赛最多有三局.第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答.比赛双方首先各自进行一局限时答题，依据答对题目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，则需进入快问快答局；若快问快答平局，则需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局.已知甲､乙两位选手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，甲限时答题局获胜与平局的概率分别为，，快问快答局获胜与平局的概率分别为，抢答局获胜的概率为，且各局比赛相互独立. (1)求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率； (2)已知乙最后晋级决赛，但不知甲､乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设甲至多经过两局比赛晋级决赛为事件A，则甲第一局获胜或第一局平局第二局获胜， 则. （2）记乙恰好经过一局、两局、三局比赛晋级决赛分别为事件B、C、D， 则， ， ， 故在乙最后晋级决赛的前提下， 乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率为. 31．某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､延迟5分钟内送达､延迟5至10分钟送达､其他延迟情况，分别评定为四个等级，各等级依次奖励3元､奖励0元､罚款3元､罚款6元.假定评定为等级的概率分别是. (1)若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率； (2)若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设事件分别表示“被评为等级”， 由题意，事件两两互斥， 所以， 又“不被罚款”， 所以. 因此“不被罚款”的概率为； （2）设事件表示“第单被评为等级”，， 则“两单共获得的奖励为3元”即事件， 且事件彼此互斥， 又， 所以. 考点07 独立事件与条件概率的综合 32．某前沿科技公司邀请某专业棋手与公司新研发的两款机器人和分别进行一局比赛，若在一局比赛中专业棋手获胜，则该专业棋手获得该局比赛对应的奖金，否则不获得奖金．已知该专业棋手与两款机器人比赛获胜的概率均为，则在该专业棋手获得奖金的条件下，其只获得一局比赛胜利的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设事件为“该专业棋手获得奖金”，事件为“该专业棋手只获得一局比赛的胜利”， 该专业棋手获得奖金包括：战胜机器人，没战胜机器人，概率为； 战胜机器人，没战胜机器人，概率为； 同时战胜机器人和机器人，概率为， 所以． 又因为，所以根据条件概率公式得． 33．甲、乙两人为一组玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶，无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为.第3次投壶的人是乙的概率为________，已知在第2次投壶的人是甲的情况下，第1次投壶的人是乙的概率为________. 【答案】 【详解】第3次投壶的人是乙的有四种情况： ①第1次投壶的人是甲，第2次投壶的人是甲，第3次投壶的人是乙， 概率； ②第1次投壶的人是甲，第2次投壶的人是乙，第3次投壶的人是乙， 概率； ③第1次投壶的人是乙，第2次投壶的人是甲，第3次投壶的人是乙， 概率； ④第1次投壶的人是乙，第2次投壶的人是乙，第3次投壶的人是乙， 概率； 综上，第3次投壶的人是乙的概率； 设第2次投壶的人是甲为事件A，第1次投壶的人是乙为事件B， 则，， 则， 所以在第2次投壶的人是甲的情况下，第1次投壶的人是乙的概率为. 故答案为： ； 34．某公司的技术员进行技能操作竞赛，规则如下：技能竞赛按阶段依次进行，若连续两个阶段任务都操作失败，则竞赛结束；每一个阶段随机分配一个甲任务或乙任务，分配到甲任务的概率为，分配到乙任务的概率为.已知一个技术员能成功完成甲任务与乙任务的概率分别为和，且各阶段任务完成情况相互独立，完成阶段越多的获得胜利. (1)求该技术员在一个阶段中成功完成任务的概率； (2)记为该技术员在执行完第个阶段任务后，整个挑战还未结束的概率，求，. 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）设事件“分配到甲任务”，则“分配到乙任务”，事件“在一个阶段中成功完成任务”. 依题意，，，，， 因此， 所以该技术员在一个阶段中成功完成任务的概率为. （2）设事件“该技术员在第个阶段中成功完成任务”，则， 当时，挑战显然不会终止，即， 又各阶段完成任务与否相互独立， 所以当时，第1，2阶段至少成功完成一次，， ， 同理可得. 35．某智能设备装有3个独立运行的芯片，，，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中，正常运行的概率均为，正常运行的概率为． (1)若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求正常运行的概率； (2)若该设备正常工作的概率大于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）记事件M：恰有2个芯片正常运行. 事件N：芯片C的运行正常． 由题可知，. . 所以在恰有2个芯片正常运行的条件下，C的运行正常的概率为. （2） 若该设备正常工作，则恰有2个或恰有3个芯片正常运行. 所以该设备正常工作的概率为． 所以，结合解得， 所以的取值范围为． 36．为了缓解学生的学习压力，某班级组织了一次趣味知识竞赛，经过初赛､复赛，甲､乙两个代表队（每队3人）进入了决赛.决赛规定每人回答一个问题，答对者为本队赢得10分，答错者得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)记随机变量表示甲队的总得分，求的分布列和数学期望； (2)在甲､乙两队总得分之和等于30分的条件下，求甲队得分比乙队得分高的概率. 【答案】(1) 0 10 20 30 . (2). 【分析】 【详解】（1）题意知的所有可能取值为， 所以， ， ， ， 所以的分布列为： 0 10 20 30 所以. （2）记“甲､乙两队总得分之和等于30分”为事件，“甲队得分比乙队得分高”为事件， 所以， ， 所以， 即在甲､乙两队总得分之和等于30分的条件下，甲队得分比乙队得分高的概率为. 考点08 马尔科夫链 37．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为，则错误的是（    ） A． B．数列为等比数列 C． D．第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种 【答案】C 【详解】由题意可知，要使得次传球后球在甲手中，则第次球必定不在甲手中， 所以，，即， 因为，则，所以，， 则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故B正确； 则，即， 对于A，，故A正确； 对于C，由，可得，故C错误； 对于D，若第4次传球后球在甲手中，则第3次传球后球必不在甲手中，设甲，乙，丙对应于， 则不同的传球方式有：①，②， ③，④，⑤， ⑥，故共有6种情况，故D正确. 38．（多选）某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响．记表示事件“第n次分类正确”，表示第n次分类正确的概率．已知，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为；若第n次分类错误，则第次分类正确的概率为．记，则下列结论正确的是（   ） A． B．若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为 C．数列是等比数列 D．数列的前n项和为 【答案】ABD 【详解】由已知得第次分类正确的概率为 ， 对于A，，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，得，又， 所以是首项为，公比为的等比数列，则不是等比数列，故C错误； 对于D，由C项知，，， 所以数列的前n项和为，故D正确． 39．小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，小明第1天随机等可能选择一家用午餐．若他在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，接着一天继续选择去餐厅的概率为．记小明同学第天选择去餐厅用午餐的概率为． (1)求； (2)证明：数列是等比数列，并求的通项公式． 【答案】(1); (2)证明见解析，． 【分析】 【详解】（1）设“第天去餐厅用午餐”，“第天去餐厅用午餐”，， 与互斥．由题意，，，， 所以， 由全概率公式得； （2）“第天去餐厅用午餐”，“第天去餐厅用午餐”，． 与互斥且对立．由题意，，当，时， ，，，，， 所以li ， 所以， 又，故，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故，所以． 40．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天中午选择米饭套餐的概率为． ①证明：为等比数列，并求数列的通项公式； ②证明：当时，恒成立． 【答案】(1) (2)①设事件为“第n天选择米饭套餐”，则，， 根据题意，， 由全概率公式，得 整理得， 故， ， 是以为首项，为公比的等比数列,通项公式为； ②当n为大于1的奇数时，； 当n为大于1的偶数时，； 综上所述，当时，． 【分析】 【详解】（1）设事件为“第1天选择米饭套餐”，事件为“第2天选择米饭套餐”， 事件为“第1天不选择米饭套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式得． （2）①略 ②略 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $