专题01 排列组合解题技巧汇总（高效培优期末专项训练）高二数学人教B版

**基本信息** 以“十大解题技巧”为核心，系统整合排列组合典型问题的解题方法，形成从基础方法到综合应用的递进式训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特殊元素（位置）优先法|5题|优先处理受限元素/位置|从元素与位置的特殊限制切入，奠定分类讨论基础| |相邻与不相邻问题|5题|捆绑法与插空法|通过“整体”与“间隔”思想解决元素位置关系| |分组分配问题|5题|先分组后分配（含均匀分组）|体现分步计数原理，解决不同对象的分配策略| |几何涂色/数字排列/定序等问题|30题|分步涂色法/数位分析法/除法消序法等|从具体情境（几何、数字、顺序）抽象数学模型，强化逻辑推理与模型意识|

专题01 排列组合解题技巧汇总 考点01 特殊元素（位置）优先法 考点02 相邻问题和不相邻问题 考点03 分组分配问题 考点04 几何涂色问题 考点05 数字排列问题 考点06 定序问题 考点07 相同元素隔板法 考点08 最短路径问题 考点09 多面手问题 考点10 元素配对问题 考点01 特殊元素（位置）优先法 1．甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站在最左端，则不同的站法共有（    ） A．12种 B．36种 C．72种 D．96种 2．某单位7月1日至7月3日计划安排6个人值班，要求每人值班1天，每天安排两人，若小王不能值7月1日，小李不能值7月3日，则不同的值班方法有（    ） A．36种 B．42种 C．48种 D．56种 3．现有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学，选出 4 人分别参加唱歌、主持、绘画、手工四项比赛.规定甲、乙只能参加唱歌、主持，丙、丁、戊无限制，不同的参赛安排方案数为（ ） A． B． C． D．48 4．“京八件”是北京最具有代表性的传统糕点，包括福字饼、禄字饼、寿字饼、喜字饼、太师饼、椒盐饼、枣花糕和萨其马，每种口味互不相同．某同学不喜欢萨其马，计划从其余7种糕点中任意选取5种品尝，每种最多选一个．则该同学不同的选法种数为____________. 5．立德中学举行田径运动会，在男子米接力赛预赛中，高一（1）班准备派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，若将甲安排在第一棒或第四棒，则该班不同的接力比赛安排顺序有_____________种． 考点02 相邻问题和不相邻问题 6．将2个不同的白球，3个不同的黑球和4个完全相同的红球排成一列，要求2个白球不相邻且3个黑球也不相邻，则不同的排法共有（   ） A．5100种 B．4800种 C．4500种 D．4200种 7．（多选）名男生，名女生，这个人站成一排，下列选项正确的是（ ） A．男生不能排在一起，共有种排法 B．男生排在一起、女生排在一起，共有种排法 C．男生必须排在一起，共有种排法 D．男生互不相邻且女生也互不相邻，有种排法 8．某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有_________种.（用数字作答） 9．某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为____________. 10．甲、乙、丙、丁、戊5名同学排成一列，甲、乙不相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为________．（用数字作答） 考点03 分组分配问题 11．五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，则不同的游览方式共有（     ）种 A．12 B．18 C．36 D．72 12．甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有（    ） A．360种 B．480种 C．540种 D．720种 13．某班班会课组织了学长交流活动，将参加活动的3名高校学长与6名同学分成三组，每组1名学长与2名同学，不同的分法共有（    ） A．15种 B．90种 C．180种 D．540种 14．根据四川省委省政府有关文件精神，德阳市既支教阿坝州若尔盖，又支教甘孜州．在德阳市教育局统一协调组织下，某学校今年派出6名教师前往两地支教，若每个地区至少派送2名支教老师．则不同派送的种数为（     ） A．50 B．64 C．35 D．128 15．2026年世界拳联世界杯中国站将于6月15日至21日在贵阳举办，贵阳某高校计划派6名同学参加4个比赛项目的志愿服务工作，每个项目至少派1名同学，每名同学仅参加一个项目，则不同派法的种数为（   ） A．1560 B．1620 C．1680 D．1800 考点04 几何涂色问题 16．一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（   ）    A．32 B．48 C．64 D．82 17．某六角星徽章由A，B，C，D，E，F六个平行四边形区域构成，现有3种颜色可供这六个区域进行涂色，要求每个区域只能涂1种颜色，有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（    ） A．36 B．60 C．66 D．78 18．（多选）有红、黄、蓝、绿、黑五种不同颜色可供图中的a，b，c，d四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则下列说法正确的是（   ） A．只用红、黄、蓝三种颜色涂色有6种不同涂法 B．刚好用红、黄、蓝、绿四种颜色涂色有24种不同涂法 C．总共有180种不同涂法 D．同时用上黑、绿两种颜色涂色有100种不同涂法 19．一个的灯阵，每盏灯颜色各不相同，初始时所有灯均熄灭，每次可以任选一整行或一整列，使其中所有灯的状态同时反转，经过若干次操作后，恰有8盏灯亮，只按最终灯亮位置计算（如右图为其中一种情况），可得到的不同亮灯图案共有_______________种. 20．现要用种不同的颜色对一个四棱锥的个面进行着色，要求有公共边的两个面不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数是_________． 考点05 数字排列问题 21．由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比30000大的偶数有（     ） A．12种 B．18种 C．30种 D．48种 22．从，，，，中任取个数字，从，，，中任取个数字，共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（     ） A． B． C． D． 23．（多选）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，则（   ） A．当十位数字为3时，能组成2个“伞数” B．当十位数字为4时，能组成6个“伞数” C．当十位数字为6时，能组成25个“伞数” D．共能组成45个“伞数” 24．由0，1，2，3，4，5组成无重复数字且能被25整除的五位数的个数是________． 25．从0至6这七个数中取出5个数组成一个五位数，要求百位和千位上的数相差1且都比另外三个数位上的数大，则这样无重复数字的五位偶数有（     ） A．42个 B．43个 C．84个 D．86个 26．在1、2、3、4、5的所有排列、、、、中，满足条件，，的排列的个数是________． 考点06 定序问题 27．用数字0，1，2，3，4，5组成一个无重复数字的六位数，该数能被5整除且万位上的数字小于千位上的数字，则这样的六位数共有（   ）个 A．72 B．96 C．108 D．120 28．某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有（   ）种不同的答题顺序. A．60 B．75 C．12 D．720 29．某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法（    ） A．150 B．300 C．900 D．450 30．元宵灯展后，悬挂有8盏不同的灯需要逐一取下，如图所示，有______种不同的取法． 31．6个人站成一排，若甲在乙左边，则有__________种排法.（结果用数值表示） 32．某公司安排小张在六天中分别完成A、B、C、D、E、F六项不同的任务（每天一项），并且要求A在B之前做，C与D不在相邻的两天做，则不同的任务安排顺序有__________种． 考点07 相同元素隔板法 33．向量，其中，且，，均为正整数，则满足条件的的个数是（     ） A．84 B．56 C．36 D．21 34．清华大学给某省增加了5个相同的强基计划名额，有3所高中的学生有资格争取这5个名额，则将这5个名额分配到各校的不同方法种数为（   ） A．243 B．150 C．42 D．21 35．将5个相同的笔记本和5个相同的书签全部放入3个不同的文具袋，要求每个文具袋既有笔记本又有书签，则不同的放法种数为（     ） A．18 B．24 C．32 D．36 36．方程的正整数解的个数为（     ） A． B． C． D． 37．某单位将12个表彰名额分配给甲､乙､丙､丁四个部门，其中甲部门至少2个名额至多3个名额，乙､丙､丁三个部门每个部门至少2个名额，则不同的分配方案共有（    ） A．15种 B．19种 C．25种 D．46种 38．某校计划将12个完全相同的社会实践名额分配给高三年级的3个班级，要求一班至少分配1个名额，二班至少分配2个名额，三班至少分配3个名额，则不同的分配方案数为____________． 考点08 最短路径问题 39．如图，甲从到，乙从到，两人每次都只能向上或者向右走一格，两个人的线路有交点，即认为路线相交；否则认为路线不相交．如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路．那么不同的孤立路总计对数为_________． 40．如图为一个城市某区城市道路示意图（每个小正方形的边表示道路，且长度都相等），则从A到B的最短路线条数是________． 41．如图，已知平面图形ABCDEFG的内部连有线段． (1)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ (2)由点出发，沿着图中的线段到达点，任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？ (3)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ 42．（多选）商场某区域的行走路线图可以抽象为一个正方体道路网，如图，图中线段均为可行走的通道.甲从某点出发，随机地选择一条最短路线，到达另一点，则（   ） A．甲从出发经过到达的方法共有6种 B．甲从出发到达的方法共有100种 C．甲从出发经过到达的方法共有24种 D．甲从出发到达的方法比从出发到达的方法少27种 考点09 多面手问题 43．为了迎接即将到来的端午节龙舟赛，某训练组进入备战状态，该队有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现要从这6名划手中选派4名参加比赛，并预先选定其中2名划左桨，剩下2名划右桨，则不同的选定方案共有（   ） A．15种 B．19种 C．23种 D．36种 44．某文艺小组有7人，其中：3人只会唱歌，2人既会唱歌又会跳舞，2人只会跳舞．现从中选出2人，1人唱歌，1人跳舞，共有________种不同的选法． 45．在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从这7人中选1人参加象棋比赛，另选1人参加围棋比赛，共有多少种不同的选法？ 46．现有翻译8人，其中3人只会英语，2人只会德语，还有3人英语、德语都会，现从这8人中选取3名英语翻译，2名德语翻译，有多少种不同的选法？ 考点10 元素配对问题 47．某电视台邀请了6位学生的父母共12人中的4位介绍对子女的教育情况，如果这4位中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法的种数是（    ） A．60 B．240 C．270 D．480 48．早晨慌乱起床，在装有3双不同袜子的抽屉内随机抓出两只，恰为同一双的概率是____ 49．我国的国宝大熊猫丰腴富态，头圆尾短，头部和身体毛色黑白相间分明，形态可掬，呆萌可爱.现有福多多､滚滚､芝士､芝麻､热干面和蛋烘糕6只大熊猫，其中芝士和芝麻是双胞胎，热干面和蛋烘糕是双胞胎，现要给它们安排山月､秋月､云月三个场馆入住，要求每个场馆至少入住1只大熊猫，双胞胎熊猫要住在同一个场馆，则不同的分配方案有__________种（用数字作答）. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 排列组合解题技巧汇总 考点01 特殊元素（位置）优先法 考点02 相邻问题和不相邻问题 考点03 分组分配问题 考点04 几何涂色问题 考点05 数字排列问题 考点06 定序问题 考点07 相同元素隔板法 考点08 最短路径问题 考点09 多面手问题 考点10 元素配对问题 考点01 特殊元素（位置）优先法 1．甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站在最左端，则不同的站法共有（    ） A．12种 B．36种 C．72种 D．96种 【答案】C 【详解】因为甲、乙均不能站最左端，所以最左端有3种排法， 剩下的位置共4个元素，全排列为种， 所以共有种不同的站法． 2．某单位7月1日至7月3日计划安排6个人值班，要求每人值班1天，每天安排两人，若小王不能值7月1日，小李不能值7月3日，则不同的值班方法有（    ） A．36种 B．42种 C．48种 D．56种 【答案】B 【详解】计算无约束条件的总安排数： 从6人中选2人值7月1日，剩余4人选2人值7月2日，最后2人值7月3日，总方法数为 计算不符合要求的情况： 小王值7月1日：1号已确定小王，从剩余5人中选1人同值1号，剩余4人分两组值2、3日，方法数为 小李值7月3日：3号已确定小李，从剩余5人中选1人同值3号，剩余4人分两组值1、2日，方法数为 小王值7月1日且小李值7月3日：1号从剩余4人中选1人，3号从剩余3人中选1人，剩下2人值2号，方法数为 符合要求的安排数为，即不同的值班方法有42种. 3．现有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学，选出 4 人分别参加唱歌、主持、绘画、手工四项比赛.规定甲、乙只能参加唱歌、主持，丙、丁、戊无限制，不同的参赛安排方案数为（ ） A． B． C． D．48 【答案】C 【详解】依题意，甲、乙两人至少有1人参加， 当甲乙两人都参加时，不同参赛安排方案数为种； 当甲乙之一参加时，不同参赛安排方案数为种， 所以所求参赛方案种数为. 4．“京八件”是北京最具有代表性的传统糕点，包括福字饼、禄字饼、寿字饼、喜字饼、太师饼、椒盐饼、枣花糕和萨其马，每种口味互不相同．某同学不喜欢萨其马，计划从其余7种糕点中任意选取5种品尝，每种最多选一个．则该同学不同的选法种数为____________. 【答案】21 【详解】解：由题意可得，从其余7种糕点中任意选取5种品尝，每种最多选一个，共有种， 即种. 5．立德中学举行田径运动会，在男子米接力赛预赛中，高一（1）班准备派出甲、乙、丙、丁四名学生参加接力比赛，若将甲安排在第一棒或第四棒，则该班不同的接力比赛安排顺序有_____________种． 【答案】12 【详解】先安排特殊元素甲，由题意可知甲仅可选择第一棒或第四棒，因此甲有种方法； 再安排其余学生，将乙、丙、丁3名学生安排到其余的3棒，有种方法， 根据分步乘法计数原理，可知该班不同的接力比赛安排顺序有种方法. 考点02 相邻问题和不相邻问题 6．将2个不同的白球，3个不同的黑球和4个完全相同的红球排成一列，要求2个白球不相邻且3个黑球也不相邻，则不同的排法共有（   ） A．5100种 B．4800种 C．4500种 D．4200种 【答案】A 【详解】先排红球，有1种排法，然后排白球，分两类讨论， 第一类情况是将两白球插空排入红球形成的5个空位有种，然后插入黑球，有种，故共有种不同的排法； 第二类情况是2个白球之间仅有1个黑球，先将2个白球和1个黑球捆绑成一个整体(形如W-B-W)，有种方法； 再将此整体与4个红球排列，有种方法；然后将剩下的2个黑球插入形成的6个空位中，有种方法，故此种情况有种。 故要求2个白球不相邻且3个黑球也不相邻，则不同的排法共有5100种. 7．（多选）名男生，名女生，这个人站成一排，下列选项正确的是（ ） A．男生不能排在一起，共有种排法 B．男生排在一起、女生排在一起，共有种排法 C．男生必须排在一起，共有种排法 D．男生互不相邻且女生也互不相邻，有种排法 【答案】BD 【详解】对于A，男生不相邻，用插空法： 先排名女生，再把男生插到女生的空隙中： 则总排法为种，故A错误， 对于B，利用捆绑法：把男生捆绑为个整体，女生捆绑为个整体， 则总排法为种，故B正确， 对于C，仅要求男生相邻，用捆绑法： 把名男生捆绑为个整体，和名女生共个元素全排列， 再算男生内部排列：则总排法为种，故C错误， 对于D，男女要满足男女都不相邻，仅能排列为女-男-女-男-女结构， 则总排法为种，故D正确. 8．某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有_________种.（用数字作答） 【答案】288 【详解】将2名老师作为一个元素和2名男同学共3个元素全排列，共有种方法， 再让3名女同学插空，有种方法，所以满足条件的站法有种. 9．某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁、戊5名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为____________. 【答案】 /0.3 【详解】设事件为“教师不站在两端”，事件为“甲、乙相邻”，则题中所求为条件概率， 其中为事件的基本事件数，为事件同时发生的基本事件数. 先求：总共有6个站位，教师不能站两端，故从中间4个位置中选1个安排教师，剩余5名学生全排列， 即得. 再求：先将甲、乙捆绑为1个整体，内部排列有种，此时待排列元素共5个（甲乙整体、丙、丁、戊、教师）； 要求教师不站整排两端，即教师不能在5个元素的首尾位置，故从中间3个元素位置选1个安排教师，剩余4个元素全排列， 即得 . 则在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为. 10．甲、乙、丙、丁、戊5名同学排成一列，甲、乙不相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为________．（用数字作答） 【答案】24 【详解】因为丙、丁相邻，所以将丙、丁“捆绑”，可得丙、丁的排列方法有种； “丙、丁”整体与戊的排列方法有种； “丙、丁”整体与戊排列后，形成3个空位，从这3个空位中选2个安排给甲、乙，排列方法有； 所以，满足甲、乙不相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为种. 考点03 分组分配问题 11．五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，则不同的游览方式共有（     ）种 A．12 B．18 C．36 D．72 【答案】C 【详解】先将4个主题分为2个、1个、1个共三组，分组方法数为； 再将分好的三组全排列，分配给3名不同的游客，排列方法数为； 根据分步乘法计数原理，总游览方式共有种. 12．甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有（    ） A．360种 B．480种 C．540种 D．720种 【答案】C 【详解】将6个人分成3组，每组至少一人： 当三组人数为4，1，1时，有种分法； 当三组人数为3，2，1时，有种分法； 当三组人数为2，2，2时，有种分法； 所以一共有， 将这三组人数分别分配到3个活动项目中去， 所以共有种分配方式. 13．某班班会课组织了学长交流活动，将参加活动的3名高校学长与6名同学分成三组，每组1名学长与2名同学，不同的分法共有（    ） A．15种 B．90种 C．180种 D．540种 【答案】B 【详解】先将6名学生平均分成3组，有种不同分组方法， 再将三组分给三名学长，有种分法. 由分步乘法计数原理，满足条件的分法有种. 14．根据四川省委省政府有关文件精神，德阳市既支教阿坝州若尔盖，又支教甘孜州．在德阳市教育局统一协调组织下，某学校今年派出6名教师前往两地支教，若每个地区至少派送2名支教老师．则不同派送的种数为（     ） A．50 B．64 C．35 D．128 【答案】A 【详解】若每个地区至少派送2名支教老师，则不同的分组方案为2人、4人或3人、3人： 若是2人、4人，则共有种分组方法，然后分到两地，有种分配方法，则共有种方法； 若是3人、3人，则共有种分组方法，然后分到两地，有种分配方法，则有种方法； 综上，共有 种方法. 15．2026年世界拳联世界杯中国站将于6月15日至21日在贵阳举办，贵阳某高校计划派6名同学参加4个比赛项目的志愿服务工作，每个项目至少派1名同学，每名同学仅参加一个项目，则不同派法的种数为（   ） A．1560 B．1620 C．1680 D．1800 【答案】A 【详解】将6名同学分成4组，每组至少1人，有两种分组方式． 人数分布为3，1，1，1：先选3人成一组，有种，剩余3人各成一组，再将4组分配到4个项目，有种，共种． 人数分布为2，2，1，1：先选2人成一组，再从剩余4人选2人成一组，注意两组2人无顺序，分组数为，剩余2人各成一组，再将4组分配到4个项目，有种，共种． 总派法：种． 考点04 几何涂色问题 16．一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（   ）    A．32 B．48 C．64 D．82 【答案】D 【详解】如图所示：    当①②同色时，矩形A另外两边有1种方法染色； 当①②不同色时，矩形A另外两边有2种方法染色； 同理其他区域也一样， 所以：①②③④四边同色，此时共有种； 当①②③④只有三边同色时，另一边与其不同色时， 此时共有种； 当①②③④每两个同色时，此时共有种； 综上，共有种. 17．某六角星徽章由A，B，C，D，E，F六个平行四边形区域构成，现有3种颜色可供这六个区域进行涂色，要求每个区域只能涂1种颜色，有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（    ） A．36 B．60 C．66 D．78 【答案】C 【详解】若颜色全相同，选颜色共种选法； 涂：每个区域不能是的颜色， 因此每个区域各有种选择，共种.共有种方法. 若用两种不同颜色，选2种颜色种；再分配给三个区域种， 因此共种涂法. 涂，仅夹在两个同色区域之间的那个区域有种选择， 其余两个夹在异色区域之间的区域各只有种选择，共种. 因此共有种方法. 若颜色全不同，用3种颜色，共种涂法； 涂，每个区域夹在两个异色区域之间，仅剩余1种颜色可选，共种. 共有种方法. 将三类相加，总涂色方法为种. 18．（多选）有红、黄、蓝、绿、黑五种不同颜色可供图中的a，b，c，d四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则下列说法正确的是（   ） A．只用红、黄、蓝三种颜色涂色有6种不同涂法 B．刚好用红、黄、蓝、绿四种颜色涂色有24种不同涂法 C．总共有180种不同涂法 D．同时用上黑、绿两种颜色涂色有100种不同涂法 【答案】ABC 【详解】先涂区域，有3种方法，再涂区域，有2种涂法，再涂区域，有1种涂法，最后涂区域，有1种涂法， 故共有种方法，所以只用红、黄、蓝三种颜色涂色有6种不同涂法，A选项正确； 刚好用红、黄、蓝、绿四种颜色涂色有种不同涂法，故B正确； 当，同色时，先涂区域，有5种方法，再涂区域，有4种涂法，再涂区域，有1种涂法，最后涂区域，有3种涂法，共有种方法， 当，不同色时，四个区域都涂不同颜色的不同方法数为，故可知有种方法， 即任选若干种颜色涂色的不同方法数为，故C正确； 同时用上黑、绿两种颜色涂色且用三种颜色涂色种涂色方法； 同时用上黑、绿两种颜色涂色且用四种颜色涂色种涂色方法； 所以同时用上黑、绿两种颜色涂色有种不同涂法，D选项错误； 19．一个的灯阵，每盏灯颜色各不相同，初始时所有灯均熄灭，每次可以任选一整行或一整列，使其中所有灯的状态同时反转，经过若干次操作后，恰有8盏灯亮，只按最终灯亮位置计算（如右图为其中一种情况），可得到的不同亮灯图案共有_______________种. 【答案】78 【详解】要想得到8盏灯亮的不同图案，可分如下情况进行讨论： 设行数为，列数为. 若. 时，总数为. 时，总数为. 时，总数为(此时内部有一半重复). 时，总数为(与，重复). 时，总数为(与，重复). 总数为. 若. 时，总数为. 时，总数为. 时，与上述重复不计. 时，总数为(与，重复). 时，总数为(与，重复). 总数为. 综上所述，一共有种. 20．现要用种不同的颜色对一个四棱锥的个面进行着色，要求有公共边的两个面不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数是_________． 【答案】 【详解】如图，对四棱锥的个面进行着色. 可先给底面选一种颜色，有种选择， 再对侧面和侧面进行着色， 若侧面和侧面同色，则有种选择， 此时，侧面和侧面各有两种选择， 因此，有种着色方法； 若侧面和侧面不同色，则有种选择， 此时，侧面和侧面只有一种选择， 因此，有种着色方法. 综上所述，共有种着色方法. 考点05 数字排列问题 21．由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比30000大的偶数有（     ） A．12种 B．18种 C．30种 D．48种 【答案】C 【详解】当万位为3时，个位可从三个偶数中任选1个，共种选择； 剩余个数字全排列排中间千、百、十位，共种排法， 共有种. 当万位为时，个位只能从剩余偶数中任选1个，共种选择； 剩余个数字全排列排中间三位，共种排法， 共有种. 两类相加，总共有种. 22．从，，，，中任取个数字，从，，，中任取个数字，共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当选出的两个偶数不含时，这两个偶数从中选取， 此时个位有种取法，百位和十位有种取法，故构成的三位数有个， 当选出的两个偶数不含时，必在十位，百位有种取法，个位有种取法， 构成的三位数有个， 所以共可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为. 23．（多选）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4，5，6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，则（   ） A．当十位数字为3时，能组成2个“伞数” B．当十位数字为4时，能组成6个“伞数” C．当十位数字为6时，能组成25个“伞数” D．共能组成45个“伞数” 【答案】AB 【详解】当十位数字为3时，个位数字和百位数字只能取1，2进行排列，能组成个“伞数”，故A正确； 当十位数字为4时，个位数字和百位数字只能取1，2，3进行排列，能组成个“伞数”，故B正确； 当十位数字为5时，个位数字和百位数字只能取1，2，3，4进行排列，能组成个“伞数”； 当十位数字为6时，个位数字和百位数字只能取1，2，3，4，5进行排列，能组成个“伞数”，故C错误； 所以共能组成（个）“伞数”，故D错误. 24．由0，1，2，3，4，5组成无重复数字且能被25整除的五位数的个数是________． 【答案】 【详解】能被25整除的正整数，末两位只能是25的倍数，结合数字无重复、取值范围为的约束，仅存在末两位为、两类情况： 若末两位为：末两位已占用数字、，前三位需从剩余的共4个数字中选3个无重复排列，排列数为； 若末两位为：末两位已占用数字、，剩余可选数字为， 由于首位不能为，故首位有3种选择，剩余中间两位从剩下的3个数字中选2个无重复排列，个数为; 将两类结果求和，总个数为. 25．从0至6这七个数中取出5个数组成一个五位数，要求百位和千位上的数相差1且都比另外三个数位上的数大，则这样无重复数字的五位偶数有（     ） A．42个 B．43个 C．84个 D．86个 【答案】D 【详解】由于要组成无重复数字的五位偶数，百位和千位上的数相差1且都比另外三个数位上的数大， 则其个位数字只能是，百位和千位上的数都要大于等于3. ①当百位和千位上的数为3和4时（3和4可以交换位置），其它位置只能从中选择， 若万位选1，则剩下两个位置排0和2（0和2可以交换位置）； 若万位选2，则个位只能选0，十位选1. 因此，共有个； ②当百位和千位上的数为4和5时（4和5可以交换位置），其它位置只能从中选择， 若万位选1或3，则个位可以从0和2中任选1个，十位从剩下的2个数中任选1个； 若万位选2，则个位只能选0，十位从剩下的2个数中任选1个. 因此，共有个； ③当百位和千位上的数为5和6时（5和6可以交换位置），其它位置只能从中选择， 若万位选1或3，则个位可以从中任选1个，十位从剩下的3个数中任选1个； 若万位选2或4，则个位从剩下的2个偶数中任选1个，十位从剩下的3个数中任选1个. 因此，共有个. 综上所述，共有个. 26．在1、2、3、4、5的所有排列、、、、中，满足条件，，的排列的个数是________． 【答案】25 【详解】要求​且​，因此一定是三个位置中最小的数， 情况1：， 此时剩余数为 ，，要求，：没有比2小的剩余数，共种； ：仅剩余比3小，此时，​从 选，剩下数为，共种， ：剩余比4小的数有 ，此时从中选一下，为5和剩下的一个，全排列，故共种； ：剩余所有数都比5小，此时可为剩下3个数的全排列，共种； 本类合计：； 情况2：， 此时剩余数为，， ：此时，此时为的全排列，共种； ：若此时，则为全排列，共种， 若此时，则，1种， 故总共种； ：若此时，为全排列，共种， 若此时，为全排列，共种， 故共种； 本类合计：种； 情况3： 此时剩余数为，， ：​只能选，此时为的全排列，共种； ：只能选，此时为的全排列，共种； 本类合计：， 情况4： 此时没有足够两个比大的数给，共种， 将所有情况相加， ，即满足条件的排列共个. 考点06 定序问题 27．用数字0，1，2，3，4，5组成一个无重复数字的六位数，该数能被5整除且万位上的数字小于千位上的数字，则这样的六位数共有（   ）个 A．72 B．96 C．108 D．120 【答案】C 【详解】能被5整除的数，个位只能是0或5，分两类讨论： 情况1：个位为0 个位固定为0，剩余十万位到十位五个位置，由全排列，总排列数为， 由于无重复数字，万位数字和千位数字大小关系只有（万<千）（万>千）两种，且数目相等， 因此满足条件的个数为： ， 情况2：个位为5 个位固定为5，十万位不能为0，先选十万位：有4种选择（从中选）， 剩余四个位置由剩下的4个数字全排列，总排列数为 ， 同理，满足（万位<千位）的个数为： . 总计两类相加：. 28．某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有（   ）种不同的答题顺序. A．60 B．75 C．12 D．720 【答案】A 【详解】首先将6只灯笼全排，即， 因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定， 即除以内部排序即可，故取谜题的方法有. 29．某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则共有多少种调整方法（    ） A．150 B．300 C．900 D．450 【答案】D 【详解】首先从后排的6人中选出2人，有种结果， 然后与前排4人排列，有种排法， 因为同学的相对顺序不变，则前排4人不要再排， 所以共有种调整方法. 故选：D. 30．元宵灯展后，悬挂有8盏不同的灯需要逐一取下，如图所示，有______种不同的取法． 【答案】70 【详解】法一：采用位置选对象法，8个确定顺序的位置选出4个，分别放置“万事如意”， 则剩下4个位置分别放置“恭喜发财”，共有种不同取法； 法二：采用倍缩法，这八个字共有种排列方法， 其中：“万事如意”和“恭喜发财”是定序的， 故有种不同取法. 31．6个人站成一排，若甲在乙左边，则有__________种排法.（结果用数值表示） 【答案】360 【详解】6个人站成一排，共有种站法，其中甲在乙左边共有种排法. 32．某公司安排小张在六天中分别完成A、B、C、D、E、F六项不同的任务（每天一项），并且要求A在B之前做，C与D不在相邻的两天做，则不同的任务安排顺序有__________种． 【答案】240 【详解】先将A、B、E、F四项任务排序，因为要求A在B之前，所以共有种不同的排法， 再将C与D排到四项任务产生的个空位中，共有种不同的排法， 因此由分步乘法计数原理可得不同的任务安排顺序有种. 考点07 相同元素隔板法 33．向量，其中，且，，均为正整数，则满足条件的的个数是（     ） A．84 B．56 C．36 D．21 【答案】B 【详解】已知均为正整数，故， 因此的最小取值为，符合约束， 所以的取值范围为， 对于正整数不定方程，根据隔板法，其正整数解的个数为： 当时，解的个数为； 当时，解的个数为； 当时，解的个数为； 当时，解的个数为； 当时，解的个数为； 当时，解的个数为； 将所有解数求和得总个数为，即满足条件的向量的个数为56. 34．清华大学给某省增加了5个相同的强基计划名额，有3所高中的学生有资格争取这5个名额，则将这5个名额分配到各校的不同方法种数为（   ） A．243 B．150 C．42 D．21 【答案】D 【详解】由于是将5个相同的名额分配到3所不同的高中，属于相同元素的分配问题，所以可用隔板法求解， 根据隔板法，由于允许学校没有分配到名额，所以共有7个位置，2个隔板，所以，因此，将这5个名额分配到各校的不同方法种数为21. 35．将5个相同的笔记本和5个相同的书签全部放入3个不同的文具袋，要求每个文具袋既有笔记本又有书签，则不同的放法种数为（     ） A．18 B．24 C．32 D．36 【答案】D 【详解】采用隔板法，在5个相同的笔记本之间可放入2个隔板，可将笔记本分3份， 从而放入3个不同的文具袋，共有种放法； 同理，书签的不同放法种数也为种； 此时每个文具袋既有笔记本又有书签， 故共有种不同的放法. 36．方程的正整数解的个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知均为正整数，即. 由， 结合，得，解得，故可取. 利用挡板法：将个相同元素分为3组且每组至少1个，分组方式数为. 当时，，分组数， 当时，，分组数， 当时，，分组数， 当时，，分组数， 因此，总分组方式数为. 37．某单位将12个表彰名额分配给甲､乙､丙､丁四个部门，其中甲部门至少2个名额至多3个名额，乙､丙､丁三个部门每个部门至少2个名额，则不同的分配方案共有（    ） A．15种 B．19种 C．25种 D．46种 【答案】C 【详解】方法一（常规法）：因为甲部门至少2个名额至多3个名额，乙､丙､丁三个部门每个部门至少2个名额， 所以先给四个部门各分配2个名额，剩 个名额未分配，接下来分配这4个名额. 第一类，当甲不增加名额时，还剩4个名额分配给乙､丙､丁， 当4个名额分配给乙､丙､丁中的任意一个部门时，有种分法； 当4个名额分配给乙､丙､丁中的两个部门时，若一个部门有1个名额，另一个部门有3个名额，有种分法，若这两个部门都有2个名额，有种分法； 当4个名额分配给乙､丙､丁这三个部门，且两个部门各分配1个名额，另一个部门分配2个名额时，有种分法. 所以第一类共有 种方案. 第二类，当甲再增加1个名额时，还剩3个名额分配给乙､丙､丁， 当3个名额分配给乙､丙､丁中的任意一个部门时，有种分法； 当3个名额分配给乙､丙､丁中的两个部门，且一个部门有1个名额，另一个部门有2个名额时，有种分法； 当3个名额分配给乙､丙､丁这三个部门，且三个部门各分配1个名额时，有1种分法. 所以第二类共有 种方案. 综上，不同的分配方案共有种. 方法二（隔板法）：第一类，当甲分配2个名额时，先给乙､丙､丁三个部门各分配1个名额，还剩7个名额分配给乙､丙､丁三个部门，且每个部门至少1个名额， 在7个名额形成的6个空隙中插入2块隔板，有种方案； 第二类，当甲分配3个名额时，先给乙､丙､丁三个部门各分配1个名额，还剩6个名额分配给乙､丙､丁三个部门，且每个部门至少1个名额， 在6个名额形成的5个空隙中插入2块隔板，有种方案. 综上，不同的分配方案共有种. 38．某校计划将12个完全相同的社会实践名额分配给高三年级的3个班级，要求一班至少分配1个名额，二班至少分配2个名额，三班至少分配3个名额，则不同的分配方案数为____________． 【答案】 【详解】先安排1个名额给二班，安排2个名额给三班， 再将剩余9个名额利用隔板法分为三个部分，这三个部分对应到三个班级即可， 用2个隔板将剩余9个名额分为三个部分均有名额的分法有种. 前面一组分到一班，第二个部分分到二班，第三个部分分到三班. 所以不同的分配方案数为 考点08 最短路径问题 39．如图，甲从到，乙从到，两人每次都只能向上或者向右走一格，两个人的线路有交点，即认为路线相交；否则认为路线不相交．如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路．那么不同的孤立路总计对数为_________． 【答案】 【详解】首先计算总的路径的对数： 甲从到，需要向右走步，向上走步，共需步，所以从到共有种走法， 乙从到，需要向右走步，向上走步，共需步，所以从到共有种走法， 根据分步乘法计数原理可知，共有不同路径对． 再计算有相交路径的对数：（等价转换思路）有相交的路径可以理解为过交点后， 甲乙交换线路分别到达目的地，这样就等价于甲从到，乙从到的路径对数： 甲从到，需要向右走步，向上走步，共需步，所以从到共有种走法， 乙从到，需要向右走步，向上走步，共需步，所以从到共有种走法， 所以相交路径共有对，因此不同的孤立路一共有：对． 40．如图为一个城市某区城市道路示意图（每个小正方形的边表示道路，且长度都相等），则从A到B的最短路线条数是________． 【答案】39 【详解】如图，若按照的路线，从到有3段向上3段向右，从到有0段向上3段向右，有条路线； 若按照的路线，从到有1段向上5段向右，从到有2段向上1段向右，有条路线； 若按照的路线，从到有0段向上6段向右，从到有3段向上0段向右，有条路线； 共有（条）路线． 41．如图，已知平面图形ABCDEFG的内部连有线段． (1)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ (2)由点出发，沿着图中的线段到达点，任意两次向上行走都不连续且最近的路线有多少条？ (3)由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？ 【答案】(1)10条． (2)21条． (3)155条． 【分析】 【详解】（1）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线需要向上移动2次，向右移动3次， 则由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条． （2）由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线需要向上移动2次，向右移动6次， 则由点出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条， 其中两次向上行走连续且最近的路线有7条． 故所求路线有条． （3）设H，K的位置如图所示， 则由出发，沿着图中的线段到达点的最近路线可分为以下三种情况： ①，有条最近路线； ②，有条最近路线； ③，有条最近路线． 故由出发，沿着图中的线段到达点的最近路线有条． 42．（多选）商场某区域的行走路线图可以抽象为一个正方体道路网，如图，图中线段均为可行走的通道.甲从某点出发，随机地选择一条最短路线，到达另一点，则（   ） A．甲从出发经过到达的方法共有6种 B．甲从出发到达的方法共有100种 C．甲从出发经过到达的方法共有24种 D．甲从出发到达的方法比从出发到达的方法少27种 【答案】ACD 【详解】 对于A，甲从出发经过到达的最短路线分两步完成： 第一步：甲从到，只能沿轴方向向上走2段，故只有1种最短路线； 第二步：从到达的最短路线中，需要沿轴方向走2段，需要沿轴方向走2段， 所以，只需明确4段中沿轴方向的2段情况即可，有种， 所以从出发经过到达的最短路线共有6种，A选项正确； 对于B，甲从出发到达，需要沿轴三个方向各走2段， 故只需要确定：在6段路里，哪2段是沿轴方向，剩下的4段里，哪2段是沿轴方向， 最后剩下的2段自然是沿轴方向， 故有种，故B选项错误； 对于C，甲从出发经过到达需要分两步完成， 第一步：先从到达，需要沿轴2个方向各走1段， 故只需要确定哪一段沿轴方向即可，共有种； 第二步：从到达的最短路线中，需要沿轴三个方向分别走1，1，2段， 只需要确定哪一段沿轴方向，只需要确定哪一段沿轴方向即可，有种方法， 所以甲从出发经过到达共有种，C选项正确； 对于D，甲从出发到达，需要沿轴2个方向分别走2段，1段， 故只需要确定哪一段沿轴方向即可，故有种； 甲从出发到达，需要沿轴的负方向走2段，沿轴2个方向分别走1，2段， 故只需要确定哪2段沿轴负方向走，哪一段沿轴方向即可，故有种. 所以甲从出发到达的方法比从出发到达的方法少27种，D选项正确. 考点09 多面手问题 43．为了迎接即将到来的端午节龙舟赛，某训练组进入备战状态，该队有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现要从这6名划手中选派4名参加比赛，并预先选定其中2名划左桨，剩下2名划右桨，则不同的选定方案共有（   ） A．15种 B．19种 C．23种 D．36种 【答案】B 【详解】根据题意，记只会划左桨的两人，只会划右桨的两人，既会划左桨又会划右桨的两人； 则不同的选派方法有以下三种： （1）从中选择2人划左桨，划右桨的在中选两人，共有， （2）从中选择1人划左桨，从中选1人划左桨，再从剩下的3名能划右桨的人中选2人划右桨，共有； （3）从中选2人划左桨，中的两人划右桨，共有． 所以，不同的选派方法共有19种． 44．某文艺小组有7人，其中：3人只会唱歌，2人既会唱歌又会跳舞，2人只会跳舞．现从中选出2人，1人唱歌，1人跳舞，共有________种不同的选法． 【答案】 【详解】情况一：从只会唱歌的3人选取1人唱歌，再从其余的4人中选取1人跳舞，共有种选法. 情况二：从既会唱歌又会跳舞的2人中选取1人唱歌，再从其余的3人中选取1人跳舞，共有种选法. 根据分类加法计数原理，共有种选法. 45．在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从这7人中选1人参加象棋比赛，另选1人参加围棋比赛，共有多少种不同的选法？ 【答案】 【详解】解：画出示意图，如图所示，既会下象棋又会下围棋的“多面手”有2名学生（对应图中的阴影部分）， 从参加象棋比赛的1名学生入手进行分类，可分两类： 第1类，参加象棋比赛的1名学生来自只会下象棋的3名学生，有3种选法， 会下围棋的人数为，再从这4人中选1人参加围棋比赛，有4种选法，根据分步乘法计数原理，参加比赛的选法种数为． 第2类，参加象棋比赛的1名学生来自2名“多面手”学生，有2种选法，剩余会下围棋的人数为，再从这3人中选1人参加围棋比赛，有3种选法，根据分步乘法计数原理，参加比赛的选法种数为． 根据分类加法计数原理，不同的选法种数为． 46．现有翻译8人，其中3人只会英语，2人只会德语，还有3人英语、德语都会，现从这8人中选取3名英语翻译，2名德语翻译，有多少种不同的选法？ 【答案】92 【详解】方法1：按只会德语的2人入选的人数分类． 第1类，2个人都入选，则只需从其余的人中再选3人担任英语翻译，有种方法； 第2类，2人中恰好有1人入选，则要从英语、德语都会的3人中再选出1人担任德语翻译， 再从余下会英语的5人中选3名英语翻译，有种； 第3类，2个人都没有入选，则要从英语、德语都会的3人中选2名德语翻译， 再从余下会英语的4人中选3名英语翻译，有种． 因此，共有种不同的选法． 方法2：按只会英语的3人入选的人数分类． 第1类，3人中有1人入选，有种选法； 第2类，3人中有2人入选，有种选法； 第3类，3人都入选，有种选法； 第4类，3人都不入选，有种选法． 因此，共有种选法． 考点10 元素配对问题 47．某电视台邀请了6位学生的父母共12人中的4位介绍对子女的教育情况，如果这4位中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法的种数是（    ） A．60 B．240 C．270 D．480 【答案】B 【详解】先在对父母中选一对，方法数有种， 然后在剩余的人中，选两个不是夫妻的人，方法数有种， 所以不同的选择方法的种数是种. 故选：B 48．早晨慌乱起床，在装有3双不同袜子的抽屉内随机抓出两只，恰为同一双的概率是____ 【答案】/0.2 【详解】在装有3双不同袜子的抽屉内随机抓出两只，共有种； 所以恰为同一双的概率为. 故答案为：. 49．我国的国宝大熊猫丰腴富态，头圆尾短，头部和身体毛色黑白相间分明，形态可掬，呆萌可爱.现有福多多､滚滚､芝士､芝麻､热干面和蛋烘糕6只大熊猫，其中芝士和芝麻是双胞胎，热干面和蛋烘糕是双胞胎，现要给它们安排山月､秋月､云月三个场馆入住，要求每个场馆至少入住1只大熊猫，双胞胎熊猫要住在同一个场馆，则不同的分配方案有__________种（用数字作答）. 【答案】36 【详解】将芝士和芝麻看成一个整体，热干面和蛋烘糕看成一个整体， 即相当于四个对象分配给三个场馆，每个场馆至少一个对象， 必有一个场馆含有两个对象，其余场馆各一个对象， 可先选出有两个对象的场馆进行对象分配，再将其余对象进行分配， 所以共有种方案. 故答案为：36 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $