高二数学下学期期末模拟卷（湘教版选择性必修二全册：导数及其应用+空间向量与立体几何+概率统计）

**基本信息** 以湘教版必修第二册为范围，融合《九章算术》阳马、卡特兰数列等文化素材，通过空间几何、概率统计、导数应用等模块，构建基础巩固到创新应用的能力梯度，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|空间向量、概率、导数几何意义|结合正方体动态问题（9题）考查空间观念| |填空题|3题/15分|线面垂直、正态分布、立体几何动态探究|14题以折叠体为载体考查运动轨迹推理| |解答题|5题/77分|统计案例（PM2.5数据）、立体几何存在性问题、导数恒成立、数列与概率综合|19题卡特兰数列与随机游走结合，体现跨知识创新应用；15题通过2×2列联表强化数据观念|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版选择性必修第二册 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若空间中三条不同直线的方向向量分别为,已知，且，则直线与直线必定（ ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则（ ） A．10 B．8 C．6 D．4 3．已知6道试题中有4道语文题和2道数学题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第一次抽到语文题的条件下，第二次抽到数学题的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数满足 ，则在处的切线斜率为（ ） A． B． C． D． 5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（    ） A． B．3 C．2 D．5 6．已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 7．经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1，2，3，4，5 B． C．的概率最大 D．服从超几何分布 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，则（    ） A．直线与底面所成的角为30° B．到直线的距离为 C．平面 D．平面 10．设随机变量，函数没有零点的概率是，则下列说法正确的是（    ） 附：若，则. A．随机变量的数学期望是1 B．随机变量的方差是2 C． D． 11．已知函数，则（    ） A．当时，不等式的解集为 B．当时，是的极值点 C．当时，曲线的对称中心在直线上 D．当时，的所有零点都小于0 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则______. 13．若随机变量，且，则______． 14．如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论：    ①存在点，使； ②存在点，，使； ③到直线和的距离相等的点有无数个； ④若，则四面体体积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某校“环境”社团随机调查了某市100天中每天空气中的PM2.5和当天到街心公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： PM2.5锻炼人次 5 12 25 7 10 13 10 11 7 若某天的空气中的PM2.5不高于75，则称这天“空气质量好”；若某天的空气中的PM2.5高于75，则称这天“空气质量不好”． (1)估计该市一天“空气质量好”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次 人次 空气质量好 空气质量不好 附：， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16．（15分）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，平面平面． (1)设平面平面，问：线段上是否存在一点，使平面？ (2)平面与平面的夹角的余弦值． 17．（15分）根据统计数据，某会员店的本地会员占70%，外地会员占30%．现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 18．（17分）已知函数其中为常数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间及极值； (3)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 19．（17分）数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圆密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第个数，其通项公式为.在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，，，…，中，满足“对任意，，…，，都有”的数列的个数等于.已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为.记第秒末粒子回到原点的概率为. (1)求； (2)设粒子在第秒末第一次回到原点的概率为. （i）假设粒子第1秒向右，求粒子在第6秒末第一次回到原点的概率； （ii）求.（用组合数表示） 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版选择性必修第二册 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若空间中三条不同直线的方向向量分别为,已知，且，则直线与直线必定（ ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则（ ） A．10 B．8 C．6 D．4 3．已知6道试题中有4道语文题和2道数学题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第一次抽到语文题的条件下，第二次抽到数学题的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数满足 ，则在处的切线斜率为（ ） A． B． C． D． 5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（    ） A． B．3 C．2 D．5 6．已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 7．经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1，2，3，4，5 B． C．的概率最大 D．服从超几何分布 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，则（    ） A．直线与底面所成的角为30° B．到直线的距离为 C．平面 D．平面 10．设随机变量，函数没有零点的概率是，则下列说法正确的是（    ） 附：若，则. A．随机变量的数学期望是1 B．随机变量的方差是2 C． D． 11．已知函数，则（    ） A．当时，不等式的解集为 B．当时，是的极值点 C．当时，曲线的对称中心在直线上 D．当时，的所有零点都小于0 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则______. 13．若随机变量，且，则______． 14．如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论：    ①存在点，使； ②存在点，，使； ③到直线和的距离相等的点有无数个； ④若，则四面体体积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）某校“环境”社团随机调查了某市100天中每天空气中的PM2.5和当天到街心公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： PM2.5锻炼人次 5 12 25 7 10 13 10 11 7 若某天的空气中的PM2.5不高于75，则称这天“空气质量好”；若某天的空气中的PM2.5高于75，则称这天“空气质量不好”． (1)估计该市一天“空气质量好”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次 人次 空气质量好 空气质量不好 附：， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16．（15分）如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，平面平面． (1)设平面平面，问：线段上是否存在一点，使平面？ (2)平面与平面的夹角的余弦值． 17．（15分）根据统计数据，某会员店的本地会员占70%，外地会员占30%．现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 18．（17分）已知函数其中为常数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间及极值； (3)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 19．（17分）数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圆密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第个数，其通项公式为.在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，，，…，中，满足“对任意，，…，，都有”的数列的个数等于.已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为.记第秒末粒子回到原点的概率为. (1)求； (2)设粒子在第秒末第一次回到原点的概率为. （i）假设粒子第1秒向右，求粒子在第6秒末第一次回到原点的概率； （ii）求.（用组合数表示） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若空间中三条不同直线的方向向量分别为,已知，且，则直线与直线必定（ ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面 【答案】C 【详解】依题意，都不是零向量，由可得，又，则可得，即.故选：C 2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则（ ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【详解】因为点关于平面的对称点为，所以， 则. 故选：A. 3．已知6道试题中有4道语文题和2道数学题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第一次抽到语文题的条件下，第二次抽到数学题的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件表示“第一次抽到语文题”，事件表示“第二次抽到数学题”， 则，，故. 4．已知函数满足 ，则在处的切线斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，则， 即，解得， 即在处的切线斜率为. 5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，，则（    ） A． B．3 C．2 D．5 【答案】B 【详解】因为平面，平面，所以，又因为四边形是矩形，所以，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，则，所以，，所以．故选：B 6．已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（    ） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．当时，有极值 D．当时， 【答案】A 【详解】根据图象可知当时，，可得； 当时，，可得； 结合的图象是一条连续不断的曲线，可知时，单调递减； 当时，，仅当时取等号，可得， 对于AB，时，单调递减，当时，，此时单调递增， 因此的单调递减区间是的单调递增区间是，即A正确，B错误； 对于C，易知当时，，当时，， 即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误； 对于D，因为时，，由，可得， 因此，即D错误. 故选：A. 7．经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（    ） A．的可能取值为1，2，3，4，5 B． C．的概率最大 D．服从超几何分布 【答案】C 【详解】对于A，的可能取值为0，1，2，3，4，5，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于D，由题意，随机变量，故D不正确； 对于C，随机变量，， 若取得最大值时，则: ， 则，解得，则． 故的概率最大，所以C正确； 故选：C. 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 构造函数则，，，令 所以，当，为增函数，当，为减函数，所以 因为，又因为， 所以，所以.故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，则（    ） A．直线与底面所成的角为30° B．到直线的距离为 C．平面 D．平面 【答案】BC 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 则有、、、、、， 对A：由，，故， 易得平面的法向量可为，则，故A错误； 对B：由，，有，又， 故，故B正确； 对C：由，，故，又， 有，故，又平面，平面，故平面，故C正确； 对D：由，，故，又， 有，故与不垂直， 若平面，由平面，则会有，与已知矛盾， 故假设不成立，故D错误. 故选：BC. 10．设随机变量，函数没有零点的概率是，则下列说法正确的是（    ） 附：若，则. A．随机变量的数学期望是1 B．随机变量的方差是2 C． D． 【答案】ACD 【详解】当函数没有零点时，，解得， 又因为没有零点的概率是，所以，由正态曲线的对称性知， 所以，即，即随机变量的数学期望是，方差是，故A正确，B错误； 又，所以，则，故C正确； 又， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11．已知函数，则（    ） A．当时，不等式的解集为 B．当时，是的极值点 C．当时，曲线的对称中心在直线上 D．当时，的所有零点都小于0 【答案】ACD 【详解】对A：当时，， 由，则当时，有或，解得，故A正确； 对B：当时，，则在上单调递增， 即无极值点，故B错误； 对C：当时，，， 则关于对称， 有 ， 即曲线的对称中心为， 故曲线的对称中心在直线上，故C正确； 对D：当时，，， 当，即时， 恒成立，则在上单调递增， 又，， 故存在唯一零点，且该零点小于； 若，即或时， 令两根分别为，且； 当时，，当时，， 即在、上单调递增，在上单调递减， 若，则，，即， 又，故当时，，故不存在非负零点； 若，则，，即，有，即， 即，故， 则， 又，故当时，，故不存在非负零点； 当时，，故存在负零点； 综上所述，的所有零点都小于，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则______. 【答案】/ 【详解】因为， 所以. 13．若随机变量，且，则______． 【答案】 【详解】由，得，所以． 14．如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直．点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动．设，给出下列四个结论：    ①存在点，使； ②存在点，，使； ③到直线和的距离相等的点有无数个； ④若，则四面体体积的最大值为． 其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】①③④ 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，   则有、、、、、， 设，，其中，， 对①：，则，当，，时，有， 故存在点，使，故①正确； 对②：，，若，则有， 由，，故当时，，， 此时有，即，即， 此时与重合，与重合，故不存在点，使，故②错误； 对③：点到直线的距离为，点到直线的距离为， 即有，即，由， 故其轨迹为双曲线的一部分，即点有无数个，故③正确； 对④：，， 由，故有，则，又， 故，故④正确. 故答案为：①③④. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．某校“环境”社团随机调查了某市100天中每天空气中的PM2.5和当天到街心公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： PM2.5锻炼人次 5 12 25 7 10 13 10 11 7 若某天的空气中的PM2.5不高于75，则称这天“空气质量好”；若某天的空气中的PM2.5高于75，则称这天“空气质量不好”． (1)估计该市一天“空气质量好”的概率； (2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次 人次 空气质量好 空气质量不好 附：， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天“空气质量好”的概率为. 所以估计该市一天“空气质量好”的概率为0.72 （2）2×2列联表如下： 人次 人次 总计 空气质量好 34 38 72 空气质量不好 21 7 28 总计 55 45 100 零假设：一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关， 因为， 所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 16．如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，，，平面平面． (1)设平面平面，问：线段上是否存在一点，使平面？ (2)平面与平面的夹角的余弦值． 【详解】（1）存在为的中点，使平面. 分别取、的中点、，连接、、， ，， ，， ，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面， 平面， 平面平面，平面， ，， 平面，平面， 平面. 即线段上存在一点，使平面. （2）分别取、中点、，连接、，， ，， ，， 平面平面，平面平面，平面， 平面. 以为原点，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，， ，， 设向量为平面的一个法向量， 则取，得， 又为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， ， 平面与平面的夹角的余弦值为. 17．根据统计数据，某会员店的本地会员占70%，外地会员占30%．现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 【详解】（1）设事件表示“随机抽取1名会员对该店商品质量满意”，事件表示“抽取的会员是本地会员”，事件表示“抽取的会员是外地会员”. 因为本地会员占70%，外地会员占30%，. 本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为，.. 即该店所有会员中随机抽取1名会员，其对该店商品质量满意的概率为. （2）从该店所有会员中随机抽取3名会员，每名会员对该店商品质量满意的概率为，且每名会员对该店商品质量满意与否相互独立，故随机变量. 由题意，可取. . 的分布列为 0 1 2 3 . 18．已知函数其中为常数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间及极值； (3)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【详解】（1）当时，，求导得， 则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，当时，， 所以的递增区间为，递减区间为，在处取得极大值，无极小值. （3）由（2）知，当时，函数取得最大值， 由对任意，不等式恒成立，得，即，解得或， 所以的取值范围为. 19．数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圆密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第个数，其通项公式为.在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，，，…，中，满足“对任意，，…，，都有”的数列的个数等于.已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为.记第秒末粒子回到原点的概率为. (1)求； (2)设粒子在第秒末第一次回到原点的概率为. （i）假设粒子第1秒向右，求粒子在第6秒末第一次回到原点的概率； （ii）求.（用组合数表示） 【详解】（1）第6秒末粒子回到原点，则说明向右移动和向左移动的次数相等，均为3次， 因为每次向左移动和向右移动的概率均为， 所以. （2）（i）第一步确定向右，要第一次回到原点在第6秒，需满足： ①第6步必为向左（总位移为0），去掉首尾两步后，中间第2~5步共4步，包含2个向右、2个向左； ②任意前步和都大于0，等价于中间部分任意前缀和非负，根据卡特兰数列结论，符合条件的排列数为第2个卡特兰数， 第一步已确定向右，剩余5步总共有种可能，因此所求概率为：. （ii）设事件A:粒子在第秒末第一次回到原点，事件B:粒子第1秒末向右移动一个单位. 所以， 记粒子往左移动一个单位为，粒子往右移动一个单位为，以下仅考虑事件AB. 设第秒末粒子的运动方式为，其中； 设粒子第秒末所处的位置为随机变量（若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为；若粒子第一秒末向右移一个单位，则位置为1） 则粒子运动方式可用数列表示， 如：表示粒子在前4秒按照右、右、左、左的方式运动. 由粒子在第秒末第一次回到原点，可知数列的前项中有个1和个. 因为，所以， 所以粒子在余下秒中运动的位置满足， 即，， 所以粒子在余下秒中运动方式的总数为，所以， 又因为，所以. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B D B A C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． ①③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）【详解】（1）由频数分布表可知， 该市一天“空气质量好”的概率为. ........2分 所以估计该市一天“空气质量好”的概率为0.72. ...........3分 （2）2×2列联表如下： 人次 人次 总计 空气质量好 34 38 72 空气质量不好 21 7 28 总计 55 45 100 ..............8分 零假设：一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关，......9分 因为，.........12分 所以有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．....13分 16．（15分）【详解】（1）存在为的中点，使平面..........1分 分别取、的中点、，连接、、， ，，.........2分 ，， ，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面， 平面， 平面平面，平面， ，， 平面，平面， 平面.即线段上存在一点，使平面..........6分 （2）分别取、中点、，连接、，， ，， ，， 平面平面，平面平面，平面， 平面. .........8分 以为原点，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，，.........10分 设向量为平面的一个法向量，则取，得， 又为平面的一个法向量，.........12分 设平面与平面的夹角为，，.........14分 平面与平面的夹角的余弦值为..........15分 17．（15分）【详解】（1）设事件表示“随机抽取1名会员对该店商品质量满意”，事件表示“抽取的会员是本地会员”，事件表示“抽取的会员是外地会员”..........1分 因为本地会员占70%，外地会员占30%，..........2分 本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为，.........3分 . . 即该店所有会员中随机抽取1名会员，其对该店商品质量满意的概率为..........6分 （2）从该店所有会员中随机抽取3名会员，每名会员对该店商品质量满意的概率为，且每名会员对该店商品质量满意与否相互独立，故随机变量..........7分 由题意，可取..........8分 ， ，..........12分 的分布列为 0 1 2 3 ..........15分 18．（17分）【详解】（1）当时，，.........2分 求导得，...............4分 则，而， 所以曲线在点处的切线方程为..........6分 （2）函数的定义域为，.........7分 求导得，.........9分 当时，，当时，， 所以的递增区间为，递减区间为，.........11分 在处取得极大值，无极小值..........13分 （3）由（2）知，当时，函数取得最大值，.........14分 由对任意，不等式恒成立，得， 即，解得或，.........16分 所以的取值范围为..........17分 19．（17分）【详解】（1）第6秒末粒子回到原点，则说明向右移动和向左移动的次数相等，均为3次， 因为每次向左移动和向右移动的概率均为，所以..........3分 （2）（i）第一步确定向右，要第一次回到原点在第6秒，需满足： ①第6步必为向左（总位移为0），去掉首尾两步后，中间第2~5步共4步，包含2个向右、2个向左； ②任意前步和都大于0，等价于中间部分任意前缀和非负，根据卡特兰数列结论，符合条件的排列数为第2个卡特兰数，.........6分 第一步已确定向右，剩余5步总共有种可能， 因此所求概率为：..........8分 （ii）设事件A:粒子在第秒末第一次回到原点，事件B:粒子第1秒末向右移动一个单位. 所以，.........10分 记粒子往左移动一个单位为，粒子往右移动一个单位为，.........11分 以下仅考虑事件AB. 设第秒末粒子的运动方式为，其中；.........12分 设粒子第秒末所处的位置为随机变量（若粒子第一秒末向左移一个单位，则位置为；若粒子第一秒末向右移一个单位，则位置为1），则粒子运动方式可用数列表示， 如：表示粒子在前4秒按照右、右、左、左的方式运动..........13分 由粒子在第秒末第一次回到原点，可知数列的前项中有个1和个. 因为，所以，.........14分 所以粒子在余下秒中运动的位置满足， 即，，.........15分 所以粒子在余下秒中运动方式的总数为，所以， 又因为，所以..........17分 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $