专题02 二项式定理及综合应用（高效培优期末专项训练）高二数学人教B版

**基本信息** 以二项定理为核心，构建从基础展开式到综合应用的递进式训练体系，注重知识逻辑与解题思维的融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特定项|5题|求指定项系数|通项公式应用| |有理项|4题|指数为整数的项|二项式系数性质| |三项展开式|5题|转化为二项式|化归思想| |多个二项式积|7题|多项式乘法|分步计数原理| |赋值法|5题|系数和计算|函数赋值思想| |系数最值|6题|二项式系数与系数|单调性分析| |整除余数|6题|数论应用|二项式展开变形| |杨辉三角|4题|数表规律|组合数性质| |数列求和|5题|二项式与数列结合|数学建模|

专题02 二项定理及综合应用 考点01 二项展开式的特定项 考点02 二项展开式的有理项 考点03 三项展开式的指定项 考点04 多个二项式积的展开式的特定项 考点05 赋值法求系数和 考点06 （二项式）系数的最值 考点07 整除和余数问题 考点08 杨辉三角 考点09 二项式定理与数列求和 考点01 二项展开式的特定项 1．在的展开式中，含有项的系数为_____________． 2．的展开式中的常数项为15，则实数a＝（   ） A． B． C． D． 3．（多选）已知在的展开式中，第6项为常数项，则（   ） A． B．的项的系数是 C．有理项是第3项，第6项 D．通项为 4．若的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则含项的系数为__________（用具体数值作答）. 5．已知，且，则_____． 6．已知多项式（），__________． 考点02 二项展开式的有理项 7．在的展开式中，有理项的个数共有__________个． 8．已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取2项，其中抽到有理项的个数为1，这个事件记为事件A，则______． 9．已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第6项的二项式系数相等． (1)求的值； (2)求展开式中含项的系数（用数字作答）； (3)若展开式中，第项为有理项，求的取值集合． 10．若展开式中前三项的系数成等差数列. (1)求的值； (2)求展开式中所有的有理项. 考点03 三项展开式的指定项 11．展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 12．（多选）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（    ） A．各项系数之和为32 B．常数项为80 C．项的系数为 D．展开式一共有21项 13．在的展开式中，项的系数为________． 14．展开式中含项的系数为__________． 15．已知，若，且，则m的值为________. 考点04 多个二项式积的展开式的特定项 16．在的展开式中，的系数为（       ） A． B．49 C． D． 17．的展开式中，的系数为（     ） A．220 B． C．100 D． 18．在的展开式中，含的项的系数是（    ） A． B． C． D． 19．的展开式中的系数为_________（用数字作答）． 20．的展开式中，的系数为____． 21．已知展开式中项的系数为30，则（   ） A．2 B． C．4 D． 22．当时，将展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角”： 若在的展开式中，项的系数为10，则实数______. 考点05 赋值法求系数和 23．若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（     ） A． B． C． D． 24．（多选）已知，若展开式中所有项的系数和比所有二项式系数和大211，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 25．已知的展开式中，所有项的系数之和、二项式系数之和分别为729，64，则展开式中的常数项为________． 26．已知的展开式的二项式系数和等于，则展开式中的含项的系数为___________． 27．已知展开式中的第4项是一次项，则展开式的各项系数和为________． 考点06 （二项式）系数的最值 28．若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为（   ） A．1120 B． C． D．448 29．（多选）已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论错误的是（    ） A． B．展开式中含的项的系数是60 C．展开式的各二项式系数和为128 D．展开式的各项系数和为729 30．的展开式中二项式系数最大的项是第________项． 31．在的展开式中系数最小的是第________项. 32．在的展开式中，系数最大的项是第___________项． 33．在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)判断系数的绝对值最大的项是第几项，并求出系数最大的项． 考点07 整除和余数问题 34．的个位数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 35．除以64的余数为（    ） A．13 B．33 C．23 D．31 36．已知，则被4除的余数为（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 37．今天是星期五，小明在参加数学考试，那么再过天后是星期（    ） A．四 B．五 C．六 D．日 38．已知能够被15整除，其中，则__________． 39．若能被整除，则正数的最小值是______． 考点08 杨辉三角 40．（多选）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（   ） A． B．第3行到第10行的各行的第4个数之和为． C．第15行中，第7个数与第8个数相等． D．第0行到第行所有数之和为 41．（多选）杨辉三角是中国古代数学文化的瑰宝，包含了很多有趣的性质．观察图中数字排列的规律，下列结论正确的是（    ） A．第2026行的第1013个数和第1015个数相等 B．从左向右数第三个斜行（如图斜线所示），前20个数的和为1330 C．记杨辉三角中第行的第个数为，则 D．第行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字 42．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，记第3行的第4个数字为，第4行的第4个数字为，，第n（）行的第4个数字为，则等于（     ） A．20 B．35 C．56 D．70 43．“杨辉三角”是我国古代数学的瑰宝，它本身蕴含着非常丰富的数学规律和许多有趣的性质.如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__________行中从左到右第12与第13个数的比为. 考点09 二项式定理与数列求和 44．（多选）设函数，且记，则（   ） A．数列的首项为 B．数列的前10项和为512 C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为0 45．已知数列满足，当时，为的展开式中的系数，则数列的前项和______． 46．已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，且. (1)求，的通项公式； (2)记数列的前项和为，用表示不超过的最大整数，例如，，求的取值集合. 47．把多项式（其中）的展开式中的一次项的系数记为，数列的前项和记作. (1)写出数列的前2项；并求其通项公式； (2)求. 48．设集合且中所有的数从小到大排列构成数列，并将数列的各项依次按照上小下大，左小右大，第行共有项的原则，写成如下的数表． (1)写出该数表第4行各项的数； (2)求； (3)设位于数表的第行，若，且该数列前项的和能被整除，求的最小值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二项定理及综合应用 考点01 二项展开式的特定项 考点02 二项展开式的有理项 考点03 三项展开式的指定项 考点04 多个二项式积的展开式的特定项 考点05 赋值法求系数和 考点06 （二项式）系数的最值 考点07 整除和余数问题 考点08 杨辉三角 考点09 二项式定理与数列求和 考点01 二项展开式的特定项 1．在的展开式中，含有项的系数为_____________． 【答案】 【详解】根据二项式展开得，含有项的系数为. 2．的展开式中的常数项为15，则实数a＝（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由二项式的展开式的通项为， 令，可得，可得展开式的常数项为， 因为二项展开式的常数项为，所以，可得，解得. 3．（多选）已知在的展开式中，第6项为常数项，则（   ） A． B．的项的系数是 C．有理项是第3项，第6项 D．通项为 【答案】BD 【详解】易知的展开式的通项为 ，， 又第6项为常数项，即时，，所以A项错误； 则通项，，所以D项正确； 含的项为时，，系数为，所以B正确； 显然根据通项公式可知：当时均为有理项，故C错误. 4．若的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则含项的系数为__________（用具体数值作答）. 【答案】 【详解】因为的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等， 所以，根据组合数性质易知， 所以展开式的通项公式为：, 令得， 所以含项的系数为. 5．已知，且，则_____． 【答案】 【详解】由二项展开式的通项公式可知，， 令，解得， 所以， 解得. 6．已知多项式（），__________． 【答案】 【详解】因为， 所以，即，解得. 又，， 所以. 考点02 二项展开式的有理项 7．在的展开式中，有理项的个数共有__________个． 【答案】2 【详解】因为， 所以当时，为整数，因此有理项的个数有2个. 8．已知在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，若在展开式中任取2项，其中抽到有理项的个数为1，这个事件记为事件A，则______． 【答案】 【详解】在的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则， 可得的二项展开式的通项， 当为整数时，该项为有理项，因为且，所以当时， 分别为是整数，即有理项有3项，可得. 9．已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第6项的二项式系数相等． (1)求的值； (2)求展开式中含项的系数（用数字作答）； (3)若展开式中，第项为有理项，求的取值集合． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题设且，则； （2）由（1）的展开式通项为，， 令，则展开式中含项的系数为； （3）由题设，令，则， 所以，即对应第项均为有理项. 10．若展开式中前三项的系数成等差数列. (1)求的值； (2)求展开式中所有的有理项. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为有项，所以，所以. 展开式中前三项依次为， 其系数分别为. 因为前三项的系数成等差数列，所以，即， 因为，所以，所以. （2）展开式的通项为. 当能被整除时，为整数，为的有理项. 因为，所以或或. 当时，； 当时，； 当时，. 所以展开式中的有理项为. 考点03 三项展开式的指定项 11．展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使展开式为常数项，则可能是一个和两个相乘，也可能是两个和四个相乘，也可能是所有的相乘， 所以常数项为：. 故选：D. 12．（多选）关于多项式的展开式，下列结论正确的是（    ） A．各项系数之和为32 B．常数项为80 C．项的系数为 D．展开式一共有21项 【答案】AC 【详解】由题意得多项式展开式的通项如下， 为 ， 即， 对于A，令得， 所以各项系数之和为32，故A正确； 对于B，常数项中的次数为0，则或或， 则，故B错误； 对于C，令，得或， 所以项为， 故项的系数为，故C正确； 对于D，因为，的指数为的整数， 化简可得， 所以展开式一共有9项，故D错误； 13．在的展开式中，项的系数为________． 【答案】 【详解】表示5个相乘， 要想得到，需要两个因式取项，1个因式取项，剩余因式取项， 所以项的系数为. 14．展开式中含项的系数为__________． 【答案】480 【详解】由题知：； 第项通项公式：； 的第项通项公式：; 令，则 所以项的系数为：. 15．已知，若，且，则m的值为________. 【答案】 【详解】因为，所以，利用二项式定理展开得， 即， 又因为，对应系数要相等，则 又因为且，即，解得. 考点04 多个二项式积的展开式的特定项 16．在的展开式中，的系数为（       ） A． B．49 C． D． 【答案】B 【详解】在的展开式中，含的项为， 所以所求系数为49. 17．的展开式中，的系数为（     ） A．220 B． C．100 D． 【答案】B 【详解】要求的系数，即求的系数， 此系数由两部分组成，一部分是与中的项的积的系数； 另一部分是的与中的项的积的系数， 又因为的展开式为， 令，解得， 所以的系数为； 令，解得， 所以的系数为； 所以原式展开式中，即的系数为 18．在的展开式中，含的项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 ， 所以, 二项展开式的通项公式为， 令，解得 ，代入得的项的系数为 . 19．的展开式中的系数为_________（用数字作答）． 【答案】 【详解】 对于的展开式通项为，其中，，，，， 因此，， 所以，故展开式中的系数为. 20．的展开式中，的系数为____． 【答案】 【详解】展开式的通项为，， 所以展开式中的系数为． 21．已知展开式中项的系数为30，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】，其中的展开式通项为， 展开式中项来自两部分，当，，当，， 由题意可得，解得. 22．当时，将展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角”： 若在的展开式中，项的系数为10，则实数______. 【答案】 【详解】由广义杨辉三角，可得， 因为的展开式中，的项为， 所以，即，解得. 考点05 赋值法求系数和 23．若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题得，解得. 的通项为. 令，则系数为. 24．（多选）已知，若展开式中所有项的系数和比所有二项式系数和大211，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为，则二项式系数和为， 令，可得，故A正确； 令，可得展开式中所有项的系数和为， 由题意可知：，则，即，故B错误； 可得， 令，可得， 且，所以，故C错误； 对求导可得， 令，可得， 所以，故D正确. 25．已知的展开式中，所有项的系数之和、二项式系数之和分别为729，64，则展开式中的常数项为________． 【答案】240 【详解】由题可知，所有项的二项式系数之和为，解得， 令，得，解得， 所以的展开式的通项为， 令0，解得，所以常数项为． 26．已知的展开式的二项式系数和等于，则展开式中的含项的系数为___________． 【答案】45 【详解】， ， ，又展开式的通项为， 当，解得， ，即展开式中的含项的系数为． 27．已知展开式中的第4项是一次项，则展开式的各项系数和为________． 【答案】/ 【详解】由题意得展开式的通项为， 第4项即时的次数为1，即，解得， 则原式为，令得展开式的各项系数和为. 考点06 （二项式）系数的最值 28．若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为（   ） A．1120 B． C． D．448 【答案】C 【详解】由题意得，故， 则展开式的通项为 且， 令，则，所以展开式中第6项系数为. 29．（多选）已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论错误的是（    ） A． B．展开式中含的项的系数是60 C．展开式的各二项式系数和为128 D．展开式的各项系数和为729 【答案】ACD 【详解】对A：根据二项式系数的性质：展开式中只有一项二项式系数最大，说明为偶数， 且最大二项式系数对应中间项，则，即，故A错误； 对B：对，有， 令，解得，则， 即展开式中含的项的系数是，故B正确； 对C：二项式系数和为，故C错误； 对D：对，令，有， 故展开式的各项系数和为，故D错误. 30．的展开式中二项式系数最大的项是第________项． 【答案】6和7 【详解】由为奇数，则展开式中第项和第项， 即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大． 31．在的展开式中系数最小的是第________项. 【答案】8 【详解】由题设可知展开式中的通项公式为，其系数为， 当为奇数时展开式中项的系数才会取最小值， 由于的展开式中第7项和第8项的二项式系数最大， 则，即第8项的系数最小． 32．在的展开式中，系数最大的项是第___________项． 【答案】8 【详解】二项式的展开式的通项公式为且. 设展开式中系数最大的项是第项， 则，即， 即，解得，又，所以， 所以展开式中系数最大的项是第8项. 33．在的展开式中． (1)求二项式系数最大的项； (2)判断系数的绝对值最大的项是第几项，并求出系数最大的项． 【答案】(1) (2)系数的绝对值最大的项是第项，系数最大的项是 【分析】 【详解】（1）由题意得，二项式的展开式的通项为： ，，． 二项式系数最大的项为中间项即第项， 所以． （2）由题意得，二项式的展开式的通项为： ，，． 设第项系数的绝对值最大，则， 整理得，即，解得． 因为，所以． 所以系数的绝对值最大的项是第项，其系数为. 所以展开式中的第项系数的绝对值最大． 当时，系数为；时，系数为； 时，系数为；时，系数为. 因此系数最大的项为对应的第项. 考点07 整除和余数问题 34．的个位数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】 ， 展开式中除了最后一项，其余均为10的倍数，故的个位数为4. 35．除以64的余数为（    ） A．13 B．33 C．23 D．31 【答案】B 【详解】因为 ， 且显然能被64整除， 所以所求余数即为801除以64的余数． 因为，所以除以64的余数为33． 36．已知，则被4除的余数为（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【详解】令，则， 令，可得， 所以， 因为 ， 所以被4除的余数为1，即被4除的余数为0. 37．今天是星期五，小明在参加数学考试，那么再过天后是星期（    ） A．四 B．五 C．六 D．日 【答案】D 【详解】因为， 所以可以写成，的形式； 所以除以7所得的余数为2，故天后为星期日. 38．已知能够被15整除，其中，则__________． 【答案】14 【详解】 . 因为75可以被整除， 所以可以被整除. 由能够被15整除，知能够被15整除，又，所以. 39．若能被整除，则正数的最小值是______． 【答案】 【详解】 ，为整数. 所以要使能被整除，即能被整除， 又是正数，所以的最小值为． 考点08 杨辉三角 40．（多选）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（   ） A． B．第3行到第10行的各行的第4个数之和为． C．第15行中，第7个数与第8个数相等． D．第0行到第行所有数之和为 【答案】AD 【详解】位于第行，第个数，故，故A正确； 第3行到第10行的各行的第4个数之和为，故B错误； 第15行中，第7个数与第8个数分别为，不相等，故C错误； 第行的所有数之和为，则第0行到第行所有数之和为，故D正确. 41．（多选）杨辉三角是中国古代数学文化的瑰宝，包含了很多有趣的性质．观察图中数字排列的规律，下列结论正确的是（    ） A．第2026行的第1013个数和第1015个数相等 B．从左向右数第三个斜行（如图斜线所示），前20个数的和为1330 C．记杨辉三角中第行的第个数为，则 D．第行所有数字的平方和恰好是第2n行的中间一项的数字 【答案】ACD 【详解】对于选项A：第2026行的第1013个数和第1015个数分别为，， 由组合数性质可得，所以第2026行的第1013个数和第1015个数相等，故A正确； 对于选项B：因为 ， 所以从左向右数第三个斜行（如图斜线所示），前20个数的和为1540，故B错误； 对于选项C：因为杨辉三角中第行的第个数为，则， 又因为， 令，可得， 所以，故C正确； 对于选项D：第行所有数字的平方和， 第行的中间一项的数字是展开式中项的系数， 又因为， 且展开式中项的系数为， 因此，D正确. 42．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，记第3行的第4个数字为，第4行的第4个数字为，，第n（）行的第4个数字为，则等于（     ） A．20 B．35 C．56 D．70 【答案】D 【详解】方法一：由题图知 . 方法二:由题图知 . 43．“杨辉三角”是我国古代数学的瑰宝，它本身蕴含着非常丰富的数学规律和许多有趣的性质.如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__________行中从左到右第12与第13个数的比为. 【答案】27 【详解】“杨辉三角”第行的数依次为：、、、、、、， 所以第行从左到右第12个和第13个数依次为：、， 由题意得：，即：，所以：， 化简得：，解得：， 即：第27行中从左到右第12与第13个数的比为. 考点09 二项式定理与数列求和 44．（多选）设函数，且记，则（   ） A．数列的首项为 B．数列的前10项和为512 C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为0 【答案】ABD 【详解】由题意知，是常数项，是的系数，是的系数，即当 时，数列的第项是展开式中的系数. 令，则，故A对； 数列的前10项和等于，即展开式中所有项的系数之和， 令，则，故B正确； 数列的前10项和等于， 令，则，而， 则数列的前10项和为，故C错误； 数列的前10项和等于， 令，则， 因为，故D正确. 45．已知数列满足，当时，为的展开式中的系数，则数列的前项和______． 【答案】 【详解】已知，当时，为的展开式中的系数， 根据二项式定理，的展开式的通项公式为， 令，此时对应的项为，因此的系数为， 所以，当时，， 检验一下的情况，代入公式得，这与不符， 因此，数列的通项公式为， 由于， 当时，， 当时，， 则数列的前项和， 由于，， 因此. 46．已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，且. (1)求，的通项公式； (2)记数列的前项和为，用表示不超过的最大整数，例如，，求的取值集合. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）依题意，，解得， 则， 所以数列，的通项公式分别为. （2）由（1）得， 则，， 两式相减得 ，因此， ，当时，； 而，当时，， 因此，，则， 所以的取值集合是. 47．把多项式（其中）的展开式中的一次项的系数记为，数列的前项和记作. (1)写出数列的前2项；并求其通项公式； (2)求. 【答案】(1)，，． (2) 【分析】 【详解】（1）二项式展开式的通项为， 分别令可得项分别为，， 所以的展开式中含的项为， 所以的系数为． 所以，. （2）， 则， ， 两式相减得 ， 则. 48．设集合且中所有的数从小到大排列构成数列，并将数列的各项依次按照上小下大，左小右大，第行共有项的原则，写成如下的数表． (1)写出该数表第4行各项的数； (2)求； (3)设位于数表的第行，若，且该数列前项的和能被整除，求的最小值． 【答案】(1)17，18，20，24 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由题意知，第4行各项为， 所以第4行各项的数为17，18，20，24. （2）由题意知，第行各项为中对应的值， 设在第行，则前行总项数，解得， 数表前9行共有项， 所以在第10行从左往右的第5项，所以. （3）数表第行所有项的和为 ， 设数表前行所有项的和为，则 ， 令， 则， 两式相减得， 可得，所以， 设为数表的第行的第项，所以数列前项的和为 , 由题意知，前行总项数，解得， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 即， 因为该数列前项的和能被整除， 所以，即，所以，可得， 所以，可得的最小值为32， 所以的最小值为. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $